脉冲传递函数
脉冲传递函数是表征
脉冲传递函数是表征脉冲传递函数（ImpulseResponseFunction，IRF）是指在一个系统中，输入一个单位脉冲函数（delta函数）时，系统的输出响应。
在信号处理领域，脉冲传递函数是非常重要的概念，因为它可以帮助我们理解信号的特性以及信号在系统中的传递过程。
简单来说，脉冲传递函数可以用来描述一个系统对于输入信号的响应。
在实际应用中，许多信号处理问题都可以转化为寻找脉冲传递函数的问题。
因此，脉冲传递函数是信号处理中的基础概念，对于理解信号处理的基本原理非常重要。
在信号处理中，我们通常会遇到各种各样的信号。
有些信号是周期性的，比如正弦波，方波等等，而有些信号则是非周期性的，比如随机噪声信号等等。
不同的信号在系统中的传递过程也有所不同，因此我们需要针对不同的信号寻找不同的脉冲传递函数。
在信号处理中，我们通常会使用卷积运算（Convolution）来描述信号在系统中的传递过程。
卷积运算可以将输入信号和脉冲传递函数合并成一个输出信号。
因此，我们可以通过卷积运算来计算系统的响应，进而了解系统的特性。
在实际应用中，我们通常会使用数字滤波器来处理信号。
数字滤波器可以通过脉冲传递函数来描述其特性。
例如，低通滤波器的脉冲传递函数可以用来描述它对于高频信号的抑制作用，而高通滤波器的脉冲传递函数则可以用来描述它对于低频信号的抑制作用。
除了数字滤波器之外，脉冲传递函数还可以应用于其他领域。
例如，在声学领域，我们可以使用脉冲传递函数来描述声音在房间内的传递过程。
在光学领域，我们可以使用脉冲传递函数来描述光在介质中的传递过程。
总之，脉冲传递函数是信号处理中的基础概念，它可以帮助我们理解信号的特性以及信号在系统中的传递过程。
在实际应用中，我们可以使用脉冲传递函数来描述数字滤波器的特性，以及信号在其他领域中的传递过程。
因此，掌握脉冲传递函数的概念和应用是非常重要的。
离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
7.4脉冲传递函数
G(z) Z[g * (t)] Z[g(t)] Z[L1G(s)] g(kT)z k k 0
1
7.4.2串联环节的开环脉冲传递函数
对于多环节G串(z) 联的情况，首先考虑两环节串联后的 总开环脉G1冲(z) 传递函数，G2(z其) 余可类推。
z =1,单位圆周
<0, 左半平面
z <1,单位圆内
如果复变量s1在s平面左半平面内移动，即 <0, 则对应z <1,其运动轨迹对应于z平面上单位圆内部，幅角随频率
而变。
9
S左半平面可分成宽度为
s,频率范围为
2n 2
1
s
2n 2
1
s
(n
0,1,2,)
平行于横轴的无数条带域，每一条带域都映射为z平面的单位圆内
=0
0 1 Re
jv
w平 面
0u
=/T
12
将z=w+1/w-1代入闭环离散系统的特征方程中，进行w 变换后，原先在z平面分析是否有根在单位圆外的问题转 换为在w平面上分析是否有根位于右半平面的问题，应用 劳斯稳定判据对离散系统的稳定性进行分析。
得开环系统的脉冲传递函数：
G(z)
10[
z
z 1
z
z e1
]
10 z(1 e1) (z 1)( z e1)
由闭环离散系统的特征方程，求离散系统的闭环特征方
程根： 1 G(z) 0
(7-15）
10z(1 e1) (z 1)(z e1) 0
z2 4.95z 0.368 0
脉冲传递函数
❖ 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，系统输出离散信号的z 变换
与输入离散信号的z 变换之比，即
G(z) C(z) R(z)
系统输出脉冲序列为
c* (t) Z 1[C(z)] Z 1[R(z)G(z)]
脉冲传递函数的基本概念
❖ 脉冲传递函数公式的推导
▪ 当输入信号为单位脉冲信号 (t)时，其输出信号为 单位脉冲响应 g (t ) 。显然，g (t )就是连续传递函数 G(s) 的拉氏反变换。
在 t kT 时，对应的输出为
c(kT) r(0)g(kT) r(T )g[(k 1)T ] r(nT)g[(k n)T ]
k
r(nT )g[(k n)T ] n0
由卷积定理，得
C(z) G(z)R(z)
脉冲传递函数的基本概念
❖ 求脉冲传递函数时应注意的问题 ▪ G(z) Z[g(t)] Z[L1G(s)] ，可简写为 Z[G(s)] 。 ▪ G(z) 表示脉冲传递函数，G(s) 表示连续传递函数， 但 G(z) 不是简单地将 G(s) 中的s 换成z 得到的。 ▪ 已知传递函数 G(s) ，求脉冲传递函数的步骤为：
该闭环系统的脉冲传递 函数为
C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
闭环系统的脉冲传递函数
例10 求图示系统的 闭环脉冲传递函数。
解
G(z)
e1z 1 2e1 z 2 (1 e1)z e1
0.368 z 0.264 z2 1.368 z 0.368
系统闭环脉冲传递函数为
C(z) G(z) 0.368 z 0.264 R(z) 1 G(z) z 2 z 0.632
Z[L1( 1 )] 2s 1
Z
[
由脉冲传递函数写出差分方程
由脉冲传递函数写出差分方程在信号处理中，脉冲传递函数（Impulse Response Function，IRF）是非常重要的一个概念。
它描述了一个系统对一个脉冲输入信号的响应。
由脉冲传递函数可以写出差分方程。
本文将分步骤阐述这一过程。
首先，我们需要了解什么是脉冲传递函数。
在一个线性时不变系统中，脉冲传递函数是输入单个脉冲信号时系统的响应。
它可以被表示为系统的单位脉冲响应的拉普拉斯变换，即$$ H(z) =\sum_{n=0}^{\infty} h(n)z^{-n} $$ 其中，h(n)是脉冲响应序列中第n个元素，z是一个复变量。
这个公式的意义是，当一个脉冲信号通过系统时，我们可以得到一个输出信号$y(n) = h(n)x(n)$，其中x(n)是脉冲信号序列中第n个元素。
因此，当输入信号序列是x(n)时，输出信号序列可以被表示为$$ y(n) = \sum_{k = 0}^{\infty}h(k)x(n-k) $$接下来，我们需要将脉冲传递函数转换为差分方程。
根据z变换的逆变换，可以得到脉冲响应序列$h(n)$是由差分方程$h(n) -a_1h(n-1) - \cdots - a_mh(n-m) = b_0\delta(n) + b_1\delta(n-1) + \cdots + b_l\delta(n-l)$所确定的。
其中，$\delta(n)$表示单位脉冲函数。
因此，我们可以将差分方程写成$$ y(n) - a_1y(n-1) -\cdots - a_my(n-m) = b_0x(n) + b_1x(n-1) + \cdots + b_lx(n-l) $$现在我们来看一个例子。
假设我们有一个系统，它对一个输入信号的响应如下：|n| 0| 1| 2| 3||:-:|---|---|---|---||h(n)| 2| 4| 5| 3|我们可以首先求得该系统的脉冲传递函数。
将上述脉冲响应序列代入前面提到的脉冲传递函数公式中，可以得到$$ H(z) = 2 + 4z^{-1} + 5z^{-2} + 3z^{-3} $$根据之前的转换公式，我们可以将脉冲传递函数转换为差分方程。
脉冲响应与传递函数的关系
脉冲响应与传递函数的关系脉冲响应和传递函数是信号处理领域中两个重要的概念。
它们之间存在着密切的关系，相互之间可以进行转换和推导。
本文将介绍脉冲响应和传递函数的基本概念，并探讨它们之间的关系。
我们来了解一下脉冲响应的概念。
脉冲响应是指系统对单位脉冲信号的响应。
单位脉冲信号是一个持续时间很短的信号，幅度为1，其它时间段内幅度为0。
当单位脉冲信号经过系统时，系统会产生一个响应信号，这个响应信号就是系统的脉冲响应。
脉冲响应可以描述系统对任意输入信号的响应情况。
脉冲响应通常用h(t)表示，其中t表示时间。
传递函数是描述系统输入输出关系的函数。
它是输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换之比。
传递函数通常用H(s)表示，其中s是复变量。
传递函数可以反映系统对不同频率信号的响应特性。
通过传递函数，我们可以了解系统的频率响应、相位响应等信息。
脉冲响应和传递函数之间的关系可以通过拉普拉斯变换来推导。
假设系统的传递函数为H(s)，脉冲响应为h(t)，那么它们之间的关系可以表示为：H(s) = L{h(t)}其中L表示拉普拉斯变换。
这个公式表明传递函数是脉冲响应的拉普拉斯变换。
通过传递函数，我们可以得到系统的脉冲响应，从而了解系统对不同输入信号的响应情况。
反过来，如果已知系统的传递函数H(s)，我们可以通过拉普拉斯反变换来求得系统的脉冲响应h(t)。
这样，我们就可以通过传递函数来确定系统的脉冲响应。
脉冲响应和传递函数在信号处理中具有广泛的应用。
在滤波器设计中，我们可以通过传递函数来设计滤波器的频率响应，从而实现对输入信号的滤波。
在系统建模和控制系统设计中，我们可以通过传递函数来分析和设计系统的稳定性和性能。
总结起来，脉冲响应和传递函数是信号处理领域中重要的概念。
它们之间存在着密切的关系，相互之间可以进行转换和推导。
通过传递函数，我们可以了解系统对不同频率信号的响应特性；通过脉冲响应，我们可以了解系统对任意输入信号的响应情况。
控制工程基础-计算机采样控制系统(2)
11
脉冲传递函数（10）
1.有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于各 环节的脉冲传递函数之积。
X (z) G1(z) R(z)
C(z) G2 (z) X (z)
将X(z)代入C(z) C(z) G2 (z)G1zRz
Cz Rz
G1
z
G2
z
2.没有采样开关分隔的两环节串联时，其脉冲传递函数为各个
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第九章 计算机采样控制系统
15
脉冲传递函数（14）
令
G' p s Gp ss
并根据前面介绍的环节串、并联脉冲传递函数求取方法，参照上图
，则带保持器的广义控制对象脉冲传递函数
Gz
C1
z C2 U z
z
G1z
G2
z
G1z
C1 z U z
Z
Gp' s
Z
g p' t
G2z
1 G1H (z)
闭环传递函数 (z) 的推导步骤：
1) 在主通道上建立输出 C(z)与中间变量 E(z)的关系；
2) 在闭环回路中建立中间变量 E(z) 与输入 R(z) 的关系；
3) 消去中间变量 E(z)，建立C(z) 和 R(z) 的关系。
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第九章 计算机采样控制系统
21
脉冲传递函数（20）
Gz ZGs
即符号 ZGs、ZL1Gs 和 Z g*(t) 、 ZgkT 是等价的。
Gz Zg*(t) ZgkT ZL1Gs ZGS
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第九章 计算机采样控制系统
7
脉冲传递函数（6）
如果系统的输入为任意函数 的采样脉冲序列 r(kT) ，其Z变换
计算机控制系统7脉冲传递函数模型的建立
N (s)
将W(s)分解成如下形式:
n
W (s)
Ai
i1 s si
其中 si 为极点，n 为极点个数。
由s传递函数模型求 z 传递函数模型
由于
M (s) Ai (s si ) N (s)
s si
L( Ai e sit )
s
Ai si
Z ( Ai esit )
z
Ai z e siT
所以
W (z) Z[h(k)] h(0) h(1)z1 h(2)z2 h(l)zl
很难写成闭合函数的形式，使用起来很不方便，常需要将 其转换有理分式的形式，
由单位脉冲响应求 z 传递函数模型
设待求的有理分式传递函数W(z)形式如下
W (z)
Y (z) U (z)
b0 b1z1 1 a1z1
单位脉冲响应
W(z)
差分方程
W(s)
2.1 由差分方程求 z 传递函数模型
前向差分方程：
y(k n) a1y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bmu(k)
令对象的初始值为零，利用超前定理，得到
z nY (z) a1z n1Y (z) anY (z) b0 z mU (z) b1z m1U (z) bmU (z)
bn zn an zn
设分子与分母的阶次相等，即m = n，且阶次n已知，则W(z) 对应的差分方程为：
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bnu(k n)
由单位脉冲响应求 z 传递函数模型 当输入为单位脉冲δ(k)，输出为单位脉冲响应序列h(k)时，有
W (z)
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闭环离散系统的特征方程为
1 G1G2H (z) 0
说明
线性离散系统的结构多种多样，并不是每个系统
都能写出闭环脉冲传递函数。
如果偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向 通道的第一个环节，则一般写不出闭环脉冲传递 函数，而只能写出输出的z变换表达式。此时， 令输出z变换表达式的分母为零，就可以得到闭环 系统的特征方程。
G(z)
T
G(s)
T y*(t)
x(t)
x* (t )
y(t)
Y (z)
X (z)
G(z) Z y*(t) Y (z) Z x*(t) X (z)
1
说明 若要建立一个连续系统或环节的脉冲传递函数， 其输入一定是离散时间信号， 对于其输出的连续 时间信号， 我们只考虑其采样时刻的值，相当于 加了一个虚拟的采样开关。
m* (t)
M (z)
T y*(t) y(t)
Y (z)
8
G(z) Y(z) E(z)
G(z) G1(z)G2 (z)
推广
G(z) G1(z)G2 (z)L Gn (z)
9
[例6-12] 串联环节 G1(s)和 G2 (s) 之间有同步采样开关
a G1(s) s a
1 G2 (s) s
21
7 系统框图
T
r(t)
T
G(s)
-
y(t)
T
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G(z)R(z) 1 G(z)H(z)
22
8 系统框图
T
r(t)
T
T
-
G1 ( s )
G2 (s)
y(t)
T
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G1(z)G2 (z)R(z) 1 G1(z)G2 (z)H (z)
19
5 系统框图
r(t)
-
T
T
G1 ( s )
G2 (s)
G3 (s)
H (s)
T
y(t)
Y (z) 的表达式： Y (z) RG1(z)G2 (z)G3(z) 1 G2 (z)G1G3H (z)
20
6 系统框图 T
r(t)
-
G(s)
y(t)
T
H (s)
Y (z) 的表达式： Y (z) RG(z) 1 HG(z)
4
6.5.2 串联环节的脉冲传递函数
1 串联环节之间无同步采样开关
G(z)
T
G1(s) G2 (s)
T y*(t)
e(t)
e* (t )
y(t)
Y (z)
E(z) 5
G(z) Y(z) E(z)
G(z) Z G1(s)G2(s) G1G2 (z)
推广
G(z) Z G1(s)G2(s)L Gn(s)
H (s)
T y*(t)
y(t)
25
[例6-16] 线性离散系统的结构如下图所示，
E(s) E*(s)
R(s)
F(s)
+
Y (s)
G1 ( s )
G2 (s)
-T
试求参考输入R(s)和扰动输入 F(s) 同时作用时，
系统输出信号 y(t) 的z变换 Y (z) 。
26
结论 1 由于系统中采样开关的个数和它在系统中的位置 不同， 使系统有不同的结构形式，系统的闭环脉冲 传递函数和开环脉冲传递函数之间没有固定的关系。 不能直接由开环传递函数求闭环脉冲传递函数。
27
2 离散系统的闭环脉冲传递函数只能按框图中各 变量之间的关系具体地求取。
3 如果选择作为输出的那个变量是连续信号， 则可以在闭环回路以外设一个虚拟采样开关。 4 当求拉氏变换的乘积（其中一些是常规的拉氏 变换，另一些是离散拉氏变换）所对应的z变换时， 离散拉氏变换可以提到z变换符号之外。
y(t)
零阶保持器的传递函数为
1 eTs H0(z) s
等效脉冲传递函数为
G(z)
1 z1
Z
G0 (s) s
T y*(t)
12
[例6-13]
设有G0 (s)
k s(s a)
零阶保持器 H0 (s)
串联，其中 k 和 a 为常数，求等效脉冲传递函数G(z) 。
13
6.5.3 线性离散系统的脉冲传递函数
G1G2 L Gn (z)
6
[例6-11] 串联环节 G1(s)和 G2 (s) 之间无同步采样开关
G1(s)
s
a
a
G2
(s)
1 s
求串联环节的等效脉冲传递函数 G(z) 。
7
2 串联环节之间有同步采样开关
G(z)
G1 ( z )
G2 (z)
T
G1 ( s )
e(t) e*(t)
E(z)
T
G2 (s)
2
若已知一个连续系统或环节的传递函数 G(s)，
求其相应的脉冲传递函数 G(z) ， 可以通过求取
G(s) 的单位脉冲响应 g(t) 采样序列 g* (t) 的Z
变换来获得。 即
G(z) Z g*(t)
3
[例6-10] 已知连续系统的传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求其相应的脉冲传递函数 G(z) 。
17
3 系统框图
r(t)
T
-
T
G(s)
H (s)
T
y(t)
Y (z) 的表达式： Y (z) G(z)R(z) 1 G(z)H(z)
18
4 系统框图
T
T
T
r(t)
-
G1 ( s )
G2 (s)
y(t)
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G1(z)G2 (z)R(z) 1 G1(z)G2H (z)
求串联环节的等效脉冲传递函数 G(z) 。
10
说明 在串联环节之间有无同步采样开关，脉冲传递函数 是不同的。
G1G2 (z) G1(z)G2 (z) G1G2 (z) 与 G1(z)G2 (z) 的零点不同，而极点相同。
11
3 零阶保持器与环节串联
G(z)
T
H0 (s) G0 (s)
e(t)
e* (t )
15
下面分8种情况给出输出z变换的表达式
1 系统框图
T
T
r(t)
G(s)
-
y(t)
H (s)
Y (z) 的表达式：Y (z) G(z)R(z) 1 GH (z)
16
2 系统框图
r(t)
-
T
T
G1 ( s )
G2 (s)
y(t)
H (s)
Y (z) 的表达式： Y (z) RG1(z)G2 (z) 1 G2HG1(z)
23
[例6-14] 试求下图所示线性离散系统的闭环脉冲 传递函数。
r(t) e(t) T 1 eTs
k
y(t)
-
s
s(s a)
24
[例6-15] 线性离散系统的结构如下图所示，
求系统输出信号 y(t) 的z变换。
r(t)
-
e(t)
T
T
G1(s) M M* G2 (s) N N* G3 (s)
b(t)
r(t)
-
T
e(t) e*(t) G1(s)
G2 (s)
T
y* (t ) y(t)
b(t)
H (s)
开环脉冲传递函数为
G(z)
B(z) E(z)
G1G2H (z)
偏差闭环脉冲传递函数为 E(z)
1
R(z) 1 G1G2H (z)
闭环脉冲传递函数为
Y (z) G1G2 (z) R(z) 1 G1G2H (z) 14