经济学原理 第八章 Slutsky方程
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第8章 斯勒茨基方程
第八章斯勒茨基方程1.计算替代效应，为了使原来收入消费束消费得起，221'1'x p x p m +=；2211x p x p m +=()1'11'p p x m m -=-；相对收入变化11p x m ∆=∆替代效应)()(11''111m p x m p x x s ，，-=∆ 收入效应)()(''11'111m p x m p x x n ，，-=∆ 总效应)()(11'111m p x m p x x ，，-=∆ 2.斯勒茨基方程 s n x x x 111∆+∆=∆；3.变动率把)()('11''111m p x m p x x m，，-=∆定义为负收入效应斯勒茨基方程 m sxx x 111∆-∆=∆同时除以1p ∆，111111p x p x p x m s ∆∆-∆∆=∆∆；由11p x m ∆=∆；11p x m∆=∆ 111111x m x p x p x m s ∆∆-∆∆=∆∆111'11)()(p m p x m p x ∆-=，，总效应 11p x s ∆∆=111''11)()(p m p x m p x ∆-，，；替代效应，价格变动，收入调整到恰好使原先的消费束还能支付的起的需求变动率11x m x m∆∆=1''11''11)()(x mm m p x m p x --，，；价格保持不变，收入做出调整的需求变动率4.预算线的转动和移动转动是预算线的斜率发生变化而购买力保持不变移动是预算下的斜率保持不变，购买力发生变化5.希克斯的替代效应预算线不是绕着初始消费束转动，二是绕着穿过初始消费束的无差异曲线转动希克斯的替代效应是保持效用不变6.完全互补情况下的斯勒茨基分解替代效应为0收入效应就是总效应7.完全替代情况下的斯勒茨基分解收入效应为0，替代效应就是总效应8.拟线性偏好收入效应为0替代效应为总效应9.退税征税，价格由p 上升到t p p +='，消费数量由x 减少到'x 政府收入'')(x p p R -= 最初的预算约束为 m y px =+实行退税计划后的预算约束''')(tx m y x t p +=++()''y x ，在原来的预算约束上消费的起，消费者的效应变坏10.自愿实时定价气温上升实时价格上涨，削减电量，获得回购； 改善了用户的效用情况。
经济学原理 第八章 Slutsky方程
x1 p2
0
x1 p2
0
x1 p2
0
37
变动前价格(p1,p2),变动前组合(x1,x2) 变动价格但保持效用不变后：(q1,q2)和 (y1,y2) X和Y在同一条无差异线上，不能被彼此显示 偏好，即下式不成立：
px 1 1 px 2 2 py 1 1 p 2y 2 qy q qx qx 1 1 2y 2 1 1 2 2
s n s m
x1 x1 x1 p1 p1 p1
s
m
又 p 1 m / x1 x1 x1 x1 x1 p1 p1 m
s m
25
替代效应：
s x x ( p ' ,pm , ' ) x ( p ,pm , ) 1 1 1 2 1 1 2 p p 1 1
19
3、Giffen商品 （1）替代效应与收入效应反向变化 （2）收入效应大于替代效应 （3）不符合需求法则 价格↑→需求量↑
20
§8.3 Slutsky Equation
一、调整货币收入使实际购买力不变 1、初始均衡点：价格为(p1,p2),商品组 合为（x1’，x2’），原来的预算线： m=p1x1’+p2x2’ 价格变化为(p1’,p2)后必须过(x1’,x2’) 点，以保证购买力不变： m’=p1’x1’+p2x2’ 货币收入调整△m= m’-m= x1’ △p1
5
替代效应： (x1’,x2’) →(x1”,x2”)
X 2’
● ●
X 2”
X 1’
X 1”
6
8-斯勒茨基方程
x x1 ( p , m) x1 ( p1 , m )
I 1 ' 1 ' '
14
x2
x21 x23 x22
Ea Ec
Eb
Ib Ia x11
x1 (p1,m) x1 (p1’,m’) x1 (p1’,m)
Ic
x12
x13
x1
15
收入效应
收入效应的符号
注意：收入效应可以在两个方向发生作用，既 可以增加商品1的需求，也可以降低商品1的需 求，取决于商品1是正常商品还是低档商品。 也就是说，收入效应可以为正，也可以为负。
x1 x1
s
n
斯勒茨基（Slutsky）方程（斯勒茨基恒等式）
该方程表明需求的总变动等于替代效应和收入效应的和。
18
需求的总变动
X2 Ia
Ea Ec Ic
Eb Ib
xa
价格变化的 总效应
xc
xb
X1
替代效应 收入效应
19
正常商品的斯勒茨基效应
大部分商品是正常商品，即需求和收入同向变动。 当正常商品价格变化时，替代效应和收入效应相互增强而 导致需求同向变动。 既然当价格下降时替代效应和收入效应都增加商品需求， 正常商品的普通需求曲线向下倾斜。
因此，需求法则对于正常商品总是适用的。
需求法则：如果一种商品的需求随着收入的增加而增加， 那么这种商品的需求一定随着价格的上升而下降。
20
x2
商品1是正常商品，因 为收入增加需求也增加 。因此，收入效应和替 代效应相互加强。
Ea Ec Eb (x13,x23)
x21 x23 x22
《中级微观经济学》教材第08章 斯勒茨基方程
品，那么C点在B点的右边，收入效应
Τ2
为正；如果商品1时低档品，那么C点
′ Τ2
在B点的左边，收入效应为负。因此收
A
B
C
入效应可能为正，也可能为负。
x1
斯勒茨基方程
1.斯勒茨基方程绝对形式
假设消费者收入和商品2的价格2 不变，商品1价格由1 变成1′ 。
斯勒茨基的替代效应为：
∆1 = 1′′ − 1′ = 1 1′ , 2 , ′ − 1 1 , 2 ,
应会使商品1的消费量增加；商品1为劣等品时，收入效应使得对商品1的
消费量减少，当收入效应使得商品1消费减少的量小于替代效应使得商品
1消费增加的量时，价格下降带来的总效应仍为商品1消费量增加，此时
商品1仍然为普通品。
斯勒茨基方程
2.斯勒茨基方程绝对形式：低档品与普通品
x2
(x1’’’,x2’’’)
价格下降，替代效应为正，收入
2′
2′′
1′
1′′
x1
替代效应与收入效应
1.替代效应与收入效应大小
x2
商品1的相对价格下降引起消费者以增加商
Τ2
品1的消费量 1′′ − 1′ 替代商品2的减少量
′Τ
2′′ − 2′ ， 1′′ − 1′ 就叫做替代效应。
2
2′
2′′
1′
1′′
x1
替代效应与收入效应
斯勒茨基方程
1.斯勒茨基方程绝对形式
不管商品是正常品还是低档品，替代效应总是非正的，然而收入
效应的正负不确定。替代效应总是非正的，指的是它的变化与价
格变化相反，价格增加时减少，价格减少时增加。
斯勒茨基方程
2.斯勒茨基方程绝对形式：正常品与普通品
Τ2
为正；如果商品1时低档品，那么C点
′ Τ2
在B点的左边，收入效应为负。因此收
A
B
C
入效应可能为正，也可能为负。
x1
斯勒茨基方程
1.斯勒茨基方程绝对形式
假设消费者收入和商品2的价格2 不变，商品1价格由1 变成1′ 。
斯勒茨基的替代效应为：
∆1 = 1′′ − 1′ = 1 1′ , 2 , ′ − 1 1 , 2 ,
应会使商品1的消费量增加；商品1为劣等品时，收入效应使得对商品1的
消费量减少，当收入效应使得商品1消费减少的量小于替代效应使得商品
1消费增加的量时，价格下降带来的总效应仍为商品1消费量增加，此时
商品1仍然为普通品。
斯勒茨基方程
2.斯勒茨基方程绝对形式：低档品与普通品
x2
(x1’’’,x2’’’)
价格下降，替代效应为正，收入
2′
2′′
1′
1′′
x1
替代效应与收入效应
1.替代效应与收入效应大小
x2
商品1的相对价格下降引起消费者以增加商
Τ2
品1的消费量 1′′ − 1′ 替代商品2的减少量
′Τ
2′′ − 2′ ， 1′′ − 1′ 就叫做替代效应。
2
2′
2′′
1′
1′′
x1
替代效应与收入效应
斯勒茨基方程
1.斯勒茨基方程绝对形式
不管商品是正常品还是低档品，替代效应总是非正的，然而收入
效应的正负不确定。替代效应总是非正的，指的是它的变化与价
格变化相反，价格增加时减少，价格减少时增加。
斯勒茨基方程
2.斯勒茨基方程绝对形式：正常品与普通品
第八章 斯勒茨基方程
收入效应的计算：
继例1：设消费者每天对牛奶的需求函数为
：
x( p, m) m
10 p
m 100, p 4, p 2
第八章 斯勒茨基方程
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斯勒茨基分解
价格变化的总效应：
x1 x1s x1m [x1( p, px) x1( p, m)][x1( p, m) x1( p, px)]
收入效应
在新的相对价格下，购买力变化 ms 所引 起的需求改变量。
——将转动后的预算线 B s向外移动到 B
x1m x1( p, m) x1( p, m ms )
第八章 斯勒茨基方程
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斯勒茨基分解
收入效应 B
m s
Bs B
x1s x1m
第八章 斯勒茨基方程
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斯勒茨基分解
第八章 斯勒茨基方程
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斯勒茨基分解
斯勒茨基方程
斯勒茨基需求函数： x1s ( p, x) x1( p, p1x1 p2 x2 )
函数对 p1求偏导，并在点 p 处取值：
x1s ( p, p1
x)
x1 (
p1, p2 , m) p1
x1
x1 (
p1, p2 , m) m
x1( p, m) p1
第八章
斯勒茨基方程
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上海财经大学 经济学院
斯勒茨基（Slutsky）方程
价格变化
替代效应：由于两种商品交换比率变化而引 起的需求变化。
收入效应：由于货币购买力变化而引起的需 求变化。
第八章 斯勒茨基方程
Slide 2
斯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ茨基分解
slutsky方程
slutsky方程斯拉茨基方程（Slutsky equation）是经济学中的一种重要工具，用于分析需求的变化对价格、数量和收入的影响。
该方程是由瑟奈·斯拉茨基（Eugen Slutsky）于1915年首次提出。
斯拉茨基方程可以表示为：∆x=SE+IE其中，∆x表示需求量的变化，SE表示替代效应，IE表示收入效应。
替代效应可以通过边际替代率（marginal rate of substitution）来度量，边际替代率表示为消费者愿意放弃一种物品来增加另一种物品的程度。
当价格下降时，消费者更倾向于购买价格更低的物品，因此替代效应会导致需求量增加。
收入效应则通过边际效用（marginal utility）来度量，边际效用表示为消费者对一单位物品的额外满足程度。
当价格下降时，消费者的购买力增加，因此收入效应会导致需求量增加。
收入效应在正常商品（normal good）和劣质商品（inferior good）上会产生不同的影响。
斯拉茨基方程的应用范围十分广泛。
首先，它可以用于解释不同价格水平下的需求变化。
通过计算替代效应和收入效应的相对作用，我们可以更好地预测和解释市场行为。
其次，斯拉茨基方程还可以用于分析消费者行为的福利效应。
通过比较需求曲线的变化与边际效用曲线的变化，我们可以判断消费者的总体福利是增加还是减少。
此外，斯拉茨基方程还可以用于分析生产要素的需求弹性（elasticity of factor demand）。
通过将斯拉茨基方程应用于生产要素的市场，我们可以了解生产者对成本变化的反应程度。
总之，斯拉茨基方程是经济学中一种重要的工具，用于分析需求的变化对价格、数量和收入的影响。
通过将需求曲线拆分为替代效应和收入效应，我们可以更好地理解市场行为，预测和解释市场变动，并评估消费者的福利效应和生产要素需求的弹性。
第8章 斯勒茨基方程
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束；实际收入增加了。
x1
实际收入变化
x2
原始的预算约束和消费束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束；实际收入减少了。
x1
纯粹替代效应 （Pure Substitution Effect）
x1
价格变化的效应
由于额外（„extra‟）收入引发的需求量的变 化是价格变动的收入效应。
价格变化的效应
Slutsky揭示出由于价格变化导致的需求变化 是纯粹的替代效应（a pure substitution effect）和收入效应的加总。
实际收入变化
Slutsky 定义如果在新价格体系下，
斯勒茨基把价格变化的效应分解为纯粹替 代效应和收入效应解释了为什么极端的低 档商品违背需求规律。
斯勒茨基方程
1、斯勒茨基等式
（1）绝对量 总效应=替代效应+收入效应
TE=SE+IE
x1 x + x
s 1
n 1
= x1 (p1', m) - x1 (p1 , m) = [x1 (p1', m') - x1 (p1 , m)] + [x1 (p1', m) - x1 (p1 ', m')]
x2’ x2’’
x 1’
x1’’
x1
低档商品（ Income-Inferior Goods） 的斯勒茨基效应
x2
(x1’’’,x2’’’) 纯粹替代效应和正 常商品是一样的， 但是收入效应的方 向相反。商品1是 低档商品，因为收 入增加需求量反而 减少。 x1
x1
实际收入变化
x2
原始的预算约束和消费束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束。
x1
实际收入变化
x2 原始的预算约束和消费束。 新的预算约束；实际收入减少了。
x1
纯粹替代效应 （Pure Substitution Effect）
x1
价格变化的效应
由于额外（„extra‟）收入引发的需求量的变 化是价格变动的收入效应。
价格变化的效应
Slutsky揭示出由于价格变化导致的需求变化 是纯粹的替代效应（a pure substitution effect）和收入效应的加总。
实际收入变化
Slutsky 定义如果在新价格体系下，
斯勒茨基把价格变化的效应分解为纯粹替 代效应和收入效应解释了为什么极端的低 档商品违背需求规律。
斯勒茨基方程
1、斯勒茨基等式
（1）绝对量 总效应=替代效应+收入效应
TE=SE+IE
x1 x + x
s 1
n 1
= x1 (p1', m) - x1 (p1 , m) = [x1 (p1', m') - x1 (p1 , m)] + [x1 (p1', m) - x1 (p1 ', m')]
x2’ x2’’
x 1’
x1’’
x1
低档商品（ Income-Inferior Goods） 的斯勒茨基效应
x2
(x1’’’,x2’’’) 纯粹替代效应和正 常商品是一样的， 但是收入效应的方 向相反。商品1是 低档商品，因为收 入增加需求量反而 减少。 x1
第8章 斯勒茨基方程
B'
B D x1
SE IE
TE
图8-4 完全互不品价格变动效应
2．完全替代品价格变动的SE和IE
效用函数的形式：
x2
无差异曲线
A
Y
税后预算约束
税前预算约束
退税后预算约束
一、替代效应(substitution effect)
1．含义
在保持购买力不变的情况下，仅由于相对价格的变动而导致的消费者需求量的变动量。
2．替代效应的图示：
x2
m/p2
m'/p2
Z
X
Y
x1
C
X Y
B'
TE SE B D
效用函数的形式：
x2
Z
X Y
C
X
B D B' x1
TE＝IE
（8.2）
则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为式（8.1）－式（8.2）：
⊿⊿ （8.3）
（2）计算替代效应
等式（8.8）即为用变化率表示的斯勒茨基方程，其中：
用变化率表示的替代效应为： （8.9）
用变化率表示的收入效应为：=
五、需求法则
如果一种商品的需求随着收入的上升而增加，那么这种商品的需求一定会随着价格的上升而下降。
六、特定偏好情形下的替代效应和收入效应
反映价格变动引起需求量变化率的斯勒茨基方程：
令：⊿＝－⊿
则：⊿⊿⊿
（8.7）
根据等式（8.3）有：，将其代入（8. Nhomakorabea）可得：
（8.8）
IE
8第八章 斯勒茨基方程解读
商品束仍能消费的起）
区别：希克斯分解
m h
x1s
8
补偿预算线：
是用来表示当商品的价格发生变化引起消费者的实际收 入水平发生变化时用假设的货币收入的增减来维持消费者的 实际收入水平不变的一种分析工具。具体来说： 在商品价格下降引起消费者的实际收入水平提高时，假 设可以取走消费者的一部分货币收入，以使消费者的实际收 入下降到只能维持原有的无差异曲线的效用水平这一情况。 在商品价格上升引起消费者实际收入水平下降时，假设 可以对消费者的损失给予一定的货币收入补偿，以使消费者 的实际收入维持原有的水平，则补偿预算线在此就可以用来 表示消费者的货币收入提高到得以维持原有的无差异曲线的 效用水平这一情况。
（1）-（2）得到：
即需要拿走14美元，但仍然可以消费14夸脱牛奶
要保持购买力不变，所需的收入m’为 m’=120-14=106.
但是，尽管（x1，x2）仍然能够支付的起，但是并不是转动后
的预算线上的最佳购买，由于商品1价格下降，商品2的价格相对会
上升，会发生商品的替代，商品1的数量会增加为x1’ ，商品2的数 量会下降为x2
ΔM
x1 ( p , m )
'
'
初始消费束
x1 ( p, m)
x1s
替代效应:当价格变动但是购买力保持不变时，消费者如何用一种商品“替代”其他商品。
货币收入做出多大调整，才能使原先的消费束在预算
线转动后能支付的起？
消费者的购买力保持不变：即（x1，x2）在（p1,p2,m） 和（p1’, p2,m’）都能消费得起。 m’ 是恰好能使原消费
计算斯勒茨基替代效应; （价格下降，拿走一些 收入，使原商品束仍能消费的起）
第8章 Slutsky Equation方程
the sums of the substitution and
(x1’’’,x2’’’)
income effects.
x2’
x2’’
x1’ x1’’
x1
Giffen Goods
In rare cases of extreme incomeinferiority, the income effect may be larger in size than the substitution effect, causing quantity demanded to fall as own-price rises. Such goods are Giffen goods.
x2’
x2’’
x1’ x1’’
x1
Slutsky’s Effects for Income-Inferior
Goods
x2 The pure substitution effect is as for a normal good. But, the income effect is
in the opposite direction. Good 1 is
Now only $y’ are needed to buy the
y'
original bundle at the new prices,
p2
as if the consumer’s income has increased by $y - $y’.
x1
Effects of a Price Change
Since both the substitution and income effects increase demand when own-price falls, a normal good’s ordinary demand curve slopes down. The Law of Downward-Sloping Demand therefore always applies to normal goods.
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X2’
●
X2”’ X2”
● ●
X1’
X1” X1”’
8
四、Slutsky总效应
在收入不变的情况下，价格变动对商品 需求产生的影响
x1 x1( p1 ', p2, m) x1( p1, p2, m)
9
总效应： (x1’,x2’) →(x1’”,x2’”)
X2’
●
X2”’ X2”
● ●
X1’
X1” X1”’
14
X2”’ X2’ X2”
● ●
● SE
IE
X1’ X1”’ X1”
低档品商品的总效应： (x1’,x2’) →(x1’”,x2’”)
TE=SE-IE
15
三、Giffen商品的价格变化效应 在非常特殊的情况下，低档品的收入效应可
能超过替代效应，导致需求量随价格下降而 大幅下降
16
X2”’
则
19
3、Giffen商品 （1）替代效应与收入效应反向变化 （2）收入效应大于替代效应 （3）不符合需求法则 价格↑→需求量↑
20
§8.3 Slutsky Equation
一、调整货币收入使实际购买力不变 1、初始均衡点：价格为(p1,p2),商品组
合为（x1’，x2’），原来的预算线： m=p1x1’+p2x2’ 价格变化为(p1’,p2)后必须过(x1’,x2’) 点，以保证购买力不变： m’=p1’x1’+p2x2’ 货币收入调整△m= m’-m= x1’ △p1
23
二、总变动的符号 1、正常商品的变动符号
x1 x1s x1n
()
() ()如果是正常品
2、低档商品的变动符号
x1 x1s x1n
(?)
() ()如果是低档品
24
三、反映价格变化引起需求量变化率（导数） 的Slutsky方程
定义负收入效应：
x1m x1( p1 ', p2 , m ') x1( p1 ', p2 , m) x1n
X2’ X2”’ X2”
● ●
●
SE
IE
TE=SE+IE
X1’
X1” X1”’
12
需求法则 如果一种商品的需求随收入的增加而增加，
那么这种商品的需求一定会随着价格的上升 而下降
13
二、低档品的价格变化效应 低档品是指当收入增加时其需求量会下降的
商品 低档品的替代效应与收入效应是反向变化的
由于x1 x1s x1n即：x1 x1s -x1m
x1 x1s x1m p1 p1 p1
又p1 m / x1
x1 p1
x1s p1
x1m m
x1
25
替代效应：
x1s x1( p1 ', p2, m ') x1( p1, p2, m)
p1
p1
收入效应：
x1m m
x1
x1( p1 ',
2
一、价格效应、替代效应与收入效应之间 的关系
1、价格效应（总效应） 商品1的价格变化引起该商品需求量的变化 2、替代效应 在保持购买力不变的情况下，由于相对价格发
生变化引起需求变化 3、收入效应 在新的相对价格水平下，由于货币购买力变化
引起需求变化 价格效应=替代效应+收入效应
3
初始预算线
替代效应：(x1’,x2’) →(x1”,x2”) 收入效应：(x1”,x2”) →(x1’”,x2’”)
X2’
●
X1”’ X2”
● ●
最终预算线 补偿预算线
X1’
X1” X1”’
4
二、Slutsky替代效应
当两种商品的相对价格发生变化后，消费者 应该如何调整消费组合使其能够购买以前的 消费组合？
p2 , m ') x1( p1 ', m ' m
p2 , m)
x1
26
四、Slutsky方程的贡献
1、为需求变动的分解提供了精确的方法 2、表明补偿需求总是为负的
27
【例】价格变化对牛奶需求的影响
设每天对牛奶的需求函数为：
x1
(
p,
m)
10
m 10 p1
,
p1
'
2
初始均衡点：价格为(3,p2),商品组合为（14， x2），预算线： m=3×14+p2x2=120
21
2、替代效应为：
x1s x1( p1 ', p2 , m ') x1( p1, p2 , m)
3、收入效应为：
x1n x1( p1 ', p2 , m) x1( p1 ', p2 , m ')
22
Slutsky方程（恒等式）
x1 x1( p1 ', p2, m) x1( p1, p2, m) [x1( p1 ', p2, m ') x1( p1, p2, m)] [x1( p1 ', p2, m) x1( p1 ', p2, m ')] x1s x1n
●
Giffen商品的总效应： (x1’,x2’) →(x1’”,x2’”)
TE=IE-SE
X2’ X2”
●
● SE
X1”’ X1’ X1”
IE
17
四、结论 1、正常商品 （1）替代效应与收入效应同向变化 （2）符合需求法则 价格↓→需求量↑
18
2、低档商品 （1）替代效应与收入效应反向变化 （2）替代效应大于收入效应 （3）总效应取决于替代效应，符合需求法
5
替代效应： (x1’,x2’) →(x1”,x2”)
X2’
●
●
X2”
X1’
X1”
6
三、Slutsky收入效应
保持变动后的价格比率水平，在收入不 变的情况下，对商品需求产生的影响。
收入效应为：
x1n x1( p1 ', m) x1( p1 ', m ')
7
收入效应： (x1”,x2”) →(x1’”,x2’”)
10
§8.2 价格变化效应的符号分析
一、正常商品的价格变化效应 1、替代效应 价格下降，替代效应一定是非负的 价格上升，替代效应一定是非正的 替代效应总是与价格变动方向相反，因此替
代效应为负 2、收入效应 收入效应与替代效应同向变化
11
正常商品的总效应： (x1’,x2’) →(x1’”,x2’”)
第八章 Slutsky方程
利用数学方法对收入效应和替代效应进 行讨论
1
§8.1 价格变化的影响
当消费者的收入不变而商品1的价格发生变 化时，对消费量的影响可以从两个方面理解：
一方面，商品1价格的变化导致商品之间的 相对价格发生变化从而影响消费者对这两种 商品的消费组合（替代效应）；
另一方面，商品2价格的变化使得消费者的 实际收入发生变化，从而导致消费者的消费 组合发生变化（收入效应）
价格变化为(2,p2)后的组合为(16,x2’)，保 证购买力不变的预算：m’=2×14+p2x2