高二数学(人教A版)选修1-1能力拓展提升：1-2-2充要条件习题课

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
能力拓展提升
一、选择题
11．设{a n}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析]若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．
12．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，
∴甲⇒丁且丁⇒/甲，故选B.
13．(2012～2013学年度山东威海市直高中高二期末测试)已知命
题p ：x ≤1，命题q ：1x >1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 由1x >1，得1－x x >0，
∴x (x －1)<0，∴0<x <1.
由x ≤1⇒/ 0<x <1，
由0<x <1⇒x ≤1，故选B.
14．命题甲：“a 、b 、c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b ＝2”，
则甲是乙的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵a ＝b ＝c ＝0，则a 、b 、c 也成等差数列，但推不出a b ＋
c b ＝2；
反过来由a b ＋c b ＝2⇒a ＋c ＝2b ，即a 、b 、c 成等差数列．
综上所述，“a 、b 、c 成等差数列”是“a b ＋c b ＝2”的必要不充
分条件，故选A.
[点评] 要注意区分“A 是B 的充分条件”和“A 是B 的充分非必要条件”，若A ⇒B ，则A 是B 的充分条件，若A ⇒B 且B ⇒/ A ，则A 是B 的充分非必要条件．
二、填空题
15．“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________条件．
[答案] 必要条件
[解析] ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇒b 2－4ac ≥0⇒b 2≥4ac ⇒/ ac <0.
反之，ac <0⇒b 2－4ac >0⇒ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根．
所以“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要条件．
16．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．
[答案] a ≤2 a ≥3
[解析] p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，
若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≥－2a ≤3，∴a ≤2， 若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2a ≥3
，∴a ≥3. 三、解答题
17．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ax<0.
[解析]充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝c
a<0，∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝c
a<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
18．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
[解析]令f(x)＝x2－2mx－1
要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，
∵f(x)的图象开口向上，且f(0)＝－1<0(如图)，
∴m的取值范围是m<0.。