第二轮第17讲 导数应用的题型与方法
导数的应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)★备考知考情由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，故备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，强化导数的工具性的作用．另外，导数常与解析几何、不等式、方程相联系．因此，要加强导数应用的广泛意识，注重数学思想和方法的应用.....一、 知识梳理《名师一号》P41注意：定义域优先原则！！！第一课时 函数的导数与单调性知识点一 函数的导数与单调性的关系一般地，函数()y f x =在某个区间内可导：• 如果恒有()'0f x >，则 ()f x 是增函数。
• 如果恒有()'0f x <，则()f x 是减函数。
•如果恒有()'0f x =，则()f x 是常数。
注意：（补充）求函数单调区间的一般步骤：（1）求函数的定义域--单调区间必定是定义域的子集. （2）求函数的导数 （3）令()'0fx >以及()'0f x <,求自变量x 的取值范围，即函数的单调区间。
单调区间须写成区间！单调性的证明方法：定义法及导数法 单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性 (同增异减)、用已知函数的单调性等单调性的简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反.注意:《名师一号》P40 问题探究问题1、2对于可导函数f(x)，f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件吗？若不是，那其充要条件是什么？f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x ∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.由函数单调性确定参数取值范围的方法是什么？(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．二、例题分析：(一)利用函数单调性确定函数的图象..例1.《名师一号》P42 高频考点例1 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()A B C D由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小，观察图象可知只有B符合．故选B.注意:《名师一号》P42 高频考点例1 规律方法已知y＝f′(x)的图象识别y＝f(x)的图象，关键是理解导函数的图象与函数图象的升降关系，本例中导函数y＝f′(x)的图象先递增后递减，且区间具有对称性，从而可得y＝f(x)图象的斜率变化情况也应该是先递增后递减，并注意图象的对称性，正确的选项就不难得到．注意：（补充）....一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图像就比较陡峭(向上或向下); 反之,函数的图像就平缓一些(二) 求函数的单调区间 例1.(1)周练13-44. 函数5224+-=x x y 的单调递减区间为（ ）A.(]]1,0[,1,-∞-B.[)+∞-,1],0,1[C.[-1，1]D.[)+∞--∞,1),1,(例1.(2)周练13-16设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π， 求函数f (x )的单调区间与极值．16.解: 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：..因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.例1.(3)《名师一号》P43 高频考点 例2已知函数f (x )＝ln x ＋kex (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值． (2)求f (x )的单调区间．解析：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1...(2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0， 从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．例2.（1）（补充）周练13-17设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间.17.解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3， 判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立. ∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增...3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a .f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a .∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减.例2.（2）（补充）周练13-18已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈． (1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；(2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间．18.（1）解：.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当所以曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率为3.e（2）22'()[(2)24].xf x x a x a a e =++-+解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。
好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。
第一·认识导数概念和几何意义1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线()的切线是导数的重要应y f x用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
高中数学导数应用解题技巧
高中数学导数应用解题技巧在高中数学学习中，导数应用是一个重要的考点。
掌握导数应用解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将介绍一些常见的导数应用题型，并详细解析解题思路和方法，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这些题目。
一、函数极值问题函数极值问题是导数应用中的一大重点。
我们可以通过求函数的导数，找到函数的极值点。
以下是一个例子：例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于多项式函数，求导的方法是按照幂次递减，对每一项分别求导。
所以，f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
接下来，我们令f'(x) = 0，解方程可以得到x的值。
解方程6x^2 - 6x - 12 = 0，我们可以化简得到x^2 - x - 2 = 0，然后因式分解得到(x - 2)(x + 1) = 0，解得x = 2或x = -1。
最后，我们将求得的x值代入函数f(x)中，计算出对应的y值。
即f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 3，f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 22。
所以，函数f(x)的极值点为(2, 3)和(-1, 22)。
通过这个例子，我们可以看出，求函数的极值点需要先求导，然后解方程，最后代入函数计算。
这是一个常见的解题思路，掌握了这个思路，我们就能够迅速解决类似的问题。
二、函数图像问题函数图像问题也是导数应用中的一个重要部分。
通过求导，我们可以得到函数的增减性和凹凸性，从而画出函数的图像。
以下是一个例子：例题：画出函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的图像。
解析：首先，我们求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于这个多项式函数，求导的方法和上面的例题一样。
高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题
值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的
y′的符号，若改变符号，则该点为极
值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为
0 的点处取得，但可
得函数的极值点一定导数为 0
3 可导函数的最值可通过 ( a, b) 内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的
极值有时可能在函数不可导的点处取得， 因此， 一般的连续函数还必须和导数不存在的点的
3 5cos 40a sin2
令 f′ (θ )=0, 得 cosθ= 3 根据问题的实际意义，当 cosθ = 3 时，函数取得最小值，
5
5
此时 sinθ = 4 ,∴ cotθ = 3 ,∴ AC=50－ 40co t θ=20(km), 即供水站建在 A、 D 之间距甲厂
5
4
20 km 处，可使水管费用最省 例 3 已知 f (x)=x2+c,且 f［ f(x) ］=f (x2+1)
高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题
高考要求
利用导数求函数的极大 (小 )值，求函数在连续区间［ a,b］上的最大最小值，或利用求导
法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸， 这种解决问题的方法使复杂问题变得简
单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点
本节内容主要是指导考生对这种方法的应用
重难点归纳
1 f(x)在某个区间内可导， 若 f′(x)＞ 0,则 f(x)是增函数； 若 f′ (x)＜ 0,则 f(x)
2 求函数的极值点应先求导，然后令 y′ =0 得出全部导数为 0 的点， (导数为 0 的点不
一定都是极值点，例如
y=x3,当 x=0 时，导数是 0，但非极值点 )，导数为 0 的点是否是极
导数应用的题型与方法
作者：谢立荣
导数应用的题型与方法
一、考试内容
撰写人：谢立荣
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和
最小值。
二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函
数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
函数 f (x) 的极大值是 f (1) 0 ，极小值是 f (1) 4 ．
(3) 函数 g(x) 的图象是由 f (x) 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 4 m 个单位得到的，
所以，函数 f (x) 在区间[3, n m] 上的值域为[4 4m, 16 4m] （ m 0 ）．
而 f (3) 20 ，∴ 4 4m 20 ，即 m 4 ．
3
益阳市箴言中学
4（共 15 页）
文科培优资料
作者：谢立荣
当2 3
x
1时,
f
( x)
0.
f
( x) 极大
f (2)
13
又 f (1) 4, f (x) 在[－3，1]上最大值是
13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 f (x) 3x 2 2ax b, 由①知 2a+b=0。
h0
2h
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2h
lim f (a 3h) f (a) lim f (a) f (a h)
h0
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2h
3 lim f (a 3h) f (a) 1 lim f (a h) f (a)
2 h0
3h
2 h0
2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略课件-专题16-导数的应用(共60张)
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2017版高三二轮复习与策略
[解] (1)因为f(x)＝xx33＋ －33xx－ ＋33aa， ，xx≥ <aa，，
所以f′(x)＝33xx22＋ －33， ，xx≥<aa. ，
2分
由于－1≤x≤1.
①当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x3＋3x－3a.
5．(2013·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．
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2017版高三二轮复习与策略
[解] (1)由题意f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.
2017版高三二轮复习与策略
核
心
知
识
(z
hī
s
hi
)·
专
聚 焦
突破点16 导数的应用
题 限
时
集
热
训
点
题
型
·
探
究
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2017版高三二轮复习与策略
提炼1 导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.
8分
当a>1时，
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2017版高三二轮复习与策略
x 0 (0,1)
1
(1，a)
导数综合应用的做法和步骤技巧全解决篇
做导数大题，分四步来做-1、求定义域2、判定单调性3、求极值4、求最值。
下面是对上面四步进行系统的分析。
1、求定义域，（无论我们做什么类的函数题，第一步必须是求定义域，在定义域内进行求解和讨论，只有在定义域内讨论才有意义）2、函数求导并判断函数的单调性。
方法是令导函数=0 求导用求导公式和求导的运算法则，大家要把求导公式给背熟，这是导数类问题的基础。
划分单调区间，除了导数为零的点，还要注意定义域内的不连续点和不可导点。
比如说不连续点f(x)=(x-2)/(x-1)的平方。
这函数求导之后，1也是一个间断点。
说明一点：在某一区间，导数>0,能推出在此区间内函数为增函数，但是在某区间内函数为增函数，推出的是导数>=0,但是导数不能恒等于0函数单调性的判定：对于大题中，导函数的形式一般有一次函数、二次函数、指数函数和对数函数。
主要拿二次函数来举例子，经常出现的导函数的形式就是二次函数如果定义域为R内。
如果导函数是一次函数，斜率大于零，一定是先减后增，间断点为横轴的截距。
如果含有参数，讨论导函数根在定义域内，和定义域外2种情况来讨论参数。
如果导函数是二次函数，1。
不含参数，直接利用二次函数的单调性质解。
可用数轴标根法。
2、含参数，判定 。
若 0 ，则无极值点，如果二次项系数>0 则增，反之减。
>0，解除出函数的两个根，用数轴标根法（或者画出一次函数的图像），注意要再定义域内来讨论。
如果是指对数函数，根据指对数函数的性质来讨论。
判断函数单调应的应用2点，函数极值判断和零点判断。
函数零点的判断，如果函数在某一区间单调，且在区间的两端函数值异号，那么在这区间里一定存在零点。
3、判断函数的极值点，极值点的判定两个条件：1、导数为零的点，既导数的根2、导函数的根两侧导数值异号。
即先增后减为极大值，先减后增为极小值。
问大家一个问题：导数为零的点一定是极值点？错，导函数的根两侧导数值异号。
可以列表看着直观，也可以不列出来4、由函数的最值，可判断最值。
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第17讲 导数应用的题型与方法一、专题综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f x b a x f x +=+→)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）h h a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）ha f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）hh a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim 2)()3(lim00--+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21)('23)()(l i m213)()3(l i m 232)()(l i m 2)()3(l i m 0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('l i m )()(l i m 0220=⋅=⋅-+=→→a f h ha f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。
解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察1)(-='n n nx x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若)(x f 为偶函数 )()(x f x f =- 令)()()(lim0x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆xx f x x f x x f x x f x f x x ∆+-∆-=∆+--∆+-=-'→∆→∆)()(lim )()(lim )(00)()()(lim 0x f x f x x f x '-=∆--∆--=→∆ ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()(])([x f x x f x f f '-='-⋅+'='-='∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数例4．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。
瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
解：（1）222222)1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y ， 0422|'1=-==x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x xy 在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22t t t S +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t t 4214)1(23242++-=+--= 2726111227291|'3=++-==t S 。
例5． 求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）xx y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y 解：（1）232--='x x y )1)(23(-+=x x )32,(--∞∈x ),1(∞+ 时0>'y )1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32(-↓ （2）221x x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑ （3）221xk y -=∴ ),(k x --∞∈),(∞+k 0>'y ),0()0,(k k x -∈ 0<'y ∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓（4）x x x x y 14142-=-=' 定义域为),0(∞+)21,0(∈x 0<'y ↓ ),21(∞+∈x 0>'y ↑例6．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x（3）x x x x -<-tan sin )2,0(π∈x证：（1）)2()1ln()(2x x x x f --+= 0)0(=f 011111)(2>+-=+-+='x x x x x f ∴ )(x f y =为),0(∞+上↑ ∴ ),0(∞+∈x 0)(>x f 恒成立∴ 2)1ln(2x x x ->+ )1ln()1(2)(2x x x x x g +-+-= 0)0(=g0)1(4211)1(42441)(22222>+=+-+-+-='x x x x x x x x g ∴ )(x g 在),0(∞+上↑ ∴ ),0(∞+∈x 0)1ln()1(22>+-+-x x x x 恒成立（2）原式π2sin >⇔x x 令 x x x f /sin )(= )2,0(π∈x 0cos >x 0tan <-x x ∴ 2)tan (cos )(xx x x x f -=' ∴ )2,0(π∈x 0)(<'x f )2,0(π↓ ππ2)2(=f ∴ πx x 2sin >（3）令x x x x f sin 2tan )(+-= 0)0(=fxx x x x x x f 222cos )sin )(cos cos 1(cos 2sec )(+-=+-=')2,0(π∈x 0)(>'x f ∴ ↑)2,0(π∴ x x x x sin tan ->-例7．利用导数求和：（1）； （2）。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。
转换思维角度，由求导公式1)'(-=n nnxx ，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，；当x ≠1时，∵，两边都是关于x 的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x 的函数，求导得。
令x=1得，即。
例8．设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：)0(121)(>+-='x a x x x f .当0,0>>x a 时 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f .0)42(0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+a a x .即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增.（ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，1）内单调递增，又知函数)(x f 在x=1处连续，因此，函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x . 解得a a x a a x -+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a 内也单调递增.令0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即，解得a a x a a -+-<<---122122. 因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减.例9．已知抛物线42-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。