一元二次方程定义,解法及根的判别式
一元二次方程的解法定理
一元二次方程的解法定理一、引言在数学中，解一元二次方程是一个基础与重要的问题。
为了找到方程的解，我们需要运用一些定理和方法。
本文将介绍一元二次方程的解法定理以及具体的解法方法。
二、一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a≠0。
三、一元二次方程的解法定理一元二次方程的解法定理是指：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可根据判别式Δ=b²-4ac的值来分类。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。
四、一元二次方程的解法方法根据一元二次方程的解法定理，我们可以采取不同的解法方法来求解方程。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，我们可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解。
其中，±代表两个不同的解。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，我们同样可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解，并且由于Δ=0，所以解是重复的。
3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。
此时，我们可以使用公式x=-b/(2a)±(√-Δ/(2a))来求解，其中√-Δ表示二次方程中的虚根。
五、实例分析为了更好地理解一元二次方程的解法定理及解法方法，我们来看一个具体的实例：考虑方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以求解该方程的解。
首先，根据判别式Δ=b²-4ac，我们可以计算Δ=5²-4*2*2=1。
由于Δ>0，所以方程有两个不相等的实根。
接下来，根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，我们可以计算出两个实根：x=(-5+√1)/(2*2)=-3/2和x=(-5-√1)/(2*2)=-1。
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元二次方程定义,解法及根的判别式
一元二次方程定义，解法及根的判别式一． 一元二次方程定义：1．已知关于x 的方程（1）当a 时，方程是一元一次方程；（2）当a 时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时， a = ．2．若方程是关于的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m ≠±l B ．m ≥一l 且m ≠1 C ．m ≥一l D ．m>一1且m ≠13．当m= 时，方程是一元二次方程。
4、若方程mx 2+3x －4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ．二．用适当方法解一元二次方程：1．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）22)3(144)52(81-=-x x9．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ） (4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-(6)、定义新运算“”，规则：，如，。
若的两根为，求（7）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义。
若，求x（8）、设、、都是实数，且满足，；求代数式的值三．一元二次方程根的意义：1、已知是关于的方程的根，则常数的值为2、已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B.5 C.-9 D.93、设是方程的两个实数根，则的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．20094．已知a,b是一元二次方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．5、设a是方程的一个根，求代数式的值．6．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则m4 + m－4 = ．7．已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。
一元二次方程的解法及判别
一元二次方程的解法及判别一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
2.公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
三、一元二次方程的判别式判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。
判别式的公式为：Δ = b^2 - 4ac。
四、判别式的性质与解的情况1.当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
3.当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
五、一元二次方程的解法比较1.因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。
2.公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。
六、一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。
总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。
习题及方法：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。
这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。
根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x1 = 2，x2 = 3。
给定一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0，求解该方程。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元二次方程的解法、根的判别式
九年级数学复习六——一元二次方程的解法、根的判别式一、中考要求：1. 理解一元二次方程的概念，掌握它们的解法；2．掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解决相应问题；3．掌握一元二次方程根与系数的关系；二、知识要点：1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式是 。
（1）从概念分析应具备三个条件：“一元”、“二次”、“整式”方程（2）从形式上看，应先将一个方程进行整理，看是否符合一般形式。
其中尤其注意0a ≠的条件，若不能确定0a ≠时，则需分类讨论：当0a ≠时，它是一元二次方程；当0a =，0b ≠时，它是一元一次方程。
3．一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法。
4．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式△= 。
当△＞0时，方程 实数根；当△=0时，方程 实数根；当△＜0时，方程 实数根。
5．判别式性质的应用（1）不解方程判断方程根的情况；（2）求方程中字母系数的值、范围或者相互关系。
6. 一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .7.一元二次方程常与分式、根式、一元一次不等式(组)、函数等知识相联系，解决综合性问题。
基础练习：1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 6．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根7. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .8．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x 9．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.10．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2= .三、典例剖析：例1．解方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）31022=-x x .（4）22)21(16)3(9x x -=+； （5） 用配方法解方程2x 2+7x +3=0。
一元二次方程概念及解法
一元二次方程一、一元二次方程的概念：1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 补充关于初中常见代数式：2、一元二次方程的一般式：例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.的两根求，，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a xb a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02二、一元二次方程的解法1、基本思想：一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2、常见解法：直接开平方法：模型)0(2≥=p p x因式分解理论基础：（1）提公因式法解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．（2）运用公式完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=-三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442=++x x（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间”模型一： （1）=0 （2）21016x x -+=0； （3）2310x x --=0模型二：(1) 21252x x --=0 (2) 22568x xy y +-=0配方法：0362=+-x x 01242=+-x x公式法：步骤：0322=+-x x 0962=+-x x 0242=+-x x关于四种方法比较3、思想补充：换元思想0913424=+-x x 2(21)4(21)40x x ++++=的值。
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一元二次方程定义，解法及根的判别式
一． 一元二次方程定义：
1．已知关于x 的方程
（1）当a 时，方程是一元一次方程；（2）当a 时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时， a = ．
2．若方程是关于的一元二次方程，则m 的取值范围是（
） A ．m ≠±l B ．m ≥一l 且m ≠1 C ．m ≥一l D ．m>一1且m ≠1
3．当m= 时，方程是一元二次方程。
4、若方程mx 2+3x －4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ．
二．用适当方法解一元二次方程：
1．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：
（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-
（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）22)3(144)52(81-=-x x
9．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：
（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x
(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ） (4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-
(6)、定义新运算“”，规则：，如，。
若
的两根为，求
（7）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义。
若，求x
（8）、设、、都是实数，且满足，；
求代数式的值
三．一元二次方程根的意义：
1、已知是关于的方程的根，则常数的值为
2、已知是方程的两根，且，则的值等
于（）A．－5 B.5 C.-9 D.9
3、设是方程的两个实数根，则的值为（）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
4．已知a,b是一元二次方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．
5、设a是方程的一个根，求代数式的值．
6．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则m4 + m－4 = ．
7．已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ①有两个相等的实数根.
(1)求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。
(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值。
四．根的判别式：
1．关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )
(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2． （变式训练）已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）．
A ．2m ≠
B ．6m ≤且2m ≠
C ．6m <
D ．6m ≤
2、若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
3关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 4、是否存在整数，使得关于的一元二次方程：
的根都是整数?如果有，试求出
的值．
5、已知：关于的一元二次方程
． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
6．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是
7．设m 为整数，且404<<m 时，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根。