流体力学 2-1_静力学

11公里处气压
−
∂p dxdydz + ρ f x dxdydz = 0 ∂x
fx − 1 ∂p =0 ρ ∂x
最后得到：
1 ∂p fx − =0 ρ ∂x
同理
1 ∂p fy − =0 ρ ∂y 1 ∂p fz − =0 ρ ∂z
矢量方程：
r 1 f − ∇p = 0
ρ
静止流体中位置变化
dp =
r dr = (dx, dy, dz )
的压强改变量为：
∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) ∂x ∂y ∂z r r dp = ρ f ⋅ d r
等压面：压强大小相等的表面 dp = 0
等压面：压强大小相等的表面 dp = 0 如果重力是体积力
r f = ( 0, 0, − g )
∂ p dx ∂ p dx ) dydz − ( p + ) dydz + ρ f x dxdydz = 0 ∂x 2 ∂x 2
∑
Fx = ( p −
∂ p dx ∂ p dx ) dydz − ( p + ) dydz + ρ f x dxdydz = 0 ∂x 2 ∂x 2
单位质量流体的体积力
p
p ( x, y, z )
p
第二节
静止流体受力微分方程
z
p− ∂p dx ∂x 2
dz
( x, y, z) M
p+
dy
∂p dx ∂x 2
静止流体内部 M 点压强
dx
x
y
p ( x, y , z )
M (x,y,z) 点领域的微六面体 ( dx,dy,dz ) 内流体受力分析, x 方向：
∑
Fx = ( p −
f z ⋅ dz = 0 ⇒ z = c
静止流体等压面是与重力垂直的水平面
重力作用下静止液体的压强分布
z
p0
h
∇
x
自由面
p
在重力作用下
r f = ( 0, 0, − g )
ρ =c
不可压缩流体
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) = - ρg dz
积分得 边界条件
第二章
流体静力学
静止流体：在观测的空间体积里流体质点的速度处处为零 风平浪静的大海，湖泊，水库， 静止液体容器， 无风大气层 第一节 静止流体表面力（应力）特性
静止流体： 只有压强 （不能承受拉力），没有切应力 （因为流体质点没有相对运动）
τ =µ
∂u =0 ∂y
压强大小与受力的方向无关，只与流体的位置有 关，即，在空间一点处的流体压强，无论来自何方， 大小相同。
例 1 。当地大气压 （水面压强） 解：相对压强
p0 =10 5 pa
计算水面下 2m 处的绝对压强和相对压强。
p g = ρ gh = 1000 × 9.81× 2 = 19620 pa （帕）
绝对压强
p = p g + p0 = 19620 + 100000 = 119620 pa （帕）
2 压强单位： （帕） [ N / m ], pa
∇
p0
h
p
U 型测压管：测大压强 p A
P A ⇒ PB
压强传递
ρ
∇
A
B
p A + ρ gh − ρ p gh p = pB = 0
表压强
h
hp
p A = g ( ρ p h p − ρ h)
ρ p >> ρ
ρp
使得 h p 不很大，在可测的范围
倾斜式微压计：测量微量压强差 ∆p = p1 − p2 = ?
今日作业： 2－3，2－6
§ 2-5 静止大气压强大小 大气的密度随压强和温度变化
ρ = p / RT
大气的温度随海拔高度降低 T = T0 − β z, β = 0.0065 k / m 静止流体压强公式
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) ,
dp = − ρ gdz = −
位置上升 压强减少 位置下降 压强增加 位置上升 压强减少
z1
基准线可任意定
∆p = p A − p B = ρ 2 g ( z 2 − z1 + z 4 − z3 ) − ρ1 g ( z 2 − z3 )
z1 ~ z 4
可测
杯式压差计
pa > p
D
初始液面
烧杯和试管装有水银液体 求：真空度 ∆p = pa − p = ?
液柱高： 76cm 高的水银柱表示一个大气压 如， 10m水柱，5.6m油柱等，均可表示压强大小
静止流体的能量方程：单位重量流体总势能处处相等
p = − ρ gz + c
p ⇒ z+ =c ρg
单位重量流体的位置势能 + 压强势能 = 常数（静水头）
流体压强测量 例：测压计
p g = ρ gh
相对压强（表压强）
Dh
Dh
ρ¢
图2-4 U形管测压计
ρ′
ρ¢
p1 + ρgD h - ρ ¢ D h = p2 g p1 - p2 = gD h( ρ ¢- ρ) = p A - pD
复式压差计测量
pA = p1
pB = p4
∆p = p A − pB
气体
p A − ρ 2 g ( z 2 − z1 ) + ρ1 g ( z 2 − z3 ) − ρ 2 g ( z 4 − z3 ) = p B
p β z ⇒ = 1 − p0 T0
g Rβ
z = 1 − 44308
5.2565
z < 11 km
T0 = 288 K p0 , T0
R = 287 ( N ⋅ m / kg ⋅ K )
为海平面的压强和温度
高空气压值
100 m
p / p0
500 m
p1
l
A0
p2
h
∆h
∇
原始液面
A
θ
h = l sin θ
p1 − p2 = ρ g (h + ∆h)
l
可测
质量守恒
A∆h = A0l ⇒ ∆h =
∴ ∆p = p1 − p2 = ρ g l ( A0 / A + sin θ )
θ
A0 l A
越小
l
越大，测量结果越精确
p1
A
p2
D
ρ
p1
ρ ρ
p2
Dh
p = − ρ gz + c
z = 0, p = p0
⇒
c = p0
自由面气体压强
p = − ρ gz + c
静止液面下 h 处
z = −h
压强为
p = ρ gh + p0
自由面气体压强 + 液面下单位面积液柱 h 的重量。
z
p0
h
∇
x
自由面
p
∇
p
p
p
∇
p
p
p
p
帕斯卡定律（水压机原理）
A2
A1
p
图2-2 帕斯卡原理示意图
p
帕斯卡定律： 静止液体自由面压强可以传递到液体 的任何地方
p = F1 / A1 = F2 / A2
A1 << A2
F2 > > F1
小的作用力可提升大的重物，如，万吨水压机， 汽车千斤顶。
重力作用下，静止液体内部两点压强差
∆p = p2 − p1 = ρ g (h2 − h1 )
∆p = γ ∆h
z
p0
h1
∇
p1
x
位置下降，压强升高， 位置上升，压强减少。
h2
p2
压强的度量（表示法） 绝对压强：以绝对真空为起点的压强值
p
相对压强：以当地大气压 pa 为起点的压强值（表压强）
pg = p - pa
真空度：低于当地大气压的压强值
pv = pa - p
液柱高： 76cm 高的水银柱表示一个大气压 如， 10 m水柱，5.6m 油柱等，均可表示压强大小 在大部分以液体 液体为对象的工程问题中，均采用相对压强。 液体
p
f x = 0, f x = 0, f z = − g
p p gdz = − gdz RT R(T0 − β z )
p T − β z g ⇒ ln = ln 0 p0 R β T0
z dp gdz =∫ − ∫p0 p 0 R(T0 − β z )
p T −β z g ln = ln 0 p0 R β T0
1000 m
2000 m 0.784

4000 m 0.608
6000 m 0.465
8000 m 0.351
10000 m 0.260
0.988 0.942 0.886
z > 11 km
p
同温层 T1 = 216.5 K
ρ=
p RT1
dp g z ∫p0 p = − RT1 ∫0 dz
11000 − z p / p1 = exp 6336
pa = p + ρ汞 g ( h + ∆h)
∆h π D 2 / 4 = h π d 2 / 4
真空度
∆h = h (d / D) 2
d
实际液面