山西省山西大学附属中学2015-2016学年高一数学下学期3月模块诊断考试试题
山西省山西大学附属中学15—16学年上学期高一期中考试数学试题(附答案)
2015-2016学年山西省山西大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷考试时间：90分钟 满分：100分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.化简332)5()4(-+-ππ的结果是（ ）A ．92-πB ．π29-C ．－1D ．1 2．已知集合}1,1{-=M ，11{|24,}2x N x x Z +=<<∈，则M N =（ ）A ．｛－1,1｝B ．｛－1｝C ．｛0｝D ．｛－1,0｝ 3．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>4.已知幂函数()y f x =的图像过点(,则4log (2)f 的值为( )A ．14 B ．14- C ．2 D ．2- 5．若log a 35<1，则a 的取值范围是( )A ．0<a <35B ．a >35且a ≠1C ．35<a <1D ．0<a <35或a >16.函数bx ax f -=)(的图象如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是（ ）.A. 1,0a b ><B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 01,0a b <<<7．函数y =的定义域是 （ ）A. [1,)+∞B. 2(,)3+∞ C. 2[,1]3 D. 2(,1]38． 设R x x f x∈=,)21()(那么)(x f 是（ ）A ．偶函数且在（0，+∞）上是增函数 B.偶函数且在（0，+∞）上是减函数 C ．奇函数且在（0，+∞）上是减函数 D.奇函数且在（0，+∞）上是增函数 9．下列函数中，在)2,0(上为增函数的是A.)1(log 21+=x y B.1log 22-=x y C.xy 1log 2= D.)4(log 22.0x y -= 10. 函数)176(log 221+-=x x y 的值域是A.RB.),8[+∞C.]3,(--∞D.),3[+∞11. 定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)12．对任何x ∈(1，a )，都有( )A ．log a (log a x )<log a x 2<(log a x )2B ．log a (log a x )< (log a x )2< log a x 2C ．log a x 2<log a (log a x )< (log a x )2D ．(log a x )2<log a x 2<log a (log a x ) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.函数()log 12a y x =++(01)a a >≠且恒过定点，其坐标为 ． 14．设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .15．函数x xe 1e 1y -=+的值域是__________. 16.已知0x > 时，函数x a y )8(2-=的值恒大于1，则实数a 的范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分8分）已知2log 3,37b a ==，试用b a ,表示56log 14； 18．（本小题满分10分）求函数523421+⋅-=-x x y 在]2,1[-∈x 的最值．19. （本小题满分10分）已知集合}082|{22≤--=a ax x x A ．（1）当1=a 时，求集合R C A ；（2）若0a >，且A ⊆-)1,1(，求实数a 的取值范围．20. （本小题满分10分）已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且． （1）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由； （2）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合. 21.（本小题满分10分）已知定义域为R 的函数xa x f 212)(+-=是奇函数． (1)求a 的值；(2)若对任意的R x ∈，不等式0)()2(2>-+-x t f x x f 恒成立，求t 的取值范围．山西大学附中2015～2016学年第一学期高一期中考试数学试题参考答案一．选择题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）二. 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．(0，2) 14. 211 15. (-1，1) 16. 3>a 或3-<a 三．解答题17．（每小题4分，满分8分）13++ab ab 18.解：523)2(212+⨯-=x x y -------------------2分 令t x =2 ，421≤≤t ----------------------4分 21)3(21532122+-=+-=t t t y -------------6分 当3=t 时，y 有最小值21，此时3log 2=x ；----8分 当21=t 时，y 有最大值829，此时1-=x -------10分19．解：解：（Ⅰ）当1=a 时，解不等式0822≤--x x ，得42≤≤-x (2)分∴{}|42R C A x x x =><-或 ………………………………………4分（Ⅱ）∵22280x ax a --≤，∴0)2)(4(≤+-a x a x又∵0a > ∴24a x a -≤≤ ∴[]2,4A a a =- ……………………7分又∵()1,1A -⊆ ∴1214aa -≥-⎧⎨≤⎩…………………………………………9分解得21≥a ，故实数a 的取值范围是1[,)2+∞ …………………………………10分20.解：（1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x -=+-- ，若要式子有意义， 则{1010x x +>-> ，即11x -<<.所以所求定义域为{}11x x -<<.设()()()F x f x g x =-，则()()()log (1)log(1)a F x f x g x x x -=---=-+-+[]log (1)log (1)()a a x x F x =-+--=-， 所以()()f x g x -是奇函数。
山西省山西大学附属中学15—16学年上学期高一10月月考数学试题(附答案)
山西大学附中2014~2015学年高一第一学期10月模块诊断数学试题考试时间：90分钟一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ） A.{}1,3B.{}3,7,9C.{}3,5,9D.{}3,92．如果}1|{->=x x A ，那么（ ）A ．A ⊆0B ．A ∈}0{C ． A ∈ΦD ．A ⊆}0{ 3．已知集合}|),{(2x y y x A ==，}|),{(x y y x B ==，则=B A （ ） A ．}1,0{ B ．)}1,1(),0,0{( C ．}1{ D ．)}1,1{( 4．在映射:f A B →中，{}(,)|,A B x y x y R ==∈且:(,)(,)f x y x y x y →-+则A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）A .)3,1(- B. )1,3( C . )1,3(- D .)3,1(5．已知全集R U =，{}|1A x x =<，{}|2B x x =≥，则集合)(B A C U ＝（ ） A.{}|12x x ≤< B.{}|12x x <≤ C.{}|1x x ≥ D.{}|2x x ≤ 6.下列各图中，可表示函数)(x f y =的图象的只可能是（ ）7．若全集R U =， 集合=A {}1|0,|1x x B x x x -⎧⎫<=≥⎨⎬⎩⎭， 则}0|{≤x x 等于( ) A. B A B. B A C. )(B A C U D. )(B A C U8．已知⎩⎨⎧<+≥-=6)2(65)(x x f x x x f ，则)3(f 为（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 9．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 的子集个数为( )A. 2B.4C.6D.8 10.函数()x f y =的定义域是[]2,0 ，则函数1)2(-=x x f y 的定义域是（ ） A. []1,0 B. )1,0[ C.]4,1()1,0[ D. )1,0(11．有下列四个命题：①{}0是空集；②若N a ∈，则a N -∉；③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x Q N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 12．已知1(0)()0(0)x f x x ≥⎧=⎨<⎩ ，则不等式()2xf x x +≤的解集为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．](,1-∞D ． ](,2-∞二．填空题（本大题共4小题，每小题4分,共16分.）13．已知函数02)(x x x f ++=的定义域为14．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，}4,3,1{)(=B A C U ,}7,5{)()(=B C A C U U},2{=B A 则集合=A15．已知全集}5{},2|,12{|},32,3,2{2=-=-+=A C a A a a U u ，则实数a ＝ .16．函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，若)(x f 的定义域为]1,2[-，则实数a的值为 .三．解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明） 17.(本题满分8分)已知函数)(x f 的图象如图所示。
山西省山西大学附属中学2016届高三11月模块诊断数学(理)试题(无答案)
山西大学附中 2015~2016学年第一学期高三（11月）模块诊断 数学（理）试题 考查时间：100分钟 一.选择题（每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的） 1．设集合}log,3{2aP，baQ,，若}0{QP，则QP A.0,3 B.2,0,3 C.1,0,3 D.2,1,0,3 2．已知命题:,sin1,pxRx则p是 A． ,sin1xRx B．,sin1xRx C．,sin1xRx D．,sin1xRx 3. 若－9，1a，2a，－1四个实数成等差数列，－9，1b，2b，3b，－1五个实数成等比数列，则)(122aab＝（ ）. A．8 B．－8 C．±8 D．98 4．已知向量)2,1(a，)2,3(b，若)(bak∥)3(ba，则实数k的取值为 A.31 B.31 C.3 D.3 5．已知函数22)(23xxxf则下列区间必存在零点的是 A. (23,2) B. ()1,23 C. (21,1) D. (0,21) 6．为调查哈市高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其输出的结果是3800，则身高在cm170以下的频率为
A．24.0 B．38.0 C．62.0 D．76.0
7．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A．140种 B．84种 C．70种 D．35种 8.函数|1|||lnxeyx的图象大致是 9. 若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于 A.103cm B.203cm C.303cm D.403cm
10. 已知三个向量)2cos,(Aam，)2cos,(Bbn,)2cos,(Ccp共线，其中CBAcba,,,,,分别是ABC的三条边和三个角，则ABC的形状是
山西省大学附属中学2018_2019学年高二数学下学期3月模块诊断试题理(含解析)
山西大学附中2018-2019学年高二第二学期3月（总第二次）模块诊断数学试题（理）一.选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案写在答题纸上)1.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的求导法则和求导公式分别进行验证后可得正确的结果．【详解】选项A 中，由于，所以A不正确；选项B 中，由于，所以B不正确；选项C 中，由于，所以C正确；选项D 中，由于，所以D不正确．故选C．【点睛】本题考查导数的运算，解题的关键是熟记求导公式和求导法则，属于简单题．2.已知函数的导函数的图象如下图所示，那么函数的图象最有可能的是 ( ) A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论. 解：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A，故选A考点：导数的符号与函数单调性关系点评:本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题3.已知函数，则的增区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，解不等式可得函数的单调增区间．【详解】∵，∴．由，得，解得．∴函数的增区间为．故选B．【点睛】用导数求函数单调区间的步骤：①求出函数的定义域；②求出导函数；③由可得函数的单调增区间；由可得函数的单调减区间．解题时注意导函数的符号和函数单调性间的关系，属于基础题．4.函数有（）A. 极大值5，无极小值B. 极小值，无极大值C. 极大值5，极小值D. 极大值5，极小值【答案】A【解析】试题分析：，所以增区间为，减区间为，所以当时有极大值，无极小值考点：函数导数与极值5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后利用赋值法得到，进而得到的解析式，于是可求得的值．【详解】∵，∴，令得，解得．∴，∴．故选A．【点睛】本题考查导函数和函数值的求法，解题的关键是正确理解的意义，注意是个数，考查理解和应用能力，属于基础题．6.若函数存在极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，若函数存在极值，则导函数有变号零点，由此可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数存在极值，∴有变号零点，又，∴，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】解题时注意导函数的零点和函数极值点的关系，导函数的零点不一定是函数的极值点，在求得导函数的零点后还要进行验证，即判断在零点两侧的导函数的函数值是否改变符号，若符号发生变化则该零点是函数的极值点，否则不是函数的极值点．7.已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，然后再求出的值域，即得到切线斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴，又，∴，即倾斜角的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查导数几何意义及其应用，解题的关键是求出导函数的值域，然后根据斜率与倾斜角的关系得到所求，考查综合运用知识解决问题的能力，属于基础题．8.函数的图象在处的切线方程为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到的值，然后再求出切点坐标，代入切线方程后可求得的值．【详解】∵，∴．由题意得，解得，∴．∴当时，，故切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得，解得．故选B．【点睛】利用导数的几何意义求切线方程时，一是要注意“曲线在点处的切线”和“曲线过点的切线”两种说法的区别；二是解题时要注意切点既在曲线上又在切线上这一条件的应用．考查计算能力，属于基础题．9.定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令而等价于,选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等10.若函数在区间内任取有两个不相等的实数，，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将化为，因为恒成立，所以在区间内单调递增，即在区间内恒成立，即在区间内恒成立，而，所以；故选C.点睛：本题的难点在于如何根据合理构造函数，且判定新函数的单调性，要求在做题中多积累、多总结.11.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可化为，故得．令，，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出所求结论．【详解】由题意，可化为，故得．令，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．设直线与曲线相切于点，不妨取．∵，∴，解得．∴切点为，∴，解得，∴切点到直线的距离，∴的最小值为．故选B．【点睛】解答本题的关键在于读懂题意，将所求转化为点到直线的距离的平方的最小值求解，即转化为两条平行线间的距离求解，体现了转化和数形结合在解题中的应用，具有一定的难度和综合性，考查对导数几何意义的理解和应用．12.已知直线为函数图象的切线，若与函数的图象相切于点，则实数必定满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求得两个函数的导函数，然后分别求出切线的斜率、切线的方程，由直线与两曲线都相切可得，消去消去整理得，且．所以方程有负数解，然后构造函数并结合单调性和零点存在定理可得到所求范围．【详解】由得，所以曲线在点处切线的斜率为，切线的方程为，即．设切线与相切的切点为，由得，故得切线在切点处的切线的斜率为，切线的方程为，即．又直线与两函数的图象都相切，所以，消去整理得，且．即方程有小于零的解．设，则，故单调递增，又，可得．故选D．【点睛】解答本题的关键是根据两曲线的公切线建立起变量的方程，且结合题意得到，进而得到方程有负数解的结论，然后利用导数和零点存在性定理求解．考查转化和计算能力，综合性较强，难度较大．二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题纸上)13.函数的单调减区间是_____________.【答案】【解析】【分析】求出，然后通过解不等式可得单调减区间．【详解】由题意得函数的定义域为R．∵，∴，由，解得．∴函数的单调减区间是．故答案为：．【点睛】本题属于基础题，考查函数单调区间的求法，解题的关键是正确求出导函数和解不等式．14.设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【详解】∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）【点睛】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．15.若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式可得分母不为0，然后列出不等式，又不等式等价于函数和的图象没有交点，结合图象和切线方程可求出的取值范围．【详解】∵函数的定义域为，∴，即．令，则两函数的图象没有公共点．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如下图所示．由得，∴与直线平行且与函数的图象相切的直线的斜率为，∴，此时，∴切点坐标为(0,1)，故在点(0,1)处的切线方程为．结合图象可得，要使两个函数图象没有公共点，则需满足，解得．∴实数的取值范围是．故答案为：【点睛】解答本题的关键是将函数解析式中分母不为零的问题转化为两函数的图象没有公共点的问题求解，然后借助曲线的切线这一临界位置求解，考查转化思想和数形结合思想在解题中的应用，属于基础题．16.设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，若直线过点且与图像相切，求直线的方程．【答案】或【解析】【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据切线过已知点求出切点的坐标，进而得到所求直线的方程．【详解】由，得．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率．∴切线方程，即．∵点在切线上，∴，即，∴，解得或，∴切线方程为或，即或．【点睛】曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系①曲线在点处的切线是指为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线．②曲线过点的切线，是指切线经过点．点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．18.已知函数(1)求函数在上的最大值和最小值．(2)求证：在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.【答案】（1）最小，最大（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最值；（2）由题意，设，求得，利用导数求得函数的单调性和最小值，即作出证明．【详解】解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，当x∈[1，e]时，f′(x)>0，所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.f(x)min＝f(1)＝.(2)设F(x)＝x2＋ln x－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝，当x∈[1，＋∞)时，F′(x)<0，且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)时F(x)<0，所以x2＋ln x<x3，得证．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19.已知函数(1)当时，在上是增函数，求实数的取值范围；(2)当时，在处取得极值，求函数在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得, 满足题意时在区间上横成立，即在区间上横成立，据此可得(2)由题意可得，且=0，据此可得结合导函数的解析式可得在上为减函数，在上增函数，故函数的最大值函数的最小值函数的值域为.试题解析：(1),因为在上是增函数，所以在区间上横成立，即在区间上横成立，令，，在上单调增函数.所以(2) ，因为处取得极值，所以=0，得出,令，在上为减函数，在上增函数，又，函数的最大值函数的最小值所以，函数上的值域为.20.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，求证：函数只有一个零点，且.【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间是，单调递减区间是和当时，. 所以，函数的单调递减区间是当时，，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数的导数，再令，求得解，讨论当时及，列出函数与随的变化情况得到函数的单调区间（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，函数的极小值，极大值，并且极小值与极大值均大于0，又由函数在是减函数，可得至多有一个零点，又由可得函数只有一个零点，且，得到证明试题解析：（Ⅰ）解：的定义域为.令，或当时，，函数与随的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和当时，. 所以，函数的单调递减区间是当时，，函数与随的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和. （Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为.因为，且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点.又因为，所以 函数只有一个零点，且.考点：函数的单调性与导数的关系及函数的零点.21.已知函数有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，证明：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性，结合函数草图可筛选出符合题意的的取值范围；（2）构造函数设，，可利用导数证明∴，∴，于是，即，在上单调递减，可得，进而可得结果.试题解析：（1）【解法一】函数的定义域为：.，①当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当时，令得：，则∴.设，∵，则在上单调递增.又∵，∴时，；时，.因此：（i）当时，，则无零点，不符合题意，舍去.（ii）当时，，∵，∴在区间上有一个零点，∵，设，，∵，∴在上单调递减，则，∴，∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.（1）【解法二】函数的定义域为：.，①当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当时，令得：，则∴.∴要使函数有两个零点，则必有，即，设，∵，则在上单调递增，又∵，∴；当时：∵，∴在区间上有一个零点；设，∵，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴，则，∴在区间上有一个零点，那么，此时恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.（2）【证法一】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设：，则：；设，，则：.当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，在上单调递减，∴，∴.（2）【证法二】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设：，则：；设，，则.当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，在上单调递减，∴，∴.22.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导，.令，求得函数.不等式得证．试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增. （2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.又因为，为的零点，所以，，两式相减得，得.而，所以.令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.。
山西省太原市高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)
山西省太原市2016—2017学年高一数学下学期第一次月考试卷一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若角θ为第四象限角，则+θ是（)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．把﹣表示成θ+2kπ（k∈Z）的形式，且使｜θ｜最小的θ的值是（）A．B．C．D．3．如果角α的终边过点（2sin60°，﹣2cos60°),则sinα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．﹣4．已知cosα≤sinα，则角α的终边落在第一象限内的范围是（）A．（0，] B．［,）C．，k∈Z5．化简的结果为（)A．﹣cos160°B．cos160°C．D．6．若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．07．已知a=tan（﹣），b=cosπ，c=sin（﹣），则a，b，c的大小关系是( ）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c8．A，B，C为△ABC的三个内角，下列关系中不成立的是（）①cos（A+B）=cosC②sin（2A+B+C）=sinA③④tan（A+B)=﹣tanC．A．①②B．②③C．③④D．①④9．若函数f（x）是以π为周期的奇函数，且当时，f（x）=cosx，则=（）A．B．C．D．10．函数的最小正周期为4π，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A．B．C．D．11．设、、，则它们的大小关系为( ）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c12．已知函数，有以下说法：①不论ϕ取何值,函数f（x）的周期都是π；②存在常数ϕ，使得函数f（x)是偶函数；③函数f（x）在区间上是增函数；④若ϕ＜0，函数f（x)的图象可由函数的图象向右平移｜2ϕ｜个单位长度得到．其中正确的说法有（)A．①③B．②③C．②④D．①④二、填空题（本大题共4小题,每题4分，共16分.）13．已知，则= ．14．函数y=3cosx(0≤x≤π）的图象与直线y=﹣3及y轴围成的图形的面积为．15．先把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是．16．给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2;③若α,β是第一象限角且α＜β,则tanα＜tanβ;④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积．18．已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=．(1）求tanα的值;（2）的值．19．已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈(0，2π）,求:（1）+的值；（2）m的值．20．已知函数f（x）=sin（2ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f(x）在上的值域,并求出取最小值时的x值；(2）求f（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=Asin(ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：xy﹣1131﹣113(1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为,当时，方程f （kx)=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．2016-2017学年山西省太原外国语学校高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题3分,共36分。
山西省大学附属中学2021-2022高二数学下学期3月模块诊断试题 理(含解析)
山西大学附中2021-2022高二第二学期3月（总第二次）模块诊断数学试题（理）一.选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案写在答题纸上)1.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的求导法则和求导公式分别进行验证后可得正确的结果．【详解】选项A 中，由于，所以A不正确；选项B 中，由于，所以B不正确；选项C 中，由于，所以C正确；选项D 中，由于，所以D不正确．故选C．【点睛】本题考查导数的运算，解题的关键是熟记求导公式和求导法则，属于简单题．2.已知函数的导函数的图象如下图所示，那么函数的图象最有可能的是 ( ) A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论. 解：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A，故选A考点：导数的符号与函数单调性关系点评:本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题3.已知函数，则的增区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，解不等式可得函数的单调增区间．【详解】∵，∴．由，得，解得．∴函数的增区间为．故选B．【点睛】用导数求函数单调区间的步骤：①求出函数的定义域；②求出导函数；③由可得函数的单调增区间；由可得函数的单调减区间．解题时注意导函数的符号和函数单调性间的关系，属于基础题．4.函数有（）A. 极大值5，无极小值B. 极小值，无极大值C. 极大值5，极小值D. 极大值5，极小值【答案】A【解析】试题分析：，所以增区间为，减区间为，所以当时有极大值，无极小值考点：函数导数与极值5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后利用赋值法得到，进而得到的解析式，于是可求得的值．【详解】∵，∴，令得，解得．∴，∴．故选A．【点睛】本题考查导函数和函数值的求法，解题的关键是正确理解的意义，注意是个数，考查理解和应用能力，属于基础题．6.若函数存在极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，若函数存在极值，则导函数有变号零点，由此可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数存在极值，∴有变号零点，又，∴，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】解题时注意导函数的零点和函数极值点的关系，导函数的零点不一定是函数的极值点，在求得导函数的零点后还要进行验证，即判断在零点两侧的导函数的函数值是否改变符号，若符号发生变化则该零点是函数的极值点，否则不是函数的极值点．7.已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，然后再求出的值域，即得到切线斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴，又，∴，即倾斜角的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查导数几何意义及其应用，解题的关键是求出导函数的值域，然后根据斜率与倾斜角的关系得到所求，考查综合运用知识解决问题的能力，属于基础题．8.函数的图象在处的切线方程为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到的值，然后再求出切点坐标，代入切线方程后可求得的值．【详解】∵，∴．由题意得，解得，∴．∴当时，，故切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得，解得．故选B．【点睛】利用导数的几何意义求切线方程时，一是要注意“曲线在点处的切线”和“曲线过点的切线”两种说法的区别；二是解题时要注意切点既在曲线上又在切线上这一条件的应用．考查计算能力，属于基础题．9.定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令而等价于,选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等10.若函数在区间内任取有两个不相等的实数，，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将化为，因为恒成立，所以在区间内单调递增，即在区间内恒成立，即在区间内恒成立，而，所以；故选C.点睛：本题的难点在于如何根据合理构造函数，且判定新函数的单调性，要求在做题中多积累、多总结.11.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可化为，故得．令，，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出所求结论．【详解】由题意，可化为，故得．令，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．设直线与曲线相切于点，不妨取．∵，∴，解得．∴切点为，∴，解得，∴切点到直线的距离，∴的最小值为．故选B．【点睛】解答本题的关键在于读懂题意，将所求转化为点到直线的距离的平方的最小值求解，即转化为两条平行线间的距离求解，体现了转化和数形结合在解题中的应用，具有一定的难度和综合性，考查对导数几何意义的理解和应用．12.已知直线为函数图象的切线，若与函数的图象相切于点，则实数必定满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求得两个函数的导函数，然后分别求出切线的斜率、切线的方程，由直线与两曲线都相切可得，消去消去整理得，且．所以方程有负数解，然后构造函数并结合单调性和零点存在定理可得到所求范围．【详解】由得，所以曲线在点处切线的斜率为，切线的方程为，即．设切线与相切的切点为，由得，故得切线在切点处的切线的斜率为，切线的方程为，即．又直线与两函数的图象都相切，所以，消去整理得，且．即方程有小于零的解．设，则，故单调递增，又，可得．故选D．【点睛】解答本题的关键是根据两曲线的公切线建立起变量的方程，且结合题意得到，进而得到方程有负数解的结论，然后利用导数和零点存在性定理求解．考查转化和计算能力，综合性较强，难度较大．二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题纸上)13.函数的单调减区间是_____________.【答案】【解析】【分析】求出，然后通过解不等式可得单调减区间．【详解】由题意得函数的定义域为R．∵，∴，由，解得．∴函数的单调减区间是．故答案为：．【点睛】本题属于基础题，考查函数单调区间的求法，解题的关键是正确求出导函数和解不等式．14.设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【详解】∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）【点睛】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．15.若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式可得分母不为0，然后列出不等式，又不等式等价于函数和的图象没有交点，结合图象和切线方程可求出的取值范围．【详解】∵函数的定义域为，∴，即．令，则两函数的图象没有公共点．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如下图所示．由得，∴与直线平行且与函数的图象相切的直线的斜率为，∴，此时，∴切点坐标为(0,1)，故在点(0,1)处的切线方程为．结合图象可得，要使两个函数图象没有公共点，则需满足，解得．∴实数的取值范围是．故答案为：【点睛】解答本题的关键是将函数解析式中分母不为零的问题转化为两函数的图象没有公共点的问题求解，然后借助曲线的切线这一临界位置求解，考查转化思想和数形结合思想在解题中的应用，属于基础题．16.设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，若直线过点且与图像相切，求直线的方程．【答案】或【解析】【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据切线过已知点求出切点的坐标，进而得到所求直线的方程．【详解】由，得．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率．∴切线方程，即．∵点在切线上，∴，即，∴，解得或，∴切线方程为或，即或．【点睛】曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系①曲线在点处的切线是指为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线．②曲线过点的切线，是指切线经过点．点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．18.已知函数(1)求函数在上的最大值和最小值．(2)求证：在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.【答案】（1）最小，最大（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最值；（2）由题意，设，求得，利用导数求得函数的单调性和最小值，即作出证明．【详解】解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，当x∈[1，e]时，f′(x)>0，所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.f(x)min＝f(1)＝.(2)设F(x)＝x2＋ln x－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝，当x∈[1，＋∞)时，F′(x)<0，且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)时F(x)<0，所以x2＋ln x<x3，得证．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19.已知函数(1)当时，在上是增函数，求实数的取值范围；(2)当时，在处取得极值，求函数在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得, 满足题意时在区间上横成立，即在区间上横成立，据此可得(2)由题意可得，且=0，据此可得结合导函数的解析式可得在上为减函数，在上增函数，故函数的最大值函数的最小值函数的值域为.试题解析：(1),因为在上是增函数，所以在区间上横成立，即在区间上横成立，令，，在上单调增函数.所以(2) ，因为处取得极值，所以=0，得出,令，在上为减函数，在上增函数，又，函数的最大值函数的最小值所以，函数上的值域为.20.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，求证：函数只有一个零点，且.【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间是，单调递减区间是和当时，. 所以，函数的单调递减区间是当时，，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数的导数，再令，求得解，讨论当时及，列出函数与随的变化情况得到函数的单调区间（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，函数的极小值，极大值，并且极小值与极大值均大于0，又由函数在是减函数，可得至多有一个零点，又由可得函数只有一个零点，且，得到证明试题解析：（Ⅰ）解：的定义域为.令，或当时，，函数与随的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和当时，. 所以，函数的单调递减区间是当时，，函数与随的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为. 因为，且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点. 又因为，所以函数只有一个零点，且.考点：函数的单调性与导数的关系及函数的零点.21.已知函数有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，证明：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性，结合函数草图可筛选出符合题意的的取值范围；（2）构造函数设，，可利用导数证明∴，∴，于是，即，在上单调递减，可得，进而可得结果.试题解析：（1）【解法一】函数的定义域为：.，①当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当时，令得：，则+ 0 -增极大减∴.设，∵，则在上单调递增.又∵，∴时，；时，.因此：（i）当时，，则无零点，不符合题意，舍去.（ii）当时，，∵，∴在区间上有一个零点，∵，设，，∵，∴在上单调递减，则，∴，∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.（1）【解法二】函数的定义域为：.，①当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当时，令得：，则+ 0 -增极大减∴.∴要使函数有两个零点，则必有，即，设，∵，则在上单调递增，又∵，∴；当时：∵，∴在区间上有一个零点；设，∵，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴，则，∴在区间上有一个零点，那么，此时恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.（2）【证法一】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设：，则：；设，，则：.当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，在上单调递减，∴，∴.（2）【证法二】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设：，则：；设，，则.当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，在上单调递减，∴，∴.22.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导，.令，求得函数.不等式得证．试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增. （2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.又因为，为的零点，所以，，两式相减得，得.而，所以.令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.。
【解析】山西山大附中2015-2016学年高一上学期10月月考数学试卷Word版含解析
2015-2016学年山西山大附中高一（上）10月月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=( )A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．如果A={x|x＞﹣1}，那么( )A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A3．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B=( )A．{0，1} B．{（0，0），（1，1）} C．{1} D．{（1，1）}4．在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为( )A．（﹣3，1）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）5．已知全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=( )A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|x≥1} D．{x|x≤2}6．下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是( )A．B．C．D．7．已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于( )A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）8．已知f（x）=，则f（﹣3）为( )A．2 B．3 C．4 D．59．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中的子集个数为( ) A．2 B．4 C．8 D．1610．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是( ) A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）11．下面给出四个论断：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；④集合是有限集．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．312．已知f（x）=，则不等式xf（x）+x≤2的解集为( )A．[0，1]B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．已知函数的定义域为__________．14．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，（∁U A）∩B={1，3，4}，（∁U A）∩（∁U B）={5，7}，A∩B={2}，则集合A=__________．15．设全集U={2，3，a2+2a﹣3}，A={|2a﹣1|，2}，∁U A={5}，则a=__________．16．函数f（x）=的定义域为[﹣2，1]，则a的值为__________．三．解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明）17．已知函数f（x）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的定义域和值域．18．解下列不等式：（1）（2）|x﹣1|+|2x﹣1|＜3．19．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，，U=R，求A∩B，A∪B，A∩（C U B）．20．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣2x+a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B=R，求实数a的取值范围．21．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，（Ⅰ）若B={2}，求实数a的值；（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西山大附中高一（上）10月月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=( )A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}【考点】补集及其运算．【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．【点评】集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．如果A={x|x＞﹣1}，那么( )A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】探究型．【分析】利用元素和集合A的关系，以及集合Φ，{0}中元素与集合A的元素关系进行判断．【解答】解：A.0为元素，而A={x|x＞﹣1}，为集合，元素与集合应为属于关系，∴A错误．B．{0}为集合，集合和集合之间应是包含关系，∴B错误．C．∅为集合，集合和集合之间应是包含关系，∴C错误．D．{0}为集合，且0∈A，∴{0}⊆A成立．故选D．【点评】本题考查了元素和集合以及集合与集合之间的关系．元素与集合之间应使用“∈，∉”，而集合和集合之间应使用包含号．3．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B=( )A．{0，1} B．{（0，0），（1，1）} C．{1} D．{（1，1）}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A与B的交集．【解答】解：联立A与B中的方程得：，消去y得：x2=x，即x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入得：y=0；把x=1代入得：y=1，∴方程组的解为，，则A∩B={（0，0），（1，1）}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为( )A．（﹣3，1）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）【考点】映射．【专题】计算题．【分析】根据已知中映射f：A→B的对应法则，f：（x，y）→（x﹣y，x+y），将A中元素（﹣1，2）代入对应法则，即可得到答案．【解答】解：由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）即（﹣3，1）故选A【点评】本题考查的知识点是映射的概念，属基础题型，熟练掌握映射的定义，是解答本题的关键．5．已知全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=( )A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|x≥1} D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出A与B的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x＜1或x≥2}，则∁U（A∪B）={x|1≤x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是( )A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：A．图象中存在，一个x有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性，不是函数图象．B．图象中存在，一个x有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性，不是函数图象．C．图象中存在，一个x有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性，不是函数图象．D．图象中满足函数对应的唯一性，是函数图象．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的判断，利用函数的定义是解决本题的关键．7．已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于( )A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．故选D．【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．8．已知f（x）=，则f（﹣3）为( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中f（x）=，将x=﹣3代入递推可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=f（﹣1）=f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值，难度不大，属于基础题．9．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中的子集个数为( ) A．2 B．4 C．8 D．16【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集，找出交集的子集个数即可．【解答】解：∵A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，∴A∩B={8，14}，则集合A∩B中的子集个数为22=4，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是( )A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．11．下面给出四个论断：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；④集合是有限集．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【专题】计算题；集合．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：：①{0}中有元素0，不是空集，不正确；②若a∈N，则﹣a∉N，不正确；③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有1个元素1，不正确；④集合是无限集，不正确．故选：A．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查了自然数集的表示及集合中元素的性质，集合中元素性质：无序性、确定性、互异性．12．已知f（x）=，则不等式xf（x）+x≤2的解集为( )A．[0，1]B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】分类讨论，分x≥0、x＜0时解答，最后求并集即可．【解答】解：x≥0时，f（x）=1，不等式xf（x）+x≤2可化为2x≤2解得x≤1，∴0≤x≤1；当x＜0时，f（x）=0，不等式xf（x）+x≤2可化为x≤2，∴x＜0．综上可得x≤1．故选：D【点评】本题考查分类讨论法解不等式，属基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．已知函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠0}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则x≥﹣2且x≠0，故函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠0}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠0}【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．14．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，（∁U A）∩B={1，3，4}，（∁U A）∩（∁U B）={5，7}，A∩B={2}，则集合A={2，6，8}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】根据集合之间的基本运算关系，求出集合B，即可求出∁U A与A．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，（∁U A）∩B={1，3，4}，∴{1，3，4}⊆B，且{1，3，4}⊆（∁U A）；∵（∁U A）∩（∁U B）={5，7}，∴{5，7}⊆∁U A，且{5，7}⊆∁U B；又A∩B={2}，∴{2}⊆A，且{2}⊆B；∴B={1，2，3，4}；∴∁U A={1，3，4，5，7}；∴A={2，6，8}．故答案为：{2，6，8}．【点评】本题考查了交集、并集、补集的概念与运算问题，是基础题目．15．设全集U={2，3，a2+2a﹣3}，A={|2a﹣1|，2}，∁U A={5}，则a=2．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题．【分析】由题意得5在全集中，故a2+2a﹣3=5，|2a﹣1|在全集中，且不是2和5，故|2a﹣1|=3．【解答】解：由题意得|2a﹣1|=3，且a2+2a﹣3=5，解得a=2，故答案为2．【点评】本题考查交集、补集、并集的定义和运算，一元二次方程的解法．16．函数f（x）=的定义域为[﹣2，1]，则a的值为2．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的定义知（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是[﹣2，1]，结合一元二次方程根与系数的关系，求出a的值．【解答】解：由二次根式的定义，得（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是[﹣2，1]，∴（1﹣a2）＜0，且﹣2和1是方程（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6=0 的2个根；∴﹣2+1=①，﹣2×1=②；解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应注意转化思想，把求函数的定义域转化为一元二次不等式的解集问题，是基础题．三．解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明）17．已知函数f（x）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）使用待定系数法解出；（2）根据图象最左边到最右边的横坐标范围及定义域，最下边到最上边的纵坐标即为值域，去除取不到的点即可．【解答】解：（1）当﹣1≤x＜0时，设f（x）=ax+b，则，解得a=1，b=1，∴f（x）=x+1；当0≤x≤1时，设f（x）=kx，则k=﹣1，∴f（x）=﹣x，∴f（x）的解析式为f（x）=（2）定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣1，1）【点评】本题考查了分段函数的解析式与图象，确定x在各段上的取值范围是关键，属于基础题．18．解下列不等式：（1）（2）|x﹣1|+|2x﹣1|＜3．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分别分类讨论，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1），∴或，∴x≥2，或﹣2≤x＜2，∴原不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥2}；（2）当x≥1时，x﹣1+2x﹣1＜3，解得x＜，即1≤x＜，当≤x＜1时，1﹣x+2x﹣1＜3，解得x＜3，即≤x＜1，当x＜时，1﹣x+1﹣2x＜3，解得x＞﹣，即﹣＜x，综上所述，不等式的解集为．【点评】本题考查了不等式的解法，关键是分类讨论，属于基础题．19．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，，U=R，求A∩B，A∪B，A∩（C U B）．【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】综合题；集合思想；定义法；不等式的解法及应用；集合．【分析】找出两集合中解集的公共部分，求出两集合的交集；找出既属于A又属于B的部分，求出两集合的并集；找出全集中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3），∵≤0，∴x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）≤0，且x=1，x=2，利用穿根法，如图所示，∴0≤x＜1，2＜x≤4，∴B=[0，1）∪（2，4]，∴C U B=（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），∴A∩B=[0，1）∪（2，3），A∪B=（﹣1，4]，A∩（C U B）=（﹣1，0）∪[1，2]．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．20．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣2x+a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B=R，求实数a的取值范围．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】求解一元二次不等式得到A，利用配方法求函数的值域得到B，然后根据A∪B=R 得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣8≥0，得x≤﹣2或x≥4，∴A=（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），∵x∈[0，4]，∴g（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1的最小值为a﹣1，最大值为a+8．∴B=[a﹣1，a+8]，由A∪B=R，∴，解得﹣4≤a≤﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣4，﹣1]．【点评】本题考查了函数的定义域及值域的求法，考查了并集及其运算，是基础题．21．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，（Ⅰ）若B={2}，求实数a的值；（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】函数的零点；并集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．可得A={1，2}．（Ⅰ）由B={2}，可得，解得即可．（Ⅱ）由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，则△=0，解得即可．若B={1，2}，可得，此方程组无解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．∴A={1，2}．（Ⅰ）∵B={2}，∴解得a=﹣3．（Ⅱ）∵A∪B=A，∴B⊆A．1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜﹣3．2°若B={1}或{2}，则△=0，解得a=﹣3，此时B={2}，符合题意．3°若B={1，2}，∴，此方程组无解．综上：a≤﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．。
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高一下学期5月模块诊断数学试题
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高一下学期5月模块诊断数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．函数sin 2y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．cos20cos10sin160sin10︒︒-︒︒=（ ）A ．BC ．12-D ．123．已知tan ()23πα-=-，且，则cos ()3sin ()cos ()9sin απαπαα-++-+的值为（ ） A ．15- B ．37-C ．15D ．374．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．)a a /b /-(D ．()a a b ⊥-5．已知向量()34OA =-，，()15O B A O +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）A ．BC ．25-D ．256．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为A ．12B ．23C ．13D ．17．已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为（ ） A．3B ．13C ．13-D．3-8．若2sin 3sin 3παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan α=（ ） A．BC． D9．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ） A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ 10．如图，扇形中，1,90OA AOB =∠=，M 是OB 中点，p 是弧AB 上的动点，N 是线段OA 上的动点，则PM PN ⋅的最小值为A ．0 B．12C．32- D．12-11．已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭12．已知1sin,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．3413．己知非零向量a ，b 满足223a b a b a +=+=，则a ，b 的夹角为______．14．在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.15．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,,A B C 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，若22||||3AB BC π==，则m ω+= _____ 16．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）. 17．已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，0βαπ<<<. （1）若2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设c (0,1)=，若a b c +=，求α，β的值.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，BOP θ∠=，POQ α∠=.（1）若点P 的横坐标为45，点Q 的纵坐标为12，求cos α的值；（2）若3πα=，设()fAQ BP θ=⋅，求函数()y f θ=的值域.19．已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 夹角为34π，且1m n ⋅=-. （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()1,0q =的夹角为2π，向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,,A B C 为ABC 的内角，且2B A C =+.求n p +的取值范围.20．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，若先把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）设函数2()()2cos 1()x ag x x a R ϕ=-+∈，试判断()ϕx 在(0,2)π内的零点个数.参考答案1．A 【解析】 【分析】将函数解析式化简，利用定义可判断出该函数的奇偶性. 【详解】 设()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，该函数的定义域为R ，且定义域关于原点对称， ()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，因此，函数sin 2y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数. 故选：A. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】首先由诱导公式可得sin160°=sin20°，再由两角和的余弦公式即可求值. 【详解】cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°=B ． 【点睛】本题考查了诱导公式和两角和的余弦公式，直接运用公式即可得到选项，属于较易题. 3．A 【解析】 试题分析：tan ()tan 23παα-=-=-,所以tan 23α=，)3sin ()cos ()9sin cos 3sin παπααααααα++-+=--+=-考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系. 4．D 【解析】 【分析】根据平面向量加法、减法的坐标运算和向量平行与垂直的坐标表示逐一判断选项，得到答案. 【详解】对A ，由1(1)(2)30⨯---⨯≠，故a 与b 不平行，A 错误； 对B ，由13(2)(1)0⨯+-⨯-≠，故a 与b 不垂直，B 错误；对C ，由()a b -(2,1)=--，则1(1)(2)(2)0⨯---⨯-≠，故a 与()a b -不平行，C 错误； 对D ，由1(2)(2)(1)0⨯-+-⨯-=，则()a a b ⊥-，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量加法、减法的坐标运算和向量平行与垂直的坐标表示，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】先求出OB ，再由向量OA 在向量OB 上的投影为||OA OB OB ⋅计算得到.【详解】由向量()34OA =-，，()15O B A O +=-，，得(2,1)OB =，则向量OA 在向量OB 上的投影为||OA OB OB ⋅==. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量投影的理解与计算，属于基础题. 6．D 【解析】选取,AB AD 为基底将向量AF 进行分解，然后与条件对照后得到λμ-的值． 【详解】选取,AB AD 为基底， 则13AF AD DF AB AD =+=+， 又()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将以上两式比较系数可得1λμ-=． 故选D ． 【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性． 7．B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.8．A 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角的正弦，将2sin 3sin 3παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin 1αϕ-=，其中sinϕ=，cos ϕ=，则有22k παπϕ=++，然后求解sin ,cos αα即可.【详解】因为2sin 3sin 3παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以12sin 3sin 2ααα⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭即2sin αα=αα⎫=⎪⎪⎭()sin 1αϕ-=，其中sinϕ=，cos ϕ=，22k παϕπ∴-=+，k ∈Z ，22k παπϕ∴=++，k ∈Z ，sin sin 2sin cos22k ππαπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos 2cos sin 22k ππαπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3α∴=-. 故选：A 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 9．C 【解析】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得1a =-舍去(1，则sin cos 10θθ=<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 10θθ+=<而sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C.点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得1a =-即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B. 10．D 【解析】建立如图所示平面直角坐标系，设1(cos ,sin ),(0,),(,0)2P t t M N m ，则1(cos ,sin ),(cos ,sin )2PM t t PN m t t =--=--，故11(sin cos )2PM PN t m t ⋅=-+，因为01m ≤≤，所以111(sin cos )1(sin cos )22PM PN t m t t t ⋅=-+≥-+；又因为11(sin cos )1)1)(tan 2)22t t t t ϕϕϕ-+=-+=-+=，所以11(sin cos )1)12t t t ϕ-+=+≥（当且仅当sin()1t ϕ+=取等号），应选答案D ．点睛：本题解答过程中，充分借助题设条件，巧妙建立平面直角坐标系，通过向量的坐标形式建立双变量的目标函数，然后借助01m ≤≤，所以111(sin cos )1(sin cos )22PM PN t m t t t ⋅=-+≥-+，再借助三角形变换公式求得其最小值为11(sin cos )1sin()1222t t t ϕ-+=-+≥-． 11．A 【解析】 【分析】根据对称性以及等价转换的思想，可得cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，然后利用数形结合，可得结果. 【详解】 由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，审清题干，耐心计算，属难题.12．D 【解析】 【分析】求出函数()4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()04f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，4,k x k Z ππω+=∈， 根据不等式42,k k Z ππππω+<<∈求解，即可得到可能的取值.【详解】 由题：1sin,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω， 111()sin sin sin 22222f x a b x x x ωωω=⋅-=+- 1cos 11sin 222x x ωω-=+-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令()024f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，,4x k k Z πωπ-=∈，4,k x k Z ππω+=∈若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点， 则42,k k Z ππππω+<<∈有解，解得：11,284k k k Z ω+<<+∈ 当110,84k ω=<<当551,84k ω=<<当992,84k ω=<<结合四个选项可以分析，实数ω的取值可能是34. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数零点求参数的取值范围，需要熟练掌握三角函数的图像性质，求出函数零点再讨论其所在区间列不等式求解. 13．23π 【解析】 【分析】对2a b a 2b +=+的两边平方即可得出22a b =，即得出a b =，然后对a 2b 3a +=的两边平方可得出2222a 4a cos a,b 4a 3a ++=，而a 0≠，从而可求出cos a,b 的值，这样即可求出a,b 的夹角． 【详解】由题意，知2a b a 2b +=+，即22(2a b)(a 2b)+=+，即22224a 4a b b a 4a b 4b +⋅+=+⋅+； 解得22a b =，所以a b =；又a 2b 3a +=，22(a 2b)3a ∴+=，222a 4a b 4b 3a ∴+⋅+=， 所以2222a 4a cos a,b 4a 3a ++=，又a 0≠；14cos a,b 43∴++=；1cos a,b 2∴=-， 又0a,b π≤≤，2πa,b 3∴=．故答案为2π3． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，以及向量的夹角的求法，其中解答中熟练应用平面向量的数量积的运算公式，合理准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14．311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.15．3 【解析】 【分析】画出示意图，分析可得||AC ，即求得()f x 的周期，从而求得ω，再根据,A B 两点处函数值相等及,A B 两点横坐标的关系，求得A 点处的函数值，得到m 的值，求得答案. 【详解】作出示意图如图所示：由22||||3AB BC π==，则||3AB π=，则||AC π=，故()f x 的周期2T ππω==， 得2ω=，即()2sin(2)f x x ϕ=+，且122sin(2)2sin(2)x x ϕϕ+=+，可得12(2)(2)x x ϕϕπ+++=，且213x x π-=，得126x πϕ+=,则2sin6m π=，得1m =，则3m ω+=.故答案为：3 【点睛】本题考查了正弦型函数图象的应用，属于中档题. 16．②④ 【解析】 【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案. 【详解】3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩根据图像知：①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，正确 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭，错误 ④()f x 的最大值为12，正确 故答案为②④ 【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用. 17．（1）见解析（2）56πα=，6πβ=. 【解析】 【分析】 【详解】由题意，2||2a b -=，即a （-2b =）222?2a a b b -+=，又因为1a b ==，∴22?2a b -=，即a b 0=，∴a b ⊥（2）a +b (cos cos ,sin sin )(0,1)αβαβ=++=，∴cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由此得 cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<，又0απ<<，故απβ=-，代入sin sin 1αβ+=得1sin sin 2αβ==，而αβ>，∴56πα=，6πβ=. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.18．（1（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据单位圆与三角函数的定义得出角θ、角αθ+的三角函数值，然后利用和差角公式求解；（2）利用含θ的式子表示出AQ 和BP ，得到()f AQ BP θ=⋅的解析式，再利用三角函数的图象性质求值域. 【详解】（1）根据题意：3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()sin sin αθθ+<，故,2παθπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，()cos αθ+=故()()()cos cos cos cos sin sin ααθθαθθαθθ=+-=+++=. （2）1OP OQ PQ ===，故3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()10B ,，()1,0A -，故()cos 1,sin cos 1,sin 33AQ BP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1cos 1cos 1sin sin sin 3362πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5,666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin 0,622πθ⎛⎫⎡⎤+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查单位圆与任意角三角函数的定义，考查三角恒等变换与三角函数图象性质、向量等的综合运用问题，难度一般.解答时，注意将题目条件转化，灵活运用恒等变换公式、向量数量积公式求解即可.19．（1）()1,0n =-或()0,1n =-；（2）,22⎫⎪⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）设(),n x y =，根据数量积的坐标运算，夹角公式，列出关于,x y 的关系式，求出,x y ，得到同量n ；（2）先由向量n 与向量()1,0q =的夹角为2π，确定n ，由22()n p n p ++=，化入化简，利用三角恒等变形，化简化正余弦型函数求取值范围，得到答案. 【详解】（1）设(),n x y =，由1m n ⋅=-，可得1x y +=-，①n 与向量m 夹角为34π，有3cos 4m m n n π⋅=⋅⋅，1n ∴=，则221x y +=，②由①②解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，即()1,0n =-或()0,1n =-；（2）由n 与q 垂直知，()0,1n =-，由2B A C =+ ， 知22,,0333B AC A πππ=+=<<， 若()0,1n =-，则 2cos ,2cos 1(cos ,cos )2C n p A A C ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭则22221cos 21cos 2()cos cos 22n A Cn p A C p++=+=+=++ 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由203A π<<，则52333A πππ<+<，则11cos 232A ⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭π，则1151cos 22234A ⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭π，故215,24n p ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，得222n p ⎡⎫∈⎢⎣⎭+. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，求模公式，三角恒等变换，余弦型函数的值域，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题. 20．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos g x x =；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据周期和对称中心可以求得()f x ，结合图象变换可得()g x 的解析式； （2）先把()ϕx 的表达式求出，结合a 的取值讨论零点个数. 【详解】（1）因为()f x 的周期为2，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，又因为()f x 的图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，所以5()6k k Z πϕπ+=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以1()sin 2cos 266g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）由（1）可知，2()cos 2cos 1x a x x ϕ=-+，设cos x t =，因为(0,2)x π∈，所以[1,1)t ∈-，则()2()21x h t at t ϕ==-+，设2()21h t t at =-++，[1,1)t ∈-，则(0)10h =>， ①当1a <-或1a >时，()h t 在(1,1)-内有唯一零点， 这时，函数()ϕx 在(0,2)π内有两个零点.②当11a -<<时，()h t 在(1,1)-内有两个不等零点， 这时，函数()ϕx 在(0,2)π内有四个零点.③当1a =-时，2()21h t t t =--+，由()0h t =，得12t =或1t =-， 这时，函数()ϕx 在(0,2)π内有三个零点.④当1a =时，2()21h t t t =-++，由()0h t =，得12t =-或1t =（舍）， 这时，函数()ϕx 在(0,2)π内有两个零点.综上可得，当1a <-或1a ≥时，()ϕx 在(0,2)π内有两个零点； 当1a =-时，()ϕx 在(0,2)π内有三个零点； 当11a -<<时，()ϕx 在(0,2)π内有四个零点. 【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解和零点个数问题，利用图象的变换求解解析式时，注意参数对解析式的影响，复杂函数的零点问题通常利用换元法进行求解.。
2015-2016山西省山大附中高二5月模块诊断数学(文)试题(解析版)
2015-2016山西省山大附中高二5月模块诊断数学（文）试题一、选择题1．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|1,}B x x x Z =≤∈，则A B =I （ ） A ．{2,1,1}-- B ．{1,1,2}- C ．{1,1}- D ．{2,1}-- 【答案】C【解析】试题分析：Q 集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|1,}{1,0,1}B x x x Z =≤∈=-，∴{1,1}A B =-I故选C ．【考点】集合的运算．2．复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2【答案】A【解析】试题分析：Q 复数12(12)()2()i i i z i i i i ++⨯-===-⨯-, z ∴的虚部为-1.故选A ．【考点】复数的除法及有关概念．3．命题 “R x ∈∀，都有0log 2>x 成立”的否定为 ( )A ．R x ∈∃0，使20log 0x ≤成立B ．R x ∈∃0，使0log 2>x 成立C ．R x ∈∀，都有0log 2≥x 成立D ．R x ∈∀，都有0log 2>x 成立 【答案】A【解析】试题分析：命题 “R x ∈∀，都有0log 2>x 成立”的否定为：R x ∈∃0，使20log 0x ≤成立.故选A ．【考点】全称命题的否定．4．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得25.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以A ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”【答案】A【解析】试题分析：Q 2 5.231K =，由于3.841 5.231 6.635<<，而：22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，∴有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”.故选B ．【考点】独立性检验． 5．若函数22,0()24,0xx x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()1f f 的值为（ ） A ．10- B ．10 C ．2- D ．2 【答案】C【解析】试题分析：Q 函数22,0()24,0xx x f x x +≤⎧=⎨->⎩， 1(1)242f ∴=-=-，从而()()1(2)2(2)22ff f =-=⨯-+=-，故选C ．【考点】分段函数求值．6．已知命题p ：x R ∃∈，使sin x =q ：x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，其中正确的是（ ） A ．②④ B．②③ C．③④ D．①②③ 【答案】B【解析】试题分析： 对于命题p ：由于,|sin |1x x ∀≤，而12>，故不存在x R ∈，使sin x =∴命题p 是假命题； 对于命题q ：由于22131()024x x x ++=++>对任意实数x 均成立，故x R ∀∈，都有210x x ++>是真命题.∴①命题“p q ∧”是假命题， ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ， ③命题“p q ⌝∨”是真命题， ④命题“p q ⌝∨⌝”是真命题；故其中正确的有：②③ 故选B ．【考点】1.全称命题与特称命题真假的判断；2.真值表．7．满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5,6M ⊂⊂≠≠的集合M 的个数是 （ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】试题分析：满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5,6M ⊂⊂≠≠的集合M 中一定含有元素1，2，3，且{}1,2,3M ⊂≠，同时又是集合{}1,2,3,4,5,6的真子集，所以集合M 等于集合{}1,2,3并上集合{}4,5,6的任一非空真子集，由于集合{}4,5,6的非空真子集有：3226-=个， 所以满足条件的集合M 有6个，故选C ．【考点】古典概率． 8．“3cos 5α=”是“7cos 225α=-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析： 如果3cos 5α=，则2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=-，故是充分的；若7cos 225α=-，则27cos 22cos 125αα=-=-，解得：3cos 5α=±，故不必要， 所以“3cos 5α=”是“7cos 225α=-”的充分而不必要条件.故选A ．【考点】充要条件．【易错点晴】此题主要考查三角公式的应用及必要条件和充分条件的判断，此类题是高考常考的一道选择题，做题时要知道必要条件和充分条件的定义即可求解．但是必要条件和充分条件的定义学生容易记混，这是一个易错点.9．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的反设为（ ）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D【解析】试题分析： Q 命题“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”，的否定是：自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数，∴用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的反设为：自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.【考点】反证法．10．已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料，由上表可得线性回归方程 0.08y bx=+ ，若规定当维修费用12y >时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】试题分析：由已知表格得：1(23456)45x =++++=，1(2.2 3.8 5.5 6.57.0)55y =++++= ，由于线性回归直线恒过样本中心点(),x y ，所以有：540.08b =+，解得： 1.23b =， 所以线性回归方程^1.230.08y x =+，由12y >得：1.230.0812x +>解得：9.69x >， 由于*x N ∈，所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9. 故选C.【考点】线性回归．11．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值2a ，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ）A ．aB ．2aC ．3aD ．3a 【答案】D【解析】试题分析：类比在边长为a , 在一个正四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图：由棱长为a 可以得到,BF BO AO OE ===-, 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BO BE OE =+，把数据代入得到OE =∴棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4=， 故选D.【考点】类比推理．【方法点晴】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为f '（x ），满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞ 【答案】B【解析】试题分析：令()()x f x g x e =,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== ∵()()f f x x '<，∴()0g x '<． ∴()g x 在R 上单调递减． ∵函数(2)f x +是偶函数， ∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数图象关于2x =对称，∴(0)(4)1f f ==， 原不等式等价为()1g x <， ∵0(0)(0)1f g e == ∴()1g x <⇔()(0)g x g <， ∵()g x 在R 上单调递减， ∴0x >．∴不等式()x f x e <的解集为(0,)+∞.故选B.【考点】1. 导数的运算；2函数单调性的性质．【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，属于难题．利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得0(0)(0)1f g e ==，即可得出.二、填空题13．函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则(2)(2)f f '+= ．【答案】3-.【解析】试题分析：Q 函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，22(2)30(2)2f f ⨯+-=⎧∴⎨'=-⎩，解得：(2)1(2)2f f =-⎧⎨'=-⎩， (2)(2)3f f '∴+=-.故答案应填：-3．【考点】导数的几何意义．14．命题“04),2,1(2≥++∈∃mx x x ”是假命题，则m 的取值范围为_______． 【答案】5m ≤-.【解析】试题分析： 命题“04),2,1(2≥++∈∃mx x x ”是假命题，∴该命题的否定：2(1,2),40x x mx ∀∈++<是真命题，则221402240m m ⎧++≤⎨++≤⎩，即54m m ≤-⎧⎨≤-⎩， 5m ∴≤-故答案应填：5m ≤-．【考点】1.特称命题的否定；2.不等式恒成立．15．复数满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．【答案】1.【解析】试题分析： 由于复数满足21z i -+=，由复数模的几何意义可知： 复数在复平面上所对应的点Z 到复数2i -所对应的点(2,1)A -的距离等于1， 所以点Z 的轨迹是以点点(2,1)A -为圆心，1为半径的圆， 而12z i +-表示点Z 到复数12i -+所对应的点(1,2)B -的距离, 由平几圆的知识可知：12z i+-的最小值为11AB r -==，故答案应填：1．【考点】1.复数的几何意义；2.数形结合法．【方法点晴】本题考查复数的代数形式及其几何意义，考查转化计算能力．复数在复平面上所对应的点Z 到复数2i -所对应的点(2,1)A -的距离等于1，所以点Z 的轨迹是以点点(2,1)A -为圆心，1为半径的圆，而12z i +-表示点Z 到复数12i -+所对应的点(1,2)B -的距离,从而将问题转化为圆外一点到圆上一点距离的最小值问题来解决.16．已知,...,15441544,833833,322322=+=+=+类比这些等式，若 ba b a 66=+（,a b 均为正实数），则=+b a ______． 【答案】41.【解析】试题分析： =========26,6135a b ∴==-=，41a b ∴+=故答案应填：41． 【考点】归纳推理．【易错点晴】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．观察所给式子的特点，找到相对应的规律，问题得以解决.三、解答题17．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域,集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域．（1）求集合C B A ,,；（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A ()a a 2,=，(]2B =-∞，，=C [)3,0；（2）230≤<a 且1≠a ． 【解析】试题分析：（1）先求出集合A ，根据二次根式的性质求出集合B 、C 即可； （2）若A C C =U ，则A C ⊆，得到关于a 的不等式，解出即可．试题解析：（1）由0))(2(>---a x a x 得0))(2(<--a x a x ，又因为1,0≠>a a 且 所以a x a 2<<，所以A ()a a 2,=对于函数x x f 39)(-=，由039≥-x 得2≤x ，(]2B =-∞，所以930≤<x ，9390<-≤x，所以[)3,039)(∈-=x x f ，=C [)3,0 （2）若A C C =U ，则C A ⊆，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤≠>3210a a a ⇒230≤<a 且1≠a ，所以实数a 的取值范围是230≤<a 且1≠a .【考点】1. 函数的定义域及其求法；2. 集合的包含关系判断及应用．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415． （1）请将上面的列表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率． 参考数据：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）【答案】（1）表格祥见解析；（2）有，理由祥见解析；（3）13P =. 【解析】试题分析：（1）根据全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为415，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率． 试题解析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，24x +=，6x =（2）由已知数据可求得：2230(61824)8.5227.8791020822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．（3分组的情况总有6中，工作人员甲 负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种， 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是2163P ==． 【考点】1、独立性检验的应用；2、古典概率．【易错点睛】本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错． 19．（1）命题p :“2[1,2],0x x a ∀∈-≥”，命题q :“2000,220x R x ax a ∃∈++-=”，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． （2）已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p 是q 的必要而不充分必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】试题分析：（1）分别求出p ，q 为真时的x 的范围，进而得到p 且q 的x 的范围，从而得到答案．（2）p 是q 的必要而不充分必要条件，得：p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件知：012110.m B A m m >⎧⎪⇔-≥-⎨⎪+≤⎩，⊆（其中集合A 是p ⌝对应的集合，B 是q ⌝对应的集合）.试题解析：（1）若p 是真命题．则2a x ≤，因为[1,2]x ∈，所以1a ≤；若q 为真命题，则方程2220x ax a ++-=有实根，所以244(2)0a a ∆=--≥，即1a ≥或2a ≤-，p 真q 也真时 ，所以2a ≤-或1a =，若“p 且q ”为假命题 ，即(2,1)(1,a ∈-+∞U . （2）由22210x x m -+-≤得()110m x m m -≤≤+>．所以“q⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R 或，．由1123x --≤得210x -≤≤， 所以“p⌝”：{}102B x x x =∈><-R 或．由p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔-≥-⇒<≤⎨⎪+≤⎩，⊆，故m 的取值范围为03m <≤.【考点】1、复合命题的真假；2、必要条件、充分条件与充要条件的判断． 20．已知函数2()2ln ()f x x x a x a R =-+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，且不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）若0,a ≤ ()f x 在2(0,)x 单调递减，在2(,)x +∞单调递增；若10,2a <<()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减；（2）3(,ln 2]2-∞--. 【解析】试题分析：（1）求出f （x ）的导数，令f'（x ）=0，得2220x x a -+=，对判别式讨论，即当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间； （2）函数f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点，由（1）可得10,2a <<不等式12()f x mx ≥恒成立即为12()f x m x ≥，求得111121()112ln 1f x x x x x x =-++-，令11()12ln (0)12g x x x x x x =-++<<-，求出导数，判断单调性，即可得到g （x ）的范围，即可求得m 的范围．试题解析：（1）222()22(0)a x x a f x x x x x-+'=-+=>,记48a ∆=-， 当0∆≤即12a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0∆>即12a <时，由2220x x a -+=得1211x x == 若0,a ≤则10x ≤，20x >，()f x 在2(0,)x 单调递减，在2(,)x +∞单调递增 若10,2a <<则10x >，20x >，()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减（2）12()f x mx ≥恒成立等价于1min 2()[]f x m x ≤ 由（1）可知，若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，则10,2a <<且 12,x x 是方程2220x x a -+=的两个根，故12121,2a x x x x +=⋅=，12110,122x x ∴<<<< 221111111111112211()2ln 22(1)ln 112ln 11f x x x a x x x x x x x x x x x x x -+-+-∴===-++-- 令11()12ln (0)12g x x x x x x =-++<<-， 则22211(2)()12ln 212ln 2ln (1)(1)(1)x x g x x x x x x x -'=--++=-+=+--- 10,2x << (2)0,2ln 0x x x ∴-<<，(2)0x x -<，()0g x '∴<， ()g x 在上单调递减，133()()ln 2,ln 2222g x g m >=--∴≤-- 故实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--. 【考点】1. 利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数求闭区间上函数的最值．【方法点睛】本题考查导数的运用：求单调区间、极值，同时考查函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，第（1）问对a 大于零与小于零以及对判别式的讨论是其难点，第（2）问将不等式12()f x mx ≥等价转化为1min 2()[]f x m x ≤，进而利用韦达定理转化为函数 11()12ln (0)12g x x x x x x =-++<<-的最值来加以解决是其关键．。
山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷
山西大学附中2015～2016学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断数 学 试 题考查时间：100分钟 考查内容：必修二 选修2-1一．选择题：(每小题4分，共48分)1．直线013=-+y x 的倾斜角为( )A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 2．已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．22(1)(2)13++-=x y B ．22(1)(2)13+++=x yC ．22(1)(2)13-+-=x yD ．22(1)(2)13-++=x y 3．椭圆22110036x y +=的离心率为( ) A ．35 B. 45 C ．34 D ．16254．设线段AB 的两个端点B A ,分别在x 轴、y 轴上滑动， 且4||=AB ，点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．14922=+y xB ．422=+y xC ．422=-y xD ．192522=+x y 5．与椭圆C ：1121622=+x y 共焦点且过点)3,1(的双曲线的标准方程为( ) A ．1322=-y x B ．1222=-x y C. 12222=-x y D.1322=-x y 6．已知点),(n m P 是直线052=++y x 上的任意一点，则22n m +的最小值为( )A.5B. 10C. 5D. 107．已知圆221:4C x y +=和圆222:68160C x y x y +-++=，则这两个圆的公切线的条数为（ ）A.0B.1C.3D.48．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ） A 长轴长相等 B 短轴长相等 C 离心率相等 D 焦距相等9．已知圆222:r y x O =+，点)0(),,(≠ab b a P 是圆O 内的一点，过点P 的最短弦在 直线1l 上，直线2l 的方程为2r ay bx =-，那么（ ）A ．21//l l 且2l 与圆O 相交 B.21l l ⊥且2l 与圆O 相切C ．21//l l 且2l 与圆O 相离 D.21l l ⊥且2l 与圆O 相离10．若变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤+00428y x x y y x 且x y z -=5的最大值为a ，最小值为b ， 则b a -的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．1611．已知)0,3(),0,3(21F F -，点P 为曲线145=+yx上任意一点，则( )A ．1021≥+PF PFB ．1021≤+PF PFC ．1021>+PF PFD ．1021<+PF PF12．已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的焦点为21,F F ，若点P 在椭圆上，且满足||||||212PF PF PO ⋅=（其中O 为坐标原点），则称点P 为“∙”点，则此椭圆上的“∙”点有（ ）个A ．0B ．2C ．4D ．8二．填空题：(每小题4分，共16分)13．若两条直线1:(1)3l ax a y +-=，2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则实数a 的值为_____________.14. 若12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线左支交于B A ,两点，且6AB =，则2ABF △的周长为__________.15．已知线段PQ 的端点Q 的坐标是)3,4(，端点P 在圆4)1(22=++y x 上运动,则线段PQ的中点M 的轨迹方程是_______ ______.16．过点），（022直线l 与曲线24x y -=交于B A ,两点 ，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_____________.三．解答题：（共36分）17.（本小题满分8分）求过点P ），（322的圆422=+y x 的切线的方程.18.（本小题满分8分） 已知椭圆1222=+y x 及点)3,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于D C ,两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积．19．（本小题满分10分）已知方程04222=+--+m y x y x ．（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于N M ,两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m 的值.20.（本小题满分10分）已知点)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．。
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1 山西大学附中2015~2016学年第二学期高一3月（总第一次）模块诊断数学试题 考查时间：90分钟 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1．)613sin(的值是（ ）
A．21 B．21 C．23 D．23 2．半径为2，圆心角为3的扇形的面积为（ ） A．34 B．32 C． D．3 3．已知角的终边过点(2,1)，则cos的值为（ ） A．55 B．552 C．55 D．552 4.下列四个式子中可以化简为AB的是（ ） ① CBAC ②CBAC ③OBOA ④OAOB A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 5．下列说法中，正确的是（ ） A．向量|,|||,//baba且 则向量ba B．锐角必是第一象限角，第一象限角必是锐角 C．余弦函数在第一象限单调递减 D．9520,98440,26440是终边相同的角
6．31)6sin(，则)3cos(的值为（ ）
A．21 B．21 C．31 D．31 7．下列不等式中，正确的是（ ） A.53tan45tan B. )52cos(57cos C.1sin)1sin( D. )7cos(5sin 2
8. 在△ABC中,若)sin()sin(CBACBA,则△ABC必是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
9.函数)0)(tan()(xxf的图象的相邻两支截直线4y所得线段长为4，则
)4(f的值是（ ）
A.0 B.1 C.1 D.3 10．函数)42sin(log21xy的单调减区间为（ ）
A．)(,4Zkkk B．)(8,8Zkkk C．)(8,83Zkkk D．)(83,8Zkkk 11．已知定义域为R的函数xxaxfcos2sin3)( （,abR）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a( ) A．1 B．2 C．3 D．4
12．函数11yx的图像与曲线2sin(24)yxx的所有交点的横坐标之和等于 A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.不等式tan(2)14x的解集为_________________.
14.化简：已知是第四象限角，则1sin1coscossin________1sin1cos. 15．已知函数)(xfy的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移3，这样得到的曲线和xysin2的图象相同，则已知函数)(xfy的解析式为__________________. 16．设函数()3sin(2)3fxx的图象为C，给出下列命题：
①图象C关于直线1112x对称； ②函数)(xf在区间5(,)1212内是增函数； ③函数()fx是奇函数；④图象C关于点(,0)3对称.⑤)(xf的最小正周期为. 其中正确命题的编号是 .（写出所有正确命题的编号） 3
三、解答题：（本题共5大题，共48分） 17．（本题满分8分）已知角的终边经过点)1,1(P，
（1）求sin2cos()5sin()sin()2的值；
（2）求212sincoscos的值．
18. （本题满分10分）已知在ABC中, ,51cossinAA ①求AAcossin； ②判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形。 ③求AA44sincos的值 19. （本题满分10分）设函数)0)(2sin()(xxf,且)(xfy图象的一
条对称轴是直线8x.（1）求； （2）画出函数)(xfy在区间],0[上的图象.（在答题纸上完成列表并作图）. （1）
(2)列表 x 0 83
8
7
y 描点，连线 y
x 0
8
7
21
1
1
218
3 4
20．（本题满分10分）已知函数)2,0,0()cos()(ABxAxg的部分图象如图所示，将函数)(xg的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移3个单位后得到函数)(xf的图象．（1）求函数)(xf在]3,6[x上的值域；（2）求使2)(xf的x的取值范围的集合．
21. （本题满分10分） 已知函数]32,6[,1sincos)(2xxaxxf，求该函数的最大值．
山西大学附中 2015~2016学年第二学期高一3月（总第1次）模块诊断 数学试题 （考查时间：90分钟）（考查内容：以三角函数为主） 一、选择题：1-5.ABDAD 6-10.CBCAB 11-12.CC 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. kkxkx,2824| 14.. sincos 15．)32sin(21)(xxf 16． ①②⑤
三、解答题：（本题共5大题，共52分） 17．（本题满分8分）已知角的终边经过点1,1P，
（1）求sin2cos()5sin()sin()2的值； 5
（2）求212sincoscos的值． 17．解：（1）∵角的终边经过点1,1P∴1tan， 2分 ∴ sin2cos()5sin()sin()2
=61tan52tansincos5cos2sin…………………………5分
（2）212sincoscos= 21tan21tancoscossin2cossin2222
……………8分
18. （本题满分10分）已知在ABC中, ,51cossinAA ①求sincosAA ②判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形 ③求AA44sincos的值
18.解：（1）,51cossinAA
两边平方得 ,251cossin21AA
,2512cossinAA .......（3分）
(2) ),0(,02512cossinAAA 2A,ABC为钝角三角形 ..................（6分）
（3）2549cossin21)sin(cos2AAAA 因为A2,所以0cos,0sinAA 故57sincosAA从而 AAAA2244sincossincos 6
)sin(cosAA 25
7)sin(cosAA.......（10分）
19. （本题满分10分）设函数)0)(2sin()(xxf,且)(xfy图象的一条对称轴是直线8x.（1）求； （2）画出函数)(xfy在区间],0[上的图象.（在答题纸上完成列表并作图）. 19. 解：（1）)(8xfyx是函数的图像的对称轴，
,1)82sin(.,24Zkk .43,0
...（3分）
(2) 由知)432sin(xy x 0 8 83 85 87
y 22 －1 0 1 0 2
2
故函数上图像是在区间],0[)(xfy
.......（10分） 7
20．（本题满分10分）已知函数)2,0,0()cos()(ABxAxg的部分图象如图所示，将函数)(xg的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移3个单位后得到函数)(xf的图像． （1）求函数)(xf在]3,6[x上的值域； （2）求使2)(xf的x的取值范围的集合．
20. 解：（1）由图知2cos213gxx，所以2cos21,,363fxxx
,
22,333x
,由图像可知,0,3fx. .......（5分）
（2）2cos213fxx2cos2123x,1cos232x, 222333kxk,,3kxkkZ,
,,3xkkkZ
.......（10分）
21. （本题满分10分） 已知函数]32,6[,1sincos)(2xxaxxf，求该函数的最大值． 解：1sinsin1)(2xaxxf2sinsin2xax 令txsin，则]1,21[t，所以
42)2(2)(222aatatttg
4分 当212a即1a时，agtg2147)21()(max