安徽省滁州市数学高二上学期理数期末教学质量检测试卷
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二(普通班)上学期期末考试数学(理)试题 解析版
OP AB（O为原点）AC，EC⊥平面ABCD，AB【解析】解法一：由解得71141767482141314722S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩1408492449a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以；21408212024217249249S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭解法二：，，7127S a a a =++⋅⋅⋅+1478914777S S a a a S d -=++⋅⋅⋅+=+⨯，所以，，成等差数21141516217714S S a a a S d -=++⋅⋅⋅+=+⨯7S 147S S -2114S S -列，公差为，由等差中项定义得，即49d ()147721142S S S S S -=+-，解得.故选：B()21272484872S ⨯-=+-2172S =6.【答案】A【解析】因为PF ⊥x 轴，所以P .又OP ∥AB ，所以，即b =c .2b b a a =于是b 2=c 2，即a 2=2c 2.所以.22c e a ==7.【答案】C【解析】因为△ABF 2的周长为8，所以|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8⇒|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=8⇒（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=8，由椭圆的定义可知，|AF 1|+|AF 2|=2a ，|BF 1|+|BF 2|=2a ，所以2a +2a =8⇒a =2，由题意可得，23ab ππ=解得，3b =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为.22143x y +=8.【答案】C【解析】设点，由题意知，(),P x y 222122222223y y y y b k k a y x a x a x a ab ⋅=⋅====-+-所以其渐近线方程为，故选C.3y x =±9.【答案】D【解析】由得，22214b e a =+=3ba =则双曲线的渐近线方程为，3y x =±即，抛物线的焦点坐标为，30x y ±=2C 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭则有，解得，22p =8p =故抛物线C 2的方程为x 2=16y .10.【答案】A11.【答案】C【解析】∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|=3∶4∶5，不妨令|AB |=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，∵|AB |2+|BF 2|2=|AF 2|2，∴∠ABF 2=90°，又由双曲线的定义得|BF 1|-|BF 2|=2a ，|AF 2|-|AF 1|=2a ，∴|AF 1|+3-4=5-|AF 1|，∴|AF 1|=3，∴2a =|AF 2|-|AF 1|=2，∴a =1，|BF 1|=6.在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=36+16=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52，13,13c e ∴=∴=12.【答案】D【解析】设点P （x 0，y 0），由于点P 是抛物线x 2=8y 上任意一点，则x =8y 0（y 0≥0），∵点A （0，3），则|PA |2=x +（y 0-3）2=8y 0+（y 0-3）2=y +2y 0+9，由于点Q 是圆x 2+（y -2）2=1上任意一点，要使的值最小，∴2||PA PQ则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，PQP PQ则，()()222max 00000||218213PQ x y y y y =+-+=+-+=+.()()()222000000003431229||1234333y y y y PA y PQ y y y +-++++∴≥==++-+++，经检验满足条件，()()()000012123234333y y y y ++≥+⋅=++ 的最小值为.2||PA PQ∴434-【解析】如图，抛物线焦点为联立消去y 得x 2-2px -p 2=0，∴x 1=（1+）p ，x 2=（1-）p .2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22∴|AD |+|BC |=y 1+y 2=x 1++x 2+=2p +p =3p ，|CD |=|x 1-x 2|=2p .2p 2p2由S 梯形ABCD =（|AD |+|BC |）·|CD |=·3p ·2p =12，解得p 2=4，∴p =±2.121222∵p >0，∴p =2.17.【答案】（1）方程m ：（a +2）x +（1-2a ）y +4-3a =0可化为a （x -2y -3）+（2x +y +4）=0，要使a 有无穷多个解，必须有解得230,240,x y x y --=⎧⎨++=⎩1,2.x y =-⎧⎨=-⎩无论a 取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m 过定点M （-1，-2）.（2）设直线n ：，1x ya b +=则解得121,14,2a b ab --⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,4,a b =-⎧⎨=-⎩故直线n ：，即2x +y +4=0.124x y+=--所以当直线n 为2x +y +4=0时，三角形的面积为4.18.【答案】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得4x 2+4（m -1）x +m 2=0，22,4,y x m y x =+⎧⎨=⎩由根与系数的关系，得x 1+x 2=1-m ，x 1·x 2=，24m ∴|AB |=|x 1-x 2|=21k +()22121214k x x x x ++-==，222+()22144m m --⨯()512m ⨯-∵|AB |=3，∴=3，解得m =-4.5()512m -5（2）设P （a ，0），P 到直线AB 的距离为d ，则d ==，()2220421a --+-225a -又S △ABP =|AB |·d ，则d =，∴=，122ABP S AB ⋅ 225a -2935⨯∴|a -2|=3，∴a =5或a =-1，故点P 的坐标为（5，0）或（-1，0）.19.【解析】（1）由题意得S n =n 2+2n ，当n >1时，a n =S n -S n -1=（n 2+2n ）-[（n -1）2+2（n -1）]=2n +1；当n =1时，a 1=S 1=3，满足上式，所以a n =2n +1（n ∈N *）.（2）由题意得b n =3n -1，又由（1）可知a n =2n +1，故a n b n =（2n +1）3n -1，所以T n =3×30+5×31+7×32+…+（2n +1）×3n -1，3T n =3×31+5×32+7×33+…+（2n +1）×3n ，两式相减，得-2T n =3+2（31+32+33+…+3n -1）-（2n +1）×3n=3+2×-（2n +1）×3n ，-13(1-3)1-3n =-2n ·3n所以T n =n ·3n .20.【答案】解（1）设点F （c ，0），因为直线AF 的斜率为，A （0，-2），233所以，.2233c=3c =又因为，b 2=a 2-c 2，32c a=解得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为.2214x y +=（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx -2，联立消去得，221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()221416120k x kx +-+=当，即时，.()2Δ16430k =->234k >1212221612,1414k x x x x k k +==++所以()22121214PQ k x x x x =++-∴·=0，∴AC⊥BF.=2（a n +a n -1）-1，=2（a n +1+a n ）-1，2-1n c 2n c 两式相减得，=2[（a n +1-a n ）+（a n -a n -1）]=2（c n +c n -1），得c n -c n -22-1n n c c -1=2（n ≥2）.故{a n +1-a n }是等差数列.（2）因为（a 2-a 1）2=2（a 2+a 1）-1，a 1=1，且a 2>a 1，所以a 2=4，故c 1=a 2-a 1=3，所以c n =c 1+（n -1）×2=2n +1，n ∈N *，所以a n =（a n -a n -1）+（a n -1-a n -2）+…+（a 2-a 1）+a 1=（2n -1）+（2n -3）+…+3+1=n 2.故b n =-，222211(1)n n n n +=+21(1)n +b 1+b 2+…+b n =+…+-.222211111223-+-21n 221(2)(1)(1)n n n n +=++。
安徽省滁州市滁州中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
5．若函数
f
(
x)
=
a
ln
x
+
b x
+
c x2
(a
¹
0)
既有极大值也有极小值，则（
）．
A． bc > 0
B． ab > 0
C． b2 + 8ac > 0
D． ac < 0
三、填空题
6．设椭圆 C1
:
x2 a2
+
y2
= 1(a
> 1) ， C2
:
x2 4
+
y2
= 1 的离心率分别为 e1, e2
．若 e2
（1）当 a = e 时，求曲线 y = f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若不等式 f ( x) ³ 1 恒成立，求 a 的取值范围．
20．已知椭圆 C 的方程为
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) ，右焦点为 F(
2,0) ，且离心率为
6． 3
试卷第31 页，共33 页
16．已知数列 {an }
满足
a1
=
1
，
an+1
=
ìíîaann
+1, n为奇数, + 2, n为偶数.
（1）记 bn = a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列{bn} 的通项公式；
（2）求{an} 的前 20 项和.
17．记
Sn
为数列 {an }
的前
n
项和，已知
a1
2023-2024学年安徽省滁州市、定远县高二上学期12月联考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年安徽省滁州市、定远县高二上册12月联考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，集合{}P 1,1=-，{}2Q i,i =.若{}P Q zi ⋂=，则复数z 等于A ．1B ．−1C ．iD ．i-【正确答案】C【分析】由复数的概念得到集合Q ，计算集合P 与集合Q 的补集，即可确定出复数z.【详解】{}{}2,,1Q i i i ==-,{}1,1P =-,则{}{}1P Q zi ==- ，即zi=-1,z=21ii i i-=-=,故选C本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2．已知数列{}n a 的通项公式()111n n a +=-+，则23a a +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】D【分析】通过赋值求得23,a a ，即可求得结果.【详解】因为()111n n a +=-+，故可得230,2a a ==，则23a a +=2.故选.D3．1e = 是向量e为单位向量的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C由单位向量的定义，即得解【详解】由单位向量的定义，可知1e =是向量e为单位向量的充要条件故选：C本题考查了充要条件的判断，考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于基础题.4．已知1cos ,,0222ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α等于（）A ．BC ．D【正确答案】C【分析】利用诱导化简，再利用同角公式计算作答.【详解】由1cos22πα⎛⎫+=⎪⎝⎭得：1sin2α-=，即1sin2α=-，因,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cosα==所以sintancosααα==故选：C5．已知圆221:4250C x y x y+---=，圆222:22140C x y x y++--=，则两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内含D．相切【正确答案】B【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.【详解】由题设，1C：()222(1)10x y-+-=，2C：22(1)(1)16x y++-=，∴1(2,1)C，半径1r=；2(1,1)C-，半径24r=；∴2112123r r C C r r-<=<+，即两圆相交.故选：B6．设函数(2),(2)()1(1,(2)2xa x xf xx-≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()na f n=，若数列{}na是单调递减数列，则实数a的取值范围为()A．(),2-∞B．13,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．7,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C【分析】根据题意可知函数()f x在Nx+∈上是减函数，则有()()()123f f f>>> ，结合函数()f x的图象可得关于a的限制条件，解出即可．【详解】解：数列{}n a是单调递减数列，即有1231n na a a a a+>>>>⋯>>，也即()()()123f f f>>> ，所以函数()f x在Nx+∈上是减函数，故有12011(2)22aa-<⎧⎪⎨⎛⎫->-⨯⎪⎪⎝⎭⎩，解得74a<．所以实数a 的取值范围是7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，且直线360x y -+=过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（）A ．B ．CD 【正确答案】C【分析】根据题意可得c 及ba，再结合2224a b c +==求出a ，即可得解.【详解】解：由题意知，2c =，12b a =，又2224a bc +==，∴a =b =2a =.故选：C.8．设a 为实数，定义在R 上的偶函数()f x 满足：①()f x 在[)0,∞+上为增函数；②()()21f a f a <+，则实数a 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()()1,1,3-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得21a a <+，进而即得.【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，在[)0,∞+上为增函数，由()()21f a f a <+可得()()21f a f a <+，∴21a a <+，解得113-<<a .故选：B.二、多选题9．下列选项中正确的是（）A ．0a b >>，则ac bc<B ．若a b >，c d <，则a c b d ->-.C ．若15a ≤≤，12b -≤≤，则16a b -≤-≤D ．若1x >，则1x x+的最小值是2【正确答案】BC【分析】A 选项，可举出反例；BC 选项，可根据不等式的基本性质进行推导得到；D 选项，利用基本不等式进行求解，由于等号取不到，可知1x x+无最小值.【详解】若0c =，则0ac bc ==，A 错误；因为c d <，所以c d ->-，因为a b >，所以a c b d ->-，B 正确；因为12b -≤≤，所以21b -≤-≤，因为15a ≤≤，所以2151a b -+≤-≤+，即16a b -≤-≤，C 正确；因为1x >，所以12x x +≥，当且仅当1x =x ，即=1x 时，等号成立，由于1x ≠，故等号取不到，所以1x x+无最小值.故选：BC10．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有A ．7a B ．8a C ．15S D ．16S 【正确答案】BC根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC.本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法，正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在[]0,π上有2个零点C ．()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()f x 图象向右平移116π个单位，所得图象对应的函数为偶函数【正确答案】AB【分析】利用正弦函数的性质可判断AC ，由整体法得到52,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到()f x 在[]0,π上的零点判断B ，根据图象的变换及正弦函数的性质可判断D.【详解】对于选项A ：()f x 的最小正周期为22ππ=，故选项A 正确；对于选项B ：当[]0,x π∈时，52,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当20233x x πππ-=-=，时，()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,π上存在零点2,63x x ππ==，故选项B 正确；对于选项C ：当时5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，42,333x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以当2,332x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数，当42323x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭πππ时函数为减函数，所以()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先增后减，故选项C 错误；对于选项D ：函数()f x 图像向右平移116π个单位得到()()()11sin 2sin 24sin 263x x x g x ⎡⎤⎛⎫--=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πππ，函数()()sin 2g x x =为奇函数，故选项D 错误．故选：AB ．12．已知直线:220l kx y kp --=与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．2k =-C ．MAB △的面积为D ．5AB =【正确答案】ABD【分析】求出抛物线C 的准线方程，可求得p 的值，可判断A ；利用点差法可求得线段AB 的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k 的值，可判断B ；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C 、D.【详解】由题意知，抛物线C 的准线为=1x -，即12p=，解得2p =，故A 正确；因为2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点为()1,0F ，又直线:220l kx y kp --=，即()1y k x =-，所以直线l 恒过抛物线的焦点()1,0F ，设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 两点在抛物线C 上，联立方程2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得，1212124y y k x x y y -==-+，设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=，因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得0221x k =+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+.因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故B 正确；因为2k =-，所以5AB =，直线l 为()210+-=y x ，由点到直线的距离公式可得，点M 到直线l的距离为d ，所以115222MAB S d AB =⋅⋅==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列{}n a 的首项和公差相等且均不为零，则156=a a ______.【正确答案】52【分析】利用等差数列通项公式求解.【详解】设公差为d ，1516114155562+===+a a d d a a d d .故答案为:52.14．使得“224x x >”成立的一个充分条件是___________.【正确答案】104x <<（答案不唯一，）.【分析】由于22242x x =，故不等式等价于22x x >，解得102x <<，故只需写出102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭的子集即可.【详解】由于22242x x =，故224x x >等价于22x x >，解得：102x <<，使得“224x x >”成立的一个充分条件只需为集合102x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭的子集即可，故答案可以为：140x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故140x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭本题考查充分条件，指数不等式，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知解指数不等式222224x x x =>，进而需求不等式解集的子集即可.15．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则122022111a a a ++⋅⋅⋅+=______.【正确答案】40442023【分析】由已知可得出11n n a a n +-=+，利用累加法可求得n a ，求得11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得122022111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++可得11n n a a n +-=+，所以，当2n ≥时，()()()112211(1)(2)21n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-+-+⋅⋅⋅++()12n n +=，11a =也满足上式，故对任意的n *∈N ，()12n n n a +=，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以122022111111111404421212232022202320232023a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.4044202316．在三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面11,,2ABC BC A B AA AC ⊥==，则该三棱锥的外接球的体积为___________.【正确答案】823π【分析】将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积．【详解】因为三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，1BC A B ⊥，所以可将三棱锥补成长方体，长方体的对角线是三棱锥外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为2222211222R AA AB BC AA AC =++=+=，半径为2R =，所以外接球的体积3482.33V R ππ==故答案为.823π四、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和记为n S ，231a =-，522a =-．(1)求n a ；(2)求n S 的最小值．【正确答案】(1)337n a n =-(2)210-【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，进而得通项，（2）根据等差数列的性质，找到正负项的分界线，即可求解最值.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由231a =-，522a =-，得1131,422,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得134a =-，3d =，∴()11337n a a n d n =+-=-．（2）数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，令10,0,n n a a +≤⎧⎨>⎩即()3370,31370,n n -≤⎧⎨+->⎩解得343733n <≤，∴12n =，即第1项到第12项都是负的，从第13项起变成正的，∴12n =时，n S 最小，最小值为()()12112341212132102S =⨯-+⨯⨯-⨯=-18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅.(1)求角C ；(2)若2a =，3b =，求ABC 外接圆的面积【正确答案】(1)23C π=(2)193π【分析】（1）根据正弦定理和两角和与差的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理和正弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理知，1sin sin sin cos 2A B C B +=⋅，所以1sin()sin sin cos 2B C B C B ++=⋅，∴sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=，且sin 0B ≠，()0,C π∈，∴1cos 2C =-，23C π=.（2）由余弦定理得，2222cos 19c a b ab C =+-=，c =∴2sin 3c R C ===，3R =.∴外接圆面积2193R π=.19．已知圆C 的圆心在坐标原点O ，直线l的方程为0x y --=.(1)若圆C 与直线l 相切，求圆C 的标准方程；(2)若圆C 上恰有两个点到直线l 的距离是1，求圆C 的半径的取值范围.【正确答案】(1)224x y +=(2)()1,3【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线距离公式，即得解（2）分析可得1-<d r ，即21r -<，求解即可【详解】（1）设圆的半径为r ，圆心到直线l 距离为d，则2d ==，依题意2d r ==，所以圆C 的方程为224x y +=.（2）由（1）知，圆心到直线l 距离为2d =，又圆C 上恰有两个点到直线l 的距离是1，所以1-<d r ，即21r -<，所以13r <<，即圆C 的半径的取值范围是()1,3.20．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图所示(1)求样本中数据落在[)50,60的频率；(2)求样本数据的第60百分位数；(3)若将频率视为概率，现在要从[)20,30和[]60,70两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[)20,30这一组的概率.【正确答案】(1)0.4(2)55(3)35【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解即可；（2）根据频率分布直方图和第60百分位数定义计算即可；（3）利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中数据落在[)50,60的频率为()10.0120.022100.4-⨯+⨯⨯=（2）样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为()0.60.120.25010550.4-⨯++⨯=（3）[)20,30与[]60,70两组的频率之比为1:2，现从[)20,30和[]60,70两组中用分层抽样的方法抽取6人，则[)20,30组抽取2人，记为a ，b ，[]60,70组抽取4人，记为1，2，3，4.所有可能的情况为(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共15种.其中至少有1人的年龄在[)20,30的情况有(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，共9种，故所求概率93155P ==.21．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：//PB 平面ACE ；(2)若1PA AD ==，2AB =，求平面EAC 与平面ACD 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，则//EO PB ，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.分别求出平面EAC 与平面ACD 的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴//EO PB∵EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，∴//PB 平面ACE（2）解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()2,1,0C ，()2,0,0B ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭则()2,1,0AC = ，110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ACD 的一个法向量()00,0,1n = .设平面AEC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0.n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即110,2220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则=2y -，2z =，∴()1,2,2n =- ∴0002cos ,3n n n n n n ⋅== 故平面EAC 与平面ACD 夹角的余弦值为23.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，点1F ，2F 是椭圆C 的左右焦点，点P 是C 上任意一点，若12PF F △面积的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线11:3l y x =与椭圆C 在第一象限的交点为M ，直线()21:03l y x m m =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB ，与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：MPQ 始终为等腰三角形.【正确答案】（1）221182x y +=（2）证明见解析【分析】（1）根据12PF F △面积的最大值为P 的位置，根据离心率，可求出,,a b c ，可得结果；（2）先得到点M ，联立直线2l 与椭圆的方程，利用韦达定理，通过计算0AM BM k k +=，可得结果.【详解】（1）由3c e a ==，222a b c =+可得c =，由12PF F △面积的最大值为bc =解得a =，b =，4c =，∴椭圆C 的方程为221182x y +=（2）联立22118213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得()3,1M联立22118213x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22269180x mx m ++-=.∵直线2l 与椭圆C 交,A B 两点，∴()22(6)429180m m ∆=-⨯⨯->.∴22m -<<，且0m ≠设直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，设()()1122,,,A x y B x y ，则12121211,33y y k k x x --==--.又1122293,,92x x m x x m +=-=-，112211,33y x m y x m =+=+，则1212121133y y k k x x --+=+--()()()121212122(2)66333x x m x x m k k x x +-++-+=--()()21212299(2)(3)6632033m m m m k k x x ⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭+==--∴120k k +=，从而MPQ 始终为等腰三角形.关键点点睛：设直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k 后，分别表示出12,k k ，根据根与系数的关系，计算120k k +=是证明的关键，属于中档题.。
安徽省滁州市2020学年高二数学上学期期末联考试题 理(含解析)
滁州市2020学年度第一学期期末联考高 二 数 学(理科) 一、选择题1.若集合2{|20}A x x x =-<，则R C A =（ ） A. (0，2) B. [0，2]C. (),0-∞D. [)2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|0A x x =<或2}x >，根据集合的补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合2{|20}{|0A x x x x x =-<=<或2}x >，所以{|02}[0,2]R C A x x =≤≤=，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，熟记集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.已知命题p ：0x ∀>，20x x -<，则p ⌝是（ ） A. 0x ∀>，20x x ->B. 0x ∀>，20x x -≥C. 00x ∃>，0020xx -≥D. 00x ∃>，0020xx ->【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是存在性命题，即可得到命题的否定形式，得到答案. 【详解】根据全称命题的否定是存在性命题，可得命题“:0,20x p x x ∀>-< ”， 则:0,20x p x x ⌝∃>-≥，故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.3.若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（ ）A. 79B. 79.5C. 80D. 81.5【答案】A 【解析】 【分析】由给定的茎叶图得到原式数据70,71,72,76,82,82,85,87，再根据中位数的定义，即可求解.【详解】由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：70,71,72,76,82,82,85,87， 再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为7682792+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.4.设抛物线214y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，则“||3PF =”是“点P 到x 轴的距离为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案. 【详解】由题意，抛物线214y x =可化24x y =，则24p =，即2p =，设点P 的坐标为(,)x y ，因为3PF =，根据抛物线的定义可得，点P 到其准线的距离为32py +=，解得2y =，即点P 到x 轴的距离为2，所以充分性是成立的；又由若点P 到x 轴的距离为2，即2y =，则点P 到其准线的距离为213+=， 根据抛物线的定义，可得点P 到抛物线的焦点的距离为3，即3PF =，所以必要性是成立的，即“3PF =”是“点P 到x 轴的距离为2”的充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（ ） A. 006 B. 041C. 176D. 196【答案】B 【解析】 【分析】求得抽样的间隔为10，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足104n -，即可出判定，得到答案.【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为2001020=， 若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足6(1)10104n n +-⨯=-，其中n N +∈，其中当4n =时，抽取号码为36；当18n =时，抽取的号码为176；当20n =时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B.【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.在等差数列{}n a 中，11a =，且21a a -，31a a -，41a a +成等比数列，则5a =（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由213141,,a a a a a a --+成等比数列，求得2d =，再由等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由213141,,a a a a a a --+成等比数列，则()()()2312141a a a a a a -=-+， 即()()2223d d d =⋅+，解得2d =或0d =（舍去）， 所以5141429a a d =+=+⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.命题p ：函数21y x ax =-+在(1, )+∞上是增函数. 命题q ：直线20x y a --=在x 轴上的截距大于0. 若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≥B. 0a ≤C. 02a <<D.02a <≤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求得命题p 为真命题时，2a ≤，命题q 为真命题时，0a >，再根据p q ∧为真命题，即,p q 都是真命题，即可求解.【详解】由二次函数的性质，可得函数21y x ax =-+在(1,)+∞是增函数，则12a≤，即2a ≤，即命题p 为真命题时，则2a ≤；由直线20x y a --=在x 轴上的截距为a ，因为截距大于0，即0a >， 即命题q 为真命题时，则0a >；又由p q ∧为真命题，即,p q 都是真命题， 所以实数a 的取值范围是02a <≤，故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、直线的截距，以及简单的复合命题的真假判定与应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）A. 4πB.3πC.2πD.1π【答案】D 【解析】 【分析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案. 【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=， 又由半径为2的圆形纸板的面积为224S ππ=⨯=，根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ππ===， 故选D.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数(2)10101化为十进制数(注：01234(2)101011202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯)，那么处理框①内可填入（ ）A. 2S S i =+B. S S i =+C. 21S S i =+-D.2S S i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由二进制数化为十进制数，得出(2)1010121=，得到运行程序框输出的结果，验证答案，即可求解.【详解】由题意，二进制数()210101化为十进制数43210(2)10101120212021221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 即运行程序框输出的结果为21，经验证可得，处理框内可填入2S S i =+，故选D.【点睛】本题主要考查了二进制与十进制的转化，以及循环结构的程序框图的计算与输出，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ） A.155B.15105 D.3010【答案】D 【解析】 【分析】设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1,2)A E =-u u u v 和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-u u u v u u u u v u u u u v.设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =r，则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =r.设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ，则1130sin 30n A E n A Eθ⋅===⋅u u u v v u u u v v 故选D.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.设双曲线22221(0,?0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ，且25AF BF ==，则此双曲线的离心率为（ ）A. 32B.43C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和题设条件25AF BF ==，得到255,2b AF ac BF a =+===，进而求得2,3a c ==，最后利用离心率的公式，即可求解.【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得左焦点为(,0)F c -，右顶点为(,0)A a ，又由过F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ，则2(,)bB c a-±，又因为25AF BF ==，即255,2b AF ac BF a =+===，且222c a b =+，解得2,3,a c b ===， 所以双曲线的离心率为32c e a ==，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．12.设函数1,0()2,? 0xx x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，则22()x f x 的取值范围是（ ）A. 1[0,?)2B. 1(0,?)4C. 1(0,?]2D. 1(0,?]4【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象和题设条件，求得22201,()1x f x x <<=-，再利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，如图所示，可得当0x <时，021x <<，当01x <≤时，0()1f x ≤≤，当1x ≥时，()0f x ≥， 结合图象可得201x <<，22()1f x x =-，所以222222222111()(1)()(0,]244x f x x x x x x =-=-+=--+∈，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的图象和题设条件，求得22201,()1x f x x <<=-是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13.向量(1, 3)a =-r ，(, 2)b x =r ，且a b ⊥r r，则a b -=r r _________. 【答案】52【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直关系，求得6x =，进而得到a b +r r的坐标，利用模的计算公式，即可求解.【详解】由向量()1,3a =-v ，(),2b x =v ，且a b ⊥vv ，即320x -+⨯=，解得6x =，所以(5,5)a b +=v v ，所以a b +==vv 【点睛】本题主要考查了向量的垂直关系的应用，以及向量的坐标运算和向量的模的计算，着重考查了计算与求解能力，属于基础题.14.若椭圆C ：2221(0)1x y m m m+=>+的焦距为，则椭圆C 的长轴长为_________.【答案】【解析】 【分析】根据椭圆的性质222a c b -=，列出方程求得m 的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，椭圆222:1(0)1x y C m m m+=>+的焦距为则221m m +-=，解得2m =，所以215m +=，所以椭圆C 的长轴长为=【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.【解析】【分析】由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2283s =，即可求解. 【详解】由平均数的公式，可得1(4042404344)436a +++++=，解得49a =，所以方差为2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63s =-+-+-+-+-+-=，所以样本的标准差为2213s =. 【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，2PA =，则异面直线AC 与PB 所成角的余弦值为_________.【答案】3714【解析】 【分析】以,OA OB 分别为,x y 轴，以过O 点平行与PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求得向量,OA PB u u u v u u u v的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以,OA OB 分别为,x y 轴，以过O 点平行与PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则333(,0,0),(0,(,0,2)222A B P ，所以33(,0,0),(2)22OA PB ==--u u u v u u u v ，设AC 与PB 所成的角为θ，则cos OA PB OA PBθ⋅==⋅u u u v u u u vu u u v u u u v所以AC 与PB所成的角的余弦值为14. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角，利用向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17.在ABC ∆中，角, , A B C 的对边分别为, , a b c，且sin cos 0a B A =. (1)求A 的大小；(2)若a =3b =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23A π=；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sinB ≠0求出tan A =定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．【详解】（1）由正弦定理得sin sin cos 0A B B A =， ∵sin 0B ≠，∴sin 0A A +=，∴tan A = ∵0A π<<，∴23A π=（2）∵22222cos3a cb bc π=+-，7a =，3b =， ∴23400c c +-=，解得5c =或8c =-（舍），∴12sin 23ABC S bc π∆== 13153352⨯⨯⨯=. 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.【答案】（1）20；（2）710【解析】 【分析】（1）选取的市民年龄在[]40,45内的频率，即可求出人数；（2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A 1，A 2，A 3从第4组选2人，记为B 1，B 2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出.【详解】（1）由题意可知，年龄在[]40,45内的频率为0.0250.1P =⨯=， 故年龄在[]40,45内的市民人数为2000.120⨯=.（2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为1A ，2A ，3A ，第4组的2名分别为1B ，2B ，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.其中第4组的2名1B ，2B 至少有一名被选中的有：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有7种，所以至少有一人的年龄在[)35,40内的概率为710. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19.商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A 按以下单价进行试售，得到如下数据：(1)求销量y 关于x 的线性回归方程；(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的线性回归方程.，已知每件商品A 的成本是10元，为了获得最大利润，商品A 的单价应定为多少元？(结果保留整数)(附：1122211()()()nni ii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ∧====---==--∑∑∑∑，a y b x ∧∧=-.【答案】（1） 2.7100.9y x ∧=-+；（2）24.【分析】（1）根据表格中的数据，利用公式，求得ˆˆ2.7,100.9ba =-=，即可得到回归直线的方程；（2）由（1）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意得1516171819605855534917,5555x y ++++++++====，所以515222154648517552.7,55( 2.7)17100.91ˆ45ˆ55175i ii ii x y xybay bx xx ==--⨯⨯===-=-=--⨯=-⨯-∑∑， 所以y 关于x 的线性回归方程为 2.710.9ˆ0yx =-+； （2）由题意得，获得的利润2(10) 2.7127.91009z x y x x =-=-+-， 所以当127.9245.4x =≈时，z 取得最大值， 所以单价定为24元，可获得最大利润.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥，2AB AD =，且PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)若二面角P BC D --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）105.【分析】（1）先由PD ⊥底面ABCD ，得到PD BC ⊥，再在平行四边形ABCD 中，得到BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得BC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）知，分别以,,DA DB DP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，求得平面PBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 因为平行四边形ABCD 中，//,AD BC AD BD ⊥，所以BC BD ⊥， 因为PD BD D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD ， 而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . （2）由（1）知，BC ⊥平面PBD ，所以PBD ∠即为二面角P BC D --的平面角，即6PBD π∠=，分别以,,DA DB DP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 设2BD =，则1AD PD ==,则(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,1)A B C P -,所以(1,0,1),(1,0,0),(0,2,1)AP BC BP =-=-=-u u u v u u u v u u u v，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00200x n BC y z n BP ⎧-=⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩u u u v v u u u v v ，令1y =，得(0,1,2)n =r ，所以AP 与平面PBC 所成角的正弦值为10sin 25AP n AP nθ⋅===⨯⋅u u u v v u u u v v .【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.已知圆22:2210C x y x y ++-+=和抛物线2:2(0)E y px p =>，圆C 与抛物线E 的准线交于M 、N 两点，MNF ∆的面积为p ，其中F 是E 的焦点. （1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点O 的动直线l 交该抛物线于A ，B 两点，且满足OA OB ⊥，设点Q 为圆C 上任意一动点，求当动点Q 到直线l 的距离最大时直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）520y x =- 【解析】 【分析】（1）由题意表示MNF ∆的面积，解出p 值，即可求出抛物线的方程；（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22111x y ++-=，圆心坐标为()1,1-.抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，将2p x =-代入圆方程，得1y =，∴2MN =MNF ∆的面积为p =，∴2p =，∴抛物线E 的方程为24y x =.（2）设l 的直线方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组得：24y xx my t⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得2440y my t --=， 令216440m t ∆=+⨯>，得20m t +>.由韦达定理得121244y y my y t +=⎧⎨=-⎩，①则()()1212x x my t my t =++= ()221212m y y mt y y t +++.由于0OA OB ⋅=u u u v u u u v，可得12120x x y y +=.即()()22121210m y y mt y y t ++++=，②将①代入②整理得()40t t -=.由于0t ≠得4t =，则直线l 过定点()4,0N ， 当CN l ⊥时，圆心到直线的距离取得最大值， 此时101145CN k -==---，则直线l 的斜率为5k =， 所以直线l 的方程为520y x =-.【点睛】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点?22与点(1,?2--.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过定点1(0,)2-，且斜率为()10k k -≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=；（2）k ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，2. 【解析】 【分析】（1）把两点的坐标代入椭圆的方程，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立方程组，由>0∆，即2221k m +>，以及根与系数的关系，得到线段AB 的中点坐标，代入直线方程l 方程，求得2122k m +=，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式，得到AOB S ∆的表达式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得2222231441214a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=. （2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 所以>0∆，即2221k m +>，……….①且2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++， 所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-+，纵坐标为00212my kx m k =+=+， 将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2122k m += ……… ②，由①②可得232k <，又0k ≠，所以(k ∈⋃，又AB ==且原点O 到直线AB的距离d =，所以2122(12)AOBm S AB d k ∆==+==所以1m =时，AOB S ∆最大值2，此时2k =±，所以2k =±时，AOB S ∆最大值2. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。
高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案 (2)
滁州九校—第一学期高二期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出n 人，若抽出的男生人数为12，则n 等于（ ）A ．16B ．18C ． 20D ．22 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（ ）A ．,ln x R x x ∀∈≤B ．,ln x R x x ∀∈<C ．000,ln x R x x ∃∈≤D ．000,ln x R x x ∃∈>3. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C ． 2 D ． 3 4.下列函数是偶函数的是 （ ）A ．cos y x x =+B ．sin 2y x x =+ C. 2cos y x x =+ D ．2sin 2y x x =+5. 若正方形ABCD 的边长为1，则在正方形ABCD 内任取一点，该点到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．4π B ．6π C. 1π D ．2π6. “函数()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数”是“01a ≤≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 （ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．58. 设命题2:,20p x R x x ∃∈-+=；命题:q 若1m >，则方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()()p q ⌝∨⌝ C. p q ∧ D ．()p q ∧⌝ 9. 将曲线cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得曲线()y f x =，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．(),33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10. 已知长方体11111,2,3,ABCD A B C D AD AA AB E -===是线段AB 上一点，且1,3AE AB F =是0中点，则1D C 与平面1D EF 所成的角的正弦值为（ ）A ．．411.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()3cos 3cos cos b A a C a B -=+，则sin A =（ ）A B ．1312. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为M ，右焦点为F ，过左顶点且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于点N ，若MNF ∆的面积为232b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ． 3B ． 2 C.53 D ．43第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,3,3,a b t =-=，若a b ⊥，则2a b += ．14.已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的1x =-与1x =时，则输出的两个y 值的和为 ．15.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，点,E F 分别为1,CD DD 的中点，点G 在棱1AA 上，若//CG 平面AEF ，则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为 ．16.已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点M 是椭圆上第一象限内的点，MF 的延长线依次交y 轴，椭圆于点,P N ，若MF PN =，则直线MN 的斜率为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件（单位：mm ）， 甲：25，44，25，43，25，41，25，39，25，38 乙：25，41，25，42，25，41，25，39，25，42 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高．18.已知直线2y x p =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，O 是坐标原点．（1）求证：OA OB ⊥；（2）若F 是抛物线的焦点，求ABF ∆的面积．19.某高校进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[)30,35岁、[)35,40岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%． 请完成以下问题：（1）求[)30,35岁与[)35,40岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从[)30,45岁和[)45,50岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队，求领队的两人年龄都在[)30,45岁内的概率．20. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知232,S 6S ==-． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）是否存在n ，使23,S 2,n n n S n S +++成等差数列，若存在，求出n ，若不存在，说明理由．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1,2,PB PD AB AP Q====是CD 中点．（1）求点C 到平面BPQ 的距离； （2）求二面角A PQ B --的余弦值．22.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆ （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12：AB二、填空题13. 5416.三、解答题17.解：甲的平均数()125.4425.4325.4125.3925.38 5.415x =⨯++++=甲， 乙的平均数()125.4125.4225.4125.3925.4225.415x =⨯++++=乙， 甲的方差20.00052s =甲，乙的方差20.00012s =乙，∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高． 18.（1）证明：由222y x p y px=-⎧⎨=⎩，得22442x px p px -+=，∴22640x px p -+=， 设()()1122,y ,,A x B x y ，则11222,2y x p y x p =-=-，且2121264x x p x x p +-=，∴()()()221212121212122222482640x x y y x x x p x p x x p x x p p p p p +=+--=-++=-+=，∴12120OA OB x x y y =+=，∴OA OB ⊥； （2）解：由（1）知AOB ∆的面积等于()()22221122111222S OA OB x y x y x==++=225p ==， （用12122S p y y =-求解同样给分）直线2y x p =-与x 轴交点为()2,0M p ，抛物线焦点F 为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，∴34FM OM =，∴AFB ∆的面积为234S p =． 19.解：（1）[)30,35岁的人数为10000.06580%240⨯⨯⨯=，[)35,40岁的人数为10000.04560%120⨯⨯⨯=；（2）由（1）知[)30,35岁中抽4人，记为,,,a b c d ，[)35,40岁中抽2人，记为x y 、， 则领队两人是ab ac ad ax ay bc bd bx by cd cx cy dx dy xy 、、、、、、、、、、、、、、共15种可能，其中两人都在[)30,35岁内的有6种，所以所求概率为62155=． 20.解：（1）设{}n a 的公差为d ，则112232362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，∴146a d =⎧⎨=-⎩， ∴()()211461106,732n n n n a n n S na d n n -=--=-=+=-； （2）()()2223737333646n n S S n n n n n n -+=-++-+=---，()()2227232352n S n n n n +=+-+=--+，()()2222223522664n S n n n n n n ++=--++=--+，若存在n ，使23,2,n n n S S n S +++成等差数列，则22646664n n n n ---=--+，∴5n =， ∴存在5n =，使23,2,n n n S S n S +++成等差数列． 21.解：∵正方形边长1,2AB PB PD AP ====，∴222222PB PA AB PD PA AD =+=+，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∴PA ⊥平面ABCD ， ∴分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,,1,0,1,1,02A B D P Q C⎛⎫⎪⎝⎭，∴()()()10,0,2,1,0,2,,1,2,1,1,22AP BP PQ PC⎛⎫==-=-=-⎪⎝⎭，（1）设平面BPQ的一个法向量()1111,,n x y z=，则1111111201202x zBP nx y zPQ n-+=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩，令11z=，得()12,1,1n=，∴PC与平面BPQ所成角的正弦值111sin66n PCn PCθ===，∴点C到平面BPQ的距离为6sinPQθ=（2）设平面APQ的一个法向量()2222,,n x y z=，则222222201202zAP nx y zPQ n⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩，令22x=，得()22,1,0n=-，∴121212cos,6n nn nn n===⨯A PQ B--22.解：（1）设M的焦点()()12,0,,0F c F c-，∵12,P PF F∆⎭122c⨯=1c=，由222233141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2243a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆M 的方程为22143x y +=； （2）设直线l 的方程为y kx t =+，由22143x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x ktx t +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．。
安徽省滁州市民办高中2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理
滁州市民办中学2024-2025学年度上学期期末试卷高二（理科）数学考生留意：1、本试卷分为选择题和非选择题。
考试时间：120分钟，满分150分。
2、本卷命题范围：选修2-1、选修2-2第一章。
第I卷选择题(60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是( )A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞52.已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤23.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°4.已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝15.函数f(x)＝sin2x的导数f′(x)等于( )A．2sin x B．2sin2x C．2cos xD．sin 2x6.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )A． B． C． D．27.已知抛物线C：x2＝16y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C的一个交点，若＝3，则|PF|等于( )A． B． C． D．8.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)·f′(x)>0的解集为( )A．(0,2) B．(－∞，0)∪(2,3)C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(0,2)∪(3，＋∞)9.已知函数f(x)＝x3－ax2＋4，若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为( )A．(1，＋∞) B．(，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)10.若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满意f(x)>xf′(x)，则肯定有( )A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增函数B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数11.设函数f(x)＝ax3－x＋1(x∈R)，若对于随意x∈[－1,1]都有f(x)≥0，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，2] B．[0＋∞) C．[0,2] D．[1,2]12.设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点第II卷非选择题(90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．14. 已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.15.已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满意|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．16. f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如下图所示．令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的结论：①若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称；②若a＝－1，－2<b<0，则方程g(x)＝0有大于2的实根；③若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有两个实根；④若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根．其中，正确的结论为________．三、解答题(共6小题 ,共70分。
2018-2019学年安徽省滁州市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．若集合A＝{x|2x﹣x2＜0}，则∁R A＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）D．[2，+∞）2．已知命题p：∀x＞0，2x﹣x＜0，则￢p是（）A．∀x＞0，2x﹣x＞0B．∀x＞0，2x﹣x≥0C．∃x0＞0，D．∃x0＞0，3．若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（）A．79B．79.5C．80D．81.54．设抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则“|PF|＝3”是“点P到x轴的距离为2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001，002，003，…，200，用系统抽样的方法（等距离）抽出20人，若编号为006，036，041，176，196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（）A．006B．041C．176D．1966．在等差数列{a n}中，a1＝1，且a2﹣a1，a3﹣a1，a4+a1成等比数列，则a5＝（）A．7B．8C．9D．107．命题p：函数y＝x2﹣ax+1在（1，+∞）上是增函数．命题q：直线x﹣2y﹣a＝0在x轴上的截距大于0．若p∧q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤0C．0＜a＜2D．0＜a≤28．在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（）A．B．C．D．9．若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数10101（2）化为十进制数（注：10101（2）＝1×20+0×21+1×22+0×23+1×24），那么处理框①内可填入（）A．S＝2S+i B．S＝S+i C．S＝S+2i﹣1D．S＝S+2i10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则直线A1E与平面B1D1F所成角的正弦值是（）A．B．C．D．11．设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过点F与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B，且|AF|＝2|BF|＝5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．设函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x2f （x2）的取值范围是（）A．[0，）B．（0，）C．（0，]D．（0，]二、填空题13．向量＝（﹣1，3），，且，则＝．14．若椭圆C：的焦距为，则椭圆C的长轴长为．15．已知样本数据为40，42，40，a，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，PA＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B+b cos A＝0．（1）求A的大小；（2）若a＝7，b＝3，求△ABC的面积．18．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]）．（1）求选取的市民年龄在[40，45]内的人数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率．19．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A 按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：（Ⅰ）求销量y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？（结果保留整数）（参考数据：y i＝275，x i y i＝4648，x i2＝1455）（参考公式：＝＝，＝﹣）20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥BD，AB＝2AD，且PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．21．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C 上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．22．已知椭圆C：过点（，）与点（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过定点，且斜率为，若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的取值范围及△AOB面积的最大值．2018-2019学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若集合A＝{x|2x﹣x2＜0}，则∁R A＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）D．[2，+∞）【解答】解：A＝{x|2x﹣x2＜0}＝{x|x＜0，或者x＞2}∁R A＝[0，2]，故选：B．2．已知命题p：∀x＞0，2x﹣x＜0，则￢p是（）A．∀x＞0，2x﹣x＞0B．∀x＞0，2x﹣x≥0C．∃x0＞0，D．∃x0＞0，【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x＞0，2x﹣x＜0，则￢p是∃x0＞0，．故选：C．3．若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（）A．79B．79.5C．80D．81.5【解答】解：把数据从小到大排列，根据茎叶图，中间两位数字为76，82，故中位数为（76+82）＝79，故选：A．4．设抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则“|PF|＝3”是“点P到x轴的距离为2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：抛物线的焦点为F（0，1），点P在抛物线上，设P点纵坐标为a，则|PF|＝3＝a+1，故a＝2，即点P到x轴的距离为2，反之，a＝2，a+1＝3＝|PF|，故前者能推出后者，后者也能推出前者，互为充要条件，故选：C．5．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001，002，003，…，200，用系统抽样的方法（等距离）抽出20人，若编号为006，036，041，176，196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（）A．006B．041C．176D．196【解答】解：间隔为10，共有20组，故首次抽到的号码是006号，以后每隔10个号抽到一人，构成a n＝10n﹣4的一组等差数列，n＝1，2， (20)只有041，不符合条件，故选：B．6．在等差数列{a n}中，a1＝1，且a2﹣a1，a3﹣a1，a4+a1成等比数列，则a5＝（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝1，且a2﹣a1，a3﹣a1，a4+a1成等比数列，得，即（2d）2＝d（2+3d），解得d＝0或d＝2，当d＝0时，不满足a2﹣a1，a3﹣a1，a4+a1成等比数列，故d＝2．∴a5＝a1+4d＝1+4×2＝9．故选：C．7．命题p：函数y＝x2﹣ax+1在（1，+∞）上是增函数．命题q：直线x﹣2y﹣a＝0在x轴上的截距大于0．若p∧q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤0C．0＜a＜2D．0＜a≤2【解答】解：若命题p为真：∵函数y＝x2﹣ax+1对称轴为x＝，在（1，+∞）上是增函数，∴≤1，∴a≤2，若命题q为真：令y＝0得，x＝a，∴a＞0，∵p∧q为真命题，∴命题p，q都为真命题，∴，∴0＜a≤2，故选：D．8．在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积S＝4π，中间方孔的面积为S＝4，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为p＝＝．故选：D．9．若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数10101（2）化为十进制数（注：10101（2）＝1×20+0×21+1×22+0×23+1×24），那么处理框①内可填入（）A．S＝2S+i B．S＝S+i C．S＝S+2i﹣1D．S＝S+2i【解答】解：10101（2）＝1×20+0×21+1×22+0×23+1×24＝21，S＝S+2iS＝1，i＝1满足条件i≤4，执行循环体，S＝1+2＝3，i＝2满足条件i≤4，执行循环体，S＝3+4＝7，i＝3满足条件i≤4，执行循环体，S＝7+6＝13，i＝4满足条件i≤4，执行循环体，S＝13+8＝21，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为21，故选：D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则直线A1E与平面B1D1F所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以DA、DC、DD1方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则得各点坐标为A1（2，0，2），E（2，1，0），B1（2，2，2，），D1（0，0，2），F（0，2，1），设平面B1D1F的法向量为，且，则令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣2，，又因为，设直线A1E与平面B1D1F所成角为α，＝＝，故选：D．11．设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过点F与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B，且|AF|＝2|BF|＝5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图所示，把x＝﹣c代入双曲线＝1（a＞0，b＞0），解得y＝±．取B（﹣c，）．∵|AF|＝2|BF|，∴a+c＝2×．化为：a2+ac＝2（c2﹣a2），化为：2e2﹣e﹣3＝0，e＞1．解得：e＝．故选：A．12．设函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x2f （x2）的取值范围是（）A．[0，）B．（0，）C．（0，]D．（0，]【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：x1＜x2＜x3，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），x2∈（0，1）可得x2f（x2）＝x2（1﹣x2）＝x2﹣x22∈（0，]．故选：D．二、填空题13．向量＝（﹣1，3），，且，则＝5．【解答】解：∵＝（﹣1，3），，且，∴＝﹣x+6＝0，∴x＝6，＝（﹣7，1），则＝＝5．故答案为：5．14．若椭圆C：的焦距为，则椭圆C的长轴长为．【解答】解：椭圆C：的焦距为，可得2＝2，所以m＝2，则椭圆C的长轴长为：2＝2．故答案为：2．15．已知样本数据为40，42，40，a，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为．【解答】解：∵样本数据为40，42，40，a，43，44，且这个样本的平均数为43，∴＝43，解得a＝49，∴该样本的方差为：S2＝[（40﹣43）2+（42﹣43）2+（40﹣43）2+（49﹣43）2+（43﹣43）2+（44﹣43）2]＝，∴该样本的标准差为：S＝＝．故答案为：．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，PA＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为．【解答】解：以OA，OB为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：，∴，∴异面直线AC与PB所成角的余弦值为：＝．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B+b cos A＝0．（1）求A的大小；（2）若a＝7，b＝3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，由正弦定理可得，sin A sin B+sin B cos A＝0，∵sin B≠0，∴sin A+cos A＝0，即tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，（2）∵a＝7，b＝3，由余弦定理可得，＝，∴＝，整理可得，c2+3c﹣40＝0，解可得，c＝5，c＝﹣8（舍），∴S△ABC＝＝＝，18．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]）．（1）求选取的市民年龄在[40，45]内的人数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得年龄在[40，45）内的频率为0.02×5＝0.1，则选取的市民年龄在[40，45）内的人数0.1×200＝20，（2）由频率分布直方图可得年龄在[30，35）内的频率为0.06×5＝0.3，则选取的市民年龄在[30，35）内的人数0.3×200＝60，在[35，40）内的频率为0.04×5＝0.2，则选取的市民年龄在[35，40）内的人数0.2×200＝40，则第3，4组的人数比为3：2，故从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，其中从第3组选3，记为A1，A2，A3从第4组选2人，记为B1，B2，则从5人选2人的：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种．其中第4组没有一名被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共有3种．所以参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率1﹣0.3＝0.7．19．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A 按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：（Ⅰ）求销量y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？（结果保留整数）（参考数据：y i＝275，x i y i＝4648，x i2＝1455）（参考公式：＝＝，＝﹣）【解答】解：（Ⅰ），y i＝275＝55，∴＝＝＝﹣2.7，＝﹣＝55﹣（﹣2.7）×17＝100.9．∴销量y关于x的线性回归方程为y＝﹣2.7x+100.9；（Ⅱ）设商品A的单价应定为x元，则利润w＝（﹣2.7x+100.9）x﹣10x＝﹣2.7x2+99.9x，∴当x＝时，获得的利润最大．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥BD，AB＝2AD，且PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥BD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．∴BC⊥BD，BC⊥AD，∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2AD＝2，DP＝t，则P（0，0，t），B（1，2，0），C（0，2，0），＝（1，2，﹣t），＝（0，2，﹣t），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝t，得＝（0，t，2），平面BCD的法向量＝（0，0，1），∵二面角P﹣BC﹣D为，∴cos60°＝＝＝，解得t＝2，∴P（0，0，2），平面PBC的法向量＝（0，2，2），A（1，0，0），＝（﹣1，0，2），设AP与平面PBC所成角为θ，则AP与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．21．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C 上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0的圆心C（﹣1，1），半径为1，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，F（，0），由△MNF的面积为p，可得•p•|MN|＝p，即|MN|＝2，可得MN经过圆心C，可得p＝2．则抛物线的方程为y2＝4x；（2）不过原点O的动直线l的方程设为x＝my+t，t≠0，联立抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，即+y1y2＝0，即16t2﹣64t＝0，解得t＝4，则动直线l的方程为x＝my+4，恒过定点H（4，0），当直线CH⊥l时，Q到直线l的距离最大，由|CH|＝＝，可得Q到直线l的距离的最大值为1+，此时直线CH的斜率为﹣，直线l的斜率为5，可得直线l的方程为y＝5x﹣20．22．已知椭圆C：过点（，）与点（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过定点，且斜率为，若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的取值范围及△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆方程：mx2+ny2＝1，由题意过两点可得：解得：m＝，n＝1；所以椭圆C的方程为：；（2）由题意直线l的方程：y＝﹣x﹣，即：2x+2ky+k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点设为（x0，y0），所以，，两式相减得，，x0+2y0k＝0，①因为AB的中点在直线l上，所以2x0+2ky0+k＝0，②把①②组成方程组解得x0＝﹣k，y0＝，设直线AB方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），所以y﹣＝k（x+k），即y＝kx+k2+，联立，得（1+2k2）x2+（4k3+2k）x+2k4+2k2﹣＝0，所以△＝（4k3+2k2）2﹣4（1+2k2）（2k4+2k2﹣）＝﹣8k4+8k2+6＞0，解得k2＜，即．x1+x2＝﹣＝﹣2k，x1x2＝，|AB|＝＝＝，点O到直线AB距离d＝，所以S△AOB＝＝＝，令t＝k2（0＜t），则S△AOB＝，所以当t＝1时，△AOB面积最大．。
安徽省滁州市高二上学期期末数学试卷(理科)
安徽省滁州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·都匀开学考) 命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为（）A . 对任意x∈R，都有x2＜ln2B . 不存在x∈R，都有x2＜ln2C . 存在x∈R，使得x2≥ln2D . 存在x∈R，使得x2＜ln22. （2分） (2019高二上·台州期末) 双曲线的渐近线方程是A .B .C .D .3. （2分） (2017高三下·静海开学考) 下列说法错误的是（）A . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B . 命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”C . 若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题D . 若是“ ”的充要条件4. （2分） (2019高二上·西安月考) 在正方体中，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·上海模拟) 已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，，和，，，均由2个和2个排列而成，记S= • + • + • + • ，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（）①S有3个不同的值；②若⊥ ，则Smin与| |无关；③若∥ ，则Smin与| |无关；④若| |=2| ，Smin=4 ，则与的夹角为．A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）执行右边的程序框图，如果输入a=5，那么输出n= （）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）(2020·九江模拟) 在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 43122412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234A .B .C .D .8. （2分）(2020·海南模拟) 已知正六边形的两个顶点为双曲线：的两个焦点，其他顶点都在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D . 49. （2分）在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（）A . ﹣24B . 35.6C . 40.5D . 4010. （2分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A . －2B . 2C . －4D . 411. （2分） (2016高二上·重庆期中) 设A（1，﹣1，1），B（3，1，5），则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是（）A . 在y轴上B . 在xOy面内C . 在xOz面内D . 在yOz面内12. （2分）已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x ，则该双曲线的离心率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·防城港期末) 某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数有________家．14. （1分） (2019高二下·嘉兴期末) 已知向量满足：，，当取最大值时， ________．15. （1分）(2017·闵行模拟) 椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是________．16. （1分） (2017高一下·天津期末) 在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为________．三、解答题. (共6题；共60分)17. （10分） (2019高三上·大冶月考) 已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．（1）若，为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18. （10分）(2019·贵州模拟) 已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.甲每天生产的次品数/件01234对应的天数/天4020201010乙每天生产的次品数/件0123对应的天数/天30252520（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；（2）按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润.19. （10分）(2016·温岭模拟) 四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．（1）证明：AC⊥BP；（2）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．20. （10分） (2016高二下·重庆期末) 已知定点M（﹣），N是圆C：（x﹣）2+y2=16（C为圆心）上的动点，MN的垂直平分线与NC交于点E．（1）求动点E的轨迹方程C1；（2）直线l与轨迹C1交于P，Q两点，与抛物线C2：x2=4y交于A，B两点，且抛物线C2在点A，B处的切线垂直相交于S，设点S到直线l的距离为d，试问：是否存在直线l，使得d= ？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2016高二上·宝应期中) 解答（1）将一颗骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，以分别得到的点数（m，n）作为点P的坐标（m，n），求：点P落在区域内的概率；（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．22. （10分）(2020·新课标Ⅱ·文) 已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安徽省滁州市数学高二上学期理数期末教学质量检测试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高二上·榆树期末) 已知 ,则“ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 即不充分也不必要条件
3. （2分） (2018高一下·张家界期末) 直线与直线平行，则两直线间的距离为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）若曲线C1:y2=2px(p>0)的焦点F恰好是曲线的右焦点，且C1与C2交点的连线过点F，则曲线C2的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）设ABC的一个顶点是A(3,-1),的平分线所在直线方程分别为x=0,y=x , 则直线BC的方程为（）
A . y=2x+5
B . y=2x+2
C . y=3x+5
D . y=-x+
6. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高二上·西宁期末) 圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）
A . 相离
B . 相交
C . 外切
D . 内切
8. （2分）设F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）已知圆M过定点（2，0）且圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长|AB|等于（）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 与点M位置有关的值
10. （2分） (2018高二下·湛江期中) 设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，当三棱锥O﹣ABC的体积最大时，则异面直线AB和OC间的距离等于（）
A . 1
B .
C .
D . 2
12. （2分）双曲线，（n＞1）的两焦点为F1、F2 ， P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）
A .
B . 1
C . 2
D . 4
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分）已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2 ，则a=________
14. （1分） (2018高二上·西城期末) 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有________个直角三角形.
15. （2分） (2019高二下·温州月考) 一球内切于底面半径为，高为3的圆锥，则内切球半径是________；内切球与该圆锥的体积之比为________；
16. （1分）(2019·河北模拟) 已知双曲线，圆 .若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最大值时，的实轴长为________．
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （10分）(2020·重庆模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，），点，直线l交曲线C于A，B 两点，求的取值范围.
18. （10分） (2016高二上·重庆期中) 已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）且满足 + = ，求直线l的方程．
19. （10分）(2016·商洛模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．
（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P为半圆周中点，求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值．
20. （10分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）
求证：OA⊥OB．
（2）
求|AB|．
21. （10分） (2019高二上·慈溪期中) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.
（1）求证：PB⊥D M；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．
22. （10分）(2017·九江模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线的焦点相同，F1 ， F2为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为4 ．
（1）
求椭圆C的方程；
（2）
设椭圆C上的任意一点N（x0，y0），从原点O向圆N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作两条切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
20-1、20-2、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
第11 页共11 页。