2017-2018学年高二上期末数学文科试卷(1)含答案解析
17—18学年上学期高二期末考试数学(文)试题(附答案) (1)
银川一中2017/2018学年度(上)高二期末考试数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数1z 对应的点为(2,3)，复数212i z =-+，若复数12z z z =-，则复数对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知x y )21(=是指数函数；则xy )21(=是增函数”的结论显然是错误的，这是因为A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－1＋t (t 为参数)，则直线l 的普通方程为A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＝0D ．x ＋y －2＝0 4．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )5．椭圆 3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的离心率是A ．35 B ．45 C ．925 D ．16256．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为 A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数 7．在极坐标系中，点(1，0)到直线θ＝π4(ρ∈R)的距离是A ．12B ．22 C ．1 D ． 28．如下图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是 （ ） A ．12B ．48C ．60D ．1449．极坐标方程错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
0）表示的图形是A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线 10．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．④在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了15％的热茶销售杯数变化.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．411．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：a acb 32<-”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<012．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为________. 14．曲线C 的方程为x 2+ y 23＝1 ，其上一点）（y x ,P ，则y x +3的最大值为________.15．已知ABC △的三边长分别为c b a ,,，其面积为S ，则A B C△的内切圆O 的半径c b a Sr ++=2．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．请用类比推理方法猜测对空间四面体ABCD 存在类似结论为 ．16．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解是________．三、解答题：(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本大题满分10分）已知复数z ＝3＋bi (b ∈R)，且(1＋3i )·z 为纯虚数． (1)求复数z 及z ； (2)若ω＝iz+2，求复数ω的模|ω|. 18．（本大题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 225223 (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=25sin θ．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点,A B ．若点P 的坐标为(3，求PA PB +． 19．（本大题满分12分）已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (1)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； (2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.20．（本大题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是1月与6月两组数据，请根据2至5月份的数据，用最小二乘法求出y 关于x的线性回归方程y ∧＝a ∧＋b ∧x .(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：x b y a xn x x x y x n y x y x y x b n n n ˆˆ,ˆ2222212211-=-+++⋅-+++= 或：x b y ax xy y x xb ni ini i iˆˆ,)())((ˆ211-=---=∑∑== 21．（本大题满分10分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某 类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观 众进行调查，其中女性有55名．下面是根据 调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，22．（本大题满分12分） 已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （1）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；（3）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.2017高二上学期-期末试题（文科）数学答案一.选择题13. 73-; 14. 32 15. R=43213S S S S V +++; 16. ()3,0()3,(⋃--∞.三.解答题17．解析： (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i. (2)ω＝3＋i2＋i ＝＋－＋－＝7－i 5＝75－15i∴|ω|＝⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－152＝ 2. 18．(1)5)5(22=-+y x (2)23 19．(1)1 (2))12(46- 20．(1)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ∧＝187，再由a ∧＝y －b ∧x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ∧＝－307＋187x .(2)当x ＝10时y ∧＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22<2，同样，当x ＝6时y ∧＝787，⎪⎪⎪⎪787－12<2， 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.21.由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而得2×2列联表如下：将2×2K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关． 22.（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =.经检验，13a =时，符合题意. （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-.② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a-；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时， )(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a -，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞.。
2017—2018学年高二期末教学质量检测(一)文科数学(包含详细解析)
2017—2018学年高二期末教学质量检测（一）文科数学试题卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）更多交流请与我联系一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ） A ．BCD2．若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3．设i 是虚数单位，则复数i+11在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B C ．第三象限 D ．第四象限 4 ）A.225．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A.a >0，b <0，c >0，d >0 B.a >0，b <0，c <0，d >0 C.a <0，b <0，c >0，d >0 D.a >0，b >0，c >0，d <06．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的线性回归方程y ^＝64＋8x ，下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加72元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为64元i x y ()2i i i x y +=-i x y -=11i z =-z z i1zz -i i -11-8．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－29．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )＜0.对任意正数a ，b ， 若a ＜b ，则必有( )A ．bf (a )＜af (b )B ．af (b )＜bf (a )C ．af (a )＜f (b )D ．bf (b )＜f (a ) 10．若a ＞b ＞0，则下列不等式中不正确的是( )A ．a 2＞abB ．ab ＞b 2C.1a ＞1bD ．a 2＞b 211．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ ） A ．甲和乙不可能同时获奖 B ．丙和丁不可能同时获奖 C ．乙和丁不可能同时获奖 D ．丁和甲不可能同时获奖12．设函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知的图象在点处的切线方程是，则 14．写出下列命题中所有真命题的序号 .①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r 越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心),(y x ；③线性回归方程102.0ˆ+=x y，则当样本数据中10=x 时，必有相应的12=y ；④回归分析中，相关指数2R 的值越大说明残差平方和越小.15．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是________.16．已知函数)(x f 定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)(x f '的图像如图所示.下列关于函数)(x f 的命题： ①函数)(x f 的极大值点有2个；②函数)(x f 在[0,2]上是减函数；③若x ∈[-1,t ]时，)(x f 的最大值是2，则t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数y =)(x f a -有4个零点. 其中是真命题的是 .（填写序号）()()2ln 32f x x a x x =+-+()0f x >()1,+∞[]0,1[]1,0-[]0,2[]1,1-()y f x =()()2,2M f 4y x =+()()22f f '+=三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.(1)根据条件完成下列22⨯列联表；(2)判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？()()()()()2n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.18．（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：(2) 已知购买原材料的费用C (元)与数量t (袋)的关系为40020,036,380,36,NN t t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L =销售收入-原材料费用).参考公式：()()()1122211nnii i ii i nniii i xx y yx y nx yb xx xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i i i x y ==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标；(2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为12x at y t b =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，求a ，b 的值.20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧α=α=sin cos 3y x （其中α为参数），曲线()11:222=+-y x C ，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若射线）（06>ρπ=θ与曲线1C ，2C 分别交于B A ,两点，求AB .21．（12分）已知函数()22ln f x a x x ax =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围. 22．（10分）已知函数()221f x x x =--+． （1）解不等式()2f x ≤；（2）若R b ∃∈，不等式()a b a b f x +--≥对x R ∀∈恒成立，求a 的取值范围．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ） A ． BCD【答案】D【解析】，，，则选D ．2．若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，所以虚部为1，选C ．3．设i 是虚数单位，则复数i+11在复平面内所对应的点位于（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）CA.25.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )i x y ()2i i i x y +=-i x y -=1()2i i i x y +=-2i i x y ∴-+=-12x y =-⎧∴⎨=-⎩i 12i x y -=-+=1i z =-z z i1zz -i i -11-ii i 121zz ==--A.a >0，b <0，c >0，d >0B.a >0，b <0，c <0，d >0C.a <0，b <0，c >0，d >0D.a >0，b >0，c >0，d <0 解析 由函数y ＝f (x )的图象知，a >0，f (0)＝d >0. 又x 1，x 2是函数f (x )的极值点， 且f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0，∴x 1，x 2是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根.由图象知，x 1>0，x 2>0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2b3a>0，x 1x 2＝c 3a>0.因此b <0，且c >0.答案 A6.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．解析：选B 本程序计算的是S ＝1＋2＋22＋…＋2A ，则S ＝1－2A ＋11－2＝2A ＋1－1，由2A ＋1－1＝31，得2A ＋1＝32，解得A ＝4，则A ＋1＝5时，条件不成立，所以M ＝4. 7.每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y ^＝64＋8x ，下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加72元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为64元解析：选C 根据回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位．8.已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－29.f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )＜0.对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有( )A ．bf (a )＜af (b )B ．af (b )＜bf (a )C ．af (a )＜f (b )D ．bf (b )＜f (a )解析：选B 构造函数F (x )＝xf (x )， 则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．由题设条件知F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减． 若a ＜b ，则F (a )＞F (b )，即af (a )＞bf (b )． 又f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数， 所以bf (a )＞af (a )＞bf (b )＞af (b )．故选B.10.若a ＞b ＞0，则下列不等式中不正确的是( )A ．a 2＞abB ．ab ＞b 2 C.1a ＞1b D ．a 2＞b 2答案：C11．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ C ） A ．甲和乙不可能同时获奖 B ．丙和丁不可能同时获奖 C ．乙和丁不可能同时获奖 D ．丁和甲不可能同时获奖12．设函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）()()2ln 32f x x a x x =+-+()0f x >()1,+∞A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】整理得，如图，为了满足不等式恒成立，则，且在处的切线斜率，，所以，，所以得，综上，，故选A ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知的图象在点处的切线方程是，则.714．写出下列命题中所有真命题的序号 （2）（4） .①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r 越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心),(y x ；③线性回归方程102.0ˆ+=x y，则当样本数据中10=x 时，必有相应的12=y ；④回归分析中，相关指数2R 的值越大说明残差平方和越小.15．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是________.解析：选D.y ′＝x 2＋2bx ＋(b ＋2)．由于函数在R 上单调递增，∴x 2＋2bx ＋(b ＋2)≥0在R 上恒成立，即Δ＝(2b )2－4(b ＋2)≤0，解得－1≤b ≤2.16．已知函数)(x f 定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)(x f '的图像如图所示.[]0,1[]1,0-[]0,2[]1,1-()232ln a x x x -+>-0a ≥1x =()()11f g ''≤()1f x x '=-()()23g x a x '=-()()11f g ''≤1a ≤1a 0≤≤()y f x =()()2,2M f 4y x =+()()22f f '+=下列关于函数)(x f 的命题：①函数)(x f 的极大值点有2个； ②函数)(x f 在[0,2]上是减函数； ③若x ∈[-1,t ]时，)(x f 的最大值是2，则t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数y =)(x f a -有4个零点.其中是真命题的是 ① ② .（填写序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.(1)根据条件完成下列22⨯列联表；(2)判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？()()()()()2n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.18．解：（Ⅰ）（Ⅱ）计算222()100(15204520) 6.59 6.635()()()()60403565n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， 所以没有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关．18．（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：(4) 已知购买原材料的费用C (元)与数量t (袋)的关系为40020,036,380,36,NN t t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L =销售收入-原材料费用). 参考公式：()()()1122211nnii i ii i nniii i xx y yx y nx yb xx xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i i i x y ==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑..解：(1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-，则y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-.(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NN t t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+，当35t =时，max 300352010480L =⨯-=；当36t ≥时，利润70036.5380L t =⨯+，当36t =时，max 70036.53803611870L =⨯-⨯=. 综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元. 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标；(2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为12x at y t b =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，求a ，b 的值.解：(1)由题可知，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，由4sin cos sin 4ρθρθρθ=⎧⎨+=⎩，可得4π2ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或π4ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得圆C 和直线l 的交点的极坐标为π4,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知圆C 和直线l 的交点在平面直角坐标系中的坐标为()0,4和()2,2,，那么点D 的坐标为()1,3，又点C 的坐标为()0,2，所以直线CD 的普通方程为20x y -+=，把12x at y t b =+⎧⎨=+⎩(t为参数)代入20x y -+=，可得()230a t b -+-=，则2030a b -=⎧⎨-=⎩，即2a =，3b =.20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧α=α=sin cos 3y x （其中α为参数），曲线()11:222=+-y x C ，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若射线）（06>ρπ=θ与曲线1C ，2C 分别交于B A ,两点，求AB . .解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧α=α=sin cos 3y x 得1322=+y x ，所以曲线1C 的普通方程为1322=+y x . 把θρ=θρ=sin ,cos y x ，代入()1122=+-y x ，得到()()1sin 1cos 22=θρ+-θρ， 化简得到曲线2C 的极坐标方程为θ=ρcos 2. （Ⅱ）依题意可设⎪⎭⎫ ⎝⎛πρ⎪⎭⎫ ⎝⎛πρ6,,6,21B A ,曲线1C 的极坐标方程为3sin 2222=θρ+ρ. 将()06>ρπ=θ代入1C 的极坐标方程得32122=ρ+ρ，解得21=ρ. 将()06>ρπ=θ代入2C 的极坐标方程得32=ρ. 所以2321-=ρ-ρ=AB .21．（12分）已知函数()22ln f x a x x ax =-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围.21．解：（Ⅰ）22()ln f x a x x ax =-+，定义域为(0)+∞，，2222()(2)()2a x ax a x a x a f x x a x x x---+'=-+=-=-． 1°当0a >时，(0)x a ∈，，()0f x '>；()x a ∈+∞，，()0f x '<；()f x 在(0)a ，上单调递增，()f x 在()a +∞，上单调递减；2°当0a =时，2()f x x =-，此时()f x 在(0)+∞，上单调递减；3°当0a <时，02a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，()0f x '>；2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，，()0f x '<； ()f x 在02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，()f x 在2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1°当0a >时，2222max ()()ln ln 0f x f a a a a a a a ==-+=≤，解得01a <≤； 2°当0a =时，2()0f x x =-≤，在(0)+∞，上恒成立；3°当0a <时，22222max 3()ln ln 0224224a a a a a a f x f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤， 即3ln 24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得342e 0a -<≤． 综上所述，342e 1a -≤≤．22．（10分）已知函数()221f x x x =--+．（1）解不等式()2f x ≤；（2）若R b ∃∈，不等式()a b a b f x +--≥对x R ∀∈恒成立，求a 的取值范围．解：（1）()13,2113,223,2x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩， 原不等式等价于：1232x x ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩或122132x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或232x x ≥⎧⎨--≤⎩， 解得：1x ≤-，或123x -≤<，或2x ≥， 综上所述，不等式解集是：1|13x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或； （2）(),R b a b a b f x ∃∈+--≥恒成立等价于()()max max a b a b f x +--≥． 因为()()2a b a b a b a b a +--≤++-=，所以a b a b +--的最大值为2a ；12x ≤-时，()52f x ≤；122x -<<时，()552f x -<<；2x ≥时，()5f x ≤-， 所以()max 52f x =，所以由原不等式恒成立，得：522a ≥，解得：54a ≥或54a ≤-．。
2017-2018学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．101（9）化为十进制数为（）A．9 B．11 C．82 D．101【解答】解：由题意，101（9）=1×92+0×91+1×90=82，故选：C．2．随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1【解答】解：∵随机事件是指在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件∴随机事件A发生的概率的范围0＜P（A）＜1当A是必然事件时，p（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0故选C．3．如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，∴的平均数为，的方差为3s2故选C4．“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则，所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．5．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤．故选：C．7．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k==1+m2，又由m∈R，则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．8．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数有=5×4=20，这个数字大于40的有=8，∴这个数字大于40的概率是=，故选：A9．已知点P（x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为（）A．B．2C．5 D．2【解答】解：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，由点到直线的距离公式易得d==．∴x2+y2的最小值为5，故选：C10．已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN==，∵R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B11．一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为A（1，4），在入射光线上再取一点B（0，2），则点B关于反射轴x+y﹣5=0的对称点C（3，5）在反射光线上．根据A、C两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即x﹣2y+7=0．故选D．12．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．14．椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是2x+4y﹣3=0．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣，故这条弦所在的直线方程y﹣=﹣（x﹣），整理得2x+4y﹣3=0．故答案为：2x+4y﹣3=0．15．已知命题p：|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（．【解答】解：∵p且q为真命题，∴命题p与命题q均为真命题．当命题p为真命题时：∵|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，∴只须|x﹣1|+|x+1|的最小值≥3a即可，而有绝对值的几何意义得|x﹣1|+|x+1|≥2，即|x﹣1|+|x+1|的最小值为2，∴应有：3a≤2，解得：a≤，①．当命题q为真命题时：∵y=（2a﹣1）x为减函数，∴应有：0＜2a﹣1＜1，解得：，②．综上①②得，a的取值范围为：即：（]．故答案为：（]．16．已知椭圆+=1，当椭圆上存在不同的两点关于直线y=4x+m对称时，则实数m的范围为：﹣＜m＜．【解答】解：∵+=1，故3x2+4y2﹣12=0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12﹣12=0，①3x22+4y22﹣12=0，②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜三、解答题（本大题共6小题，70分）17．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是115，中位数是121.3．【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150，∴第二小组的频率是=0.08．（2）∵次数在110以上为达标，∴在这组数据中达标的个体数一共有17+15+9+3，∴全体学生的达标率估计是=0.88 …6分（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，即=115，…7分处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数121.3 …8分18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．已知直线l：y=kx+1，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．【解答】解：（1）由，消去y得到（k2+1）x2﹣（2﹣4k）x﹣7=0，∵△=（2﹣4k）2+28k2+28＞0，∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1﹣x2|=2=2，令t=，则有tk2﹣4k+（t﹣3）=0，当t=0时，k=﹣；当t≠0时，由k∈R，得到△=16﹣4t（t﹣3）≥0，解得：﹣1≤t≤4，且t≠0，则t=的最大值为4，此时|AB|最小值为2，则直线l被圆C截得的最短弦长为2．20．已知回归直线方程是：=bx+a，其中=，a=﹣b．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x（总分150分）和物理成绩y（总分100分）如下：X 122 131 126 111 125 136 118 113 115 112Y 87 94 92 87 90 96 83 84 79 84（1）试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程（系数精确到0.001）（2）若小红这次考试的物理成绩是93分，你估计她的数学成绩是多少分呢？【解答】解：（1）由题意，==120.9，==87.6，=146825，=102812，∴===0.538，a=﹣b≈22.521∴=0.538x﹣22.521，（2）由（1）=0.538x﹣22.521，当y=93时，93=0.538x﹣22.521，x≈131．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．22．已知H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0，0），使得△ABE是等边三角形，求x0的值．【解答】解（1）设点M的坐标为（x，y），由．得，由，得，所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为，令，所以，点E的坐标为．因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|=．所以，解得，所以．。
安徽省滁州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题 (word版含答案)
滁州市2017-2018学年第一学期高二期末考试数 学 试 卷（文科）（试题卷）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 若函数()cos =+f x x x ，则()f x 的导数()'=f x （ ）2.高二（2）班男生36人，女生18 人，现用分层抽样方法从中抽出n 人，若抽出的男生人数为12，则n 等于（ ）A ． 16B ． 18C ．20D ．223. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A ． 2 D ． 3 4. 下列函数是偶函数的是（ ）A ．cos y x x =+B ．sin 2y x x =+C ．2+cos y x x =D ．2sin 2y x x =+5. 若正方形ABCD 的边长为1，则在正方形ABCD 内任取一点，该点到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．4π B ．6π C. 1π D ．2π6.“函数()()()21=+-+f x x a x a 是偶函数”是“1=-a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 曲线()()1=+xf x x e 在点()()00，f 处的切线方程为（ ）A ． 1=+y xB ．21=+y x C.112=+y x D ．113=+y x 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ． 2 B ．3 C. 4 D ．59. 设命题:p x R ∃∈，220x x -+=；命题q ：若1m >，则方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ． ()()p q ⌝∨⌝ C. p q ∧ D ．()p q ∧⌝ 10.若P 为抛物线2:4=C y x 上一点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标()30，，则当PA 最小时，直线PF 的方程为（ ）A ．230--=x yB ．210--=x y C.3=x D ．1=x 11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3cos 3cos cos b A a a B -=+，则sin A =（ ）A ．B ．13 D 12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0>x 时，()()'>xf x f x ，若()20=f ，则不等式()0>f x x的解集为（ ） A ． {}2002-<<<<或x x x B ．{}22<->或x x x C. {}202-<<>或x x x D ．{}202<-<<或x x x第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()1,3a =-，()3,b t =，若a b ⊥，则2a b += ．14. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的1x =-与1x = 时，则输出的两个y 值的和 为 ．15. 在长方体1111ABCD A BC D -中，1==AB BC ， 12=AA ，点E ，F 分别为CD ，1DD 的中点，点G 在棱1AA 上，若//CG 平面AEF ，则四棱锥-G ABCD 的外接球的体积为 ．16．已知双曲线2222:-x y C a b（0,0>>a b ）的左顶点为M ，右焦点为F ，过左顶点且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于点N ,若∆MNF 的面积为232b ,则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：m m ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42.从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．18. 已知抛物线2:2=C y x ，过点()1,0P 的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点，若=AB ，求直线l 的方程．19. 某高校进行社会实践，对[]2555，岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在(]3035，岁，[)3540，岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.（1）求[)3035，岁与[)3540，岁年龄段“时尚族”的人数； （2）从[)3045，岁和[)4550，岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在[)3045，岁内的概率。
2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) word版含解析
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos=cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．2．设集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则A∩B=（）A．B． C． D．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：C．3．复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）【解答】解：==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．4．已知数列，则a2016=（）A．1 B．4 C．﹣4 D．5【解答】解：数列，∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，21·世纪*教育网可得an+6=an．则a2016=a335×6+6=a6=﹣4．故选：C．5．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率P（A）=．6．已知==2，且它们的夹角为，则=（）A． B． C．1 D．2【解答】解：根据条件：==12；∴．故选A．7．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a2＞b2；④a＞b⇒a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①a＞b⇒ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|⇒|a|＞|b|⇒a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b⇒a3＞b3，故④正确；故选：D8．如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10【解答】解：首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．9．定义在R上的函数f（x）在（6，+∞）上为增函数，且函数y=f（x+6）为偶函数，则A ．f （4）＜f （7）B ．f （4）＞f （7）C ．f （5）＞f （7）D ．f （5）＜f （7） 【解答】解：根据题意，y=f （x+6）为偶函数，则函数f （x ）的图象关于x=6对称， f （4）=f （8），f （5）=f （7）； 故C 、D 错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f （8）＞f （7）； 又由f （4）=f （8）， 故有f （4）＞f （7）； 故选：B ．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积S=2×2=4，高h=×2=，故体积V==，故选：C ．11．气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：21教育名师原创作品甲地：五个数据的中位数是24，众数为22； 乙地：五个数据的中位数是27，平均数为24；丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10． 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解答】解：气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”， 由此得到：甲地肯定进入夏季，∵五个数据的中位数是24，众数为22，∴22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，中位数就不是24℃，故甲地进入夏季； 乙地不一定进处夏季，如13，23，27，28，29，故乙地不一定进入夏季； 丙地不一定进入夏季，10×5﹣（30﹣24）2≥（24﹣x ）2， ∴（24﹣x ）2≤14，x=21时，成立，故丙地不一定进入夏季． 故选：B ．12．已知圆O 的半径为2，PA 、PB 为圆O 的两条切线，A 、B 为切点（A 与B 不重合），则的最小值为（ ）2·1·c ·n ·j ·yA ．﹣12+4B ．﹣16+4C ．﹣12+8D ．﹣16+8【解答】解：设PA 与PO 的夹角为α，则|PA|=|PB|=，y=•=||||cos2α=•cos2α=•cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y 取得最小值：8．即•的最小值为8﹣12．故选：C ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= 0 ． 【解答】解：∵f （x ）为偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）恒成立 即x2﹣|x+a|=x2﹣|x ﹣a|恒成立 即|x+a|=|x ﹣a|恒成立 所以a=0故答案为：0．14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 5 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43 b=34第二圈k=4 a=44 b=44第三圈k=5 a=45 b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．15．若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．【解答】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BA C=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）∵=bc•cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f （θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f （θ）的值域为[0，1]18．已知函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若存在，使f （x0）=0，求λ的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）=sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣λ=2sin （2ωx ﹣）﹣λ，∵函数f （x ）的图象关于直线x=π对称，∴解得：2ωx ﹣=kπ+，可得：ω=+（k ∈Z ），∵ω∈（，1）．可得k=1时，ω=，∴函数f （x ）的最小正周期T==…6分（2）令f （x0）=0，则λ=2sin （﹣），由0≤x0≤，可得：﹣≤﹣≤，则﹣≤sin （﹣）≤1，根据题意，方程λ=2sin （﹣）在[0，]内有解，∴λ的取值范围为：[﹣1，2]…12分19．向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t ），||在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是 ．【解答】解：由题意可得=2×1×co sθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t ）﹣t，∴||2==（1﹣t ）2+t2﹣2t （1﹣t ）=（1﹣t ）2+4t2﹣4t （1﹣t ）cosθ =（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，PD ⊥DC ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD= （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，=λ，试确定 λ的值使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为60°．【解答】（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PDC ，图1所示．∴AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ， 在△BCH 中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°， 又在△DAB 中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°， ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，AD ∩DC=D ． AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵BD ∩PD=D ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ． ∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ，过点M 作MN ⊥BD 于点N ，连QN ． 由（1）可知BC ⊥平面PDB ，∴QM ⊥平面PDB ，∴QM ⊥BD ， ∵QM ∩MN=M ，∴BD ⊥平面MNQ ，∴BD ⊥QN ，图2所示． ∴∠QNM 是二面角Q ﹣BD ﹣P 的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．21教育网（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．。
安徽省滁州市20172018学年高二上学期期末考试数学文试题含
百度文库 - 好好学习，天天向上滁州市 2017-2018 学年第一学期高二期末考试 数 学 试 卷（文科） （试题卷）第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是符合题目要求的.1. 若函数，则 的导数（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由导数昀运算法则可得.故选 C. 2. 高二（2）班男生 36 人，女生 18 人，现用分层抽样方法从中抽出 人，若抽出的男生人 数为 12，则 等于（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】因为高二（2）班男生 人，女生 人，现用分层抽样方法从中抽出 人，所以，故选 B.3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A.B.【答案】CC. 2 D. 3【解析】由双曲线方程，可得，所以渐近线方程为，焦点坐标为 ，由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离为-- 1 -百度文库 - 好好学习，天天向上，故选 C.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，即不是奇函数，又不是偶函数， 不合题意，，是奇函数，不合题意，，，是偶函数， 合题意，，即不是奇函数，又不是偶函数， 不合题意，故选 C.5. 若正方形 概率为（ ）的边长为 1，则在正方形内任取一点，该点到点 的距离小于 1 的A.B.C.D.【答案】A 【解析】在正方形内任取一点，该点到点 的距离小于 的点，在以点 为圆心以 为半径的四分之一圆内，面积为 ，所以在正方形内任取一点，该点到点 的距离小于的点的概率为 ，故选 A.【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6. “函数是偶函数”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C-- 2 -百度文库 - 好好学习，天天向上【解析】，当“函数函数”时“”，反过来当“”时函数为偶函数，故“函数是偶函数”是“”的充分必要条件.故选 C.7. 曲线在点处的切线方程为（ ）是偶A.B.C.D.【答案】B【解析】曲线在点处的切线方程为，即.故选 B. 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点 斜式方程是解题的关键. 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 2 B. 3 【答案】DC. 4D. 5【解析】执行程序框图，，输出，故选 D. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题 时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支 结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的 问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输-- 3 -百度文库 - 好好学习，天天向上出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 设命题，；命题 ：若 ，则方程表示焦点在 轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】不存在 使为假， 为真，又时，方程表示焦点在 轴上的椭圆， 为真， 为假，为真，故选 B.10. 若 为抛物线上一点， 是抛物线的焦点，点 的坐标 ，则当 最小时，直线 的方程为（ ）A.B.【答案】DC.D.【解析】设 ，则时 最小，此时 故选 D. 11. 在，又 ，故直线 的方程为 . 中，角 ， ， 的对边分别为， ，，且，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为，所以由正弦定理得 ，即，由正弦定理可得化为，故选 A.12. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 的解集为（ ）时，-- 4 -，若，则不等式百度文库 - 好好学习，天天向上A.B.C.D.【答案】C【解析】设则是增函数，由题 是定义在 上的偶函数，故区间上是增函数，而即，当 时，不等式 0 等价于，由函数 在区间上是 上的奇函数，则函数 在得当 时，不等式 0 等价于，由，得，故所求的解集为.故选 C.第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知向量，，若 ，则__________．【答案】【解析】，故答案为 .14. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的与时，则输出的两个 值的和为________．-- 5 -百度文库 - 好好学习，天天向上【答案】【解析】 时，， 时，，，输出的两个 值的和为 ，故答案为 .15. 在长方体中，，，点 ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，若 平面 ，则四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】当 是 中点时，连接 交 于点 ，则 是 的中点，又因为 别为 的中点，所以，从而根据线面平行的判定定理可得 平面 ，所以四棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，设外接球的半径为 ，则外接球直径等于正方体对角线长，所以，故答案为 .16. 已知双曲线（）的左顶点为 ，右焦点为 ，过左顶点且斜率为 1 的直线与双曲线 的右支交于点 ,若 【答案】2的面积为 ,则双曲线 的离心率为__________．即即答案为 2.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 甲乙两人同时生产内径为的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位： ） ,甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42.从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．-- 6 -百度文库 - 好好学习，天天向上【答案】见解析 【解析】试题分析：分别利用平均值公式算出甲乙两人生产的零件的平均值，再利用方差 公式算出甲乙两人生产的零件的方差，发现甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产 的零件比甲的质量高．试题解析：甲的平均数.乙的平均数.甲的方差，乙的方差.∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高.18. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于 , 两点，若，求直线的方程．【答案】或.【解析】试题分析：设直线的方程为，与抛物线方程联立得到，由韦达定理，以及弦长公式得到关于 的方程，即可求得直线的方程． 试题解析：设直线的方程为：代入方程整理为：，故有，，.故有.整理为，解得.故直线的方程为：或.19. 某高校进行社会实践，对岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在岁，岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的 、 .（1）求岁与岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从岁和岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取 6 人参加网络-- 7 -百度文库 - 好好学习，天天向上时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在岁内的概率。
2017-2018学年安徽省滁州市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若函数f（x）＝x+cos x，则f（x）的导数f'（x）＝（）A．1﹣cos x B．1+cos x C．1﹣sin x D．1+sin x2．（5分）高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出n人，若抽出的男生人数为12，则n等于（）A．16B．18C．20D．223．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．3C．2D．4．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y＝x+cos x B．y＝x+sin2x C．y＝x2+cos x D．y＝x2+sin2x 5．（5分）若正方形ABCD的边长为1，则在正方形ABCD内任取一点，该点到点A的距离小于1的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）“函数f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）是偶函数”是“a＝﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）曲线f（x）＝（x+1）e x在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝x+1D．y＝x+1 8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2B．3C．4D．59．（5分）设命题p：∃x∈R，x2﹣x+2＝0；命题q：若m＞1，则方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（）A．p∨（￢q）B．（￢p）∨（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）10．（5分）若P为抛物线C：y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，点A的坐标（3，0），则当|P A|最小时，直线PF的方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．x＝3D．x＝111．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（3﹣cos A）＝3a cos C+a cos B，则sin A＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf'（x）＞f（x），若f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞2}D．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（﹣1，3），＝（3，t），若⊥，则|2+|＝．14．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的x＝﹣1与x＝1时，则输出的两个y值的和为．15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点E，F分别为CD，DD1的中点，点G在棱AA1上，若CG∥平面AEF，则四棱锥G﹣ABCD的外接球的体积为．16．（5分）已知双曲线C：﹣（a＞0，b＞0）的左顶点为M，右焦点为F，过左顶点且斜率为1的直线l与双曲线C的右支交于点N，若△MNF的面积为b2，则双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）甲乙两人同时生产内径为25.41 mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件（单位：mm），甲：25.44，25.43，25.41，25.39，25.38乙：25.41，25.42，25.41，25.39，25.42．从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．18．（12分）已知抛物线C：y2＝2x，过点P（1，0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．19．（12分）某高校进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在（30，35]岁，[35，40）岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%．（1）求[30，35）岁与[35，40）岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从[30，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在[30，45）岁内的概率．20．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式和前项和S n；（2）是否存在n，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列，若存在，求出n，若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，当P是AB中点时，求直线AB 方程．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：f′（x）＝1﹣sin x，故选：C．2．【解答】解：性别比为2：1，现用分层抽样方法从中抽出n人，若抽出的男生人数为12，则n＝＝18，故选：B．3．【解答】解：双曲线的焦点坐标为（4，0）或（﹣4，0），渐近线方程为y＝±x，则焦点到渐近线的距离d＝＝2，故选：C．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x+cos x，f（﹣x）＝（﹣x）+cos（﹣x）＝﹣x+cos x，f（﹣x）≠f（x），f（x）不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x+sin2x，f（﹣x）＝（﹣x）+sin（﹣2x）＝﹣（x+sin2x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝x2+cos x，f（﹣x）＝（﹣x）2+cos（﹣x）＝x2+cos x＝f（x），则f（x）是偶函数，符合题意；对于D，f（x）＝x2+sin2x，f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣2x）＝x2﹣sin2x，f（﹣x）≠f（x），f（x）不是偶函数，不符合题意；故选：C．5．【解答】解：如图：满足动点P到定点A的距离|P A|＜1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形＝1，阴影部分的面积S＝，故动点P到定点A的距离|P A|＜1的概率P＝，故选：A．6．【解答】解：∵“函数f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）是偶函数”，f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）＝x2+（a+1）x﹣2a2+2a，∴a+1＝0，解得a＝﹣1，即“函数f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）是偶函数”⇒“a＝﹣1”；当a＝﹣1时，f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）＝（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是偶函数，即“a＝﹣1”⇒“函数f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）是偶函数”，∴“函数f（x）＝（x+2a）（x﹣a+1）是偶函数”是“a＝﹣1”的充分必要条件．故选：C．7．【解答】解：∵f（x）＝e x（x+1），∴f′（x）＝e x（x+1）+e x＝e x（x+2），∴f′（0）＝e0•（0+2）＝2，又f（0）＝1，∴曲线曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0；故选：B．8．【解答】解：第一次进行循环，S＝20，i＝2，不满足退出循环的条件；第二次进行循环，S＝10，i＝3，不满足退出循环的条件；第三次进行循环，S＝，i＝4，不满足退出循环的条件；第四次进行循环，S＝，i＝5，满足退出循环的条件；故输出的i值为5，故选：D．9．【解答】解：由x2﹣x+2＝0，∵△＝12﹣8＝﹣7＜0，即此方程无解，即命题p：∃x∈R，x2﹣x+2＝0；为假命题，即￢p为真命题，当m＞1时，2m﹣1＞m＞0，即方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．即命题q为真命题，￢q为假命题，即（￢p）∨（￢q）为真命题，故选：B．10．【解答】解：设P（x，y），抛物线C：y2＝4x，F是抛物线的焦点（1，0），点A的坐标（3，0），|P A|＝＝＝，当x＝1时，|P A|最小，此时P（1，±2），所以直线PF的方程为：x＝1．故选：D．11．【解答】解：∵b（3﹣cos A）＝3a cos C+a cos B，∴由正弦定理可得：3sin B＝3sin A cos C+sin A cos B+sin B cos A，可得：3sin B＝3sin A cos C+sin C，∴由正弦定理可得：3b＝3a cos C+c，∴3b＝3a•+c，可得：3b2+3c2﹣3a2＝2bc，∴cos A＝＝，∴sin A＝．故选：A．12．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，＞0，∴为增函数，f（x）为偶函数，为奇函数，∴在（﹣∞，0）上为增函数，∵f（﹣2）＝f（2）＝0，若x＞0，＝0，所以x＞2；若x＜0，＝0，在（﹣∞，0）上为增函数，可得﹣2＜x＜0，综上得，不等式＞0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵向量＝（﹣1，3），＝（3，t），⊥，∴＝﹣3+3t＝0，解得t＝1，∴＝（3，1），2＝（1，7），|2+|＝＝5．故答案为：．14．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y＝的值，输入的x＝﹣1时，y＝，输入的x＝1时，y＝1，则输出的两个y值的和为．故答案为：．15．【解答】解：如图，取AB中点H，连接CH，HG，则CH∥AE，CH∥平面AEF，又CG∥平面AEF，∴平面CGH∥平面AEF，可得EF∥GH，则G为AA1的中点，∴AG＝1，则四棱锥G﹣ABCD的外接球的直径为以AB，AD，AH为棱的长方体的对角线，长为，半径为，则四棱锥G﹣ABCD的外接球的体积为．故答案为：．16．【解答】解：双曲线C：﹣（a＞0，b＞0）的左顶点为M（﹣a，0），右焦点为F （c，0），过左顶点且斜率为1的直线l：y＝x+a，直线l与双曲线C的右支交于点N，，可得：（b2﹣a2）y2﹣2ab2y＝0，解得N的纵坐标为：﹣．又因为△MNF的面积为b2，所以：﹣＝，﹣4ac＝3a2﹣3（c2﹣a2）所以3e2﹣2e﹣8＝0，e＞1解得e＝2，故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：甲的平均数．乙的平均数．甲的方差，乙的方差．∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高．18．【解答】解：设直线l的方程为：my＝x﹣1，整为：x＝my+1，代入方程y2＝2x整理为：y2﹣2my﹣2＝0，故有y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，．故有．整理为m4+3m2﹣4＝0，解得m＝±1．故直线l的方程为：x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0．19．【解答】解：（1）[30，35）岁年龄段“时尚族”的人数为1000×0.06×5×80%＝240．[35，40）岁年龄段“时尚族”的人数为1000×0.04×5×60%＝120．（2）由（1）知[30，35）岁中抽4人，记为a、b、c、d，[35，40）岁中抽2人，记为x、y，则领队两人是：ab、ac、ad、ax、ay、bc、bd、bx、by、cd、cx、cy、dx、dy、xy共l5种可能，其中两人都在[30，35）岁内的有6种，所以领队的两人年龄都在[30，45）岁内的概率为P＝．20．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S2＝2，S3＝﹣6．∴2a1+d＝2，3a1+3d＝﹣6，联立解得a1＝4，d＝﹣6．∴a n＝4﹣6（n﹣1）＝10﹣6n．S n＝＝7n﹣3n2．（2）假设存在n，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列，则2（S n+2+2n）＝S n+S n+3，∴2[7（n+2）﹣3（n+2）2+2n]＝7n﹣3n2+7（n+3）﹣3（n+3）2，化为：n＝5．因此存在n＝5，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列．21．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则∴∴椭圆C的方程为：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，∴又x1+x2＝y1+y2＝2，∴．∴直线AB方程为．3x+4y﹣7＝0．22．【解答】解：（1）a＝﹣4时，f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，定义域为（0，+∞），．∴0＜x＜2时：f'（x）＜0，x＞2时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为[2，+∞），单调减区间为[0，2]（2）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，．由f'（x）＝0．得2x2﹣2x+a＝0，当△＝4﹣8a＞0，时，x1+x2＝1，，，则x1＞0，∴a＞0．由，可得，，，令，则，因为.，，又2lnx＜0．所以h'（x）＜0，即时，h（x）单调递减，所以，即，故实数m的取值范围是．。
2017-2018学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a＞b，则下列结论正确的是（）A．B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．a2＞b22．（5分）一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（）A．假命题与真命题的个数相同B．真命题的个数是奇数C．真命题的个数是偶数D．假命题的个数是奇数3．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线为y＝±3x的是（）A．B．C．D．4．（5分）函数y＝3x2﹣2lnx的单调增区间为（）A．（﹣∞，）∪（0，）B．（﹣）∪（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）5．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a2＝2，，则公比q等于（）A．﹣2B．C．2D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2D．37．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．8．（5分）已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+＝1的离心率是（）A．或B．C．D．或9．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10D．1210．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 11．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）D．（0，2）∪（2，+∞）12．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|＞|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|＝|F1F2|，则的最小值为（）A．B．C．8D．6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题p：∃x0∈R，，则命题p的否定为．14．（5分）在曲线f（x）＝x3﹣2x2+1上点（1，f（1））处的切线方程为．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则a4＝．16．（5分）若两个正实数x，y满足＝1，则x+2y的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（Ⅰ）若a＝2，且￢p∧q为真命题，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）若，求b的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S6＝27，且a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n项和为T n，则．20．（12分）某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于m﹣2时，求m的取值范围．22．（12分）设椭圆的左焦点为F1，右顶点为A，离心率为，已知点A是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点F1到抛物线准线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程和抛物线E的方程；（Ⅱ）若B是抛物线E上的一点且在第一象限，满足|AB|＝4，直线l交椭圆于M，N两点，且OB∥MN，当△BMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．2017-2018学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：对于A：a＝﹣1或b＝﹣2时，根式无意义；对于B：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；对于C：c＝0时不成立；对于D：a＝﹣1，b＝﹣2时不成立．故选：B．2．【解答】解：根据四种命题及其关系理论：原命题⇔逆否命题，逆命题⇔否命题；如果原命题是真命题，逆命题是假命题，则真命题共有两个；如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，则真命题共有四个；如果原命题是假命题，逆命题也是假命题，则真命题共有0个；故一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数一定是偶数，故选：C．3．【解答】解：选项A双曲线的焦点坐标在x轴，不正确；选项B双曲线的焦点坐标在x轴不正确；选项C：双曲线的焦点坐标在y轴，渐近线方程为：y＝±3x，满足题意；正确；选项D双曲线的渐近线方程为：y＝x，不满足题意，不正确；故选：C．4．【解答】解：函数y＝3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y＝3x2﹣2lnx的导数，得f′（x）＝6x﹣＝，由f′（x）＞0，解得x＞．故函数y＝3x2﹣2lnx的单调增区间为（，+∞），故选：D．5．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2＝2，，∴q3＝，解得q＝．故选：D．6．【解答】解：∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，∴解得：b＝3或﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x∴2p＝4，可得＝1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2＝1且b2＝3，可得a＝1且b＝，双曲线的渐近线方程为y＝±，即y＝±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2＝4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d＝＝故选：B．8．【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，∴m2＝2×8＝16，即m＝4或m＝﹣4，当m＝4时，圆锥曲线x+＝1为椭圆，∴a＝2，b＝1，c＝，∴e＝＝，当m＝﹣4时，圆锥曲线x﹣＝1为双曲线，∴a＝1，b＝2，c＝，∴e＝＝，故选：D．9．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a1+×1＝4×（4a1+），解得a1＝．则a10＝+9×1＝．故选：B．10．【解答】解：如图，∠DAB＝15°，∵tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝2﹣．在Rt△ADB中，又AD＝60，∴DB＝AD•tan15°＝60×（2﹣）＝120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，AD＝60，∴DC＝AD•tan60°＝60．∴BC＝DC﹣DB＝60﹣（120﹣60）＝120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．11．【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）＝＝0＝g（2），∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故选：A．12．【解答】解：由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，设椭圆的方程为+＝1（a1＞b1＞0），双曲线的方程为﹣＝1（a2＞0，b2＞0），又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，两式相减，可得：a1﹣a2＝2c，则+＝+＝＝＝（++18）≥•（2+18）＝8．当且仅当＝，即有e2＝3时等号成立，则的最小值为8，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x0∈R，，则命题p的否定为：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．14．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x2+1，∴f′（x）＝3x2﹣4，∴f′（1）＝﹣1，∵f（1）＝0∴曲线f（x）＝x3﹣2x2+1上在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．15．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，∴a1（1+q）＝﹣1，a1（1﹣q2）＝﹣3，解得a1＝1，q＝﹣2．则a4＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．16．【解答】解：∵两个正实数x，y满足＝1，∴x+2y＝（x+2y）（）＝4+≥4+2＝8，当且仅当时取等号即x＝4，y＝2，故x+2y的最小值是8．故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2命题q：2＜x＜4，∵命题p：x≤2或x＞6∴￢p：2＜x≤6，又￢p∧q为真命题，∴x满足，∴2＜x＜4，∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；（Ⅱ）由题意得：命题q：a＜x＜2a；∵q是￢p的充分不必要条件，∴，∴2≤a≤3，∴实数a的取值范围{a|2≤a≤3}．18．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由题意知，由正弦定理得：，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴，∴△ABC的周长为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得整理得∴∴a n＝2+（n﹣1）d＝n+1（Ⅱ）∵∴＝＝20．【解答】解：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，成本为z，所以x和y需满足：可行域如图目标函数为z＝160x+252y．把z＝160x+252y变形为得到斜率为，在y轴上的截距为随z变化的一组平行直线．在可行域的整点中，点M（5，2）使得z取得最小值．所以每天派出A型车5辆，B型车2辆成本最小，最低成本1304元．21．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，若m≤0，则f'（x）＞0∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若m＞0令f'（x）＞0，则，令f'（x）＜0，则，∴f（x）在上单调递增．在上单调递减．综上，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．当m＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当m＞0时，f（x）在处取得最大值．最大值为，又等价于lnm+m﹣1＜0，令g（m）＝lnm+m﹣1，则g（m）在（0，+∞）上单调递增．g（1）＝0．∴当0＜m＜1时，g（m）＜0；当m＞1时，g（m）＞0．∴m的取值范围是（0，1）．22．【解答】解：（Ⅰ）由题意可列方程组：，解得，所以b2＝a2﹣c2＝2．从而椭圆C的方程为，抛物线E的方程为y2＝8x．（Ⅱ）可设B（x0，y0），抛物线E的准线方程为x＝﹣2，由抛物线的定义得：|AB|＝x0﹣（﹣2）＝x0+2＝4，解得x0＝2，所以，因为点B在第一象限，所以y0＝4．从而B（2，4）．由于OB∥MN，所以K MN＝K OB＝2，l的方程可设为：y＝2x+m，即：2x﹣y+m＝0M（x1，y1），N（x2，y2），消去y整理得9y2+8mx+2m2﹣4＝0，△＝（8m）2﹣36（2m2﹣4）＞0，则m2＜18，解得：﹣3＜m＜3，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．所以|MN|＝＝＝，点B（2，4）到直线l的距离d＝＝．所以S△BMN＝|MN|d＝××＝＝，当m2＝9时，即：m＝±3时，△BMN的面积取得最大值．此时l的方程为2x﹣y+3＝0或2x﹣y﹣3＝0．。
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2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣37．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤08．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞09．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=111．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．3．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度不超过半径长度的对应的弧长为•2πR，则AB弦的长度不超过半径长度的概率P=．故选：C．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①【解答】解：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①故选D．6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．7．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0【解答】解：命题的逆否命题为，若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0，故选：D．8．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，故选：D．9．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【解答】解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18又∵个焦点的坐标是（3，0），∴椭圆在x轴上，c=3∵c2=a2﹣b2∴a2=25 b2=16所以椭圆的标准方程为故选B．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：本题在算法与统计的交汇处命题，考查了同学们的识图能力以及计算能力．本题计算的是这8个数的方差，因为所以故选B二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是椭圆的一部分．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）【解答】解：方程，可得x≥0，方程化为：x2+4y2=1，（x≥0），方程表示焦点坐标在x轴，y轴右侧的一部分．故答案为：椭圆的一部分；14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，∴c=4，设|PF1|=t1，|PF2|=t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=（2c）2=64，整理可得：t12+t22﹣t1t2=64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2=100，③所以③﹣②得t1t2=12，∴∠F1PF2=3．故答案为：3．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．【解答】解：（1）根据题意，填写被调查人答卷情况统计表如下：男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（2）由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是；用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数为105×+126×=105，估计高二年级学生“同意”的人数为105人；（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），共8种满足题意；则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为P=．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．故sinB=．因△ABC为锐角三角形，故B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，∴＜A+＜，故＜sin＜，＜＜．故cosA+sinC的取值范围是．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，=∴V P﹣ABCD====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）。