概率ch1-2

n = C ×C = 6×5
1 6 1 5
k1 = C × C = 4 × 3
1 4 1 3
k2 = 4×3+ 2×1
k3 = 4×3+ 2×4 + 4×2
典型的古典概型问题
(1)抽球问题 1)抽球问题
1.16：袋中有a只黑球 只白球 它们除颜色不同外， 只黑球， 只白球， 例1.16：袋中有 只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，
没有其它方面的差别， 没有其它方面的差别，现在随机地把球从袋中一只一只地取 出来, 次取出的一只是黑球的概率（ ≤ 出来,求第 k 次取出的一只是黑球的概率（1≤ k ≤a+b）. ） 分析：该问题是古典概型问题 分析：该问题是古典概型问题. 关键是如何构造基本事件！从而构造出样本空间。 关键是如何构造基本事件！从而构造出样本空间。 解法1 设想所有的球是有区别的(比如给它们编号), ),把摸 解法1 设想所有的球是有区别的(比如给它们编号),把摸 出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上. 个位置上. 出的球依次放在排列成一直线的 个位置上 把每一个排列作为样本点 且每一个排列发生的可能性相等. 作为样本点， 把每一个排列作为样本点，且每一个排列发生的可能性相等 个球的所有可能的排列就构成了样本空间, 所有可能的排列就构成了样本空间 则a+b 个球的所有可能的排列就构成了样本空间 故样本空间中样本点的总数为 n=(a+b)!
i Ai ⋅ (a + b − i)! Ai−1 Cb−1 P(C ) = b = ib = i (a + b)! Aa+b Ca+b i Cb P(C) =1− P(C) =1− i Ca+b
例1.15
“分房问题” 分房问题” 分房问题
设有n 个人,每个人都等可能地被 设有 个人,每个人都等可能地被
黑球（ ）的概率（ ≤ （2）求第 i 次才取到黑球（B）的概率（1≤ i ≤a+b） ） ）
i i a⋅ Ai−1 ⋅ (a + b −i)! a ⋅ Ab−1 a ⋅Cb−1 b P(B) = = i = i (a + b)! Aa+b Ca+b
（3）求前 i 次中能取到黑球（C）的概率（1≤ i ≤a+b） 中能取到黑球 黑球（ ）的概率（ ≤ ） ）
个样本点组成. 的概率为： 事件A由 个样本点组成 则事件A的概率为 组成 ,事件 由k个样本点组成.则事件 的概率为：
k A包含的样本点数 P(A) = = n Ω中的样本点总数
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
n! 全排列 A = P = n 选排列 A = P = ! (n − k)! n! k n Cn = = Cn −k 组合 k!(n − k )!
Ω = {正正正，正正反，正反 正，反正正， 正正正，正正反， 反正正， 正反反，反正反，反反 正，反反反} 正反反，反正反，
A = {正反反，反正反，反反 正} B = {反反反} 正反反，反正反， 反反反
3 ∴ P ( A) = 8 1 7 P( B) = 1 − P( B) = 1 − = 8 8
个元素按一定的顺序排成一列， 按一定的顺序排成一列 叫做从 n 个互不相同 将这 k 个元素按一定的顺序排成一列， 个元素的一个排列 一个排列. 的元素中取出 k 个元素的一个排列 从 n 个互不相同的元素 个元素的排列个数记为 中取出 k 个元素的排列个数记为
k n
A.
k n
n! A = (n − k)! 互不相同的元素 个元素, 组合 从 n 个互不相同的元素a1, a2, … an中任取 k 个元素 个元素看作一组 看作一组， 将这 k 个元素看作一组，叫做从 n 个互不相同的元素
分 配到N 个房间中的任意一间去住(n≤ ； 求下列事件的概率： 配到 1个房间中的任意一间去住 ≤N), 求下列事件的概率： 指定的n 个房间各有一个人； （ ）指定的 个房间各有一个人 （2）恰好有n个房间 ,其中各住一个人. 恰好有 个房间 其中各住一个人. 分析： 该问题显然是古典概型问题. 分析： 该问题显然是古典概型问题 关键是如何构造基本事件！从而构造出样本空间。 关键是如何构造基本事件！从而构造出样本空间。 可以考虑所有人的每一可能的入住方式为基本事件. 可以考虑所有人的每一可能的入住方式为基本事件 所有人的每一可能的入住方式 因为每一个人有N个房间可供选择 所以n个人的 个房间可供选择, 个人的入住 解 因为每一个人有 个房间可供选择,所以 个人的入住 方式共有N 它们是等可能的. 方式共有 n 种，它们是等可能的
n n n n
k n k n
加法原理、 加法原理、乘法原理
设古典概型的样本空间为 Ω = {ω 1, ω 2 , ⋯ ,… , ω 由概率的有限可加性知
n
}
1 = P (Ω) = P (ω 1) + P(ω 2 ) + ⋯ + P(ω n ), 1 且 P(ω 1) = P(ω 2 ) = ⋯ P(ω n ) = n
S ={e1, e2 ,⋯, en}
(2)每个样本点出现的可能性相同. (2)每个样本点出现的可能性相同. 每个样本点出现的可能性相同
1 P(e1) = P(e2 ) = ⋯= P(en ) = n
称这种试验为古典概型，又称等可能概型． 称这种试验为古典概型，又称等可能概型．
（二）古典概型中事件概率的计算 设试验E是古典概型, 设试验 是古典概型,其样本空间 由n个样本点
m + m2 +⋯+ mn 1
个步骤， 完成每一步骤的方法有mi 乘法原理 做一件事情有n个步骤，
i=1,2, …, n 种方法，则做这件事情共有方法： 种方法，则做这件事情共有方法： 排列组合
m ⋅ m2 ⋅⋯⋅ mn 1
排列 从 n 个互不相同的元素a1, a2, … an中任取 k 个元素, 互不相同的元素 个元素
个元素的一个组合 一个组合. 中取出 k 个元素的一个组合
n! n C = = Cn −k k!(n − k )!
k n
一、
古典概型（等可能概型） 古典概型（等可能概型）
一个袋子中装有10个大小 个大小、 引例 一个袋子中装有 个大小、形状完全相同的 将球编号为1～ 。把球搅匀，从中任取一球， 球，将球编号为 ～10。把球搅匀，从中任取一球， 求抽到２号的概率是多少？ 求抽到２号的概率是多少？ 如i=2 =2 2 10个球中的任一个被取出的 10个球中的任一个被取出的 机会是相等的，均为1/10. 机会是相等的，均为1/10. 表示取到i =1,2,… 用i 表示取到 号,i =1,2,…,10. 则该试验的样本空间 S ={1,2, ,10} , ={1,2,…,10} 85 8 9 19 4 6 7 2 3 10
将一枚硬币抛3 例2 将一枚硬币抛3次，求 (1)恰有一次出现正面的概率 恰有一次出现正面的概率P(A)。 恰有一次出现正面的概率 。 (2)至少一次出现正面的概率 至少一次出现正面的概率P(B)。 至少一次出现正面的概率 。 显然是一个古典概型，其样本空间为： 解：显然是一个古典概型，其样本空间为：
§1.4 古典概型 与几 何 概 率
一、 古典概型（等可能概型） 古典概型（等可能概型）
856 19 4 7 3 10
排列组合简介
加法原理、 加法原理、乘法原理 加法原理 做一件事情有n类方式，每一类方式有mi 类方式，
则做这件事情共有方法： 则做这件事情共有方法： i=1,2, …, n 种方法， 种方法，
a (a + b − 1)! a P = = k (a + b)! a+b
解法2 由于我们只关心第 次摸球的结果，因此可以将 解法 由于我们只关心第k 次摸球的结果， 次摸球的结果设为样本点. 第k次摸球的结果设为样本点.所有第 次摸球的全部可能结果 次摸球的结果设为样本点 所有第k次摸球的全部可能结果 为样本空间. 设想a+b 只球是不同的 从1到a+b编号 ， 只球是不同的(从 到 编号)， 为样本空间 设想 编号
A = { n个人的生日全不相同 }
A = { n个人中至少有两个人的 生日相同} ，则
由分房问题(2)可知 由分房问题(2)可知 (2)
P ( A) = N! , 而P ( A) + P ( A) = 1 n N ( N − n)!
练习1 设有N件产品 其中有M件次品 现从这N件中任取 件产品,其中有 件次品,现从这 件中任取n件 练习 设有 件产品 其中有 件次品 现从这 件中任取 件,
且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同. 可能性相同 且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.
---古典概型. ---古典概型. 古典概型
一、
古典概型（等可能概型） 古典概型（等可能概型）
（一）古典概型的定义 若随机试验满足下述两个条件： 若随机试验满足下述两个条件： (1)它的样本空间只有有限多个样本点； (1)它的样本空间只有有限多个样本点； 它的样本空间只有有限多个样本点
求其中恰有k件次品的概率 求其中恰有 件次品的概率. 件次品的概率 恰有k件次品 解：令B={恰有 件次品 ， 恰有 件次品}，
k n CMCN−kM − P(பைடு நூலகம்) = n CN
练习2 将n个人随机地分配在 ≤N)间房中， 个人随机地分配在N(n≤ 间房中 间房中， 练习 个人随机地分配在
试求下列事件的概率： 试求下列事件的概率： (1)A=｛某指定 间房中各有一人｝ 间房中各有一人｝ ｛某指定n间房中各有一人 (2)B=｛恰有 间房，其中各有一人｝ 间房， ｛恰有n间房 其中各有一人｝ (3)C=｛某指定房中恰有 （m ≤ n)人｝ ｛某指定房中恰有m（ 人
} i 设i = {第k次摸出第号球 , i =1,2,⋯, a + b,则样本空间为