江苏省建陵高级中学高二数学学案：3.1.2《瞬时变化率与瞬时加速度》(人教A版选修2-1)
苏教版高二数学选修2-2 1.1.2瞬时变化率——导数 学案
1.1.2 瞬时变化率——导数学习目标 1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．知识点一 曲线上某一点处的切线如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，点P 的坐标为(x 0，y 0)．思考1 当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，即曲线上点P 处的切线位置． 思考2 割线PP n 的斜率是什么？它与切线PT 的斜率有何关系． 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0；当P n 无限趋近于P 时，k n 无限趋近于点P 处切线的斜率k .梳理 (1)设Q 为曲线C 上的不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线． (2)若P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，当Δx →0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率 1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 知识点三 导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．类型一 求曲线上某一点处的切线例1 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A (2，52)，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解 (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练1 (1)已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P 坐标为(3,30)．(2)已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解 设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx ＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5， 所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 在1到1＋Δt 的时间内，物体的平均速度v ＝Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，v 无限趋近于3， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴当Δt →0时，1＋Δt →1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .∴当Δt →0时，ΔsΔt →2t 0＋1.则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2 s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2 s 附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴当Δt →0时，ΔsΔt →4a ＝8，即a ＝2.类型三 求函数在某点处的导数 例3 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． 解 (1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．跟踪训练3 (1)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解 当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当Δx →0时，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.1．一个做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －1解析 由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx →0时，8＋2Δx 趋近于8.即k ＝8. 3．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．答案 0解析 ∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)的值为________． 答案 a解析 由导数定义，得f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a Δx ＋b (Δx )2Δx＝a ＋b Δx ，故当Δx →0时，其值趋近于a ，故f ′(x 0)＝a .5．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解 当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt ＝3(Δt )2＋6Δt Δt＝3Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x ＝x 0处的瞬时变化率．即有：Δx 无限趋近于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy .(2)求Δy Δx .(3)当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．课时作业一、填空题1．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 答案 6解析 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ，当Δx →0时，得f ′(3)＝6.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 Δy Δx ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→a .∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1， ∴a ＝1.∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值无限趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－aΔx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在点P 处切线的斜率为________．答案4解析 由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， 当Δx →0时，其值无限趋近于x 2. 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在点P 处切线的斜率为4. 6．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点的坐标为________．答案 (12，14)解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx →0时，其值趋近于2x . ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值无限趋近于4＋4x 0. 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在点P 处切线的斜率为k ，∵Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5＋Δx ， ∴当Δx →0时，ΔyΔx →－5，∴k ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11．已知质点运动方程是s (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)． 解Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝[12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1]－(12g ·42＋2×4－1)Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔsΔt→4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，∴质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.12．求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程．解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2.故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝Δx ＋3，当Δx →0时，Δy Δx→3， ∴直线l 1的斜率k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.三、探究与拓展14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x ＋2. 故当Δx →0时，其值无限趋近于2x ＋2.∴可设点P 横坐标为x 0，则曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 15．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．。
高中数学 3.1.2瞬时变化率与导数 精品导学案 新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.2瞬时变化率与导数导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数.【自主学习】1.瞬时速度、瞬时变化率的概念是什么？2.导数的概念是什么？3.求函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的三个步骤是什么？４．函数f(x)在x 0处的导数f′(x 0)与Δx 有关吗？５．某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义是什么？(1) limΔx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x ＝x 0处是否可导并且导数是什么？ (2) limΔx→0Δy Δx 不存在，则称f(x)在x ＝x 0处是否可导？ 【自主检测】1.质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度 ．2.数f (x )=x x +-2在1x =-处的导数 ．【典型例题】例1．求函数y=23x 在x=1处的导数.例2.求函数1y x =在点12x =处的导数.【课堂检测】1.已知f(x)=ax 3+3x 2+2，若()'1f -=4，则a 的值等于 （ ）(A) 319 (B) 316 (C) 313 (D)310 2．求曲线y =f(x)=x 3在1x =时的导数 ．3.数y=x 在x=1处的导数 .【总结提升】1.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值，从而过渡到导数的概念.2.理解求导数值的三个步骤:⑴求函数值的增量:00()()y f x x f x ∆=+∆-;⑵求平均变化率:()()00y f x x f x x x∆+∆-=∆∆并化简; ⑶直觉lim 0△△△y x x →得导数0()f x '.注意：令x ＝x 0＋Δx，得Δx＝x －x 0，于是f′(x 0)＝limΔx→0f(x)－f(x 0)x －x 0与定义中的 f ′(x 0)＝limΔx →0f(x 0 ＋Δx)－f(x 0)Δx意义相同.教师个人研修总结 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
苏教版高中数学选修(1-1)-3.1《瞬时速度与瞬时加速度》教学教案
1.1.2瞬时变化率-导数（二）瞬时速度与瞬时加速度一、学习目标（1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；（2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.二、学习过程（1）引入在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？ 问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.问题：1．你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度；4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /.分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /.（2）新课讲解瞬时速度和瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度.(2) 位移的平均变化率：t t s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时，t t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时速度.“逼近”思想和以直代曲思想；如何得到求瞬时速度的步骤？ a 、先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆b 、再求平均速度t sv ∆∆=c 、后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度.(4)速度的平均变化率：t t v t t v ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系.。
高二数学瞬时速度与瞬时加速度
怎么选择家具和快速除味 很多业主在了新的家具之后都为家具中的一位刚到很烦恼，其实要去除家具里面的味道很简单，现在我就教大家机个简单的方法来去除新家具里面的异味。
家具，木炭，植物
通风处理：首先在新家具搬进房子的时候一定要保持房子内的空气流通，空气流通中空气会带走家具挥发出来的大部分气味，这样的情况通常需要一个星期左右的时间，如果您是在沿海城市的话 午打开，因为中午的空气中的水分含量先对早上要少的多，空气中水分含量大了会让家具变形或者对家具的表面有破坏。 材料：在选择家具的时候我们要特别的留意家具的材料，不要太注重，现在市面上的不合格家具大部分都是密度板制作的，密度板含有害物质是最多的，而且气味也是挥发最大的，我们在选择的 不要买密度板的家具，要选择实木的或者是大芯板材料的，而且板材根据有害物质挥发都有等级，我们尽量买E0级的板材制作的家具。 木炭：木炭的结构中间很多的空隙，我们在家具中放入适量的木炭对于吸附家具中挥发出来的有害物质是很有作用的，木炭也可以在室内的角落里放上一些，对于吸附家具散发到室内的有害物质 起到一定的作用。 还有很多的植物都是可以吸附这些由于板材的挥发而产生的有害物质，室内种上一些植物对于美化空间也很好，而且在家里添上一点绿色居住在里面可以调节一个人的心情。而且植物对于室内一 质的预警也是很好的。 注意事项
kPQ 无限趋近于一个常数,
此常数即为点P处切线的斜率
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率； 2、然后利用点斜式求切线方程.
新课讲解
二、物理意义——瞬时速度
在物理学中，我们学过平均速度
平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢?
瞬时速度呢?
2019-2020学年高中数学 瞬时变化率导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 瞬时变化率导学案 新人教A 版选修1-1 学习目标：1、认清平均变化率与瞬时变化率的区别和联系.
2、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率.高考
3、掌握在物理学中，瞬时变化率的应用：瞬时速度和瞬时加速度.
重点、难点：理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率.
自主学习
1、)(x f 从1x 到2x 的平均变化率是
2、)(x f 在0x x =处的瞬时变化率是
合作探究
1、圆面积A 和直径d 的关系由29d A π=
表示，当直径10=d 时，面积关于直径的瞬时变化
率是多少？
2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t 秒时的速度为3)(2+=t t v ，求0t t =秒时轿车的加速度.
3、物体作直线运动的方程为t t t s s 53)(2
-==
(1)求物体在2秒到4秒时的平均速度；
(2)求物体在2秒时的瞬时速度；
(3)求物体在0t 秒时的瞬时速度.
练习反馈
1、一质点的运动方程为102+=t s （位移单位：米，时间单位：秒）试求该质点在3=t 秒的瞬时速度.
2、自由落体运动的位移)(m S 与时间)(s t 的关系为22
1gt S =
（g 为常数） （1）求0t t =秒时的瞬时速度.
（2）分别求0=t 、1、2秒时的瞬时速度.
3、某个物体走过的路程s （单位：m ）是时间t （单位：s ）的函数：s=t 2—1，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
（1）x=1 （2）x=—1 （3）x=4
4、通过平均变化率估计函数y=x
1+2在下列各点的瞬时变化率： （1）x=—1 （2）x=3 （3）x=4。
苏教版数学高二学案 瞬时变化率 导数(二)
1.1.2瞬时变化率——导数(二)[学习目标] 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点P n沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.题型一 求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程. 解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，因为Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2. 故所求切线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0.反思与感悟 若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 跟踪训练1 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为________.(2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为____________. 答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1)解析 (1)设切线的倾斜角为α， ∵Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx＝13(Δx )3－Δx Δx＝13(Δx )2－1. 当Δx →0时，13(Δx )2－1→－1，由导数几何意义得tan α＝－1. ∵α∈[0，π)， ∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)， ∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.∵当Δx →0时，3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2→3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1). 2.求曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 ∵Δy Δx ＝2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝2－3x 2－3x Δx －(Δx )2， 当Δx →0时，其值趋近于2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练2 求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.解 由题意知Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x2Δx.当Δx →0时，其值趋近于2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0). ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率002.x x y'|x == ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 题型二 求导函数例3 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋(Δx )2(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx＝2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，当Δx →0时，2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1→xx 2＋1，故f ′(x )＝xx 2＋1.反思与感悟 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ).然后，再求解ΔyΔx ，最后得到f ′(x ).跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，Δy Δx ＝2Δx ·x ＋(Δx )2Δx＝2x ＋Δx ， 故当Δx →0时，其值趋近于2x . 得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用例4 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax－9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23.由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9，∵a ＜0，∴a ＝－3.反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________.(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是__________.答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y ＝1x 在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34. 例5 已知曲线y ＝f (x )＝x 3上一点Q (1,1)，求过点Q 的切线方程.错解 因y ′＝3x 2，f ′(1)＝3. 故切线方程为3x －y －2＝0.错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q 不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q (1,1)为切点时，可求得切线方程为y ＝3x －2. 当Q (1,1)不是切点时，设切点为P (x 0，x 30)， 则由导数的定义，在x ＝x 0处，y ′＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 将点(1,1)代入，得1－x 30＝3x 20(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0，所以(x 0－1)2·(2x 0＋1)＝0， 所以x 0＝－12，或x 0＝1(舍)，故切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， 故切线方程为y ＝34x ＋14.综上，所求切线的方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.防范措施 解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q (1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的有________.①和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线； ②和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线； ③曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点； ④曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点. 答案 ④解析 y ＝sin x ，x ∈R 在点(π2，1)处的切线与y ＝sin x 有无数个公共点.2.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________. 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx ＝8＋2Δx ，当Δx →0时，其值趋近于8.即k ＝8.3.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1.4.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________. 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 5.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________. 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值趋近于4＋4x 0.令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。
苏教版高中数学选修(2-2)-1.1《瞬时变化率—导数：瞬时速度与瞬时加速度》导学案
1.1.2《瞬时变化率——导数》导学案（二）瞬时速度与瞬时加速度一、学习目标1.理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义；2.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.二、学习重点、难点重点：瞬时速度和瞬时加速的定义难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法.三、学习过程【复习回顾】1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y)及邻近的一点Q(x +∆x, f(x+ ∆x))，过P、Q两点作割线，,则割线PQ的斜率k=. 当∆x→0时，动点Q将沿曲线趋向为PQ于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率，当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即K为.在△x→0时的极限值.练习：曲线的方程为y=x2+1，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.【问题情境1】平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？【问题情境2】跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？ 问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.问题：1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2.当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度；4.靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；。
江苏省高中数学 1.1.2 瞬时变化率-导数(3)教案 新人教A版选修2-2
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.2 瞬时变化率-导数（3）教案新人教A 版选修2-2教学目标：1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法．教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．教学难点：对导数的几何意义理解．教学过程：一、复习回顾1．曲线在某一点切线的斜率．()()PQ f x x f x k x＋－＝∆∆（当∆x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度．v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t∆∆＋－ 当t 时．x3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度．v 在t 0的瞬时加速度＝00()()v t t v t t ∆∆＋－ 当t 时．二、建构数学导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值y x∆∆就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆．如果当0x ∆→时，y A x ∆→∆，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y ='，0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x=+∆-∆'===∆→∆∆当 三、数学运用例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数.解 y ＝－(12＋2)＝2x ＋(x )2y x∆∆＝22()x x x ∆∆∆＋＝2＋x ∴y x∆∆＝2＋x ，当x 时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数.解 y ＝－(a 2＋2)＝2a x ＋(x )2y x∆∆＝22()a x x x ∆∆∆＋＝2a ＋x ∴y x ∆∆＝2a ＋x ，当x 时，y '＝2a ．小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤：（1）求增量y ＝f (x 0＋x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ∆∆＝00()()f x x f x x∆∆＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x∆∆，在x 时． 四、建构数学导函数．若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数f (x )称为的导函数，记作f (x )，即f (x 0)＝yy x ∆∆＝00()()f x x f x x∆∆＋－，当x 时的值． 五、数学运用例2 已知y ，求y数在x ＝2处的切线方程．解 y ∆y x ∆∆y y x ∆∆'∴＝x 时的值． 当x ＝2时切线的斜率为k ，所以在x ＝2切线方程为2)y x －即切线方程为42y x ． 练习： 课本P14 -1，2，3．六、回顾小结问题1 本节课你学到了什么？（1）了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；（2）会求简单函数在某一点的导数；会求简单函数在某个区间上的导函数 ；（3）通过函数图象直观地了解导数的几何意义．问题2 本节课体现了哪些数学思想方法？（1）形结合的思想方法．（2）极限的思想方法．。
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（２）分别求 t 0,1, 2 s 时的瞬时速度．
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课题：3.1.2 瞬时变化率与瞬时加速度当堂检测
姓名_____________
1. 一物体做直线运动，在时刻 ts 时，该物体的位移是 s 18 2t 2 （单位：m） ，则当
t=3s 时物体的瞬时速度为
2
4．已知某质点按规律 s 2t 2 2t （米）作直线运动．求： （1）该质点在运动前 3 秒内的平均速度； （2）质点在 2 秒到 3 秒内的平均速度； （3）质点在 3 秒时的瞬时速度．
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瞬时变化率与瞬时加速度课后巩固姓名_____________
1． 一质点的运动方程为 S t 2 10 （位移单位： 时间单位：s ） ， 则该质点在 t 3s m， 时的瞬时速度为 2．已知一个物体运动方程是 s (t ) t 2 at （t 的单位：s，s(t)的单位：m） ，2s 时的瞬 时 速度为为 6m/s，则 a= ３．自由落体运动物体的运动方程为 S 4.9t 2 （位移 S 单位： m ，时间 t 单位： s ）. 求物体在 t 2( s ) 时的瞬时速度、瞬时加速度分别是多少？
5 2. 已知某汽车的位移是 s v0t t 2 （t 的单位：s，s(t)的单位：m）,且当当 t=10s 时， 2
汽车的瞬时速度为 8 m/s，则 vo =
3. .跳水运动员从 10m 高跳台腾空入水，假设 t s 后运动员相对于水面的高度
为 H (t ) 4.9t 6.5t 10 ，则 t 2 s 时的瞬时速度为___ _________
s = t
，
s 无限趋近于某个常数 v0，这时 v0 就是物体在时刻 t 的 t
2 ．设物体运动的速度函数 v(t ) ，则物体在 t 到△t 这段时间内的平均变化率为
v = t
时刻 t 的
，如果△t 无限趋近于 0，
v 无限趋近于某个常数 a，这时 a 就是物体在 t
3．已知一动点的运动规律满足等式 s 3t 2 2 （t 的单位：s，s 的单位：m） ，则 t=3s 的瞬时速度是 【合作探究】
3 2 4.航天飞机发射后的一段时间内， 第 t s 时的高度 h(t ) 5t 30t 45t 4 ， 其中 h 单
位为 m ，时间单位为 s ． （１） h(0), h(1) 分别表示什么？ （２）求第 1 s 内的平均速度． （３）求第 1 s 末的速度． （４）经过多少时间飞机的速度达到 75m / s ．
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课题：３.1.2 瞬时变化率与瞬时加速度
姓名_____________班级 日期： 【学习目标】 1. 了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时 加速度； 2.了解求瞬时速度和瞬时加速的的方法 【课前预习】 1．设物体的运动规律是 s=s(t)，则物体在 t 到 t+△t 这段时间内的平均速度为 如果△t 无限趋近于 0，
2 例题 1 设一辆轿车在公路上做匀加速直线运动，假设 t s 时的速度为 v(t ) t 3 ，求
t t0 s 时轿车的速度．
例题２ 自由落体的运动的位移 S (m) 与时间 t ( s ) 的关系式为 S （１）求 t t0 s 时的瞬时速度；
1 2 ． gt （ g 为常数） 2