2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中考试 数学 Word版
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2同步课堂精练：2.3数学归纳法Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。
2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题
1．复数 （其中i是虚数单位）的实部是（）
A．1B． C． D．0
【答案】D
【解析】化简复数 即可得答案.
【详解】
，
的实部是0.
故选：D
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.
2．如果一质点的运动方程为 （位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在 秒时的瞬时速度为（）
【详解】
将甲乙两人中间安排一人，则有 种排法；将三人绑定，看成一个元素，再与剩余的两人组成三个元素进行全排列，共有 种排法.
故选：B
【点睛】
本题主要考查排列组合的应用，考查了用捆绑法解决实际问题.
7．已知 ，则 的值为（）
A．6B．8C．12D．8或12
【答案】D
【解析】由 ，可得 或 ，即可求得答案.
三、填空题
13．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值是________.
【详解】
或 ，
解得： 或
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题.
8．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知，只需比较 的大小就可得 ， ， 的大小关系.
【详解】
由 知，只需比较 的大小，
又 ，所以 ，
而 ，所以 ，
当 时，由 知，函数 在 上是单调增函数，因为 时， ， ，所以 ，所以 不正确；
当 时，由 知，函数 在 时取得最小值 ，要使得函数 有两个零点，必须且只需函数 的最小值小于0即可，即 ，
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积． 解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1， 可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行． 其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ， 连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ， 又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ， 所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ， 所以四边形ADHC 为平行四边形， 所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ， 所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°， 所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°， 所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
2019-2020学年苏州市陆慕高中等三校高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年苏州市陆慕高中等三校高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{1,2，3，…，n}(n ∈N ∗,n ≥3)，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为a n ．(1)若a n =7，则n = ______ ；(2)a 10= ______ ．2. 在(x +2x 2)6的二项展开式中第四项的系数是______ .(结果用数值表示)3. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，结论的否定是______．4. 已知数列满足，若不等式 恒成立，则整数m 的最小值是 ．5. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法。
正确的语句有是__________(填序号)。
6.7. 用0，1，2组成不同的三位数，一共有______ 种方法．8. 正偶数列有一个有趣的现象：(1)2+4=6；(2)8+10+12=14+16；(3)18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第______ 个等式中．9. 在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AC 、BD 的中点，AB =CD =8，AB 与CD 所成角60°，则EF 长为______．10. 若(1−x)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，则a 0+a 2+a 4+a 6+a 8= ______ ．11. 方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用，某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护土从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲不能安排到周六、周日，乙只能安排到周二、周四、周六，且甲、乙不能相邻，则一共有______种排班情况．12. 在数学上，常用符号来表示算式，如记∑a i n i=0=a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，其中n ∈N ∗.若b n =5n −1，记d n =1+∑[n i=1(−1)i b i C n i ]，且不等式t ⋅(d n −1)≤b n 对任意的n 为正偶数恒成立，则实数t 的最大值是______13. 下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖 块．14. 不等式的解为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1+2i)z =4+3i ，求z 及z ．16. 你能构造一个实际背景，对等式C n k ×C n−k m−k =C n m ×C m k 的意义作出解释吗？17. 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=|x +4x −5|．(1)求函数f(x)的零点；(2)若方程f(x)=m(m >0)有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，证明x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=16；(3)在区间[1,4]上是否存在实数a ，b(a <b)，使得函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的值域为[ma,mb]，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．18. 请阅读：在等式cos2x =2cos 2x −1(x ∈R)的两边对x 求导，得(−sin2x)⋅2=4cosx(−sinx)，化简后得等式sin2x =2cosxsinx ．利用上述方法，试由等式(1+x)n =C n 0+C n 1x +⋯+C n n−1x n−1+C n n x n (x ∈R ，正整数n ≥2)，(1)证明：n[(1+x)n−1−1]=∑k n k=2C n k xk−1；(注：∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ) (2)求C 101+2C 102+3C 103+⋯+10C 1010；(3)求12C 101+22C 102+32C 103+⋯+102C 1010．19. 如图，在四棱锥V −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：AB ⊥平面VAD ；(Ⅱ)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．20.函数f(x)=x2−2x−3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P(4,5)、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标，用数学归纳法证明：2≤x n<x n+1<3．【答案与解析】1.答案：5；133解析：解：集合{1,2，3，…，k，k+1，k+2}(k∈N∗)的T子集可以分为两类：第一类中不含有k+2，这类子集有a k+1个，第二类子集中含有k+2，这类子集为{1,2，3，…，k}的T子集与{k+2}的并集，=26，a8=46，共有a k+k个．∴a k+2=a k+1+a k+k，∵a3=1，a4=3，∴a5=7，a6=14，a7a9=79，a10=133．故答案分别为：5，133．集合{1,2，3，…，k，k+1，k+2}(k∈N∗)的T子集可以分为两类：第一类中不含有k+2，这类子集有a k+1个，第二类子集中含有k+2，这类子集为{1,2，3，…，k}的T子集与{k+2}的并集，共有a k+k个．∴a k+2=a k+1+a k+k，由a3=1，a4=3，即可得出．本题考查了对于新定义T子集的理解与应用，考查分类讨论的思想方法，考查了由特殊到一般的解题思想方法，考查了推理能力，属于难题．2.答案：160)6的二项展开式中第四项：解析：解：在(x+2x2)3=8C 63x−3=160x−3．T4=C63x3(2x2)6的二项展开式中第四项的系数是160．∴在(x+2x2故答案为：160．利用二项式定义的通项公式求解．本题考查二项展开式中第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的性质的合理运用．3.答案：三角形的三个内角都大于60°解析：本题考查反证法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意反证法性质的合理运用．根据命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，得到答案．解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．故答案为三角形的三个内角都大于60°．4.答案：3解析：本题求通项比较困难，可以写出几项，再猜出通项，后用裂项相消法求和．解：猜想，可以用数学归纳法证明这个猜想正确．所以，所以，，所以，又m为整数，所以m的最小值为3．故答案为3．5.答案：①②③解析：试题分析：根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故选①②③考点：综合法、分析法、反证法的定义点评：本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．6.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．7.答案：4解析：解：根据题意，用0，1，2组成不同的三位数，0不能在百位，则百位可以是1或2，有2种情况，将剩余的2个数字安排在十位和个位，有A22=2种情况，则一共有2×2=4种不同的方法；故答案为：4．根据题意，依次分析百位、十位和个位的数字情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的运用，注意0不能在首位，依次分析各个数位的情况数目即可．8.答案：6解析：解：①2+4=6；②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2(1+3)，2(1+3+5)，…，=2n2，所以第n个等式的首项为2[1+3+⋯+(2n−1)]=2×n(1+2n−1)2当n=6时，等式的首项为2×36=72，所以72在第6个等式中，故答案为：6．从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2(1+3)，2(1+3+5)，…，即可得出结论．本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．9.答案：4解析：解：取BC中点M，连结EF，EM，FM，∵在空间四边形ABCD中，点E、F分别是AC、BD的中点，AB=CD=8，AB与CD所成角60°，∴EM//AB，且EM=12AB=4，FM//CD，且FM=12CD=4，∴∠EMF=60°，∴EF=ME=MF=4．故答案为：4．取BC中点M，连结EF，EM，FM，则EM//AB，且EM=12AB=4，FM//CD，且FM=12CD=4，∠EMF=60°，由此能求出EF．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：256解析：本题考查二项式定理，赋值是解决问题的关键，属基础题．分别令x=1和x=−1可得奇数项和以及偶数项和的方程组，解方程组可得．解：令x=1可得0=a0+a1+a2+⋯+a9=(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7+a9)①令x=−1可得29=a0−a1+a2−⋯−a9=(a0+a2+a4+a6+a8)−(a1+a3+a5+a7+a 9) ②①+②可得2(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)=29，解得(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)=28=256 故答案为256．11.答案：960解析：解：根据题意，乙只能安排到周二、周四、周六，则分3种情况讨论：①乙安排到周二，则甲只能周四、周五，有2种安排方法，剩下5人全排列，安排在其余5天，有A 55=120种安排方法，则此时有2×120=240种安排方法；②乙安排到周四，则甲只能周一、周二，有2种安排方法，剩下5人全排列，安排在其余5天，有A 55=120种安排方法，则此时有2×120=240种安排方法；③乙安排到周六，则甲只能周一、周二、周三、周四，有4种安排方法，剩下5人全排列，安排在其余5天，有A 55=120种安排方法，则此时有4×120=480种安排方法；则一共有240+240+480=960种安排方法；故答案为：960根据题意，乙只能安排到周二、周四、周六，由此安乙的安排分3种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．12.答案：32解析：解：当b n =5n −1时，d n =1+∑[n i=1(−1)i (5i −1)C n i ]=∑[ni=0(−1)i (5i −1)C n i ]=∑[n i=0(−1)i (−5)i C n i ]−∑[n i=0(−1)i C n i ]+1=(1−5)n −(1−1)n +1=(−4)n +1将b n =5n −1，d n =(−4)n +1代入不等式t ⋅(d n −1)≤b n 中得，t ⋅(−4)n ≤5n −1，∴当n 正偶数时，t ≤(54)2−(14)2=32．故答案为：32．借助于二项式系数的性质化简可得d n=(−4)n+1，代入不等式t⋅(d n−1)≤b n，可求出n为正偶数时t的最大值．本题考查数列的求和、二项式系数的性质和不等式恒成立问题，体现了数学转化思想方法，属于中档题．13.答案：解析：试题分析：∵，∴根据题目给出的图，我们可以看出：1图中有黑色瓷砖12块，我们把12可以改写为3×4；2图中有黑色瓷砖16块，我们把16可以改写为4×4；3图中有黑色瓷砖20块，我们把20可以改写为5×4；从具体中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系，就需要对3、4、5这几个数字进行进一步的变形，用序列号1、2、3来表示，这样12，我们又可以写为12= (1+2)×4，16又可以写为16=(2+2)×4，20我们又可以写为20=(3+2)×4，你是否注意到了1、2、3恰好是图形的序列号，而2、4在图中都是确定的，因此，我们可以从图中概括出第n个图有(n+2)×4，也就是，有4n+8块黑色的瓷砖．故当n=10时，黑色瓷砖为48块考点：本题考查了归纳推理的运用点评：在处理这类问题时，我们要注意：从具体的、个别的情况分析起，从中进行归纳．14.答案：x0解析：试题分析：考点：本小题主要考查含行列式的不等式的求解，考查学生的运算求解能力．点评：本小题实际上是将不等式看成了关于的二次不等式．15.答案：解：∵(1+2i)z=4+3i，∴z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，∴z=2+i，∴zz=2+i2−i=(2+i)(2+i)(2−i)(2+i)=4−1+4i5=35+45i.解析：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的混合运算，属于基础题，由(1+2i)z =4+3i 求出z ，进而求得z ，再利用两个复数代数形式的除法法则求出zz 的值． 16.答案：解：实际背景：在n 个人中选出m 个人打扫卫生，其中k 人擦玻璃，m −k 人拖地，问有多少种选取人员的方法，利用分步计算原理：先从n 个人中选出m 人，然后从m 人中选出k 人擦玻璃，剩余的人拖地，这样有C n m ×C mk 种选法， 也可以直接从n 人中选出k 人擦玻璃，然后从剩余的n −k 人中选出m −k 人拖地，这样有C n k ×C n−km−k 种选法，所以C n k ×C n−k m−k =C n m ×C mk ．解析：等式两边都是组合数相乘，可以考虑分步计数原理，即可得到结论．本题考查了排列组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)令f(x)=0，解得x =1或x =4．(2)证明：如图，要使f(x)=m 有四个根，则0<m <1，令g(x)=x +4x −5，当g(x)=m ，则x 2−(5+m)x +4=0，∴x 1⋅x 4=4，当g(x)=−m ，则x 2−(5−m)x +4=0，∴x 2⋅x 3=4，∴x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=16．(3)①当[a,b]⊆[1,2]时，f(x)=5−(x +4x )，∴f(a)=5−(a +4a )，f(b)=5−(b +4b )，由f(a)a =f(b)b =m 得，5b −ab −4ba =5a −ab −4ab ，即5ab −4(a +b)=0，∴b =4a5a−4，由b ∈(1,2]，解得43≤a <4，由a ∈[1,2)，43≤a <2，∵b >a ，∴a <85，∴43≤a <85，由m =f(a)a =5−a−4a a =−4a 2+5a−1，可得12≤m <916． ②当[a,b]⊆[2,4]，f(x)=5−(x +4x )，由f(a)=mb ，f(b)=ma 可得a +b =5，再由f(a)=mb ，得m =5a−a 2−4ab， 把b =5−a 代入得m =1−45a−a 2，∵2≤a <4，2<b ≤4且b >a ，∴2≤a <52，∴m ∈[13,925),综上，当[a,b]∈[1,2]时，m ∈[12,916)；当[a,b]∈[2,4]，∴m ∈[13,925)．解析：(1)令f(x)=0，求解即可．(2)如图，要使f(x)=m 有四个根，则0<m <1，令g(x)=x +4x −5，当g(x)=m ，转化求解四个根的乘积即可．(3)通过[a,b]⊆[1,2]时，求解f(a)=5−(a +4a )，f(b)=5−(b +4b )，由f(a)a =f(b)b =m ，转化求解推出m 的范围．②当[a,b]∈[2,4]，f(x)=5−(x +4x )，推出m =1−45a−a 2，然后转化求解m 的范围即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是难题．18.答案：解：(1)证明：在等式(1+x)n =C n0+C n 1x +⋯+C n n−1x n−1+C n n x n (x ∈R ，正整数n ≥2)中，两边对x 求导，得：n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3⋅x 2+⋯+nC n n ⋅x n−1，移项，得：n[(1+x)n−1−1]=∑k n k=2⋅C n k ⋅xk−1． (2)由(1)令x =1可得，n(2n−1−1)=∑k n k=2C n k ，令n =10，得C 101+2C 102+3C 103+⋯+10C 1010=10+10(29−1)=5120；(3)由(1)得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3⋅x 2+⋯+nC n n ⋅x n−1，∴nx(1+x)n−1=C n 1x +2C n 2x 2+3C n 3⋅x 3+⋯+nC n n ⋅x n ，两边求导得n(1+x)n−1+n(n −1)x(1+x)n−2=C n 1+22C n 2x +32C n 3⋅x 2+⋯+n 2C n n ⋅x n−1，令x =1，n =10，可得：10×29+90×28=C 101+22C 102+32C 103⋅+⋯+n 2C 1010．∴12C 101+22C 102+32C 103⋅+⋯+n 2C 1010=10×29+90×28=10×28×(2+90)=920×28．解析：(1)对二项式定理的展开式两边对x 求导数，移项得到恒等式．(2)在等式(1)中，令x =1，可得，n(2n−1−1)=∑⋅n k=2k ，从而求得要求式子的值．(3)在(1)中的结论两边同乘x ，再两边求导即可得出结论．本题考查了二项式定理，类比推理，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：由于面VAD 是正三角形，设AD 的中点为E ，则VE ⊥AD ，而面VAD ⊥底面ABCD ，则VE ⊥AB ．又面ABCD 是正方形，则AB ⊥AD ，故AB ⊥面VAD ；(Ⅱ)由AB ⊥面VAD ，则点B 在平面VAD 内的射影是A ，设VD 的中点为F ，连AF ，BF 由△VAD 是正△，则AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF ⊥VD ，故∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角， 设正方形ABCD 的边长为a ，则在Rt △ABF 中，AB =a ，AF =√32a ，tan∠AFB =AB AF =a √32a =2√33，故面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为arctan 2√33．解析：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，对于二面角的度量在高考中有所弱化，属于基础题．(Ⅰ)欲证AB ⊥面VAD ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB 与面VAD 内两相交直线垂直，而VE ⊥AB 可由面VAD ⊥底面ABCD 得到，AB ⊥AD ，满足定理条件；(Ⅱ)设VD 的中点为F ，连AF ，AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF ⊥VD ，根据二面角平面角的定义可知∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角，在Rt △ABF 中求出此角即可．20.答案：证明：①n =1时，x 1=2，直线PQ1的方程为y−5=f(2)−52−4(x−4)，当y=0时，∴x2=114，∴2≤x1<x2<3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k<x k+1<3，直线PQ k+1的方程为y−5=f(x k+1)−5x k+1−4(x−4)，当y=0时，∴x k+2=3+4x k+12+x k+1，∵2≤x k<x k+1<3，∴x k+2=4−52+x k+1<4−52+3=3，x k+2−x k+1=(3−x k+1)(1+x k+1)2+x k+1>0，∴x k+1<x k+2，∴2≤x k+1<x k+2<3，即n=k+1时，结论成立，由①②可知：2≤x n<x n+1<3．解析：用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，先写出直线PQ1的方程，令y=0时，可得x2的值，从而验证所求证的不等式成立；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k<x k+1<3，写出直线PQ k+1的方程，令y=0时，可得用x k+1表示x k+2的式子 ,做差x k+2−x k+1，写成x n+1的表达式，根据归纳假设2≤x k<x k+1<3，可以证明2≤x k+1<x k+2<3，从而结论成立．。
江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：1-8. DCBBABDD二、多项选择题：9. ABD10. ABC 11. ABD 12. A BD 三、填空题：13.114. (0, 1]15.13302－3 0LM3－2－ fhu －－A 四、解答题：17.解：（I ）由f(x)=x 十臼2十blnx，得f'(x)= 2ax+ 1 ＋互（x > 0). x ...... 1分由曲线Y = f(x ）在点(,f (））处的切线方程为2x-y-2=0,得f'(l)= 1 + 2α＋b = 2/(1)= 1＋α＝ 0 ............... 3分解得α＝－1,b =3. . .............. 4分（即f(x ）＝一泸＋x+3lnx,x E (0十∞），f'(x)=-2x+l 十二（x > 0). …….........5分一2x+l ＋二＞0，解得XE (0，三）…........….6分x2-2x+l ＋三＜0，解得XE (;,+oo ).....………7分X L3同、3所以函数的增区间：（0，一）；减区间：（一，＋∞），............... 8分2 2 3 3 3 当x ＝三时，函数取得极大值，函数的极大值为f （一=3ln一一一...............10分2 2 4 18.解：（I ）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法cL�1=s4oc 种）．...... 4分(II ）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法d·cl·A 1=3360（种）．.... 8分。
1月先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有d 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有d种，其余3人全排列有A�种，所以共有不同选法d·d A �＝360（种）…….......12分（每少写一处数值，扣l分）高二数学参考答案第l 页共4页江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试。
2020-2021学年苏州市昆山市高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年苏州市昆山市高二下学期期中数学复习卷1一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2−y 24=1交于A 、B 两点，若△ABF是等边三角形，则该抛物线焦点F 的坐标为______ ．2. 在平面直角坐标系中向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2−i ，5+3i ，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．3. 下面四个命题：①0比−i 大；②x +yi =1+i 的充要条件为x =y =1； ③任何纯虚数的平方都是负实数． 其中错误命题的序号是______ ． 4. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆； ②双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点；③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④和定点A(5,0)及定直线l ：x =165的距离之比54的点的轨迹方程为x 216−y 29=1．其中真命题的序号为______ ． 5. 已知复数(是虚数单位)，则______6. 设函数f(x)=e x (2x −3)−a2x 2+ax ，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．7. 若“任意x ∈[0,π4),tanx <m ”是真命题，则实数m 的取值范围是______．8. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n 个三角形数为______．9. 如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______．10. 古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：则第20个图共有______ 个黑点．11. 观察下列等式12=1 12−22=−3 12−22+32=6 12−22+32−42=−10 ......照此规律，第100个等式12−22+32−42+⋯−1002= ______ ．12. 函数f(x)={|lg(1−x)|,x <1−(x −2)2,x ≥1，关于x 的方程f(f(x))=1的实根个数为______ 个．13. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)，则它的离心率为______ ． 14. (几何证明选做题)已知AB 是圆O 的直径，AB =2，AC 和AD 是圆O 的两条弦，AC =√2,AD =√3，则∠CAD 的度数是______ ．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．求证：PA//平面MNB ；(2)求证：平面PAD⊥平面PMB．16.已知函数f(x)=x(x+a)2(a∈R)．(1)若a=−3，求过点P(4,4)且与y=f(x)相切的直线方程；(2)若a≤0，证明：(sinx+a−2)2≤(sin2x+a−4)2．2+sinx17.已知圆C经过M(3,0)，N(2,1)两点，且圆心在直线l：2x+y−4=0上．(1)求圆C的方程(2)从原点向圆C作切线，求切线方程及切线长18. 已知函数f(x)=lnx −ax(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f(x)<x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．19. 已知F 1，F 2是椭圆y 24+x22=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，直线l ：y =√2x +m 与椭圆交于A ，B 两点． (1)求点P 的坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−ax1−x(a∈R)(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若数列{a m}的通项公式a m=(1+12013×2m+1)2013,m∈N∗，求证：a1⋅a2…a m<3,(m∈N∗)．21.设等差数列{a n}的公差为d，S n是{a n}中从第2n−1项开始的连续2n−1项的和，即S1=a1，S2=a2+a3，S3=a4+a5+a6+a7，…S n=a 2n−1+a 2n−1+1+⋯+a 2n−1(1)若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{S n}是否成等比数列？请说明你的理由；(2)若a1=154，d>0，证明：1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≤89d(12−14n+1)，n∈N∗．x2单调性；22.讨论g(x)fx)+43时，函数y=f(x)的图在x=的切线方；当k=23若数(x)=xf(x)在定域内调递减，kZ，的最大值．23.过原点O作圆x2+y2−8x=0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程．24.四棱锥E−ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD−CE=1，AB=AD=AE=√3，且EC⊥BD(1)求证：平面BED⊥平面AEC；(2)求二面角D--BM−C的平面角的余弦值．【答案与解析】1.答案：(√62,0)解析：解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，准线方程为：x =−p2， 准线方程与双曲线联立解得y =±√p 2−4，因为△ABF 为等边三角形，所以√p 2+y 2=2|y|，即p 2=3y 2， 即p 2=3×(p 2−4)，解得p =√6， ∴抛物线焦点F 的坐标为(√62,0)．故答案为(√62,0)．求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p 即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．2.答案：5解析：解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)−(2,−1)=(3,4)， ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+42=5． 故答案为：5．利用复数的几何意义、向量坐标运算性质、摸的计算公式即可得出．本题考查了复数的几何意义、向量坐标运算性质、摸的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：①②解析：解：①因为复数不能比较大小，所以说0比−i 大；所以①不正确；②当x ，y 是实数时，x +yi =1+i ，的充要条件为x =y =1；否则不成立，所以②不正确； ③因为i 2=−1，所以(ai)2=−a 2<0，(a ∈R 且a ≠0)，所以说任何纯虚数的平方都是负实数．所以③正确； 故答案为：①②．利用复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数的运算法则，判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念以及简单性质的应用，是基础题．4.答案：②③④解析：①根据椭圆的定义，当k>|AB|时是椭圆；②正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±√34,0)；③方程2x2−5x+2=0的两根为12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．解：①根据椭圆的定义，当k>|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±√34,0)；③方程2x2−5x+2=0的两根为12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④正确，由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5，故其轨迹方程为x2 16−y29=1．故答案为②③④．5.答案：解析：试题分析：因为复数(是虚数单位)的模的公式是.所以复数(是虚数单位)的模.所以填.本小题的关键是根据复数模的公式运算，分清复数(是虚数单位)中的实部和虚部．考点：1.复数的模.2.复数的基本概念．6.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，∴f′(x)=e x(2x−1)−ax+a，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x(2x−1)与ℎ(x)=a(x−1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x(2x+1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)， 由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)， 可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．7.答案：m ≥1解析：本题主要考查全称命题的应用，根据条件转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键． 根据全称命题为真命题，转化求函数的最值即可． 解：当0≤x <π4时，函数y =tanx 为增函数， 则0≤tanx <tan π4=1，若“任意x ∈[0,π4),tanx <m ”是真命题， 则m ≥1， 故答案为：m ≥1．8.答案：n(n+1)2解析：解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2−a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3−a2=3，…第n个图中点的个数比第n−1个图中点的个数多n，即a n−a n−1=n，则a n=1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)；2．故答案为n(n+1)2设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2−a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3−a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数比第n−1个图中点的个数多n，即a n−a n−1=n，将得到的式子，相加可得答案．本题主要考查了归纳推理，属于基础题．解题的关键在于观察、发现图形中点的个数的变化规律．9.答案：27解析：解：如图，作AO⊥BC，交BC于O，AO=√122−62=6√3，由题意得正三棱柱底面边长EF=6，高为ℎ=√3，∴所得正三棱柱的体积为：V=S△DEF⋅ℎ=1×6×6×sin60°×√3=27．2故答案为：27．由题意得正三棱柱底面边长6，高为√3，由此能求出所得正三棱柱的体积．本题考查正本棱柱的体积的求法，考查三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：210解析：解：由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3=1+2个，第3个图中黑点有6=1+2+3个，第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，…个，故第n个图中黑点有1+2+3+⋯+n=n(n+1)2当n=20时，共有黑点210个，故答案为：210根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+⋯+n个，进而得到答案．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．11.答案：−5050解析：本题考查了归纳推理，以及分组求和法、等差数列的前n项和公式的应用，难度一般．观察可得：等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式，根据这一规律得第100个等式左边为12−22+32−42+⋯+992−1002，利用分组求和法、等差数列的前n项和公式求出左边式子的和．解：观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10…当n=100时，左边=(12−22)+(32−42)+⋯+[(99)2−1002]，代入n=100得到−5050．由递推式可得到右边=(−1)n−1·n(n+1)2故答案为：−5050．12.答案：3解析：作出f(x)的图象，令t =f(x)，则f(t)=1，解方程可得t 的值，再结合图象，即可得到所求方程的个数．本题考查方程根的个数问题的解法，注意运用转化思想，通过换元法和数形结合思想，考查判断能力，属于中档题．作出函数f(x)={|lg(1−x)|,x <1−(x −2)2,x ≥1的图象，令t =f(x)，则f(t)=1，解得t =−9或0.9， 由f(x)=−9，可得x =5(−1舍去)， 由f(x)=0.9，结合图象有一正一负根， 故关于x 的方程f(f(x))=1的实根个数为3． 故答案为：3．13.答案：√52解析：解：∵中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)， ∴ba =24=12， ∴e =ca =√1+(ba )2=√52． 故答案为：√52．根据中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)，可得b a =24=12，利用e =ca =√1+(ba )2，可得结论．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：15°或75°解析：解：由题意可知，∠OAC =45°，∠OAD =30°． ①C ，D 在直径AB 的同侧，则∠CAD =∠OAC −∠OAD =15°； ②C ，D 在直径AB 的两侧，则∠CAD =∠OAC +∠OAD =75°． 故答案为：15°或75°．由题意可知，∠OAC=45°，∠OAD=30°，再分类讨论C，D在直径AB的同侧，C，D在直径AB 的两侧，即可得出结论．本题考查圆的知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．15.答案：证明：(1)连接AC交MB于Q，连接NQ，MC．AD=BC，因为AM//NC，AM=12所以四边形ABCM是平行四边形，所以Q是AC的中点，又N是PC的中点，所以NQ//PA．因为NQ⊂平面MNB，PA⊄平面MNB，所以PA//平面MNB．(2)因为PA=AD，M是AD的中点，所以PM⊥AD．因为DM//BC，DM=BC，所以四边形BCDM是平行四边形，又∠ADC=90°，所以四边形BCDM是矩形，所以AD⊥BM．因为PM∩BM=M，PM⊂平面PBM，BM⊂平面PBM，所以AD⊥平面PBM.又因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．解析：(1)根据中位线定理得出NQ//PA，故而PA//平面MNB；(2)根据AD⊥PM，AD⊥BM即可得出AD⊥平面PBM，于是平面PAD⊥平面PMB．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．16.答案：解：(1)若a=−3，则f(x)=x(x−3)2=x3−6x2+9x，∴f′(x)=3x2−12x+9，∵f(4)=4，∴点P(4,4)在y=f(x)上，①当切点为P(4,4)时，f′(4)=9，切线方程为y=9(x−4)+4，即y=9x−32，②切点不为P(4,4)时，设切点为Q(x0,y0)，k切=f(x0)=3x02−12x0+9，切线方程为y =(3x 02−12x 0+9)(x −x 0)+x 0(x 0−3)2，其过切点(4,4)，有4=(3x 02−12x 0+9)(4−x 0)+x 0(x 0−3)2，易知x 0=4是其一解， 即(3x 02−12x 0+9)(x 0−4)+(x 0−4)(x 02−2x 0+1)=0，即(x 0−4)2(x 0−1)2=0，故点Q 的横坐标x 0=1，有Q(1,4)， 又f(1)=0， ∴切线方程为y =4，综合可知，有a =−3，故过点P(4,4)且与y =f(x)相切的直线方程为y =9x −32，或y =4． (2)f(x)=x(x +a)2=x 2+2ax 2+a 2x ，∴f′(x)=3x 2+4ax +a 2=(3x +a)(x +a)，a ≤0， 当x ∈(−∞,−43)，(−a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 由0≤− a3<−a ，有f(x)在(−∞,−1]上单调递增， 由sinx ∈[−1,1]，有sinx −2≤−1，则sin 2x −4≤−1， 要证：(sinx+a−2)22+sinx ≤(sin 2x +a −4)2，a ≤0，即证(sinx −2)(sinx +a −2)2≥(sin 2x −4)(sin 2x +a −4)2， ⇔f(sinx −2)≥f(sin 2x −4)， ⇔sinx −2≥sin 2x −4，⇔2≥sin 2x −sinx =(sinx −12)2−14此式恒成立， 故a ≤0时，(sinx+a−2)22+sinx≤(sin 2x +a −4)2恒成立．解析：(1)根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程； (2)判断函数的单调性，要证：(sinx+a−2)22+sinx≤(sin 2x +a −4)2，a ≤0，只要证2≥sin 2x −sinx ，根据正弦函数的性质即可证明．本题考查了切线方程，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，属于难题．17.答案：解：(1)根据题意，圆C 经过M(3,0)，N(2,1)两点，则圆心在MN 的中垂线y =x −2上又在已知直线l ：2x +y −4=0上，则有{y =x −22x +y −4=0，解可得{x =2y =0，即圆心坐标为C(2,0)，则圆的半径r =|MC|=1；所求圆的方程为：(x −2)2+y 2=1； (2)根据题意，从原点向圆C 作切线， 当切线斜率不存在时，不与圆C 相切， 当切线斜率存在时，设直线方程为y =kx ，代入C ：x 2+y 2−4x +3=0得x 2+(kx)2−4x +3=0， 即(1+k 2)x 2−4x +3=0， 令△=(−4)2−4×3(1+k 2)=0， 解得k =±√33，即切线方程为y =±√33x ．对应切线长为√22−12=√3．解析：(1)根据题意，分析可得圆心在MN 的中垂线y =x −2上，进而可得{y =x −22x +y −4=0，解可得x 、y 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；(2)根据题意，分切线的斜率存在与否两种情况讨论，分析可得切线的方程，以及切线的长，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质以及切线的计算，属于基础题．18.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=lnx +1x ，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−1x 2，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 即有f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)； (2)由题可知f′(x)=x+a x 2，①若a ≥−1，则x +a ≥0，f(x)在[1,e]上为增函数， [f(x)]min =f(1)=−a =32，即为a =−32(舍去)；②若a ≤−e ，则x +a ≤0，f(x)在[1,e]上为减函数， [f(x)]min =f(e)=1−ae =32，a =−e2(舍去)； ③若−e <a <−1，令f′(x)=0，解得x =−a ， 当1<x <−a 时，f′(x)<0，f(x)在(1,−a)上为减函数；当−a <x <e 时，f′(x)>0，f(x)在(−a,e)上为增函数． 即有[f(x)]min =f(−a)=ln(−a)+1=32，解得a =−√e ， 综上所述，a =−√e ； (3)f(x)<x 2，即lnx −ax <x 2， 又x >0，a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2， ℎ′(x)=1x −6x =1−6x 2x，由x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， 则ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0， g(x)在(1,+∞)上递减，即有g(x)<g(1)=−1， 当a ≥−1时，f(x)<x 2在(1,+∞)上恒成立．解析：本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．(1)求出当a =−1时的f(x)解析式和导数，求得单调区间，注意函数的定义域；(2)求出导数，对a 讨论，①若a ≥−1，②若a ≤−e ，③若−e <a <−1，通过单调性求得最小值，解方程可得a 的值；(3)运用参数分离，可得a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，求得g(x)的值域，即可得到a 的范围．19.答案：解：(1)依题意，设点P 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由椭圆方程可得F 1(0,√2)，F 2(0,−√2)， 则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,√2−y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,−√2−y 0)，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，∴(x 0,y 0−√2)⋅(x 0,y 0+√2)=x 02+y 02−2=1， 即x 02+y 02=3 ①，又P 是椭圆上一点，∴x 022+y 024=1，②联立①②得，x 02=1,y 02=2，又x 0>0，y 0>0，∴x 0=1,y 0=√2， 故点P 的坐标为(1,√2)；(2)∵直线AB 的方程为y =√2x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，得{y =√2x +mx 22+y 24=1，消去y 得4x 2+2√2mx +m 2−4=0．∴x 1+x 2=−√22m ，x 1x 2=m 2−44，由△>0，得m ∈(−2√2,2√2)， 点P(1,√2)到直线AB 的距离为d =√3，|AB|=√3√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3(4−12m 2)， 则S △PAB =12|AB|⋅d =12√3(4−12m 2)√3=√18m 2(−m 2+8)≤√18(m 2−m 2+82)2=√2．当且仅当m =±2∈(−2√2,2√2)取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为√2．解析：(1)设出点P 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由椭圆方程求得左右焦点坐标，然后结合PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1求得P 的坐标所满足的关系式，再根据P 在椭圆上得另一关系式，联立即可求得P 的坐标； (2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于0求出m 的范围，然后分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出弦AB 的长及点P 到直线AB 的距离，代入三角形的面积公式利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用一元二次方程的根与系数关系求解，该题还运用了换元法和函数的单调性求最值，综合性强．20.答案：解：(1)由题意，函数的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=11+x −a(1−x)2，---(1分)当a ≤0时，注意到11+x >0,a(1−x)2≤0，所以f′(x)>0， 即函数f(x)的增区间为(−1,1)，(1,+∞)，无减区间；---(2分) 当a >0时，f′(x)=11+x −a(1−x)2=x 2−(2+a)x+1−a (1+x)(1−x)2，由f ′(x)=0，得x 2−2(2+a)x +1−a =0， 此方程的两根x 1=a+2−√a 2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2，其中−1<x 1<1<x 2，注意到(1+x)(1−x)2>0，所以f ′(x)>0⇔−1<x <x 1或x >x 2， f ′(x)<0⇔x 1<x <1或1<x <x 2，即函数f(x)的增区间为(−1,x 1)，(x 2,+∞)，减区间为(x 1,1)，(1,x 2)， 综上，当a ≤0时，函数f(x)的增区间为(−1,1)，(1,+∞)，无减区间；当a >0时，函数f(x)的增区间为(−1,x 1)，(x 2,+∞)，减区间为(x 1,1)，(1,x 2)， 其中x 1=a+2−√a2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2.--(6分)(2)证明：当a =1时，由(1)知，函数f(x)=ln(1+x)−x1−x 在(0,1)上为减函数，--(7分) 则当0<x <1时，f(x)=ln(1+x)−x1−x <f(0)=0，即ln(1+x)<x1−x ， 令x =12013×2m +1 (m ∈N ∗)，则ln(1+12013×2m +1) <12013×2m ， 即ln(1+12013×2m +1)2013<12m ，所以a m =(1+12013×2m +1)2013<e 12m ，---(10分)又a m >0，所以a 1⋅a 2⋅…⋅a m <e 12⋅e 14…e 12m =e 1−12m <e <3.----(12分)解析：(1)在定义域x 大于0上，令f ′(x)=0求出x 的值，利用x 的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间与单调递减区间，注意分类讨论； (2)与数列有关的证明题，常用放缩法来解决．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握证明不等式成立时所常用的方法．21.答案：(1)解：∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 22=S 1⋅S 3，∴a 1(a 4+a 5+a 6+a 7)=(a 2+a 3)2，∴a 1(4a 1+18d)=(2a 1+3d)2，化为2a 1d =3d 2，解得d =0或a 1=32d. 当d =0时，S n =2n−1a 1≠0，∴S n+1S n=2，∴数列{S n }成等比数列．当a 1=32d 时，S n =a 2n−1+a 2n−1+1+⋯+a 2n −1 =2n−1a 2n−1+2n−1(2n−1−1)2d =2n−1[a 1+(2n−1−1)d]+2n−1(2n−1−1)2d =32d ⋅4n−1≠0．∴S n+1S n=4，∴数列{S n }成等比数列．综上可得：S1，S2，S3成等比数列，数列{S n}成等比数列．(2)∵a1=154d>0，∴1S n =12n−1(32d⋅2n−1+a1−32d)=89d⋅34n+3⋅2n=89d×3×4n−142n−1+3×2n×4n−1≤89d ×4n−4n−142n−1+5×4n−1+1≤89d(14n−1+1−14n+1)．∴1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≤89d [(140+1−141+1)+(141+1−142+1)+⋯+(14n−1−14n+1)]=89d(12−14n+1)，n∈N∗．解析：(1)根据S1，S2，S3成等比数列，求出d=0或a1=32d，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等比数列的定义分别判断数列{S n}是否成等比数列即可；(2)由a1=154d>0，可得1S n=12n−1(32d⋅2n−1+a1−32d)=89d⋅34n+3⋅2n=89d×3×4n−142n−1+3×2n×4n−1≤89d×4n−4n−142n−1+5×4n−1+1=89d(14n−1+1−14n+1).利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义及其性质、“裂项求和”，考查了变形、裂项、放缩等技巧，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22.答案：解：f(=2lnx−13x2+23x，则′(x)=2x−23x+23，(1分)记(x)=x+2lx，则t′(x)=+2x >0(x0)，所以t(x)在(0,+∞)且t(√22)=122ln√22=12ln2<0，=1>0，即y=x−53./空格/空//空/空格//空/空//空/空//格空格/格/空格/格//格/…(分)当<4时，(x)在(,x2)上单调增，2，1上单调减，在(x1,+∞)上单调． (9)则g(x)=2x +x+k=2x2+kx2x，所以，当x=0时，(x取极小值，且最小值．因ℎ(x)在义域内单调所以′()≤0在(0,+∞恒成立，g()=2lnx+x2x，定义为0，+)，…(4分)又x0∈(√22,1)，所以x0−1x0∈(−√22,0)，即2k≤x2−2ln−2x 在(,+∞恒成立，即2k(x2−lnx−2x)min (11)则f′=2又(1)=13，所以2ks(x)min=x02−lnx0−2x0=2x02−2x0，即k≤x0−1x，…15分)所存在唯一的x0∈(√22,1)，s′(x0)=x02+lnx0x02=0，有2lnx0=−x02，…(1分)(x=2xlnx−13x3+kx2，义域0∞，则ℎ′(x)2(lnx+1)−x2+2kx．上当k≥−4，g(x)在0，+∞)调增；k<−4时，程()有两个不等的实根x1=−k+√k2−164>x2=−k−√k2−164>0当−4≤<0，g′x)≥0成立，时g)在(0,+)调增；空格/(7分)因为k∈Z，则k的值−1./空//空空空格/空格//空格空格/空////格/空空格/…(16分)解析：求出函的定义域，求出导数通过当k≥0时，−4≤<时，当k<−时，判导函数符号，求出的单区间．推出(x)=2lnx−13x3+kx2，解定义域与导数，利(x)义域内单调减，得到2k≤x2−2ln−2x(0,∞)恒成立，构造sx)=x22lnx−2x =x−2nxx−2x，出导数，记t(x=x2+lnx判断导函符号，利用所以存在一的x0∈(√22,1)，s(x)取极小是最小值．然后求解k的最大值．本题考查函数的导数的合，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法考查构法应地产股涨以及数的应，难度，需要解题仔细认真，查类讨转想的应用．23.答案：解：设M点坐标为(x,y)，那么A点坐标是(2x,2y)，A点坐标满足圆x2+y2−8x=0的方程，所以(2x)2+(2y)2−16x=0所以M点轨迹方程为x2+y2−4x=0解析：设出M点坐标为(x,y)，求出A点坐标是，利用A点坐标满足圆的方程，代入求解可得弦OA 中点M的轨迹方程本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意中点坐标的灵活运用，本题是应用代入法求解的，注意掌握．24.答案：证明：(1)由于△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，故连接AC交BD于O点，则△ABC≌△ADC，∴∠BAC =∠DAC ，则AC ⊥BD ，又∵EC ⊥BD ，EC ∩AC =C ，故BD ⊥面ACE ，∴平面BED ⊥平面AEC ；解：(2)由(1)知AC ⊥BD ，且CO =12，AO =32，连接EO ，则CO CE =CE AC =12，∴△COE∽△CEA ，又CE 2+AE 2=AC 2=4，可得∠CEA =90°．∴∠COE =∠CEA =90°，故E O ⊥AC ，又BD ⊥OE ，故如图建立空间直角坐标系，则B(0,√32,0)，D(0,−√32,0)，C(−12,0，0)，M(34,0，34)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,√32,√34)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)， 设平面DBM 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3y 1=034x 1+√32y 1+√34z 1=0，取z 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(−√33,0,1)； CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(54,0,√34)， 设平面CBM 的法向量n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则由{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{12x 2+√32y 2=054x 2+√34z 2=0，取z 2=1，得n ⃗ =(−√35,15,1)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√8729． 故二面角D −BM −C 的平面角的余弦值为3√8729．解析：(1)由题意可得AC ⊥BD ，又EC ⊥BD ，结合线面垂直的判定可得平面BED ⊥平面AEC ；(2)由(1)知AC ⊥BD ，证得△COE∽△CEA ，可得CE 2+AE 2=AC 2=4，即∠CEA =90°，得EO ⊥AC ，又BD ⊥OE ，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面DBM 与平面CBM 的一法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D −BM −C 的平面角的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．。
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试数学含答案
2019－2020学年第二学期期中试卷高二数学2020.05注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t ＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为 2.8m/s2A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为A.33B.22C.63D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数2xx f xax e存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1e) B.(0，1e) C.(－∞，0)∪{1e} D.(－∞，0)∪(0，1e)8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
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2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中考试数学
2020.05
注意事项：
1.答卷前，请将自己的姓名、调研序列号等填写在答题卡指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本调研卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数11i i
-+(其中i 是虛数单位)的实部是 A.1 B.－1 C.－2 D.0
2.如果一质点的运动方程为s ＝2t 3(位移单位：米；时间单位：秒)，则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为( )米/秒。
A.6
B.18
C.54
D.81
3.(x －1x
)10的展开式中x 4的系数是 A.－210 B.－120 C.120 D.210
4.导数公式“()()()
2f x g x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦”中分子应为 A.f(x)g'(x)－f'(x)g(x) B.f'(x)g(x)－f(x)g'(x)
C.f(x)g(x)－f"(x)g'(x)
D.f'(x)g'(x)－f(x)g(x)
5.平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是
A.100π
C.20π
D.5003
π 6.5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有 种。
A.24
B.36
C.48
D.72
7.已知282828x x C C -=，则x 的值为
A.6
B.8
C.12
D.8或12
8.若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55
，则a ，b ，c 的大小关系为
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>a>c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，下列结论中，正确的结论有
A.AC⊥BD
B.AC//截面PQMN
C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
10.已知复数z＝－13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w＝z
z
，则下列结论正
确的有
A.w在复平面内对应的点位于第二象限
B.|w|＝1
C.w的实数部分为－1
2
D.w
3
11.下列组合数公式中恒成立的有
A.C n m＝C n n－m
B.mC n m＝nC n－1m－1
C.C n＋1m＋1＝C n m＋C n＋1m
D.(C n0)2＋(C n1)2＋(C n2)2＋…＋(C n n)2＝C2n n
12.已知函数f(x)＝e x－alnx的定义域是D，有下列四个命题，其中正确的有
A.对于∀a∈(－∞，0)，函数f(x)在D上是单调增函数
B.对于∀a∈(0，＋∞)，函数f(x)存在最小值
C.存在a∈(－∞，0)，使得对于任意x∈D，都有f(x)>0成立
D.存在a∈(0，＋∞)，使得函数f(x)有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数z满足|z|＝1(i为虚数单位)，则|z－2i|的最小值是。
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是。
15.(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20中x 2的系数为。
16.设函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝
()()()
f x f x K K f x K ≤>⎧⎪⎨⎪⎩。
取函数f(x)＝52x 2－3x 2lnx ，若对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f K (x)＝f(x)，则K 的最小值为 。
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x －y －2＝0。
(I)求a ，b 的值；
(II)求函数f(x)的极大值。
18.(本小题满分12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数。
(I)某女生一定担任语文科代表；
(II)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
(III)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。
19.(本小题满分12分)如图：设一正方形纸片ABCD 边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中AH ⊥PQ ，O 为正四棱锥底面中心。
(I)若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V ；
(II)设等腰三角形APQ 的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积S 表示为x 的函数，并求S 的范围。
20.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点。
(I)求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值；
(II)求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值；
(III)求异面直线A 1B 与AD 的距离。
21.(本小题满分12分)已知函数f n (x)＝(1＋λx)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，其中λ∈R 。
(I)若λ＝－2，n ＝2020，求a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020的值；
(II)若n ＝8，a 7＝1024，求a i (i ＝0，1，2，3，…，8)的最大值；
(III)若λ＝－1，求证：0()n k
k n n k k k C x f x x n
-==∑。
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
ln x x。
(I)求函数f(x)的单调区间； (II)设a>0，求函数f(x)在区间[2a ，4a]上的最小值；
(III)某同学发现：总存在正实数a ，b(a<b)，使a b ＝b a 。
试问：该同学的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围(不需要解答过程)。