均匀带电薄圆盘的电势及等势面
均匀带电的球体内部电势
均匀带电的球体在球体内任一点产生的电势可以按照以下方式进行计算：
首先，球体由均匀带电的球壳和内部的带电球体组成。
假设球体的半径为R，单位为米，电荷密度为ρ，单位为库/平方米。
内部的带电球体的电荷总量为Q，单位为库仑。
内部的带电球体在球体内任一点的电场强度的大小可以通过高斯定律得到：E·(4πr2/ε0)=Q/S。
其中r是点到球心的距离，S是球体的截面积（在这个问题中可以视为一个面），ε0是空气的介电常数（ε0≈8.85×10^-12F/m）。
根据这个公式，电场强度可以用来计算电势：E=k0.5r2/r3。
因此，V=E·r。
将这个公式代入，我们就可以得到内部任一点的电势V：V=kρRR2/ε0R3=kρR3/ε0。
其中k是一个常数，约为8.987×10^9N·m2/C2（即真空中的静电力常数）。
由于均匀带电的球体内部是一个等位面，所以这个电势在整个球体内是相等的。
因此，这个电势的值与球体的半径R无关。
因此，均匀带电的球体内部的电势只取决于电荷量和半径两个因素。
这个值的大小可以用公式V=kρR3/ε0来计算。
在实际应用中，可以根据这个公式来求出不同半径和电荷量的球体内部的电势值。
以上是对均匀带电的球体内部电势的理论分析，如果需要更具体的应用场景分析或者实验数据支持，可能需要查阅相关的专业文献或者咨询相关的专业人士。
均匀带电圆面轴线上的电势分布
均匀带电圆面轴线上的电势分布电势之舞：均匀带电圆面轴线上的奇妙之旅在这个充满科技感的世界里，我们常常被各种高科技名词和理论所包围。
但是，你知道吗？在我们的日常生活中，有一种神奇的现象叫做电势分布。
它就像一场没有硝烟的战斗，在均匀带电的圆面上展开。
今天，我们就来一起探索这场战斗的奥秘，看看那些隐藏在幕后的小秘密。
我们要了解什么是电势分布。
简单来说，电势分布就是电荷在空间中的位置和数量的分布情况。
想象一下，如果你有一个圆形的蛋糕，而你的朋友是那个蛋糕上最甜的部分，那么这个朋友就是电势分布中的一个点。
在这个点周围，其他部分的甜度会逐渐降低，这就是电势分布的基本概念。
那么，为什么我们需要关注电势分布呢？这是因为电势分布与我们的生活息息相关。
比如，当你在玩电子游戏时，屏幕上的各种按钮和按键就像是一个个小点，它们的位置和大小决定了你的游戏进度。
而在游戏中，那些位置更靠近屏幕中心的按钮，就像是电势分布中的“中心”，它们的优先级更高，更容易被选中。
再来说说电势分布在生活中的应用。
比如，当我们使用手机充电时，充电器上的正负极就像是两个小太阳，它们通过导线连接在一起，产生电流。
而在导线中，电流的方向就像是水流一样，从正极流向负极。
这就是电势分布的一种表现形式。
那么，电势分布是如何产生的呢？这就要提到一个非常重要的概念——电荷。
电荷就像是一粒粒小小的种子，它们分布在整个宇宙中，等待着合适的时机发芽生长。
当这些种子聚集在一起时，就会产生强大的力量，推动周围的空气、水和其他物质发生移动，这就是电势分布产生的基本原理。
现在，让我们回到我们的主角——那个圆圆的蛋糕上的“朋友”。
在这个朋友周围，其他的部分就像是被电势吸引的蝴蝶，纷纷飞向这里。
而在这个朋友附近，空气分子的运动速度也会加快，这就是电势分布带来的“魔法”。
我们来看看电势分布在日常生活中的另一个例子——静电。
静电就像是一场突如其来的“雷阵雨”，让人措手不及。
当两个物体接触时，它们之间的电荷就会相互转移，形成电势差。
均匀带电圆环和圆盘圆心处的场强与电势的讨论
122科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N动力与电气工程电磁学的基本内容之一就是对于均匀带电体的场强和电势的计算,电磁学的相关书中均有详细的介绍[1～4]。
然而对于均匀带电体中某些特殊点的场强与电势的问题却没有详细地讨论,而关于这些特殊点的场强与电势的理解又是非常重要的。
本文通过均匀带电体的电势与场强的求解过程来讨论这些特殊点的场强与电势。
1 均匀带电体的场强与电势将均匀带电体分割成无数多个电荷元dq,每一个电荷元dq可以看作一点电荷,点电荷在空间某点P产生的场强dE和电势dU 分别为:0204dq dE r r和04dq dU r 。
其中0r为电荷元dq到P点的矢径 r方向的单位矢量。
根据场强叠加原理和电势叠加原理,整个带电体在P点产生的总场强和总电势分别为:0204VVdqE dE r r和04V dq U dU r 。
若电荷连续分布在一体积内,用ρ表示电荷体密度,则式中dq dV ;若电荷连续分布在一曲面或平面上,用σ表示电荷面密度,则dq ds ;若电荷连续分布在一曲线或直线上,用λ表示电荷线密度,则dq dl 。
相应地计算总场强E和总电势 U 的积分分别为体积分、面积分和线积分。
2 均匀带电圆环和圆盘轴线上的场强真空中一均匀带电圆环,环半径为R,带电量q,圆环轴线上任一点P的场强。
首先取环的轴线为坐标x轴,轴上P点与环心的距离为x 。
在圆环上取线元d l ,它与P 点的距离为r ,如图1所示,则:2qdq dl dl R。
dq 在P点产生的场强dE 的方向如图,大小为204dl dE r 。
dE 与x轴平行的分量://20cos 4dl dE r 。
dE 与x轴垂直的分量:20sin 4dldE r 。
根据对称性可知,带电圆环上在同一直径两端取相等的电荷元在P点产生的场强垂直于x轴方向的分量相互抵消,所以P点的总场强方向沿x轴正向,即:23/22230220000cos 4444R L L L dl dl x x qxE dE dl r r r r R x 当0q 时,E沿x轴离开原点O的方向;当0q 时,E沿x轴指向原点O的方向。
带电均匀球体电势分布
带电均匀球体电势分布电势是物理学中的一个重要概念，用来描述电场中的某一点的电势能。
在带电均匀球体中，电势分布是一个重要的研究对象。
本文将介绍带电均匀球体电势分布的原理和特点。
我们需要了解什么是带电均匀球体。
带电均匀球体是指球体上的电荷均匀分布，而且球体内外电场均为均匀分布。
这种球体通常用来模拟现实中的球形物体，如球形导体、球形电容器等。
在带电均匀球体内部，电势分布是一个关于距离球心的函数。
根据库仑定律，带电均匀球体内部的电势分布可以用以下公式描述：V(r) = k * (Q / R) * (3 - r^2 / R^2) / 2其中，V(r)表示距离球心距离为r的点的电势，k是电场强度常数，Q是球体上的总电荷，R是球体的半径。
从上述公式可以看出，在带电均匀球体内部，电势随距离的增加而减小。
当距离等于球体半径时，电势为零。
这是因为球体表面上的电荷与球心的距离最远，电势能最大，而球体内部的电势逐渐减小直至为零。
在带电均匀球体外部，电势分布同样是一个关于距离球心的函数。
根据库仑定律，带电均匀球体外部的电势分布可以用以下公式描述：V(r) = k * (Q / r)其中，V(r)表示距离球心距离为r的点的电势，k是电场强度常数，Q是球体上的总电荷。
从上述公式可以看出，在带电均匀球体外部，电势随距离的增加而减小，且减小速率与距离成反比。
这是因为球体外部的电场是由球体上的总电荷产生的，而电场的强度与距离成反比。
带电均匀球体的电势分布具有以下特点：1. 球体内部电势随距离的增加而减小，直至为零。
这是因为球体内部的电势能逐渐转化为电场能。
2. 球体表面上的电势为常数。
这是因为球体上的电荷均匀分布，电场在球体表面上的强度也是均匀分布的。
3. 球体外部电势随距离的增加而减小，且减小速率与距离成反比。
这是因为球体外部的电场是由球体上的总电荷产生的，而电场的强度与距离成反比。
带电均匀球体的电势分布对于理解电场和电势的概念非常重要。
均匀带电球体内的电势
均匀带电球体内的电势
从数学角度来看，对于一个半径为R的均匀带电球体，其内部
点的电势可以通过库仑定律和电势能的定义来计算。
根据库仑定律，球体内某一点的电势可以表示为V=kQ/r，其中V是电势，k是电场
常数，Q是球体上的电荷量，r是球心到该点的距离。
对于均匀带电
球体，可以将球体上的总电荷Q表示为电荷密度乘以球体的体积，
即Q=ρV，其中ρ是电荷密度，V是球体的体积。
将Q代入电势公
式中可以得到球体内任意点的电势公式为V=kρr^2/3，这表明球体
内的电势与距离球心的距离成二次关系。
从物理角度来看，均匀带电球体内的电势还可以通过电场的概
念来理解。
在球体内部，由于电荷分布均匀，电场也是均匀的。
而
电势则可以看作是单位正电荷在电场中的电势能，因此在均匀带电
球体内，无论在球心还是球体表面，单位正电荷所具有的电势能是
相同的，因此球体内的电势是均匀的。
总之，均匀带电球体内的电势是一个重要的物理概念，通过数
学计算和物理解释可以得知，在均匀带电球体内，电势是均匀分布的，这对于理解电荷分布和电势能具有重要的意义。
带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布
带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布孝义市第五中学:蔺金林摘要: 先介绍电位的两种计算方法，一种是用点电荷的电位分布来计算电位（参考点在无穷远时），一种是用电位与场强的积分关系式来计算电位.然后用两种不同的方法求出均匀带电薄圆盘轴线上的电位和电场.根据点电荷电势和电场的叠加原理，导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，再用叠加法推广到均匀带电圆盘周围空间的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,由点电荷在空间激发电场的电位公式，用两种方法，一种是线电荷元分割法，一种是面电荷元分割法，求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.关键词：均匀带电圆环；均匀带电圆盘；电场；电位The Space Distribution Of Electric Field Of Charged Thin RingAs Well As Thin DiscABSTRACT:In this paper, we first introduce two computational methods of the electric potential, one kind is that calculating the electric potential with the point charges’ potential distribution (reference point is in infinite distance), another one is that calculating the electric potential with the electric potential and the field intensity integral relationship. Then extract the spool thread on the even charged thin disc with two different methods. According to the principle of superposition of electric potential and the electric field of the point charges, derive the progression expression of the electric potential and the electric field on the even charged thin ring, again we will use the method of superposition to promote the space distribution of electric field (Divide the even charged thin disc to many a concentric charged rings. Extract first the electric potential spatial distribution no matter where on a charged ring. Again carry on the superposition. From the formula of electric potential stirred up by a point charge, we deduce the space distribution of a uniform charged disc’s electric potential with two methods. One kind is the line charge method, one kind is the surface charge method).KEYWORDS:Even charged ring；Even charged disc；Electric field；Electric potential目录引言 (1)1电位的计算 (2)1.1电位的两种计算方法 (2)1.2均匀带电圆盘轴线上电位 (2)2均匀带电细圆环的电场 (5)2.1均匀带电细圆环的电势 (5)2.2均匀带电细圆环的电场 (6)2.3均匀带电细圆环电场、电势的讨论 (7)3均匀带电薄圆盘的电势 (8)3.1均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法） (8)3.2均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法） (11)总结 (12)参考文献 (13)引言各种带电体周围空间电场的解是电磁学中经常碰到的问题,其中均匀带电细圆环以及薄圆盘电场的空间分布是一个非常棘手的问题.本文将先讨论均匀带电细圆环空间电场的解,再用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布.对于均匀带电细圆环周围空间电场的解,近年来,已有文献在用积分方程表示电场解的同时,还用计算机对其进行了数值计算.然而,寻找更易于理解的数学表达式,常常是我们问及,也是我们非常关心的问题.本文先利用点电荷电势的公式及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解,再通过电势与电场的关系得出其电场强度的级数解.均匀细圆环的静电势,由于物理图象清晰,计算简单,在数学物理方法及电动力学教材中多有讨论.在此基础上,很自然地就会要讨论到均匀带电薄圆盘的静电势问题.事实上,在Morse和Feshbach所著的Method of Theoretical Physics[1]一书中就可以找到这个问题.目前,在一些教材中也有所讨论,或者把它列为习题[2-6].但是,这个问题,形似简单,实际上涉及数学物理方法中的一些基本理论,在一些教材中似乎讨论的不够充分,而且不能简单地把无穷多个细圆环叠加起来,就能得到正确的结果.本文将做尽可能详细的分析,并用一种简单而又容易理解的叠加法（在球坐标系中）求出其正确的结果.在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本文由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.1 电位的计算1.1 电位的两种计算方法当电荷分布已知时，可用如下两种方法计算电位.1、用点电荷的电位公式20044p p p r pQ dr Q U d r r πεπε∞∞=⋅==⎰⎰E l (1.1.1) 计算电位.式中p r 是场点p 与点电荷Q 的距离.接下来我们对电位的计算就用此公式.由场强的迭加原理[7]不难证明电位的迭加原理：n 个点电荷在某点产生的电位等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电位的代数和.把激发电场的电荷分为许多点电荷，利用点电荷的电位公式(1.1.1)及电位叠加原理便可求得场中各点的电位.当电荷按体密度ρ连续分布时，可把带电区域分为无限多个无限小体元d τ，其对场点p 贡献的元电位按式(1.1.1)为04d dU rρτπε= (1.1.2) r 是d τ与场点p 的距离.整个带电区域在p 点激发的电位为014d U rρτπε=⎰⎰⎰ (1.1.3) 积分遍及整个带电体积.类似地，当电荷按面密度σ连续分布于某曲面上时，电位公式为014ds U rσπε=⎰⎰ (1.1.4) 积分遍及整个带电曲面.应该注意式(1.1.1)，因而式(1.1.3)及(1.1.4)只对参考点在无限远的情况成立.因此，当参考点不在无限远时，就不宜使用这种方法.2、用电位与场强的积分关系式计算电位使用这种方法时，首先应在欲求电位的点p 与参考点0p 间选择一条适当的曲线，并根据电荷分布求出线上各点场强.由于积分路径的任意性，可以根据具体情况选择一条最便于计算的曲线.1.2 均匀带电圆盘轴线上电位均匀带电圆盘轴线上电位.已知圆盘半径为R ，电荷面密度为σ，参考点在无限远.如下图因参考点在无限远，故可用式(1.1.1)作积分(第一种方法),用极坐标的方法把圆平面分成许多面元,坐标为r ,ϕ的面元的面积为dS rd dr ϕ= (1.2.1)其电量为dq dS rd dr σσϕ==按式(1.1.1)它在轴线上一点p 贡献的电位为dU = (1.2.2) 整个圆盘在p 点贡献的电位为200004)2R U d z πσϕπεσε===⎰⎰⎰⎰ (1.2.3) 其中z 是p 点与圆盘的绝对距离(不论p 点在圆盘的左侧还是右侧,z 恒取正)电位沿圆盘轴线的分布如图(1.2.2)曲线所示,这是一条连续曲线(包括盘心O 点在内).这就说明，虽然场强在带电圆盘面发生突变（一面两侧的场强虽然数值相同，但反向相反，故为突变），但电位在面上却是连续的.也可用第二种方法求解，为zz此可选圆盘轴线为积分路径.可按照点电荷场强公式，它在轴上一点P 贡献的场强（大小）为204rd dr dE lσϕπε= 其中l 是半扇形到点P 的距离.由于电荷分布对称于圆盘轴线OP ，故必存在与所取半扇形对称配置的另一半扇形，两者面积、电量分别相等.虚线半扇形在P 点贡献的场强如图中d 'E 所示.d E 与d 'E 大小相等，与轴线夹角α亦等，两者的合场强必平行于轴线.整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形，故P 点的总场强E 亦平行于轴线.因此只须对d E 沿轴线的分量z dE 作积分便可求出E .由图可知220032220cos cos 444()z rd dr rd dr z dE dE l l l zrd dr r z σϕασϕαπεπεσϕπε====+ 对变量r 、ϕ作二重积分得230022200142()R zrdr E d r z πσσϕπεε⎛⎫== ⎝+⎰⎰ (1.2.4) 其中z 为O 与P 间的绝对距离（不论P 点在圆盘的右侧还是左侧，z 恒取正）.再对式(1.2.4)积分，即可求得式(1.2.3).2 均匀带电细圆环的电场2.1 均匀带电细圆环的电势利用上一章介绍的点电荷电势的公式(1.1.1)及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解.如图(2.1.1),设均匀带电细圆环半径为R,其电荷线密度为λ.由对称性可知：其电势与电场必以z 轴对称.因此，只要求得xOz 平面内电势与电场，则整个空间的电势与电场便可知.图中dl 线段电荷在p 点电势为：0014142p dl dU r C A λπεπελ=⋅== 式中012C πε= ,A =, 2222xRB x z R =++ . (2.1.1) 将细圆环视为点电荷的集合，由电势叠加原理，在空间p 点处电势为020*********p C A U C A C A C A d πππππππλλλλθ=⋅⎧=⎨⎩⎧⎫⎪=⎨⎪⎩=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2.1.2) 其中2πθθ'=-.利用幂级数[8～10]()1234211313513571112242462468x x x x x x -⋅⋅⋅⋅⋅⋅±=++⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅则式(2.1.2)可变形为如下幂级数的形式:(2.1.1)图 均匀带电细圆环的电势{223320223323332123044455545131351cos cos cos 224246131351sin sin sin 2242462(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(p n n B U C A B B B B B d C A G B G B G B G B G B G B ππλθθθθθθθλθθθθθθθθ⋅⋅⋅⎧=++++⋅⋅⋅+⎨⋅⋅⋅⎩⋅⋅⋅⎫-+-+⋅⋅⋅⎬⋅⋅⋅⎭=+-++-+++-+⋅⋅⋅+⎰⎰}cos (1)sin )n n n d θθθ+-⋅⋅⋅ (2.1.3)式中：112G = ， 23142G ⋅=⋅ ， 3531642G ⋅⋅=⋅⋅ ， 475318642G ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ……(21)(23)312(22)42n n n G n n -⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n 为正整数.且1B <，即p 点不应在环上.对式(2.1.3)积分,得到:{}246824682468224466881353753222246486413324222p n n n n n U C A G B G B G B G B n n G B n n C A M G B M G B M G B M G B M G B πλπλ⋅⋅⋅⎧=+⋅++++⋅⋅⋅+⎨⋅⋅⋅⎩--⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎬-⎭=+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (2.1.4)这里：212M = ， 434M = ， 65364M ⋅=⋅ ，8753864M ⋅⋅=⋅⋅ , ……(1)(3)3(2)4n n n M n n -⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅ n 为正偶数.同样1B <.2.2 均匀带电细圆环的电场得到均匀带电细圆环周围空间电势的级数解后,再通过电势与电场的关系,可得出其电场强度的级数解.由电场强度与电势的关系:U =-∇E (2.2.1)不难得到p 点场强.令x z E E =+E i k ，有：{}{}{}242244312244222224422222242(2)22422pn x n n n n n p n n n U AE C M G B M G B M G B x x BC A M G B M G B n M G B x B B U C A B A M G M G B R RnM G B πλπλπλ--∂∂=-=-+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-∂∂∂⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∂=+-⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (2.2.2) {}23222442222()2242pz p n n n U zA z E U C A B M G M G B z R Rn M G B πλ-∂=-=+⋅⋅++⋅⋅⋅+∂⋅⋅⋅ (2.2.3) 其中1B <.2.3 均匀带电细圆环电场、电势的讨论1、对于z 轴上的点（0x =，0B =），式(2.1.4)、(2.2.2)、(2.2.3)分别变为:02p U C A λπλππε=== (2.3.1) 0x E = ,322204()z QzE z R πε=+ (2.3.2)式中Q 为圆环上总电荷.这是我们所熟知的结果，此外，若p 点距圆心距离远大于环半R >），p U 近似为式(2.1.4)第一项:2204()p Q U x z πε≈+ (2.3.3) 322204()x xQ E x z πε≈+ 322204()z zQE x z πε≈+ (2.3.4) 此时,p 点电势相当于环上电荷置于圆心处时的点电荷的电势和电场.2、由式(2.1.4)可见,电势较大区域在圆环附近.对于场强，此时由式(2.2.3),0x E =场强方向沿圆环径向.同样，当p 点位于环附近时，222B A =.场强由式(2.2.2)中第一项决定.当p 点距环越远时，场强将会迅速减小.得知:均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近.3 均匀带电薄圆盘的电势3.1 均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法）在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本章由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.如图(3.1.1),将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,即可求出均匀带电圆盘电位的空间分布.在前面得到均匀带电细圆环的电位分布，得到(2.1.4)式如下：{}246824682468224466881353753222246486413324222p n n n n n U C AG B G B G B G B n n G B n n C AM G B M G B M G B M G B M G B πλπλ⋅⋅⋅⎧=+⋅++++⋅⋅⋅+⎨⋅⋅⋅⎩--⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎬-⎭=+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 其中012C πε=,A = , 2222xRB x z R =++式中只有A 、B 与坐标量有关,把上式对x 积分,便可得到均匀带电圆盘在xOz 平面上的分布.但计算起来相当麻烦，（计算机可对它进行数值计算）为了便于计算，我们在球坐标系中计算.本节先用线电荷元分割法来求解.已有文献对它进行了计算，但用这种方法把无穷多个细圆环叠加起来，不能得到正确的结果.从根本上说来，这是因为轴定理所处的体系，不仅要求具有轴对称性，而且对源（静电问题中的电荷，引力中的质量，等等）的分布也有一定的限制.源只能分布在作为系统内部界面的球面上.而在本问题中，作为静电势的源的电荷，分布在赤道面上的一个圆形区域内.因此，我们在球坐标系中计算，便可容易得到正确的结果.如图中所示，设均匀带电圆环带电量为dq ,半径为ρ,在环上任取一小线元dl ,dl 到p 点的距离为r ',dl 带电量为:22dq dqdl d ρφπρπρ= 在p 点激发电场的电位为:2001428dq dq d dV d r r φρφπεπρπε'=⋅=⋅'' (3.1.1) 式中222222(cos )(sin )2sin cos()2sin cos()r r r r r r θρθρθαφρρθαφ'=++--=+-- (3.1.2)将(3.1.2)代入(3.1.1)得:208dq dV πε'=228dq V ππε'=⎰(3.1.3)由对称性可知，圆环在p 点的电位V 与p 点的方位角α无关，即可取0α=. 则：2208dq V ππε'=⎰(3.1.4)令2φπψ=- 2d d φψ=- (3.1.5)2cos cos(2)cos 212sin φπψψψ=-=-=-+ (3.1.6)将(3.1.6) (3.1.5)代入(3.1.4)式得：2208dq V ππε'=⎰ (3.1.7)为了计算简便，这里令2224sin 2sin r k r r ρθρρθ=++ (3.1.8) 将(3.1.8)代入(3.1.7)式得：V π'=⎰(3.1.9)又222qdq d d R πρρσπρρπ=⋅=⋅(3.1.10) 将(3.1.10)代入(3.1.9)式积分得：202RV πσπε=⎰⎰ (3.1.11)21sin k-ψ的以π为周期的偶函数，且, 则2222426211313521()()()2224246k k k πππ=⋅⋅⋅⎡⎤=⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦⎰⎰ (3.1.12) 将(3.1.8) (3.1.12)代入(3.1.11)得()22000232024301()4sin 2213(4sin )24135(4sin )246R R R R V r r r σθεθθ⎡=⎢⎢⎣⋅⎛⎫+ ⎪⋅⎝⎭⎤⋅⋅⎛⎫⎥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎥⋅⋅⎝⎭⎦⎰⎰⎰⎰sin ln2V r r σθε=-⎣()22023201()4sin 213(4sin )24R R r r θθ+⋅⎛⎫+ ⎪⋅⎝⎭⎰⎰2430135(4sin )246R r θ⎤⋅⋅⎛⎫⎥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎥⋅⋅⎝⎭⎦⎰ (3.1.13) 20k <讨论：当0θ=时，p 点便在轴线上，这时(3.1.13)式化为)2V r σε=即圆盘在轴线上与盘心相距为r 处p 点的电位,与电磁学中得出的结论相符合.接下来用面电荷元分割法来求均匀带电圆盘的电势.3.2 均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法）如图(3.2.1),将坐标原点选在圆心O 上,盘面在xOy 平面内,z 轴沿圆盘轴线,设p 点到圆心的距离为r ,在盘内任取一小面积元ds ：ds dxdy =ds 到圆心的距离为ρ，到空间任一点p 的距离为r '，电荷元带电量为：dq dxdy σ= (3.2.1)电荷元在p 点激发电场的电位为：14dqdV r πε=⋅'(3.2.2) 由图(3.2.1)可知222222(cos )(cos )(sin )2sin cos()r r l r r r θθρθρθαφ'=+=++--r '= (3.2.3)将(3.2.1) (3.2.3)式代入(3.2.2)式得04dV σπε=(3.2.4) 将(3.2.4)式化为极坐标的形式：04dV σπε=4V σπε=⎰根据对称性可知，圆盘电荷在p 点产生的电位V 与p 点的方位角α无关，为简单可取0α=则4V σπε=⎰(3.2.5)令22d d φπψφψ=-=- (3.2.6)2cos cos(2)cos 212sin φπψψψ=-=-=-+ (3.2.7)将(3.2.6) (3.2.7)代入(3.2.5)式得0042V σπεσπε==⎰⎰(3.2.8)令2224sin 2sin r k r r ρθρρθ=++ (3.2.9)将(3.2.9)代入(3.2.8)得：222RV πσπεσπε==⎰⎰(3.2.10)由此看出(3.2.10)与(3.1.11)是相同的.当0θ=时，(3.2.10)式同样可得出均匀带电圆盘轴线上距盘心r 处p 点的电位：)2V r σε=总结求各种带电体周围空间电场的解，可先计算出各种带电体周围空间电位的分布，然后用电位与电场的关系求出其电场分布.而对周围空间电位的计算，用两种方法计算.当参考点在无穷远时，用点电荷的电位分布计算电位；或用电位与场强的积分关系式计算电位.从而通过计算可导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，得知均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近.在此基础上，用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加, 由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.致谢：李生莲老师对本文的设计及成稿提出了很好的建议,在此我表示诚挚的谢意！参考文献：[1]Morse P M, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics[M]. New York: McGrawHill,1953[2]张连顺姜万禄. 环形线电荷的电场分布[J]. 大学物理,1998,17(8):21～23.[3]程守洙江之永.普通物理学(第二册)[M].北京:人民教育出版社.1982.19～47[4]张之翔编著.电磁学教学札记[M]. 北京: 高等教育出版社,1988.[5]马文蔚. 物理学[M]. 北京: 高等教育出版社,1999.133[6] W⋅R⋅斯迈思著,戴世强译.静电学和电动力学[M]. 北京: 科学出版社,1981.56[7]梁灿彬秦光戎梁竹健. 电磁学[M]. 北京:高等教育出版社,1980.46～48.[8]王竹溪郭敦仁. 特殊函数概念[M]. 北京: 科学出版社,1981.86～91[9]胡嗣柱徐建军. 数学物理方法解题指导[M]. 北京:高等教育出版社,1997.[10]中国矿业学院数学教研室编. 数学手册[M]. 北京: 高等教育出版社,1998.87。
电场中的电势分布知识点总结
电场中的电势分布知识点总结电场是物理学中一个重要的概念，描述了电荷之间相互作用的力场。
在电场中，电势分布是一个关键的概念，它描述了不同位置的电势大小和分布规律。
本文将从以下几个方面总结电场中的电势分布的知识点。
一、电势的定义和计算方法电势是描述电场中位置处势能大小的物理量。
在电势分布的计算中，我们常用到电势差的概念。
电势差表示从一个位置到另一个位置的电势变化量，可以通过电势差公式进行计算。
电势差的单位是伏特(V)。
二、电势分布的规律1. 点电荷电势分布规律在电场中，一个静止的点电荷产生一个以其为中心的球对称电势分布。
电势的大小与距离点电荷的距离成反比，距离越远，电势越小。
2. 均匀带电圆盘电势分布规律在电场中，均匀带电圆盘的电势分布具有轴对称性。
轴线上的位置电势为0，离轴线越远，电势越小。
离开圆盘足够远的点，电势趋近于0。
3. 均匀带电球电势分布规律在电场中，均匀带电球的电势分布具有球对称性。
球心处的电势为常数，离球心越远，电势越小。
球外点的电势与点电荷相同，与均匀带电圆盘相比，球外点电势的分布更加均匀。
三、等势面的特点等势面是指在电场中，电势相等的点所构成的曲面。
等势面与电场线垂直。
等势面的间距表示电势差的大小，间距越短，电势差越大。
等势面间距均匀表示电势分布均匀，间距不均匀表示电势分布不均匀。
四、静电平衡和电势分布的关系静电平衡的条件是电荷处于电势最小的位置，即力场对电荷所作的虚功为零。
电势分布的不均匀性会导致电荷受到不平衡的力，使系统失去静电平衡。
因此，电势分布的均匀性是维持静电平衡的重要条件。
总结：电势分布是描述电场中电势大小和分布规律的重要概念。
电势的计算可以通过电势差公式进行，不同几何形状的带电物体具有不同的电势分布规律。
等势面与电场线垂直，间距均匀表示电势分布均匀。
电势分布的均匀性是系统保持静电平衡的关键条件。
以上就是对电场中的电势分布知识点的总结。
电势分布的理解和应用对于理解静电场的性质和电势能的转化具有重要意义。
半径为r的圆盘均匀带电,面电荷密度为,求电势分布
半径为r的圆盘均匀带电,面电荷密度为,求电势分布半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。
首先，让我们来了解一下电势分布的概念。
电势分布是指在电场中不同空间位置的电势大小分布情况。
在本例中，我们的焦点是半径为r的圆盘，我们将研究在该圆盘上不同位置的电势分布情况。
根据电势定义，电势是单位正电荷在电场中的势能。
对于均匀带电的圆盘，我们可以使用电势公式求解电势分布。
根据电势公式，电势V与距离r的关系为V = kQ/r，其中k是库伦常数，Q是圆盘的总电荷。
对于一个均匀带电的圆盘，电荷总量Q可以表示为Q = σ * A，其中σ是面电荷密度，A是圆盘的面积。
因此，电势公式可以表示为V = kσA/r。
我们可以看到，在该公式中，电势分布与距离r和面电荷密度σ有关，这意味着电势随着距离的增加而减小，而与面电荷密度有关。
具体来说，当距离r较小时，电势分布较大。
随着距离的增加，电势逐渐减小。
当距离趋近于无限远时，电势趋近于零。
这是因为电场力越远离电荷，作用的力就越小。
此外，面电荷密度σ也会影响电势分布。
当面电荷密度增加时，电势分布也会增加。
因为较大的电荷密度会产生更强的电场力，从而导致电势的增加。
综上所述，半径为r的均匀带电圆盘的电势分布受到距离和面电荷密度的影响。
越靠近圆盘，电势越大；而距离越远，电势越小。
同时，面电荷密度越大，电势也越大。
这个电势分布的研究对理解电场、电势的分布规律非常重要。
在实际应用中，掌握电势分布的知识可以帮助我们设计电场、电路和电子设备，以及解决电力工程和电子技术上的问题。
希望通过这篇文章的解释，能帮助读者理解半径为r的圆盘均匀带电的电势分布情况，以及电势分布的重要性和应用意义。
不仅能够提供基础的理论指导，还能够为读者拓宽电学知识和应用领域的思路，使读者在相关领域取得更好的成果。
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２ 均 匀 带 电细 圆环 的 电势 如 图 １ 设 均 匀 带 电 细 圆 环 半 径 为 Ｒ， ， 其
电荷 线 密 度 为 ． 由对 称 性 可知 ： 电势 必 以 ｚ 其 轴 对 称 。 因此 ， 要求 得 ｘ ｚ平 面 内 电势 ， 只 Ｏ 则 整个 空间 电势便 可知． 中 ｄ 线 段 电荷在 Ｐ 图 ｚ 点 电势 为 ：
一
一 ４
一
一
— ４
—
Ｇ３ Ｂ。（ ｏｓ ０一 ｓ ｎ ０ ｃ 。 ｉ 。 ）＋
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０
雅
０
Ｇ４ （ ｏ ＋ ｓｎ ０ Ｂ ｃ ｓ ０ ｉ ）＋
Ｇ５ Ｂ。（ ｏｓ ０一 ｓ ｎ ０ ｃ 。 ｉ 。 ）＋
…
图 １
＋ Ｇ ” Ｃ Ｓ ０＋ （ １） ｉ Ｂ （Ｏ” 一 ｓｎ ０）＋
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｗ ｅ ｏｂｔ ｉ ｔ ｅ ｉ ｓ ｓ ｌ ｔｏｎ ｏｆ ｔ ｐ ｅ ｉｌ ｏｆ ａ ｓ ｒ ｃ ａ ｎ ｈｅ ｓ ｒｅ ｏ ｕ ｉ ｈｅ ｏｔ ｎｔａ ｕｎ ｆ ｒ ｌ ｈ ｇｅ ｓ ｉｏ ｍ ｙ ｃ ａｒ ｄ ｄｉ ｃ
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电势 叠 加 原 理 ， 空 间 Ｐ点 处 电势 为 ： 在 ＵＰ 丁 Ａ ・２ 一 Ｃ Ａ ｄ Ｏ
理 ， 出均 匀 带 电 细 圆 环 周 围 空 间 电 势 的级 导
在 大 学 物 理 静 电 场 内 容 的 教 学 中 ， 匀 均 带 电 薄 圆 盘 作 为 一 个 典 型 的 带 电 模 型 ， 常 常 需 要求 其 周 围 空 间 的 电 场 ． 于 寻 找 普 遍 解 由 析 解 的 困难 ， 目前 教 材 上 的 内 容 ， 常 只 局 限 通 于求 过 其 圆心 的 轴 线 上 的解 ． 年 来 ， 找 普 近 寻 遍 解 的 问 题 已 受 到 同 行 们 的 关 注 ． 们 或 者 他 在用 积分方程 表 示其 电势 和 电场解 的 同时 ， 还 用 计 算 机 对 其 进 行 数 值 计 算 ｌ ； 者 通 过 ＿ 或 １ 数 学 物 理 方 法 ， Ｌ ｇｎ ｒ 用 ｅ ｅ ｄ ｅ多 项 式 表 示 其 电
（ 稿 日期 ：２ ０ —４２ ） 收 ０ ２０ —７
摘 要 根 据 电势 的叠 加 原 理 ， 出 了均 匀 带 电 薄 圆 盘 电势 的 级 数 表 达 式 ， 进 而 给 导 并 出 了等 势 面 方 程 ．
关 键 词 薄 圆盘 ； 电势 ； 数 解 ； 势 面 级 等
Ｐｏ ＴＥＮ ＴＩ ＡＬ Ｆ Ｕ ＮＩ ｏ Ａ Ｆｏ Ｒ Ｍ ＬＹ ＣＨ ＡＲ ＧＥＤ Ｓ ＤＩ Ｃ
Ｇ Ｇ
对（） 积分 ， 到 ： ３式 得
Ｕｐ— Ｃ Ａ ２＋ ２・ Ｇ Ｂ ＋ ４ ＋ Ａ Ｔ ～ ｚ ３Ｇ Ｂ
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６ 物理与工程 Ｖｏ． ２ Ｎｏ ５ ２ ０ １１ ． ０ ２
均 匀 带 电 薄 圆 盘 的 电 势 及 等 势 面
程 昌林 王 慧 李 业凤
（ 子 科 技 大 学 物 理 电 子 学 院 ， 川 成 都 ６ ０ ５ ） 电 四 １ ０ ４
Ｋ ｅ ｏ ｄ ｄｓ ； ｏ ｅ ｔａ ； ｅｉｓｓ ｌｔ ｎ； ｑ ｉ ｏ ｅ ｔ ｌ ｕ ｆｃ ｓ ｙＷ ｒ ｓ ｉｃ ｐ ｔｎ ｉｌｓ ｒｅ ｏｕ ｉ ｅ ｕｐ ｔｎ ｉ ｒａ ｅ ｏ ａ ｓ
题 ． 文 先 利 用 点 电 荷 电 势 的 公 式 及 叠 加 原 本
１ 引言
势＿． 而 ， 找 更 易于 理解 的数 学 表 达 式 ， ２ 然 Ｊ 寻 常 常 是 学 生 们 问 及 ， 是 我 们 非 常 关 心 的 问 也
数 解 ， 通 过 电势 叠 加 原 理 ， 到 均 匀 带 电 薄 再 得 圆盘 电 势 的级 数 解 ． 外 ， 求 出 了均 匀 带 电 此 还
程 昌林 （ ９ ４ ） 男 ， 士 ， 庆 人 ， 教 授 ， 主 要 从 事 大 学 物 理 教 学 １４一 ： 硕 重 副 现
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物理与工程
Ｖｏ． ２ Ｎｏ ５ ２ ０ １１ ． ０ ２
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