绪论2--数值分析第二次课
清华第五版数值分析第二章课件
证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数
a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
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n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 n a0 a1 xn an xn yn 此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是 范德蒙(Vandermonde)行列式：
由式 n+1(xk)=0 和式 Pn(xk)=yk ( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) K ( x )n1 ( x )
可知：x0 , x1, , xn 和 x 是(t) 在区间[a,b]上的 n+2个 互异零点, 因此根据罗尔 (Rolle) 定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! 所以
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
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2.2 拉格朗日插值
Lagrange 法1736-1813
上页
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2.2.2 拉格朗日插值多项式
利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数不超过n的多项式
一性有
l ( x) x
i 0 i
n
k i
x ,
k
k 0,1, , n
特别当k=0时,就得到
数值分析第二次上机作业实验报告
一．实验任务用MA TLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。
并用此程序进行数值试验，写出实验报告。
二．实验方法最佳平方逼近方法采用基于正交多项式的最佳平方逼近，选择Lengendre 多项式做基。
计算组合系数时，函数的积分采用变步长复化梯形求积法。
三．程序功能和使用说明1.采用基于正交多项式的最佳平方逼近，选择Lengendre 多项式做基利用递推关系0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x n n --===---⎡⎤⎣⎦=可构造出用户需要的任意次数的最佳平方逼近多项式。
2. 用M 文件建立数学函数，实现程序通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数。
3.已经考虑一般的情况]1,1[],[)(+-≠∈b a x f ，程序有变量代换的功能。
4.计算组合系数时，函数的积分采用变步长复化梯形求积法5.可根据需要，求出二次、三次、。
最佳平方逼近函数）x s (。
6.最后作出逼近函数）x s (和被逼近函数)(x f 的曲线图可进行比较，分别用绘图函数plot 和fplot 绘图。
7.在matlab 的命令窗口，输入[c,sx]=leastp(@func1,a,b,n)，func1是被逼近函数，b 和a 分别是逼近函数的上、下区间，n 为最佳平方逼近的次数，可为任意次数。
四．程序代码（含注释）1. 最佳平方逼近主函数function [c,sx]=leastp(func,a,b,n)%LEASTP.m:least-square fitting with legendre polynomials%func 指被逼近函数，调用需要用句柄%a,b 分别指被逼近函数的区间上下限%n 指最佳平方逼近的次数syms t;syms x;%以Lengendre 多项式为基，构造任意次数的最佳平方逼近多项式p(2)=t;p(1)=1;if n>1for j=3:1:(n+1)p(j)=((2*j-3)*t*p(j-1)-(j-2)*p(j-2))/(j-1);endend%变量代换，区间调整为[-1,1]f=feval(func,(b-a)/2*t+(b+a)/2);%计算组合系数，其中调用变步长复化梯形求积函数trapzfor j=1:1:(n+1)c(j)=(2*j-1)/2*trapz(f*p(j),-1,1);end%将组合系数与对应的最佳平方多项式相乘然后求和，得到最佳逼近函数sx=0;for j=1:1:(n+1)sx=sx+c(j)*p(j);end%将变量替换还原sx=subs(sx,(2*x-a-b)/(b-a));%使用fplot绘制原函数图像f1=feval(func,x);f1=inline(f1);[x,y]=fplot(f1,[a,b]);plot(x,y,'r-','linewidth',1.5);hold on;%使用plot绘制最佳平方逼近函数图像g=linspace(a,b,(b-a)*300);fsx=subs(sx,g);plot(g,fsx,'b-','linewidth',1.5);str=strcat(num2str(n),'次最佳平方逼近');legend('原函数',str);end2. 计算组合系数，变步长复化梯形求积法function To1=trapz(func,a,b)%半分区间复化梯形公式计算定积分%func指需要求积分的原函数%a,b分别指积分上下区间%初值h=b-a;To=(subs(func,a)+subs(func,b))*(b-a)/2;e=1;while e>10^-6%迭代终止条件，前后两次积分值差小于10^-6 H=0;x=a+h/2;while x<bH=H+subs(func,x);%计算出所有二分新出现的值的和x=x+h;endTo1=0.5*(To+h*H);%计算出新的积分值e=abs(To1-To);h=h/2;%继续半分区间，进行迭代计算To=To1;endend3. 以.m文件定义被逼近函数function y=func1(x)y=x*cos(x);end五．实验结果1. 一次最佳平方逼近c =-1.1702 -2.4235sx=1.253290 - 1.211752*x2. 二次最佳平方逼近c =-1.1702 -2.4235 -0.4265sx=-0.159939*x^2 - 0.571997*x + 0.8267873. 三次最佳平方逼近c =-1.1702 -2.4235 -0.4265 1.2216sx=0.381759*x^3 - 2.450495*x^2 + 3.092892*x - 0.3948434. 四次最佳平方逼近c =-1.1702 -2.4235 -0.4265 1.2216 0.3123sx =0.085392*x^4 - 0.301375*x^3 - 0.693864*x^2 + 1.531443*x - 0.082553六．分析与讨论从次数从1到4的最佳平方逼近图像对比可以发现，次数越高，图像拟合效果越好。
数值分析第二章(研究生)
(x)
( x x ) ( x x ) ( x x )
i0 i k i0 i k i
ni k
n
n d ( x xi ) ( x x k ) ( x x ) i ， ( x k ) dx i0 i k
( x ) y , i 0 , 1 , , n(插值条件 )
i i
这类问题称为插值问题。
( x ) -----f(x)的插值函数, f(x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点， [a,b]称为插值区间
求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b]，可计算f(x) 的近似值φ(x), 则 x 称为插值点。
x x i px ( ) y l ( x ) , 其 中 l ( x ) n次拉格朗日插值多项式 kk k x k 0 i 0x k i
n n
又
x x i px ( ) yl ( x ) y [ ] y kk k k x k 0 k 0 k 0 i 0x k i
3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函 数就唯一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
定理
n次拉格朗日插值多项式
n k0
p(x) yl ) yl )yl ) yl ) k k (x 0 0(x 11(x n n(x xx 其 中 lk(x) i i0 x k x i
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
数值分析第二章
误差分析的原则－I
1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法
（用绝对值小的数作除数舍入误差会增大）
例：求解线性方程组
f ( x) − f ( x* ) = f ′( x* ) ε( x* ) + f ′′(ξ) ε2 ( x* ) 2
( ) 忽略 ε x* 的高阶项可得计算函数的误差限
ε( f (x* )) ≈ f ′(x* ) ε(x* )
数值运算的误差估计
当 f 为多元函数时，如 A = f ( x1, x2 , , xn ) ，设 x1, x2 , , xn 的近
⎧10−4 ⎨⎩101 ⋅
⋅ 0.1000x1 +101 0.2000x1 +101 ⋅
⋅ 0.1000x2 = 101 0.1000x2 = 101 ⋅
⋅ 0.1000 0.2000
⇓
用106 ⋅ 0.2000 除第二 个方程减第一个方程
⎧101 ⎨⎩101
⋅ 0.1000x2 ⋅ 0.2000x1
误差分析的原则－IV
例 2：计算多项式
( ) Pn x = an xn + an−1xn−1 + + a1x + a0
若直接计算 ak xk 再逐项相加，一共需做
n + (n −1) + + 2 +1 = n (n +1) 次乘法和 n 次加法。
2
若采用
⎧ ⎪ ⎨
Sn Sk
= =
an xSk +1
数值分析课件 第二章2.2
(1) 当r =1时称为线性收敛，此时C < 1； (2) 当r =2 时称为二次收敛，或平方收敛； (3) 当r =1,C=0时称为超线性收敛.
二分法线性收敛; 不动点迭代中，若 ( x* ) 0 则线性收敛
r (r 1)阶收敛一定是超线性收
2 k
敛，反之不一定成立。
k 2k
数 值 分 析
第二章
解非线性方程的数值方法
一、 二分法 二、 迭代法
三、 Newton法
二、 迭代法 1 迭代法的基本思想 对给定方程f(x)=0,可以用各种方法转化成等 (2.1) 价方程 x ( x ) * * * * 若x 是f(x)的根,即若 f ( x ) 0 ,则有 x ( x ) 称x*为函数 ( x ) 的一个不动点.
( p ) ( k )
p!
( xk x * ) p
* p
xk 1 x
*
( p ) ( k )
p!
( xk x )
ek 1 1 ( p) * lim p (x ) k e p! k
2 例2.9 将方程 x 2 0化为等价形式 x ( x ), x 分别取 x0 1, 用迭代法求其根，并验 证次此迭代
*
由此得迭代公式
yk ( xk ),
xk 1
L yk ( yk xk ) 1 L
如何求L?
再令 y0 ( x0 ), z0 ( y0 ) 得到 * * * * y0 x L( x0 x ), z0 x L( y0 x )
y0 x x0 x ( y0 x0 ) * x x0 * * z0 2 y0 x0 z0 x y0 x
数值分析(第2章)
T1
T2
S1
T4
S2
C1
T8
S4
C2
R1
T16
S8
C4
R2
Romberg 算法的加速过程
2.6 数值微分
继续用松弛技术加工二分前后的 Cotes 值C1,C2：
R1 1 C2 C1
显然此结果至少有 5 阶精度，希望选取 使它至少有 6 阶精度，即令它对于 f x6 准确成
立，由此可定出 1/ 63，这样设计出来的求积公式
R1
64 63
C2
1 63
C1
称作 Romberg 求积公式，其复化形式为
G2
f
1 3
f
1 3
对一般区间a,b，应用 2.1.4 中的变换，可得在这种区间上的两点 Gauss 公式：
b a
G2
2
f
b 2
a
b 2
3 a
f
b a 22
b 3
a
2.3.2 带权的Gauss公式举例
考察积分 I b x f xdx ，这里 x 0称为权函数，当 x 1时为普通 a
2.1.1 求积方法的历史变迁
求积方法源于求曲边图形的面积。
公元前三世纪，古希腊数学家阿基米德就运用所谓穷竭法计算了一些曲边图形的面积。
其思想是利用曲边图形的内接与外接两个阶梯图形的面积来“穷竭”所给的曲边图形的面
积。穷竭法将面积计算归结为提供曲线的高度，其设计思想淳朴自然，但这种方法要求建
立某种求和公式，而设计这样的求和公式往往是困难的。
作为例子，Simpson 公式和 Cotes 公式都在精度上获得额外的好处；相反，n 3时的
Newton-Cotes 公式仅具有与 Simpson 公式相当的精度。另外，数值算例同样也说明了这个 事实。
数值分析第二次作业答案
练习1 已知410=x，211=x，432=x。
（1）推导以这3点作求积节点在[0，1]上的插值求积公式；（2）指明该求积公式所具有的代数精度； （3）用所求的公式计算dxx ⎰12解：按题设原式是插值型的，故有32434121414321100=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x x A同样，容易计算出3202==A A ，于是有求积公式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎰433221314132)(1f f f dx x f由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。
考虑到其对称性，可以猜到它可能有3阶精度。
事实上，对于3)(x x f =原式左右两端相等。
此外，容易验证原式对4)(x x f =不准确，故所构造的求积公式确实有3阶精度。
（3）31]43221412[31222102=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯≈⎰dx x31432141214341101-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x x A2. 取7个等距节点（包括区间端点）分别用复化梯形公式和复化辛甫生公式求积分2lnxdx的近似值（取6位小数）解：（1）复化梯形公式])(2)()([2)(11∑⎰-=++=≈n k k ban x f b f a f h T dx x f385139.0])(2)2()1([1211616=++=∴∑-=k k x f f f T(2)复化辛甫生公式])(2)(4)()([6)(11021∑∑⎰-=-=++++=≈n k k n k k n bax f xf b f a f h S dx x f ∴ ])(2)(4)2()1([3161212213∑∑==++++⨯=k k k k x f xf f f S≈0.386 287而 38629436.0ln21=⎰xdx3. 用梯形格式求解初值问题⎩⎨⎧=≤<++-='2)1(6.,y x x y y )1(1 1 ，（取步长h ＝0.2，小数点后至少保留6位） 解：梯形格式为)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ，于是⇒++-+++-+=+++ 1 1 ,)]()[(2111n n n n n n x y x y h y y),(222112 +++++-=++n n n n x x hh y hh y,2,1,0=n取步长h ＝0.2，由初值20=y 计算得147709.2)6.1(069422.2)4.1(018182.2)2.1(321=≈=≈=≈y y y y y y4. 对初值问题⎩⎨⎧=>=+'1)0(00y x y y , 试证明用欧拉预-校格式所求得的近似解为,2,1,022, )-(1=+=n hh y nn (其中h 为步长)证明： ,2,1,0)],(),([2),(1111 =⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++n y x f y x f hy y y x hf y y n n n n n n n n n n 将y y x f -=) ( ,代入，于是有⎪⎩⎪⎨⎧--+=-=+++)(2)1(111n n n n n n y y hy y y h y 整理后，有)-(1n n y hh y 221+=+反复递推得 )-(101212y hh y n n +++=由1)0(0==y y ，故得,2,1,022, )-(1=+=n hh y nn。
数值分析
* * 1 2 * 1 * * 1 * * * * * * * * * * *
到x *的第一位非零数字共有 n位，就说x * 有n位有效数字.
即
x* 10m (a1 a2 101 an 10( n1) ) 1 x x * 10mn1 2
(2.1)
其中a1 0 . 并且 (2.2)
例1
• 按四舍五入写出下述各数具有5位有效数字的近似 数： 187.9325 0.037 855 51 8.000 033 2.718 281 8
加法和减法结果的误差
(x
* 1
x2 ) ( x1 x2 )
* 1
*
(x
x1 ) ( x2 x2 )
*
*
e( x ) e( x2 )
* 1
误差限： (x x ) (x ) (x )
* 1 * 2 * 1 * 2
乘法的结果误差
x x x1 x2 x x ( x x1 x )(x2 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 e( x1 ))(x2 e( x2 )) x x x x x e( x2 ) x2 e( x ) e( x )e( x2 ) x e ( x2 ) x2 e ( x ) e ( x ) e ( x 2 )
例2 重力加速度
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2, 1 m n 1 1 * 10 g 9.80 102 , 2 2 * 1 按(2.1)， m 0, n 3. 绝对误差限 1 102. 2 若以km/s2为单位, g≈0.00980m/s2, 1 g 0.00980 105 , 2 * 1 按(2.1)， m 3, n 3. 绝对误差限 2 105. 2 而相对误差限相同：
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再由 Ax =b，得到 || b||= || Ax || ≤||A || ||x||
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于是，由 || △x ||≤||A-1 || ||△b||
及 ||b || ≤||A || ||x||
1 x
A b
得到解的相对误差为 x A x
x x
A
1
b b
令 Cond(A)=||A || ||A-1 || ,并称其为矩阵A的条件数。 这时
欧氏范数
向量2-范数： 向量∞-范数：
x
2
n 2 xi i 1
1 i n
x
max xi
最大范数
容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。 例6.1 设x＝（1，－3，2，0）T，求向量范数|| x ||p， P＝1，2，∞。
2015-1-4 4
2 30 4 0
10
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此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得
1 15 221
因此
A
2
15
2 15 221
221
1 2
5.46
在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的乘积 运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给问题的分 析带来许多方便。设||· ||是一种向量范数，由此范数派生的 矩阵范数定义为 Ax A max x 0 x 注意，此式左端||A||表示矩阵范数，而右端是向量Ax 和 x 的范数，利用向量范数所具有的性质不难验证，由上式 定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。
由于
1 3 1 2 10 A A 4 3 4 14 2 则它的特征方程为:
T
A max | 1 | | 2 |, | 3 | | 4 | 7
14 20
I A A
T
10 14 14 20
x
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(k )
x x
*
|| x ( k ) x || max | x (jk ) x j |
1 j n
(k ) i
x , i 1,2,, n
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||· ||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件： （1）|| A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0 （2）||αA||＝|α| || A||，α∈R （3）||A＋B|| ≤ || A ||＋|| B || （4）|| AB ||≤|| A || || B || 则称|| A ||为矩阵A的范数。
系数矩阵和逆矩阵分别为
1 A 1 1 , 1.0001 x1 1.0001 x2 2
1
A
1 104 4 10
104 4 10
可以求得 Cond ( A) A A1 2.0001 (1 104 ) 2 104 条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。
（6.1）
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn。称
( A) max i
1 i n
为矩阵A的谱半径，从（6.1）式得知，对矩阵A的任何一 种相容范数都有 ρ(A)≤||A|| （6.2）
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另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相 容的矩阵范数，使 || A ||≤ ρ(A) ＋ε （6.3） 式（ 6.2）和（ 6.3）表明，矩阵 A的谱半径是它所有相 容范数的下确界。
Ax
Frobenius范数:
p
A
p
n
x p,
n
p 1,2,
|| A ||F
2 | a | ij (向量2-范数直接推广) i 1 j 1
可以证明,对方阵A R nn 和x R n 有: || Ax ||2 || A ||F || x ||2
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(k ) ), k 1, 2, 定义6.4 设有n×n矩阵序列 A( k ) (aij 方阵A＝（aij）, 如果 (k ) lim || A A || 0
, n 和 n阶
k
（k）＝A，或 A（k）→A。 记作 lim A 称{ A（k）}收敛于A， k
(k ) (k ) A ( a 定理：设有n×n矩阵序列 ij ), k 1,2, , 收敛于
Cond ( A) b b
可见，求解线性方程组所产生的误差与系数矩阵的条件数 有关。
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对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵的条件数 Cond(A)=||A || ||A-1 || 太大，则称该方程组为病态方程组。 病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此在求 解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少原始数据 A、b 的误差，或者用高精度的计算机计算。 x1 x2 2 例如：对于方程组
x1 2, x2 0
解对原始数 据变化敏感
扰动(改变量)
x1 1, x2 1
如何定量描述这种现象？扰动（误差）对解的影响 有多大？
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引进了矩阵的度量标准 —— 范数，就可以对方程组求 解进行误差分析，对于方程组 Ax =b 如果常数项产生了误差△b, 并设求解时产生的误差为△x， 则有 A(x + △x) =b+ △b 两式相减得到 A △x = △b 当系数矩阵可逆时 绝对误差 △x = A-1△b 取范数 ||△x|| = ||A-1△b|| ≤||A-1 || ||△b||
可定义矩 阵极限
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8
设 n 阶矩阵 A＝（aij），常用的矩阵范数有：
矩阵1-范数：
A
1
max
1 j n
T
| a
i 1
n
ij
1 2
|
列和
矩阵2-范数： A = ( A A的最大特征值) 2 矩阵∞-范数： A
谱范数. 不好 算理论上重要
max
1 i n
| a
解:对于 向量 x＝(1，－3，2，0)T ，根据定义 可以计算出：
|| x||1＝| 1 |＋|－3 |＋| 2 |＋| 0 |＝6
x
2
1 3 2
2 2
2
0
2
1 2
14
x
max 1 , 3 , 2 , 0
3
由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这并不 影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如 下等价关系。
及向量
如果
* * * T x * ( x1 , x2 ,, xn )lຫໍສະໝຸດ m xk (k )
x 0
*
收敛与取哪种范数无关
则称向量序列 x(k) 收敛于向量 x* 。记作
lim x
k
(k )
x
*
或
x
* i
(k )
x
*
向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于xi*的对应分量，即
绪论2 向量和矩阵的范数
1 2 3 向量的范数 矩阵的范数 谱半径和条件数
2015-1-4
1
求解线性方程组的数值解除了使用直接解法，迭代解 法也是经常采用的一种方法，这种方法更有利于编程计 算，本章将介绍这种方法。
§1 向量和矩阵的范数
为了对线性方程组数值解的精确程度，以及方程组 本身的性态进行分析，需要对向量和矩阵的“大小”引 进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵的范 数在线性方程组数值方法的研究中起着重要的作用。
多大算病态没有标准。如果主元很小或者元素数量级相差大，可能是病态
cond ( A) A A1 AA 1 1
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一、向量的范数
定义6.1设||· ||是向量空间Rn上的实值函数，且满足条件
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（1）非负性：对任何向量 x，
|| x ||≥0，且|| x ||＝0当且仅当x＝0 （2）齐次性：对任何实数和向量x
|| α x||＝| α | || x || （3）三角不等式：对任何向量x和y，都有
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定理6.1 （范数的等价性）对于Rn上任何两种范数 ||· ||α和||· ||β，存在着正常数 m，M，使得：
m x x
M x , x R n
范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个 小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明， 常用的三种向量范数满足下述等价关系。 || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n|| x ||∞
|| x＋y ||≤|| x ||＋|| y ||
可引进极限
则称 ||· || 为 Rn 空间上的范数，|| x ||为向量 x 的范数。 理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下 三种。 设向量x＝（x1，x2，…，xn）T，定义
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向量1-范数：
x
1
i 1
n
xi
1 2
1 n
|| x ||∞ ≤|| x ||2 ≤
n
|| n x ||∞
|| x || 2≤|| x ||1 ≤n|| x ||2
1
例如： x
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x i n max xi n x
i 1
1 i n
Rn 上一切范数都等价。
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定义6.2 对于向量序列
(k ) (k ) (k ) T x ( k ) ( x1 , x2 ,, xn ) , k 1,2,,