北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
2018年北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞1}D．{x|x＞0}2．（5分）执行如图所示程序框图，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥n，则n⊥α4．（5分）要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度5．（5分）已知非零平面向量，，则“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）函数f（x）在其定义域内满足xf'（x）+f（x）=e x，（其中f'（x）为函数f（x）的导函数），f（1）=e，则函数f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值8．（5分）袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=1，a4=8，则{a n}的前5项和S5=．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），将线段OA绕原点O 按逆时针方向旋转60°，得到线段OB ，则向量的坐标为．11．（5分）已知函数，若方程f（x）=m有2个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为；表面积为．13．（5分）某品牌连锁便利店有n个分店，A，B，C三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：表1某日总店向各分店分配的商品A，B，C的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A，B，C的总价和总重量：表3则a=；b=．14．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为，满足S n=2a n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．17．（13分）已知△ABC中，，a=．（Ⅰ）若b=，求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的值．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一个动点．（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱锥P﹣BDE的体积是四棱锥P﹣ABCD体积的，求的值．19．（13分）已知函数f（x）=kx﹣﹣（k+1）lnx，k∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＞0时，若函数f（x）在区间（1，2）内单调递减，求k的取值范围．20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞1}D．{x|x＞0}【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}={x|log2x＞log22}={x|x＞2}，则A∩B={x|x＞1}∩{x|x＞2}={x|x＞2}，故选：A．2．（5分）执行如图所示程序框图，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第1次执行循环体后，S=4，i=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，S=8，i=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，S=22，i=5，满足退出循环的条件；故输出的i值为5，故选：C．3．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥n，则n⊥α【解答】解：对于A，若β∥α，则β内的任意两条直线都与α平行，故A错误；对于B，若n⊂α，则结论显然不成立，故B错误；对于C，若n⊂α，则结论显然不成立，故C错误；对于D，若m⊥α，则m与α内的所有直线都垂直，又m∥n，∴n与α内的所有直线都垂直，∴n⊥α，故D正确．故选：D．4．（5分）要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，可得y=sin2x，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得y=sin2（x﹣）=sin（2x ﹣）．故选：C．5．（5分）已知非零平面向量，，则“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若||=||+||，则方向相同，∴共线，∴存在非零实数λ，使=λ．∴“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的充分条件；（2）若存在非零实数λ，使=λ，则共线，∴当方向相同时，||=||+||，当方向相反时，||＜||+||，∴∴“||=||+||”不是“存在非零实数λ，使=λ”的必要条件．故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，底面面积S=1×1+×（1+2）×1=，高h=2，故体积V=Sh=5，故选：A．7．（5分）函数f（x）在其定义域内满足xf'（x）+f（x）=e x，（其中f'（x）为函数f（x）的导函数），f（1）=e，则函数f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值【解答】解：由xf′（x）+f（x）=e x，得到[xf（x）﹣e x]'=0，设xf（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，=f（1）=e，无极大值，故f（x）极小值故选：B．8．（5分）袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球【解答】解：因为2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，3+4=7，3+5=8，3+6=9，4+5=9，4+6=10，5+6=11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，3×4=12，3×5=15，3×6=18，4×5=20，4×6=24，5×6=30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=1，a4=8，则{a n}的前5项和S5=31．【解答】解：数列{a n}为公比为q的等比数列，a1=1，a4=8，可得a1q3=q3=8，解得q=2，则{a n}的前5项和S5===31．故答案为：31．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），将线段OA绕原点O 按逆时针方向旋转60°，得到线段OB，则向量的坐标为（﹣，）．【解答】解：B点坐标为（cos150°，sin150°），即（﹣，）∴=（﹣，）．故答案为：（﹣）．11．（5分）已知函数，若方程f（x）=m有2个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（1，] ．【解答】解：0＜x＜1时，x∈（0，+∞），x≥1时，2﹣x+1∈（1，]，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若方程f（x）=m有2个不相等的实数根，则y=f（x）和y=m有2个不同的交点，结合图象m∈（1，]，故答案为：（1，]．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为24；表面积为14．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是4，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是3，故底面面积为：2×4=8，高h=3，故体积V=24，侧面VAD的面积为：6，侧面VAB和VCD 的面积均为：，侧面VBC的面积为：2，故棱锥的表面积为：14故答案为：24，1413．（5分）某品牌连锁便利店有n个分店，A，B，C三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：表1某日总店向各分店分配的商品A，B，C的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A，B，C的总价和总重量：表3则a=1080；b=0.2m1+0.3m2+0.4m3．【解答】解：由已知中的表1，表2得：a=12×15+15×20+20×30=1080，b=0.2m1+0.3m2+0.4m3故答案为：1080；0.2m1+0.3m2+0.4m314．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=2|cosx| ．【解答】解：由题意得：f（x）的定义域是R，值域是[0，2]，函数f（x）是偶函数，故y=2|cosx|或y=cosx+1或y=等，故答案为：2|cosx|．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【解答】解：因为，所以===．（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．所以．所以．即函数f（x）的取值范围为[0，]．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为，满足S n=2a n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．【解答】解：（Ⅰ）由S n=2a n﹣1可得，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，即有a1=1；当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1，a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，则数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，即，n∈N*．（Ⅱ）．17．（13分）已知△ABC中，，a=．（Ⅰ）若b=，求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，可得．所以sinA=．在三角形中，由已知b＞a，所以．…（6分）（Ⅱ）由面积公式可得，，解得c=3．由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=18+2﹣6=14，所以b=…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一个动点．（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱锥P﹣BDE的体积是四棱锥P﹣ABCD体积的，求的值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，设AC交BD于O，连接EO．因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点．又因为E为PA的中点，所以EO∥PC．因为PC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．…（10分）解：（Ⅲ）设四棱锥P﹣ABCD的体积为V．因为PA⊥平面ABCD，所以．又因为底面ABCD是菱形，所以，所以．根据题意，，所以．又因为，所以．…（14分）19．（13分）已知函数f（x）=kx﹣﹣（k+1）lnx，k∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＞0时，若函数f（x）在区间（1，2）内单调递减，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，==，（1）当k≤0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）为单调递增函数；令f'（x）＜0，解得x＞1，此时函数f（x）为单调递减函数．（2）当k＞0时，①当，即k＞1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1，此时函数f（x）为单调递增函数；令f'（x）＜0，解得，此时函数f（x）为单调递减函数．②当k=1时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；③当，即0＜k＜1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或，此时函数f（x）为单调递增函数；令f'（x）＜0，解得，此时函数f（x）为单调递减函数．…（9分）综上所述，当k≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；当0＜k＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞），单调递减区间为（1，）；当k=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当k＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，+∞）．（Ⅱ），因为函数f（x）在（1，2）内单调递减，所以不等式在在（1，2）上成立．设g（x）=（kx﹣1）（x﹣1），则即，解得．…（13分）20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），（Ⅰ），又，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为．即．…（4分）（Ⅱ）“要证明”等价于“”．设函数g（x）=xlnx．令g'（x）=1+lnx=0，解得．因此，函数g（x）的最小值为．故．即．…（9分）（Ⅲ）曲线y=f（x）位于x轴下方．理由如下：由（Ⅱ）可知，所以．设，则．令k'（x ）＞0得0＜x ＜1；令k'（x ）＜0得x ＞1．所以k （x ）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数．所以当x ＞0时，k （x ）≤k （1）=0恒成立，当且仅当x=1时，k （1）=0． 又因为，所以f （x ）＜0恒成立．故曲线y=f （x ）位于x 轴下方．…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
2018-2019学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合A={x∈N|1≤x≤3}，B={2，3，4，5}，则A∪B=（）A．{2}B．{2，3}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．(★)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=lgx B．y=x3C．y=sinx D．3．(★)设a∈R，则a＞1是＜1 的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(★)执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=（）A．-8B．-18C．5D．65．(★)在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2B．C．4D．6．(★★)已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则=（）A．-18B．-7C．7D．187．(★)已知双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0，F 1，F 2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF 1|=7，则|PF 2|=（）A．1B．13C．17D．1或138．(★)从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2．那么不可能是计算结果的最小的数是（）A．12B．11C．10D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．(★★)复数z满足（1-i）z=2i，则|z|= ．10．(★★)已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项的和，若a 1a 2a 3=64，a 5=32，则q= ；S 6= ．11．(★)在△ABC中，已知，BC=13．则AB= ．12．(★★)如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为．13．(★★)对任意实数x，都有，则实数a的取值范围是．14．(★★★)2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在8×8=64格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2，3，4，5，6，…，到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内．如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内．若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(★)已知数列{a n}的前n项和是S n，若，S 3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．16．(★★)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）若f（α）=1，且α∈（-π，π），求α的值．17．(★★)某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如表：（Ⅰ）求B市5个销售点小麦价格的中位数；（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．18．(★★)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是平行四边形，BC 1⊥C 1C，平面A 1C 1CA⊥平面BCC 1B 1，且E，F分别是BC，A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：BC 1⊥A 1C；（Ⅱ）求证：EF∥平面A 1C 1CA；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点P，使得BC 1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．(★★)过椭圆W：=1的左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，-1）重合．过F 1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l 1的方程；（Ⅱ）求证：|EF 1|=|F 1G|．20．(★★)已知函数f（x）=xe x- （m≥0）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点，求m的取值范围．。
北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学理试题 含答案
北京市朝阳区2018-2018学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2018．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()U A B =ðA ． {|2}x x >B ．{}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =-C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为A．3B ．43 CD ．4俯视图正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC =,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ． 21 D ．19第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，2S =则2a = ，10S = ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠=13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈错误！未找到引用源。
北京市部分区2018届高三上学期考试数学文试题分类汇编：复数与框图 含答案
北京市部分区2018届高三上学期考试数学文试题分类汇编复数与框图一、复数1、（昌平区2018届高三上学期期末）已知i 为虚数单位,则复数i(1i)-=__________ .2、（朝阳区2018届高三上学期期末）复数=+i12A. 2-iB. 2-2iC. 1+iD. 1-i 3、（西城区2018届高三上学期期末）复数1i1i+=-____． 4、（东城区2018届高三上学期期末）在复平面内，复数i(1i)z =+，那么||z =（A ）1 （B （C ）（D ）25、（丰台区2018届高三上学期期末）设i 是虚数单位，则复数21i-= ． 6、（海淀区2018届高三上学期期末） 复数i(2i)-在复平面内对应的点的坐标为A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(1,2)D ．(1,2)-7、（石景山区2018届高三上学期期末）复数(34)i i +=（ ）A ．43i -+B ．43i +C ．34i -D ．34i +8、（通州区2018届高三上学期期末）复数21z i=-，则复数z 的模等于________. 9.(北京昌平临川育人学校2018届高三上学期期末考试)已知z=（i 为虚数单位），则复数z=（ ）A ．﹣1B ．lC ．iD ．﹣i参考答案1、1i +2、D3、i4、B5、i 1+6、C7、B 89、C二、框图1、（昌平区2018届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62、（朝阳区2018届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．3、（西城区2018届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值为____（A）1（B）0（C）－3（D）－104、（东城区2018届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为___.5、（海淀区2018届高三上学期期末）右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A．6 B．7 C．8 D．96、（石景山区2018届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．3 B．5 C．7 D．97、（通州区2018届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A．0 B．1C．3 D．48、（北京市第四中学2018届高三上学期期中考试）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为A．3 B．4C．5 D．6参考答案1、B2、303、－34、205、C6、B7、B8、B。
北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷解析(教师版)
<考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题<共40分）和非选择题<共110分）两部分【试卷总体说明】本套试卷的题型分布与2018年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布。
6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了解三角形、立体几何、概率、导数、解读几何、集合新题型。
所以可见，命题人在命题过程中是有考虑的，在试卷整体上，没有过多变化，力求平稳。
b5E2RGbCAP1．命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。
这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的内容，考察内容十分分散。
其实，这是新课标的一个重要特点。
新课标的理科教材与原大纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。
本套试卷的小题1,2,3,4,5,6，9,10等试卷难度较低，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题注重综合，难题注重新颖。
这次试卷中的8、14题都是综合问题，第8题是线性规划与集合综合、第14题是新概念的题目，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。
这套试卷的小题有很鲜明的特色，活而不难。
3.解答题构思巧妙，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。
第17题立体几何，考查探索性问题。
15解三角形和向量结合，试卷比单独考查三角函数便增加了难度. 18题的背景较为新颖，需读懂题意，考查基古典概率问题。
第20题，以数列为背景考查学生的综合素质,难度较大。
p1EanqFDPw第一部分<选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则等于< ）A．B．C． D．【答案】D【解读】.2.已知平面向量，，且⊥，则实数的值为< ）A．B．C．D．【答案】B【解读】因⊥，可得3.函数的图象大致是< ）【答案】B【解读】当函数的图象是抛物线；当只需把函数的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故图象大致为B.4.设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和等于< ）DXDiTa9E3dA．B． C．D．【答案】A【解读】因成等比数列，故5.执行如图所示的程序框图，输出的值为< ）A．B．C．D．【答案】D【解读】程序运行一次：T=1，S=0;运行两次：T=1，S=-1;运行三次：T=0，S=-1; 运行四次：T=-1，S=0，输出S=0，程序结束.6. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是< ）A．B．C．D．【答案】C【解读】由条件可知7. 已知函数，设，，，则的大小关系是< ）RTCrpUDGiTA. B. C. D.【答案】B【解读】因为函数在上单调递增，所以8. 已知集合,.若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是( > 5PCzVD7HxAA. 0B. 1C. 2D. 无数个jLBHrnAILg【答案】A【解读】要使成立,首先函数的图象与函数的图象必须有公共点，由可得若点在区域C内，则必有代入<1）可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.第二部分<非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量，满足约束条件则的最大值为.【答案】【解读】画出约束条件所表示的平面区域如图所示：且A(1,1>,在点处取得最大值.10.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有辆.xHAQX74J0X【答案】80【解读】在上的数据的频率为则时速在的汽车大约有辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是.【答案】【解读】原几何体是一个侧放的三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为3，故该几何体的体积为12. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是.【答案】【解读】由条件可知圆心为<1,2）到直线的距离为13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润<万元）与机器运转时间<年数，）的关系为.则当每台机器运转LDAYtRyKfE年时，年平均利润最大，最大值是万元.【答案】5,8【解读】当每台机器运转年平均利润为当且仅当时，年平均利润最大为8万元.14. 已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.Zzz6ZB2Ltk<1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；<2）若，经过6次操作后扩充所得的数为<为正整数），则的值分别为______________.【答案】(1>255 (2>8 13【解读】(1>操作一次得到新数操作两次得到新数操作三次得到的新数为<2）操作一次得到新数操作两次得到新数操作三次得到的新数为同理操作四次得到的新数为操作五次得到的新数为操作六次得到的新数为故的值分别为8 ，13.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.<本题满分13分）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．<Ⅰ）求角的大小；<Ⅱ）若，，求的值．；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.第二问利用余弦定理求边和角，然后借助数量积的定义式求解.dvzfvkwMI1解：<Ⅰ）因为，所以， (2)分因为，所以. …………………………………………………3分又为锐角，则. …………………………………………… 5分 <Ⅱ）由<Ⅰ）可知，．因为， 根据余弦定理，得，………………………………………7分整理，得．由已知，则．又，可得，． ……………………………………… 9分 于是， (11)分 所以16. <本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面．四边形为正方形，且为的中点，为的中点．MSDC AP Q·<Ⅰ）求证：平面；<Ⅱ）求证：平面；<Ⅲ）若，为中点，在棱上是否存在点，使得平面⊥平面，并证明你的结论.【命题分析】本题考查线面平行和垂直的证明、探索性问题等综合问题。
朝阳高三期末数学文科答案定稿(2018.1)
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为22()sin cos sin 2fx x x x =++cos 2x -1sin 2cos 2)14x x x π=+-=-+.所以函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π=-+．当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2[,]444x ππ3π-∈-，sin(2)[42x π-∈-，)11]4x π-+∈.当2,44x ππ-=-即0x =时，)(x f 取得最小值0．所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥. …………………………13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由1135=2a a a a ⎧⎨++=42⎩可得242(1)42q q ++=.由数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。
各项为实数，解得错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，错误！不能通过编辑域代码创建对象。
.所以数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。
的通项公式为错误！不能通过编辑域代码创建对象。
或错误！不能通过编辑域代码创建对象。
. …………………7分 （Ⅱ）当错误！不能通过编辑域代码创建对象。
时，24624(14)4...=(41)143n nn a a a a -++++=⋅--；当错误！不能通过编辑域代码创建对象。
时，2462(4)(14)4...=(14)143n n n a a a a -⋅-++++=⋅--.…13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. ………………2分 （Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B ,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是: AB , Aa ,Ab , Ac , Ad , Ba, Bb ，Bc, Bd, ab ，ac, ad, bc, bd,cd. 其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是: AB ,Aa ，Ab ，Ac, Ad, Ba, Bb ，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率93155P ==. …………………………10分 （Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分 18. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥．因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，所以1BB ⊥底面ABC ．又因为AD ⊂底面ABC ，所以1BB AD ⊥. 而1B B BC B = ,所以AD ⊥平面11BB C C ．因为AD ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11BB C C ．…………………………5分（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点. 因为D 是BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为DE ⊂平面D AB 1，1AC ⊄平面D AB 1， 所以C A 1∥平面D AB 1． …………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知C A 1∥平面D AB 1，所以1A 与C 到平面D AB 1的距离相等， 所以111A AB D C AB D V V --=．由题设及12AB AA ==，得12BB=，且ACD S ∆=所以11111233C AB D B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯==， 所以三棱锥11A AB D -的体积为113A AB D V -=． …………………………14分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==. 所以椭圆C 的方程为2215x y +=. …………………………3分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，ACBB 1C 1A 1DE所以||||FG DN =.所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，所以11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.所以22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++ 因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-， 所以2F y y =.所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. …………………………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………………………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点，即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. …………………………7分 （Ⅲ）若函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。
2018年高三最新 北京市朝阳区2018学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(文) 精品
朝阳区18-18学年度高三年级第一学期期末统一考试数 学 试 卷（文科）2018．1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数x y 2=的定义域是}3,2,1{P ，则该函数的值域是（ ）A ．}3,1{B ．{}8,2C ．{}8,4,2D ．[]3,2,12．已知)(log ,,1,0x y a y a a a x -==≠>函数的图象大致是下面的 （ ）3． 的是为锐角中"0sin """,>∆A A C AB （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b ，c 满足a 与b 的方向相反，2)(,5,2c b a c a a b ⋅+===若，则a与c 夹角的大小是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．与直线1)2()1(32:22=-+-+=y x x y l 平行且与圆相切的直线方程是 （ ） A ．05=±-y x B ．052=±-y xC ．052=±-y xD ． 052=±+y x6．从10张学生的绘画中选出6张放在6个不同的展位上展出，如果甲、乙两学生的绘画不能放在第1号展位，那么不同的展出方法共有 （ ）A ．种5918A CB ．种5919C CC ．种48210A CD ．种5818C C7．已知曲线192522=-y x 左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则NO 等于 （ ）A ．32B ．1C ．2D ．48．已知时且当时当是偶函数]1,3[,4)(,0,)(--∈+=>=x xx x f x x f y ，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是（ ）A ．31B ．1C ．32 D ．34第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(全优试卷)北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）2018．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.A．B．C．D．2A B．C．D3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A．B．C．D．4．是的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．A．①③B．①④C．②③D．③④6．某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．B．C D7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常间的距离为2大值是A B．C．D．8．若内部的轨迹为A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．的值为 ．10．的方程是． 11．212．若变量x ，y的最小值为．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：bb caccbC A（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）表示为；（3）右图中阴影区域的面积为（4）请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14(单位m)mm.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）P21BC16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（本小题满分14分）如图，已19．（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）（Ⅱ）说明理由；（Ⅲ）范围．北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：…………………………7分…………………………13分16.（本小题满分13分）解：…………………7分…13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.………………2分（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率…………………………10分（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分18.（本小题满分14分）=BC B⊥平面BB5分1AB E =为正方形，则.…………………………10分…………………………14分19. （本小题满分14分）解：…………………………3分.....…………………………14分20. （本小题满分13分）解： (3)分..有且只有一个实数根.…………………………7分 （Ⅲ）若函区有且只有一个极值点，由于...则只需满足：……………………13分。
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北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则是A. B.C. D.【答案】C【解析】选C2. 已知为虚数单位，设复数满足，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】选B3. 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A. B. C. D.【答案】D【解析】估计该商品日平均需求量为选D4. “”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由或此时；但当不一定得到，故“”是“”的充分而不必要条件选A5. 下列函数中，是奇函数且在内是减函数的是①②③④A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④【答案】A【解析】①是奇函数且在内是减函数②为偶函数；③是奇函数且在内是减函数④是奇函数且在内是增函数故选A6. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱锥的底面积为6 ，高为2 ，故其体积选B7. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与，距离之比为，当不共线时，面积的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设，两边平方并整理得：，．面积的最大值是选A8. 如图，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】D【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9. 执行如图所示的程序框图，输出的值为___________.【答案】48【解析】第1次运行，成立第2次运行，成立第3次运行，成立第3次运行，不成立，故输出的值为4810. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，则双曲线的方程是________．【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为所以双曲线的右焦点坐标为因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，所以，所以双曲线方程为．11. 已知菱形的边长为2，，则________．【答案】2【解析】由题意12. 若变量x，y满足约束条件则的最小值为________．【解析】画出可行域如图阴影部分所示，根据题意，的最小值为可行域内的点到原点距离平方的最小值，由图可知即原点到直线的距离的平方，即即答案为813. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用表示为__________；（3）右图中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母可以表示为．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_______________．【答案】(1). (2). （1）两图中的阴影部分面积相等；（2）.【解析】（2）左图阴影区域面积用表示为两个矩形面积之和；因为两图中的阴影部分面积相等即两边同时平方得14. 如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退(单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，，三点在同一条水平线上，则塔的高为______m；旗杆的高为______m.（用含有和的式子表示）【答案】(1). (2).【解析】设在中，在中，，，即为等腰三角形，在中，则【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可求出的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．根据讨论的值域，可知其最小值为0，即当时，．试题解析：（Ⅰ）因为.所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当时，，，.当即时，取得最小值．所以当时，.16. 已知由实数构成的等比数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得.由此解得，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知或，分情况讨论即可得到试题解析：（Ⅰ）由可得.由数列各项为实数，解得，.所以数列的通项公式为或.（Ⅱ）当时，；当时，.17. 2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）正手搓球和反手拧球（Ⅱ）（Ⅲ）正手技术更稳定.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（Ⅲ）正手技术更稳定.试题解析：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. （Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率. （Ⅲ）正手技术更稳定.18. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由，及,可证平面．即可证明平面平面；（Ⅱ）证明．又因为平面，平面，所以∥平面（Ⅲ）由即可求得三棱锥的体积．试题解析：（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且D是BC的中点，所以．因为侧棱底面，，所以底面．又因为底面，所以.而,所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）证明：连接，设，连接．由已知得，四边形为正方形，则为的中点.因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以∥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，所以与到平面的距离相等，所以．由题设及，得，且．所以，所以三棱锥的体积为．19. 已知椭圆的一个焦点坐标为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，直线与直线相交于点，试证明：直线与轴平行．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知所以，即可得到求椭圆的方程；（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，易证直线与轴平行②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为点，所以直线的方程为.令，所以.由消去得.显然恒成立.所以这时可证，即.所以直线轴.试题解析：（Ⅰ）由题意可知所以.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，此时轴.设，直线与轴相交于点，易得点是点和点的中点，又因为，所以，所以直线轴.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为点，所以直线的方程为.令，所以.由消去得.显然恒成立.所以因为，所以.所以直线轴.综上所述，所以直线轴.20. 已知函数，．（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）求导.根据导数的几何意义可得.（Ⅱ）设，.由的单调性及因为，,可知有且只有一个，使成立.即方程在区间内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.由的单调性可知函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即可得到的取值范围试题解析：（Ⅰ）..（Ⅱ）设，.当时，，则函数为减函数.又因为，,所以有且只有一个，使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数.则函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即，解得.。