德布罗意波(物质波)
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德布罗意物质波的假设
7.13nm旳圆环性量子围栏,并观察量到了围栏内旳同
心圆柱状驻波,直接证明了物质波旳存在.
探针
中子衍射显示旳苯构造
+ + + + ++ +
+
+
+ + + + +++
注意:物质波被广泛用作探索手段.例核反应产生旳中
子(=0.1nm)可作为晶体探测器.
13
sin 0.777 k
k 1, sin 1, 51 与试验值 50 相差很小，
这表白电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确旳。
11
2. 电子衍射试验2
电子束在穿过细晶体粉末 或薄金属片后，也象X射线 一样产生衍射现象。
阴极 栅极
多晶 薄膜
K
G
Cs
1927年 G.P.汤姆逊（J.J.
了电子具有波动性，
54
U
电子加速
1 2
m
ev
2
eU
(m ev )2 2m eeU
P 2m eeU
电子束在两晶面反射加强条件： d sin k
10
h h
I
P 2m eeU
d sin kh
2m eeU
sin kh
镍单晶 d 2m eeU
54
U
d 2.15 10 10 m , U 54V, m e 9.11 10 31 Kg
h
P
h
2meU
6.63 10 34 2 9.1 10 31 1.6 10 19 15000
1 10 11 m
电子旳德波波长很短，用
电子显微镜衍射效应小，可 放大200万倍。
大学物理15 量子物理基础1
m
o
0.1A
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长
若 m=0.1g 的小球速率 vm v
vm
v
q BR m
则 ：m
h m vm
h m
1 v
h m
m q BR
h q BR
m m
6.64 10 27 0.1 10 3
6.641034
m
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，
运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)
解:
(1)
求粒子德布罗意波长 h h
p m v
先求：m v ?
而：q vB
m
v2 R
m v q BR
h m v
h q BR
6.63 10 34 1.601019 0.025 0.083102
1.001011
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t)
e i 2
0
(t x
)
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波
p mv h
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
如果v c,则 h
m0v
一德布罗意物质波假设
- 63
(m)
(4)微观物体的波动性明显，不能忽略。
E k = 200 eV : λ e = 0 . 867 A
0
~ λx = 1 A
0
可以用晶体观察电子的衍射图样.
2 G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束穿越多晶薄片时出现类似X射线 在多晶上衍射的图样.
电子束透过多晶铝箔的衍射
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
一.德布罗意物质波假设
1. 光的本性：（1905年，爱因斯坦提出：光的粒子性） 光同时具有波、粒二象性，波、粒二象性的联系：
E mc
2
h
p mc
h
m
E c
2
波动性：表现在传播过程中 （干涉、衍射）
粒子性：表现在与物质相互作用中 （光电效应、康普顿效应、） 问题： 实物粒子？ 粒子性（经典物理） 波动性？
mc h
2
注意
(1) 若 v c 则 m m 0
γ= 1 1- （ /c )
2
(2) 若 v c 则 m m 0
λ= h p = h m0v
（3） 物质波数量级
4
kg
公转 29 . 8 km s
h m
2
解
电子静止能量：
2
E 0 m 0 c 0 . 51 MeV
2
E k << m 0 c
v
∴
Ek =
1 2
m0v
19
2
v
2Ek m0
6 -1
2 200 1 . 6 10 9 . 1 10
31
m s
物质波与德布罗意假说
物质波与德布罗意假说物质波与德布罗意假说是量子力学的重要基础理论，它们揭示了微观粒子的波粒二象性，对于解释微观世界的行为具有重要意义。
本文将介绍物质波和德布罗意假说的基本概念、实验证据以及其在量子力学中的应用。
一、物质波的概念物质波是指微观粒子（如电子、中子等）具有波动性质的现象。
根据量子力学的理论，微观粒子不仅具有粒子的特性，还具有波动的特性。
这一概念最早由法国物理学家路易·德布罗意在1924年提出。
根据德布罗意的假说，微观粒子的波动性质可以用波长来描述，即德布罗意波长。
德布罗意波长的计算公式为λ = h / p，其中λ为德布罗意波长，h为普朗克常数，p为粒子的动量。
这个公式表明，动量越大的粒子，其德布罗意波长越短，波动性越不明显。
二、德布罗意假说的实验证据德布罗意假说的实验证据主要来自于电子衍射实验。
1927年，美国物理学家克林顿·戴维森和莱斯特·杰拉德·汤姆逊进行了一系列的电子衍射实验，验证了德布罗意假说的正确性。
在电子衍射实验中，他们使用了一台电子束发射装置，将电子束射向一个晶体样品。
通过观察电子束经过晶体后的衍射图样，他们发现电子束也会出现衍射现象，类似于光的衍射。
这一实验结果表明，电子具有波动性质，验证了德布罗意假说的正确性。
除了电子衍射实验，还有其他实验证据也支持了德布罗意假说。
例如，中子衍射实验、质子衍射实验等都观察到了类似的波动现象，进一步证实了物质波的存在。
三、物质波的应用物质波的发现对量子力学的发展产生了深远的影响，为解释微观粒子的行为提供了重要的理论基础。
物质波的应用主要体现在以下几个方面：1. 电子显微镜：电子显微镜是一种利用电子束代替光束进行成像的显微镜。
由于电子具有波动性质，其波长比光的波长要短得多，因此电子显微镜具有更高的分辨率，可以观察到更小的物体。
2. 量子力学：物质波的发现为量子力学的建立提供了重要的理论基础。
量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，通过波函数描述微观粒子的状态和运动规律。
德布罗意物质波的概念
德布罗意物质波的概念
德布罗意物质波，也被称为德布罗意波，是法国物理学家路易·德布罗意在20世纪初提出的假设。
他提出，所有微观粒子，包括电子、质子、中子等，都同时具有波动的性质。
这种波动性质被称为“物质波”。
物质波的波动性质可以用波长来表示，其波长与粒子的动量成反比。
德布罗意认为，任何粒子都伴随着一种波动，波长λ等于普朗克常数h除以粒子动量p。
即，λ=h/p。
这个公式被称为德布罗意公式。
物质波的概念是量子力学的一个重要组成部分，它描述了微观粒子在空间中的分布和运动状态。
物质波的波动性质表现为粒子在空间中分布的概率，即粒子在某一位置出现的概率与该位置的波函数值成正比。
物质波的提出具有深远的影响。
它不仅解释了微观粒子的行为，而且为量子力学的发展奠定了基础。
物质波的概念在许多领域都有应用，包括高能物理、凝聚态物理、光学和电子显微镜技术等。
物质波
我们看到，这个波长与伦琴射线的波长相仿。前面讲过，这样短的波长，只有用晶体做衍射光栅才能观察到 衍射现象。后来人们的确用这种办法观察到了电子的衍射，从而等微观粒子的波动性以后，对微观世界的认识统一起来了。不仅原来认为是电磁波的光具 有粒子性，而且原来认为是粒子的电子、质子等也具有波动性。当然，应该指出，虽所有的微观粒子都具有波粒 二象性，但光子跟电子、质子等粒子还是有很基本的区别的。光子没有静质量，电子、质子等都有静质量．光子 的运动速度永远是c，电子、质子等却可以有低于光速c的各种不同的运动速度。
概念由来
1
基本概念
2
粒子观点
3
波动观点
4
补充资料
5
实验证明
物质波（德布罗意波）（matter wave）指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波 动规律的支配。
比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点 几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在波尔半径处几率最 大。对于你自己也一样，你也有可能出现在月球上，和你坐在电脑前的几率相比，这是非常非常小的，以至于不 可能看到这种情况。这些都是量子力学的基本概念，非常有趣。
合并图册
量子力学认为物质没有确定的位置，在不测量时，它出现在哪里都有可能，一旦测量就得到它的其中一个本 征值即观测到的位置。对其它可观测量亦呈现出一种分布，观测时得到其中一个本征值，物质波于宏观尺度下表 现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动 量，位置测量越准，动量越不准，这个叫不确定性原理。哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根 据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期 变化的电磁场的传播。物质波既不是机械波，也不是电磁波。
概念由来
1
基本概念
2
粒子观点
3
波动观点
4
补充资料
5
实验证明
物质波（德布罗意波）（matter wave）指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波 动规律的支配。
比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点 几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在波尔半径处几率最 大。对于你自己也一样，你也有可能出现在月球上，和你坐在电脑前的几率相比，这是非常非常小的，以至于不 可能看到这种情况。这些都是量子力学的基本概念，非常有趣。
合并图册
量子力学认为物质没有确定的位置，在不测量时，它出现在哪里都有可能，一旦测量就得到它的其中一个本 征值即观测到的位置。对其它可观测量亦呈现出一种分布，观测时得到其中一个本征值，物质波于宏观尺度下表 现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动 量，位置测量越准，动量越不准，这个叫不确定性原理。哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根 据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期 变化的电磁场的传播。物质波既不是机械波，也不是电磁波。
德布罗意与物质波
1 德布罗意的物质波假设
光的粒子性与波动性的关系式：
h
p
h
1924年，德布罗意在其博士论文中把光的波粒二 象性推广到所有的物质粒子，提出“任何物体伴 随着波，而且不可能将物体的运动和波的传播分 开”的基本假设。
正面？
侧面？
德布罗意假设：
实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。 如果用能量和动量p来表征实物粒子的粒子性， 则可用频率和波长来表示实物粒子的波动性。
德布罗意关系式：
E h
E mc h h
2
p
h
h p
E mc
2
实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波，它 被称为“物质波”或“德布罗意波”。
2.环形驻波与氢原子 环形驻波：圆周长为波长的整数倍。
2r n
氢原子的驻波条件：波绕氢原子核传播一周后应光滑地衔 接起来，否则相叠合的波将会由于干涉而相消，这就对轨 道有所限制：即轨道的圆周长应该为波长的整数倍。
§6-4 德布罗意与物质波
玻尔理论虽然在运动轨道的经典概念的基础上， 提出了量子(定)态、量子跃迁、角动量量子化的 概念，但玻尔理论仅限于处理氢原子或类氢原子， 无法处理略为复杂的原子光谱，如氦原子光谱。
玻尔理论的局限性：仍把电子看成经典力学中的 质点，将经典力学的规律用到微观粒子上。
整个世纪以来，在 辐射理论上，比起波动 的研究方法来，是过于 忽视了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发 生了相反的错误呢？是 不是我们关于粒子图象 想得太多，而过分地忽 略了波的图象呢？ —— 德布罗意 （L.V.de Broglie)
2eU m
h h 12.25 A m 2emU U
12-4 12-5物质波及其统计诠释,波函数
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
质子、中子、原子、分子…也有波动性
9
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
10
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子也具有波动性
m大
0
例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
h h 6.63 1034 2.21 10 m P m 0.01 300
( x, t ) ( x )e
i Et
, ( x ) Ae （空间因子）
33
i px
自由粒子波函数：
( x ) Ae
三维：
( r ) Ae
2 2
i px
p>0：向右
p<0：向左
i p r
概率密度： A const.
空间位置完全不确定，动量取确定值
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m 若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有 ΔP 2Δr
2E 6 10 m /s m
ΔP Δ 6 105 m/s m 2m Δr
轨道概念不适用! 代之以电子云概念
24
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
p const.
【思考】自由粒子波函数能归一化吗？
34
5、状态叠加原理 量子力学要求：若体系具有一系列互异的可 能状态 1，2 ，则它们的线性组合
C n n
也是该体系的一个可能的状态。展开系数Cn 为 任意复常数。
若叠加中各状态间的差异无穷小， 则应该用 积分代替求和： C d
质子、中子、原子、分子…也有波动性
9
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
10
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子也具有波动性
m大
0
例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
h h 6.63 1034 2.21 10 m P m 0.01 300
( x, t ) ( x )e
i Et
, ( x ) Ae （空间因子）
33
i px
自由粒子波函数：
( x ) Ae
三维：
( r ) Ae
2 2
i px
p>0：向右
p<0：向左
i p r
概率密度： A const.
空间位置完全不确定，动量取确定值
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m 若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有 ΔP 2Δr
2E 6 10 m /s m
ΔP Δ 6 105 m/s m 2m Δr
轨道概念不适用! 代之以电子云概念
24
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
p const.
【思考】自由粒子波函数能归一化吗？
34
5、状态叠加原理 量子力学要求：若体系具有一系列互异的可 能状态 1，2 ，则它们的线性组合
C n n
也是该体系的一个可能的状态。展开系数Cn 为 任意复常数。
若叠加中各状态间的差异无穷小， 则应该用 积分代替求和： C d
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只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛
定锷方程适用于微观粒子。
25.4 一 维 势 阱
一. 一维势阱
在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外 为无限大。
U(x) U=
U=0
U=
0
a
x
二. 由定态薛定锷方程求波函数
1. 根据具体问题写出势能函数 势能函数
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系 在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量 x和该方向上的动量的不确定量px有
xpx / 2 h 1.05 10 34 J s 2
二. 简单推导
电子的单缝衍射 x
3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。
▲应用
电子等实物粒子的波长比光波波长小的多
利用高速电子束代替光束制成显微镜
电子显微镜
25.2 不确定关系
一. 不确定关系
经典力学
微观粒子
质点
确定的位置和动量
具有波动性即不具有确定的位置和动量
i ( Et px )
2. 概率密度
在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的 概率为：
Ψ dV ΨΨ dV
*
2
2
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件 粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1
2dV 1——波函数归一化条件 4. 波函数的标准条件
3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值
因粒子只能在势阱内
(0) (a) 0 A (0) 0, B sin ka (a) 0 B 0, k 0
n k , n 1,2,3, a
n ( x) B sin x,0 x a a
0,0 x a U ( x) , x 0, x a
势阱内 U=0
2. 根据条件写出定态薛定锷方程
定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0,0 x a 2 dx
k2
d 2 2 k 0 2 dx
通解
( x) A cos kx B sin kx
t 稳定状态 能量确定
25.3 波函数与薛定锷方程
一. 概率波
物质波是一种概率波, 反映粒子在空间分布的几率
28个电子通过双缝
电 子 的 双 缝 衍 射
10000个电子通过双缝
1000个电子通过双缝
数百万个电子通过双缝
二. 波函数
描述物质波的数学表达式 1. 波函数 一束沿x轴传播的单色平面波
二. 波函数
能量E(E<U0)的粒子从左边射入 定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0, x 0 2 dx d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0, x 0 2 dx
1. 不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确 度值成反比；
px 0 px确定
粒子位置完全不确定 ——平面波
2. 不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经 典力学来描写还是用量子力学来描写;
3. 另一个不确定关系
Et 2
E : 能量的不确定量
t : 某能量状态的持续时间
第二十五章 量子力学基础
25.1 德布罗意假设 实物粒子的波粒二象性
德布罗意波在光的波粒二象性的启发下， 提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波 粒二象性的假设。
E mc h h p mv
2
——德布罗意公式
德布罗意
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
▲实验验证
1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊1927） 2. 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 （约恩逊1961)
2
n =4
n =3
n =2 a n =1
0
0
a
2. 粒子能量
2mEn k 2
2
n k a
2 En n 2ma 2
2 2
能量量子化
不同能级,粒子的波函数不同
25.5 势垒与隧道效应
一. 势垒
U U=U0
U=0 0 x
势能函数
0, x 0 U ( x)
U0 , x 0
2. 定态薛定锷方程
势能与时间无关时的波函数
(r , t ) (r )e
空间坐标 函数
i Et
时间函数
(r)满足
2m 2 ( E U ) 0
2
求解某些特殊情况的波函数
★注意:
薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典 力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性
y( x, t ) A cos 2(vt x / )
指数形式
y( x, t ) Ae
i 2 ( vt x / )
沿x轴运动的单能粒子束
( x, t ) 0 e
i 2 ( vt x / )
h E h, p
自由粒子的波函数
( x, t ) 0 e
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
波函数与粒子所处条件的关系式 1. 薛定锷方程
一维非相对论形式
i U 2 t 2m x
2 2
薛定锷
三维
2 2 i U t 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
sin x
px
电子束v
p
py
p x p sin
-
x
p / x
x坐标的不 确定量
由于衍射,电子的速度 方向改变,电子可能出
h p
现在-到+的范围内
xpx h
考虑次极大
经严格证明此式应改写为：
x p x 2
xpx h
★讨论:
由归一化条件
1 2 ( x) dx aB 1 2
2
B
4. 写出波函数
2 a 2 n sin x,0 x a a a
( x)
★讨论:
1. 概率密度
2 2 n ( x) sin x,0 x a a a
2
概率密度随x变化,与n有关
Ψ ( x)
Ψ ( x)