所以电子的德布罗意波长为
电子的德布罗意波长公式
电子的德布罗意波长公式
德布罗意波长公式是p=hν/c=h/λ。
物质波公式，又叫德布罗意公式，具体表达式为：波长入＝h/p=h/mv，是法国著名物理学家德布罗意推出的物质波动方程。
1923年，法国著名物理学家德布罗意经过计算，得出了电子是一种波动的结论，并把这种波称为相波。
后人为了纪念他，又称其为德布罗意波。
德布罗意波长公式原理：
假设实物粒子也具有波动性。
于是他由质能方程以及量子方程出发，推得了德布罗意波的有关公式。
他发现，粒子在以v为速度运动的时候总会伴随着一个速度为c^2/v的波，这个波又因为不带任何能量与信息，所以不违反相对论。
一个实物粒子的能量为E、动量大小为p，跟它们联系的波的频率μ和波长λ的关系为E=mc^2=hμp=mv=h/λ上两式称为德布罗意式。
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波。
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验，证实了电子的波动性。
同年汤姆逊做了电子衍射实验。
将电子束穿过金属片，在感光片上产生圆环衍射图和X光通过多晶膜产生的衍射图样极其相似．这也证实了电子的波动性。
对于实物粒子波动性的解释，是1926年玻恩提出概率波的概念而得到一致公认的。
大学物理15 量子物理基础1
m
o
0.1A
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长
若 m=0.1g 的小球速率 vm v
vm
v
q BR m
则 ：m
h m vm
h m
1 v
h m
m q BR
h q BR
m m
6.64 10 27 0.1 10 3
6.641034
m
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，
运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)
解:
(1)
求粒子德布罗意波长 h h
p m v
先求：m v ?
而：q vB
m
v2 R
m v q BR
h m v
h q BR
6.63 10 34 1.601019 0.025 0.083102
1.001011
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t)
e i 2
0
(t x
)
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波
p mv h
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
如果v c,则 h
m0v
电子的德布罗意波长公式
电子的德布罗意波长公式德布罗意波长公式是用来计算电子的德布罗意波长的一个重要公式。
它是由意大利物理学家瓦伦蒂诺德布罗意于1915年发现并提出的。
该公式表明，电子在特定德布罗意波长处，可以用来测量它们航行的空间大小。
物理学家们使用这种德布罗意波长公式来测量电子在不同物理系统中的行为。
公式描述德布罗意波长公式如下：λ = h/p，其中，λ表示波长，h表示普朗克常数，p表示电子的动量。
这个公式表明，对于一个特定的电子，它的波长λ与其动量p成反比，其中普朗克常数 h一个定值。
因此，当电子的动量变大时，其德布罗意波长值就会减小。
计算电子德布罗意波长计算电子的德布罗意波长需要准确的测量其动量并计算出波长值。
为了说明计算过程，假设有一个电子，其动量为1.28 10 kgm/s，用德布罗意波长公式可以求出它的波长：λ = h/p，其中 h = 6.626 10 Js，所以，λ = 6.626 10 Js/ 1.28 10 kgm/s = 5.13 10 m，即得出该电子波长为 5.13 10 m。
电子德布罗意波长的应用计算好电子的德布罗意波长之后，可以用来研究电子在不同环境中的行为。
例如，量子力学对于电子的德布罗意波长具有重要的应用价值。
在量子力学中，电子的德布罗意波长具有特殊的解释，可以同时解释电子的有机和无机性质。
此外，电子的德布罗意波长也可以用来研究物体的温度和色度。
实验发现，电子的德布罗意波长与物体的温度成正比；即物体的温度越高，它的德布罗意波长值也越高。
此外，物体的色度也取决于电子的德布罗意波长值，如果某物体的德布罗意波长值为红色区域的范围，则该物体的色度则为红色；反之，如果某物体的德布罗意波长值落入蓝色区域范围，则该物体的色度自然就是蓝色。
由此可见，电子的德布罗意波长具有重要的科学价值和实际应用意义，它不仅可以用来研究电子的测量和物理性质，还可以用来研究物体的温度和色度。
由于其重要的科学价值，电子的德布罗意波长在物理研究和实验中得到了广泛的应用。
题解-01
《工科大学化学》习题解答第1章 原子结构1．将锂在火焰上燃烧放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态1s 22p 1→1s 22s 1跃迁时产生的。
试计算该红光的频率、波数以及以KJ ·mol -1为单位符号的能量。
解：频率υ=c/λ=3x108 m.s -1/670.8 m = 4.47x1014 s -1 波数6911 1.4910670.810mvλ-===⨯⨯ m -1能量E=N A h υ=6.023⨯1023mol -1⨯ 6.626⨯10-34Js ⨯10-3kJ ⨯J -1⨯4.47⨯1014 s -121.7810=⨯ KJ ·mol -12．计算下列粒子的德布罗意波的波长：（1）质量为10－10kg ，运动速度为0.01m ·s－1的尘埃;（2）动能为0.1eV 的自由电子； （3）动能为300eV 的自由电子。
解：（1）λ= h/p = h/mv = 6.626 x10-34Js / 10－10kg x10-2 s－1= 6.626x10-22 m（其中单位运算：J ·S / kg ·m ·s－1= N ·m ·s / kg ·m ·s －1= kg ·m ·s －2·m ·s/ kg ·m · s－1= m ）（2）λ= h/p E 动 = 1/2 mv 2 -191ev 1.610J=⨯p = m v = 2E 动/v =m E ⨯⨯2hλ==p = 6.626 x 10 -34 Js/J 101.6 0.1 kg 10 9.1 2-19-31⨯⨯⨯⨯⨯=3.88×10－9m（其中单位运算：J.S/ Kg J ⨯ = J.S / Kg m N ⨯⨯ = J.S/Kg S m Kg -2⨯⨯⨯⨯m = J.S/-222Sm Kg ⨯⨯= J.S/Kg.m.S -1=N ·m ·s / kg ·m ·s －1 = kg ·m ·s －2·m ·s/ kg ·m · s －1= m ）（3）解：209.3510p-===⨯kg ·m ·s -1λ= h/p = 6.626⨯10-34J ·s / 9.35⨯10-20 kg ·m ·s -1 = 7.09⨯10-11 m3．子弹（质量0.01kg ，速度1000m ·s -1）、尘埃（质量为10-9kg ，速度为10m ·s -1），原子中的电子（质量为9.1×10-31kg ，速度为1000m ·s -1）等，若速度的不确定均为速度的10%，判断在确定这些质点的位置时，测不准关系是否有实际意义。
量子力学习题选解
一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。
实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。
德布罗意关系式的两个公式
德布罗意关系式的两个公式
德布罗意关系式是描述物质波动性的重要方程，由法国物理学家路易·德布罗意于1924年提出。
它建立了物质粒子（如电子、质子等）与波动的关系，揭示了粒子具有波动性的本质。
德布罗意关系式有两个公式，分别是：
1. 德布罗意波长公式（λ= h / p）：
这个公式描述了粒子的波长与其动量之间的关系。
其中，λ代表波长，h代表普朗克常数，p代表粒子的动量。
根据这个公式，我们可以得出结论：动量越大，波长越短；动量越小，波长越长。
换句话说，动量较大的粒子表现出更明显的粒子特性，而动量较小的粒子则更接近波动性质。
2. 德布罗意频率公式（f = E / h）：
这个公式描述了粒子的频率与其能量之间的关系。
其中，f代表频率，E代表粒子的能量，h代表普朗克常数。
根据这个公式，我们可以得出结论：能量越高，频率越大；能量越低，频率越小。
同样地，能量较高的粒子更倾向于表现出粒子的特性，而能量较低的粒子更接近于波动性质。
这两个德布罗意关系式的公式，展示了粒子的波动性质与其动量和能量之间的紧密联系。
通过这些公式，我们可以更好地理解粒子在微观尺度上的行为，并揭示了量子力学中粒子-波二象性的基本原理。
这些公式的简洁性和准确性为解释许多微观现象提供了重要的工具。
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集一、填空题1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125A ）。
2．索末菲的量子化条件为（ ⎰=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ωn ）。
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p= ）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ=（ r p i e⋅2/3)2(1π ）， ()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p （ )(p p-'δ ）。
5．动量算符的归一化本征态=)(r pψ（r p i e⋅2/3)2(1π ），='∞⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p-'δ ）。
6．t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t iex ex ωωψψ25220)(2)(--+ ）。
7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2），几率流密度=（()**2ψ∇ψ-ψ∇ψμi ）。
8．设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中Fˆ的平均值为F =（ ⎰⎰dx dx F ψψψψ**ˆ ）。
9．波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。
10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。
11．)i exp()()i exp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。
12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。
19章习题解答
第十九章习题 解答19-1：维恩位移定律：3( 2.89810)mT b b λ-==⨯ 331612.89810 5.3100.5510m bT K K λ--⨯===⨯⨯ 331612.898108.3100.3510m bT K K λ--⨯===⨯⨯ 341612.898101100.2910m bT K K λ--⨯===⨯⨯19-2: 斯特藩－波耳茨曼定律：4824( 5.6710/())M T w m k σσ-==⨯114443822.810 1.42105.6710M T K σ-⎛⎫⨯⎛⎫∴===⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭19－3：(1) 最大动能：max 34819719()6.6310310 4.2 1.6102103.225102k cE h A hAJ eVνλ----=-=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=⨯≈(2) max19max 19()() 3.2251021.610k k eU E E U V E --=⨯∴===⨯ (3)34870196.6310310 2.96104.2 1.610hc m m A λ---⨯⨯⨯===⨯⨯⨯19-4：(1) 视网膜接收到光的能量为：834197183105 6.6310105101.9910cW n nh nhJ Jενλ----===⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯(2)功率为：181.9910E P w t-==⨯19－5： （1）每秒落到地面上单位面积的光子数量是：12834719128113106.63105102.0110n s m s m ------⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯(2)每秒钟进入人眼的光子数是：2318347141381 3.141023106.63105101.4210N S S -----⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯⨯⨯⨯=⨯19-6: (1) 光子的频率为：()2020231820349.1103101.236106.6310h m c m c h HZ HZνν--=∴=⨯⨯⨯==⨯⨯(2) 光子的波长：()343180 6.63100.29.110310h m A m c ολ--⨯===⨯⨯⨯(3)光子的动量：()318102219.1103102.7310hP m c kg ms kg msλ----===⨯⨯⨯⋅=⨯⋅19-7: 光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。
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一、德布罗意波及其实验观测 光兼有波和粒子两方面性质，不只是光子的特性， 而是光子和一切实物粒子共同的本性。
质量为 、以速率u作匀速运动 的实物粒子，从波动性看，有
E h
h h h u 2 1 ( ) 德布罗意波长 其波长为 p u 0 u c
物质波的实验验证
K
h p
U R
集电器
G
戴维孙-革末 电子衍射实验
单晶体
1
实验表明，以一定方向投射到 晶面上的电子束，只有具有某 些特定速率时，才能准确地按 照反射定律在晶面上反射。
I
O
U
实验结果与晶体对X射线的衍射情形是极其相似的。 当波长满足布拉格公式 2d sin k,k 1,2, 将电子的德布罗意波长代入布拉格公式，得 h 2eU 2d sin k 因 u me me u 所以
h/ p
r
h p n 2 πr
h L rp n 2π
ห้องสมุดไป่ตู้
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 光速c 是个“大”常数；普朗克常数h是个“小”常数。
3
二、不确定关系 电子的单缝 衍射示图
x
y
Δx
由电子衍射规律知，第一级 暗纹对应的衍射角 应满足
Δx 电子动量在x方向的弥散量 px可以表示为
sin
px p sin
由德布罗意关系和上式，得
所以
p x p
x
4
ΔxΔp x h
海森伯不确定关系
xp x h
若考虑电子衍射的次极大，px 还要大些
xp x h
不确定关系在量子力学中可以严格证明其形式为
xp 2
在能量和时间之间也存在类似的不确定关系，即
24 -1
kg m s
-1
.
电子的德布罗意波长为
h 6.63 10 34 10 m 1.23 10 m 24 p 5.40 10
6
例2：在室温下达到热平衡的中子称为热中子。 求温度为300K的热中子的德布罗意波长。 解: 根据能量均分定理，得
3 3 23 21 k kT 1.3810 300J 6.21 10 J 2 2
这一关系在讨论原子或其他系统的束缚态性质时， 是十分重要的。
5
E t 2
例1：求在100 V加速电势差作用下，电子 的德布罗意波长。 2 eV 解: 电子的运动速率为 u me 电子的动量
p me u 2eVme
由于u≪c ,故不考虑相对论效应，所以
p 2eVm e 2 1.60 1019 100 9.11 1031 kg m s 5.40 10
7
例3：由玻尔理论算得氢原子中电子的运动速率为 2.2106 ms1，若其不确定量为1.0%，求电子位置 的变化范围。 解: 根据不确定关系
xp 2
电子位置的不确定量为
1.05 10 34 x m 31 6 2p 2m e v 2 9.11 10 2.2 10 0.010 2.6 10 m,
动量为
p 2mn k
将中子的静止质量mn = 1.671027 kg，代入上式，得
p 2 1.67 1027 6.21 1021 kg m s 4.55 10
24 -1 -1
kg m s
德布罗意波长为
h 6.63 10 34 10 m 1.46 10 m 24 p 4.55 10
h 1 2d sin k ,k 1,2, 2eme U
上式计算出的U值，与实验结果相一致。这就证明了德布 罗意假说的正确性。
2
德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道运动，它 所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整 数倍。即： 2πr n
再根据德布罗意关系：
得出电子角动量量子化条件
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(L.V.de Broglie , 1892—1987)
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