人教版八年级数学下册专题讲解课后练习矩形
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
．
题八：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E 是 AB 边的中点，F 是 AC 边的
中点，D 是 BC 边上一动点，则△EFD 的周长最小值是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
如图，以△ABC 的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE． (1)求证：四边形 AEFD 是平行四边形； (2)当∠BAC=______时，四边形 AEFD 是矩形； (3)当∠BAC=______时，以 A、E、F、D 为顶点的四边形不存在．
题十： 如图，已知平行四边形ABCD，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 与 DC 交于 O 点． (1)求证：△BOC≌△EOD； (2)当∠A= 1 ∠EOC 时，连接 BD、CE，求证：四边形 BCED 为矩形．
D．4 个
．
题九：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的 延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF． (1)线段 BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由．
B．两组对角分别相等
D ．对角线相等
矩形
直 角三角形斜边的中线 题三：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点 E 为 AB 的中点，点 D 在 BC 上，且 AD=BD，AD、CE 相交于点 F，若∠B=20°，则∠DFE 等于( ) A．70° B．60° C．50° D．40°
B
A E
F
D
C
重难点易错点辨析
矩形的性质
题一：矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分
C．两组对边分别相等
矩形的判定 题二：下列四个命题中，错误的是( ) A．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 B．有三个角都相等的四边形是矩形 C．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形 D． 对角线互相平分且相等的四 边形是矩形
题十二：如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，F 是 AC 中点，AN 是△ABC 的外角∠MAC 的角 平分线 ，延长 DF 交 AN 于点 E． (1)判断四边形 ABDE 的形状，并说明理由； (2)问：线段 CE 与线段 AD 有什么关系？请说明你的理由．
题十三：已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线， AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊 四边形？并证明你的结论．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
B．对角线相等
D．相邻两角互补
B．对角法正确的有( ) ①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一 个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等 且垂直的四边形是矩形；⑥有一个 角是直角的平行四边形是矩形．
题一：矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．内角和为 360°
C．对角相等
题二：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质( )
A．对角线相等
C．对角线平分一组对角
题三：下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形
题十四：如图，矩形纸片 ABCD 的宽 AD=5，现将矩形纸片 ABCD 沿 QG 折叠，使点 C 落到点 R 的 位置，点 P 是 QG 上的一点，PE⊥QR 于 E，PF⊥AB 于 F，求 PE+PF．
人教版八年级下册数学重点知识点练习和答案解析——矩形
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）．
（2）四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD．
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵OA= BD，OA= AC，∴BD=AC．∴平行四边形ABCD是矩形．
7．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
∴AO=CO，BO=DO．
∵AO=BO，∴AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形．
∵AD=3，AB=2，
∴四边形ABCD的面积为AD·AB=3×2=6．
故选C．
2．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB=4cm，AD=8cm，则折痕EF的长为
A．5cmB． cm
C． cmD． cm
∴AF=AE=5．
∴BH=5．
∴EH=2．
∵HF=AB=4．
∴ ．
故选B．
3．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为
A．11B．16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．19D．22
【答案】D
【解析】阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C=AD+DC+AB′+B′C=3+8+8+3=22．
【答案】B
【解析】如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H．
由翻折的性质可知AE=EC．
数学人教版八年级下册期末复习专项练习06矩形答案及解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！数学人教版8年级下册期末复习真题汇编卷矩形一、单选题1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AEFC ，则FAB Ð=（）A ．20°B ．30°C ．50°D ．22.5°2．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学为班级设计如图所示的班徽，O 为正方形ABCD 的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若A ，E ，F 三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（）A ．B ．2:3C ．D ．1:23．（2023春·浙江·八年级期末）如图，直线l 交正方形ABCD 的对边AD 、BC 于点P 、Q ，正方形ABCD 和正方形EFGH 关于直线l 成轴对称，点H 在CD 边上，点A 在边FE 上，BC 、.HG 交于点M ，AB 、FG 交于点N ．以下结论错误的是（）A ．EA NG AN+=B ．GQM 的周长等于线段CH 的长C ．BQN △的周长等于线段CM 的长D ．FNA 的周长等于22DH HC+4．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F ，G 分别是边AB BC AD ，，上的动点，且=AE BF ，将BEF △沿EF 向内翻折至B EF ¢，连结BB B G GC ¢¢，，，则当BB ¢最大时，B G GC ¢+的最小值为（）A2B ．5.6C ．D ．5．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，P 为线段AB 上任意一点，分别以AP 、PB 为边在AB 同侧作正方形APCD 、PBEF ，若28CBE Ð=°，则AFP Ð的度数为（）A ．56°B ．62°C ．73°D ．76°6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）如图，在边长为5的正方形ABCD 内作45EAF а＝，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ．若2DF =，则BE 的长为（）A ．157B ．43C ．34D ．27．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，E 是边AD 的中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 、PE ，当点P 移动到使BPA DPE Ð=Ð时，AP PE +的值为（）AB C ．D ．8．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，AE AF =，60EAF Ð=°，则CF 的长是（）A ．2B 1C ．14D 9．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 上，AE DP ^于点E ，CF DP ^于点F ，若4AE =，7CF =，则EF =（）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）在边长为8的正方形ABCD 底座中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF 在AB 上，点K ，I 分别在，BC CD 上，若区域I 的周长比区域II 与区域III 的周长之和还大4，则正方形纸板的边长为（）A ．4B ．143C ．5D ．16311．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）在正方形ABCD 中，点M N ，将对角线BD 三等分，且6BD =，点E 是正方形边上的一点，对于满足ME NE a +=的点E的个数n 进行探究，结论如下．结论1：若4a =，则4n =；结论2：若a =，则4n =．下列判断正确的是（）A ．只有结论1正确B ．只有结论2正确C ．两个结论都正确D ．两个结论都不正确12．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若正方形a 的边长为1，正方形c 的边长为3，则正方形b 的面积为（）A ．4B ．9C ．10D ．1113．（2022春·河北保定·八年级校考期末）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，13BC CE ==，，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）A ．2.5BCD ．214．（2022秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，正方形ABCD 中，12AB =，点E ，F 分别为,AD BC 上一点，且7AE BF ==，连接EF 交对角线BD 于点G ，点P ，Q 分别为,CE BG 的中点，则PQ 的长为（）A ．6B ．CD ．13215．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，Rt EOF △（两直角边长均大于AB 的长度）绕点O 旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（）A．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，然后又由小变大二、填空题16．（2023秋·山西太原·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，6AB=，点E，F分别在边,AB BC上，2==，点M在对角线AC上运动，连接EM和MF，AE BF则EM MF+的最小值等于__________．17．（2022秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，2AB=，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BE CF=，连接OE、OF、EF，则线段EF的最小值为________．18．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD 相交于点^于点F，若AC= O，点P是BC上任意一点，PE BD^于点E，PF AC则EF的长的最小值为_________．19．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知：正方形ABCD的顶点A 在矩形DEFG的边EF上，矩形DEFG的顶点G在正方形ABCD的边BC上，正方形的边长为4，DG的长为5，则DE的长为_______．20．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，在正方形ABCD 外作等边ADE ，则BED Ð=___________°．21．（2023秋·四川雅安·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD连接AC ，BD ，CE 平分ACD Ð交BD 于点E ，则BE =_______．22．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，P ，Q 分别为,BC CD 的中点，若40PAQ Ð=°，则APQ Ð大小为___________．23．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，点E 是边长为8的正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点（不与点B ，D 重合），连接AE ，以AE 为边向左侧作正方形AEFG ，点P 为AD 的中点，连接PG ，DG ，DG 与BA 的延长线交于点H ，在点E 运动过程中，线段PG 的最小值为______．24．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）若点E 是BC 的中点，4CD =，将正方形ABCD 沿FH 折叠，使点D 恰好落在BC 边的中点E 处，点A 的对应点为点P ，则折痕HF 的长为________．25．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图是“赵爽弦图”，ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果10AB =，6AH =，则GE =___________；此时ABCDEFGH S S 正方形正方形的值是___________．26．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点1A 、2A 、…、n A 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为________（用n 的代数式表示）27．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段，同学们，让我们一起来走进欧几里得的数学王国吧！如图，分别以Rt ABC △的三边为边长，向外作正方形ABDE 、BCFG 、ACHI ．（1）连接BI 、CE ，则BI 、CE 的关系是______；（2）过点B 作AC 的垂线，交AC 于点M ，交HI 于点N ，若4MN =，1NI =，则正方形BCFG 的边长是______．28．（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）如图，已知45MON Ð=°，在MON Ð内部作以点O 为位似中心的正方形1112A B C A ，正方形2223A B C A ，正方形3334A B C A ，…，正方形1n n n n A B C A +，其对应顶点1A ，2A ，3A ，4A …n A 都在射线ON 上，对应顶点1B ，2B ，3B ，4B …n B 都在射线OM 上，将正方形1112A B C A 的面积记作1S ；正方形2223A B C A 的面积记作2S ；正方形3334A B C A 的面积记作3S ；…，依此类推，正方形1n n n n A B C A +的面积记作n S ，若111A B =，则第n 个正方形的面积n S =______．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在正方形ABCD 中，点M ，N 为CD ，BC 上的点，且DM CN =，AM 与DN 交于点P ，连接AN ，点Q 为AN 中点，连接PQ ，若10AB =，4DM =，则PQ 的长为________．30．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在DC ，BC 上，4BF CE ==，连接AE 、DF ，AE 与DF 相交于点G ，连接AF ，取AF 的中点H ，连接HG ，则HG 的长为________．三、解答题31．（2023秋·山西太原·九年级期末）如图，在ABC 中，点M 和N 分别在边AB 和AC 上，MB NC =，连接,,MN BN CM ，点D ，E ，F ，G 分别是,,,MN BN BC CM 的中点．求证：四边形DEFG 是菱形．32．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB CD DA、、上，2AH=．(1)如图1，当2DG=时，求证：菱形EFGH是正方形．(2)如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．33．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA PE=，PE交CD于F．(1)证明：PC PE=；(2)求CPE∠的度数；34．（2021春·广东广州·八年级校考期末）在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF AE^于F．交AD于H．≌；⊥于G，求证：AFB DGA(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH FE+；(3)如图3，1AB=，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．35．（2023春·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，o90Ð=，其中EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF．AEFBE=时，求线段CF的长：2Ð=Ð．②当点E在线段BC上运动时，求证：QEF FEC(2)如图2，过点B作BG AE^交EQ于点G，过点D作DH CF^所在的直线于点H，求HG的最小值．36．（2021春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，点G是正方形ABCD对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．≌△△；(2)若AB=3AG=37．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点．将ADEV沿AE对折至AFE△，延长EF交BC于点G，连接AG，AG平分BAFÐ．≌△△(2)求BG的长．38．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC 的中点，连接DE，过点A作AG ED^交DE于点F，交CD于点G．≌；(2)连接BF，求证：AB FB=．39．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，6AB=，M 是对角线BD 上的一个动点102DM BD æö<<ç÷èø．连接AM ，过点M 作MN AM ^交BC 于点N ．(1)如图1，求证：MA MN =；(2)如图2，过点N 作NH BD ^于H ，AM =，求MH ．40．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，延长BC 至点G ，使得BE CG =，过点G 作FG BC ^，连接AE 、EF ，且AE EF =，求证：ABE EGF ≌．41．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，将正方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°得到正方形A B C D ¢¢¢¢，BC 与C D ¢¢相交于点E ，连接BD ，B D ¢¢相交于点F ．(1)填空：D EC ¢Ð=______度；(2)求证：四边形BED F ¢是菱形．参考答案1．D2．A3．C4．C5．B6．A7．B8．A9．C10．B11．B12．C13．B14．D15．C16．61718．119．16520．452122．70°/70度23．24．25．25n-26．1427．BI EC=28．222n -293031．证明：∵点D ，E 分别是MN ，BN 的中点，∴DE 是NMB △的中位线，∴DE MB ∥，12DE MB =，同理可得：GF MB ∥，12GF MB =，12DG NC =，∴DE GF ，DE GF =，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵MB NC =，∴DE DG =，∴平行四边形DEFG 为菱形．32．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90D A Ð=Ð=°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG HE =，在Rt HDG △和Rt EAH △中，HG EH DG AH =ìí=î，∴()Rt Rt HL HDG EAH ≌，∴DHG AEH Ð=Ð，∵90AEH AHE Ð+Ð=°∴90DHG AHE Ð+Ð=°，∴90GHE Ð=°，∴菱形EFGH 为正方形；（2）解：过F 作FM CD ^，交DC 的延长线于点M ，连接GE ，∵在正方形ABCD 中，CD AB ∥，∴AEG MGE Ð=Ð，∵在菱形EFGH 中，GF HE ∥，HE FG =，∴HEG FGE Ð=Ð，∴AEH FGM Ð=Ð；在EHA 和GFM △中，90A M AEH MGF HE FG Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS EHA GFM ≌，∴2MF AH ==，设DG x =，则6CG x =-，∴1612FCG S CG FM x =×=-=，∴5x =，即5DG =．33．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴45AB BC ABP CBP =Ð=Ð=°，，又∵BP BP =，∴()SAS ABP CBP ≌，∴PA PC =，∵PA PE =，∴PC PE =；（2）解：由（1）知，ABP CBP △≌△，∴BAP BCP Ð=Ð，∵在正方形ABCD 中，90BAD BCD ADC CDE ===°=∠∠∠∠，∴BAD BAP BCD BCP Ð-Ð=Ð-Ð，即DAP DCP Ð=Ð，∵PA PE =，∴DAP E Ð=Ð，∴DCP E Ð=Ð，∵CFP EFD Ð=Ð（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE E °-Ð-Ð=°-Ð-Ð，即90CPF EDF Ð=Ð=°．34．（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90BAD Ð=°，DG AE ^ ，BF AE ^，90AFB DGA \Ð=Ð=°，90FAB DAG \Ð+Ð=°，90DAG ADG Ð+Ð=°，BAF ADG \Ð=Ð，在AFB △和DGA △中，AFB DGA BAF ADG AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)AFB DGA \≌；（2）证明：过点D 作DK AE ^于K ，DJ BF ^交BF 的延长线于J ，如图2所示： 四边形ABCD 是正方形，90BAH ADE \Ð=Ð=°，AB AD CD ==，BF AE ^ ，90AFB \Ð=°，90DAE EAB Ð+Ð=° ，90EAB ABH Ð+Ð=°，DAE ABH \Ð=Ð，在ABH 和DAE 中，BAH ADE AB DA ABH DAE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)ABH DAE ≌，AH DE \=，点E 为CD 的中点，12DE EC CD \==，AH DH \=，DE DH \=，DJ BJ ^ ，DK AE ^，90J DKE KFJ \Ð=Ð=Ð=°，\四边形DKFJ 是矩形，90JDK ADC \Ð=Ð=°，JDH KDE \Ð=Ð，在DJH 和DKE △中，J DKE JDH KDE DH DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴(AAS)DJH DKE ≌，DJ DK \=，JH EK =，\四边形DKFJ 是正方形，FK FJ DK DJ\===，DF \，2FH FE FJ HJ FK KE FJ \+=-++=；（3）解：如图3，取AD 的中点Q ，连接PQ ，延长QP 交CD 于R ，过点P 作PT CD^于T ，PK AD ^于K ，设PT b =，由（2）得：(ASA)ABH DAE ≌，AH DE \=，90EDH Ð=° ，点P 为EH 的中点，12PD EH PH PE \===，PK DH ^ ，PT DE ^，90PKD KDT PTD \Ð=Ð=Ð=°，\四边形PTDK 是矩形，PT DK b \==，PK DT =，PH PD PE == ，PK DH ^，PT DE ^，22DH DK b \==，2DE DT=，12AH DE b\==-，1122PK DE b \==-，12QK DQ DK b =-=-，PK QK \=，90PKQ Ð=° ，PKQ \是等腰直角三角形，45KQP \Ð=°，\点P 在线段QR 上运动，DQR 是等腰直角三角形，QR \==\点P 的运动的路径长为2．35．（1）解：如图，过点F 作FN BC ^于点N ，AEF 是等腰直角三角形，AE EF \=，45EAF Ð=°，90AEF ABE FNE Ð=Ð=Ð=°，90AEB BAE AEB FEN \Ð+Ð=°=Ð+Ð，=BAE FEN \ÐÐ，ABE ENF \@△△（AAS ），12BE FN \==，AB EN =，BC EN AB \==，12CN BE \==，又90N Ð=° ，CFN \△是等腰直角三角形，CF \==故答案是：2CF =；证明：如图，延长CB 至K ，使BK DQ =，连接AK ，BK DQ = ，90ABK D Ð=Ð=°，AB AD =，()SAS ABK ADQ \@，BAK DAQ Ð=Ð，AK AQ =，45EAF Ð=° ，45\Ð+Ð=°，BAE DAQ\Ð+Ð=°=Ð=Ð，45BAE BAK EAK EAD又AE AE，=()AEK AEQ\@，SAS\Ð=Ð，AEK AEQÐ=°，90AEF\Ð=Ð；FEQ FEC（2）解：如图，连接AG、GH、AH、AC，由（1）得90Ð=°，AEB AEGÐ=Ð，DCH四边形ABCD是正方形，\===，AC==，452AB AD CDÐ=°ACD，\Ð=°，90ACH，45^DH CHÐ=°，DCH\△是等腰直角三角形，DCH\=，2DC\=，CH\==AH，AEB AEGBG AE^Ð=Ð，\Ð=Ð，EBG EGB\=，BE EG又AE AE，=()\@，SASABE AGE\点G 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上，当点G 在线段AH 上时，GH 有最小值，GH \2，2-．36．（1）解：∵四边形EFGA 和四边形ABCD 是正方形，∴AG AE =，AB AD =，90EAG BAD Ð=Ð=°，在GAD 和EAB 中，90GAD EAD Ð=°+Ð，90EAB EAD Ð=°+Ð，∴GAD EAB Ð=Ð，在GAD 和EAB 中，AG AE GAD EAB AD AB =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS EAB GAD ≌△△；（2）解：如图，连接BD ，BD 与AC 交于点O，由（1）得：EAB GAD≌△△∴EB GD =，∵四边形ABCD是正方形，AB =∴,6BD AC AC BD ^===，∴190,32DOG OA OD BD Ð=°===，∴6OG OA AG =+=，∴EB GD ===37．（1）在正方形ABCD 中，,90AD AB BC CD D B BCD °===Ð=Ð=Ð=，∵将ADE V 沿AE 对折至AFE △，∴,,90AD AF DE EF D AFE ==Ð=Ð=°，∴,90AB AF B AFG =Ð=Ð=°，又∵AG AG =，在Rt ABG △和Rt AFG △中，AG AG AB AF=ìí=î，∴Rt Rt △≌△ABG AFG （HL ）．（2）∵ABG AFG △≌△，∴BG FG =，设BG FG x ==，则6GC x =-，∵E 为CD 的中点，∴3CE EF DE ===，∴3EG x =+，∴在Rt CEG △中，2223(6)(3)x x +-=+，解得2x =，∴2BG =．38．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ADG C Ð=Ð=°，AD DC =，又∵AG ED ^，∴90DAG ADF CDE ADF Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴DAG CDE Ð=Ð，∴()ASA ADG DCE ≌△△；（2）证明：如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，又∵90C HBE Ð=Ð=°，DEC HEB Ð=Ð，∴()ASA DCE HBE ≌△△，∴BH DC AB ==，即B 是AH 的中点，又∵90AFH Ð=°，∴Rt AFH △中，12BF AH AB ==．39．（1）证明：过点M 作MF AB ^于F ，作MG BC ^于G ，如图1所示：∴90AFM MFB BGM NGM Ð=Ð=Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC DAB Ð=Ð=°，AD AB =，45ABD DBC Ð=Ð=°，∵MF AB ^，MG BC ^，∴MF MG =，∵90ABC Ð=°，∴四边形FBGM 是正方形，∴90FMG Ð=°，∴90FMN NMG Ð+Ð=°，∵MN AM ^，∴90AMF FMN Ð+Ð=°，∴AMF NMG Ð=Ð，在AMF 和NMG 中，AFM NGM MF MG AMF NMG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA AMF NMG ≌，∴MA MN =；（2）解：过点A 作AF BD ^于F ，如图2所示：∴90AFM Ð=°，∴90FAM AMF Ð+Ð=°，∵MN AM ^，∴90AM N Ð=°，∴90AMF HMN Ð+Ð=°，∴FAM HMN Ð=Ð，∵NH BD ^，∴90AFM MHN Ð=Ð=°，在AFM △和MHN 中，FAM HMN AFM MHN AM MN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS AFM MHN ≌△△，∴AF MH =，在等腰直角ABD △中∵AF BD ^，∴1122AF BD ==´=∴MH =．40．证明：∵四边形ABCD 正方形，∴AB BC =，90B Ð=°，∵BE CG =，∴BC EG =，∴AB EG =，∵FG BC ^，∴90EGF Ð=°，在Rt ABE △和Rt EGF 中，AB EG =，AE EF =，∴()Rt Rt HL ABE EGF ≌，即ABE EGF ≌．41．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形A B C D ¢¢¢¢是正方形∴90AD C ABC Ð=Ð=¢¢°∵45D AB ¢Ð=°∴18045135BED ¢°Ð=-°=°∴45D EC Ð=¢°（2）解：连接AE ．∵四边形ABCD 和四边形A B C D ¢¢¢¢是正方形∴90AD C ABC Ð=Ð=¢¢°∵45D AB ¢Ð=°∴18045135BED ¢°Ð=-°=°∴45D EC Ð=¢°（方法不唯一，直接写由（1）得也可以）在正方形A B C D ¢¢¢¢中，45B D C ¢¢¢Ð=°∴D EC B D C Ð=Т¢¢¢∴D F BC ¢∥，即D F BE ¢∥．同理45DBC D EC ¢Ð=Ð=°，∴D E BF ¢∥．∴四边形BED F ¢是平行四边形在Rt AD E ¢△和Rt ABE △中AD ABAE AE=¢ìí=î∴Rt Rt AD E ABE¢△≌△∴D E BE¢=∴平行四边形BED F ¢是菱形.。
人教版八年级数学下册矩形(基础)典型例题讲解+练习及答案.doc
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】矩形（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P 是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PA N，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PA N=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【特殊的平行四边形（矩形）例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形. ∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】（2015•内江）如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△A BD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．3、如图所示，Y ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在Y ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在Y ABCD中，AD∥BC，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
【新】八年级下册数学 人教版 矩形、菱形、正方形的知识应用(知识点讲解+练习题)
矩形菱形正方形基本知识教案【知识梳理】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：⑴矩形的四个角都是；⑵矩形的对角线。
3、判定：⑴用定义判定；⑵有三个角是________的是矩形；⑶对角线的平行四边形是矩形。
特征总结：1、矩形既是又是对称图形，对称轴有条；2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形；3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题。
二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形。
2、性质：⑴菱形的四条边都；⑵菱形的对角线且每条对角线。
3、判定：⑴用定义判定；⑵对角线互相垂直的是菱形；⑶四条边都相等的是菱形。
特征总结：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是；2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形；3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两条对角线的积来计算；4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识计算的题目。
【重点考点例析】考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN ∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．考点二：和矩形有关的折量问题【例2】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．考点三：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题【例3】如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠A BD=34，则菱形ABCD的面积为cm2．考点四：四边形综合性题目：【例5】如图，正方形ABCD与正三角形A EF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．考点五:矩形、菱形、正方形的判定例1、如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．例2、如图，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 32°，求∠F的度数？变式1、如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．变式2、如图，已知∠1=∠C,∠2=∠3, BE是否平分∠ABC？请说明理由。
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习36 矩形与折叠问题
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题36 矩形与折叠问题一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（）A．cm B．C．8cm D．10cm2．如图，矩形ABCD中，3AB=，9AD=，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE∆的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．63．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（）A．B．C．D．4．在矩形纸片ABCD 中，AB =6，AD =10．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm5．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后得到1∠，再把纸片铺平，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．130°D ．115°6．如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，将矩形沿BD 折叠，点A 落在点E 处，DE 与BC 交于点F ，则重叠部分BDF ∆的面积是( )A ．20B ．16C ．12D ．107．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD 折叠，使点C 落到点C '的位置，若BC '平分ABD ∠，则DBC ∠的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．将长方形ABCD 纸片沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB 的大小是( )A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°9．如图，有一张长方形纸片ABCD ，其中15AB cm =，10AD cm =.将纸片沿EF 折叠，//EF AD ，若9AE cm =，折叠后重叠部分的面积为（）A ．230cmB ．260cmC ．250cmD ．290cm10．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（ ）A ．BCD ．611．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，恰好使的D 落在边BC 上的点F 处，如果∠BAF =60°，则∠DAE 的大小为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°12．如图，长方形ABCD 中，点O 是AC 的中点，E 是AB 边上的点，把△BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则图中全等的三角形有（）对．A ．1B ．2C ．3D ．413．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（）A ．2B ．3C ．4D ．514．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）A．6 B．7.5 C．10 D．2015．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC（）A．45ºB．60ºC．67.5ºD．75ºAD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，16．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3则折痕为DG的长为（）A B C．2 D=，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交17．如图，在矩形纸片ABCD中，BC a点O处，折痕为BE，点E在边CD上，则CE的长为（）A ．12aB ．25aC aD 18．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，则AHG ∠的度数为（）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°19．如图，已知长方形ABCD ，将△DBC 沿BD 折叠得到△DBC′，BC′与AD 交于点E ，若长方形的周长为20cm ，则△ABE 的周长是（）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm20．如图，将一块长方形纸片ABCD 沿BD 翻折后，点C 与E 重合，若∠ADE = 30°，EH = 2，则BC 的长度为（）A ．8B ．7C ．6.5D ．621．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD 可以进行如下操作：①把ABF 翻折，点B 落在C 边上的点E 处，折痕为AF ，点F 在BC 边上；②把ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若610AD CD==，，则EHEF=（）A．32B．53C．43D．5422．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′地位置，ED′的延长线与BC相交于点G，若∠EFG=68°，则∠1的度数是（）A．112°B．136°C．144°D．158°23．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F 处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（）A．12B．53C．25D．1324．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，已知2BC=，则线段EG的长度为（）A．1 B C D．225．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C'，D处，若68AFE∠=︒，则'∠C EB等于（）A．68︒B．80︒C．44︒D．55︒26．如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为EBD△．下列说法错误的是（）A．AE CE=B．12AE BE=C．EBD EDB∠=∠ D．△ABE≌△CDE27．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE，则图中全等三角形共有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对28．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F ，将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论： ①DF CF =；②BF EN ⊥；③BEN 是等边三角形；④3BEF DEF S S =△△．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④29．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（）A ．2B ．83C ．3D ．10330．如图，已知长方形ABCD 中6cm AB =，10cm BC =，在边CD 上取一点E ，将ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，CE 的长是（）A ．3B ．2.5C ．83D ．231．如图，将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点B '处，B C '交AD 于点E ，若125∠=︒，则2∠等于（）A ．25︒B ．30C ．50︒D ．60︒32．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E.若CBD 35∠=︒，则ADE ∠的度数为（）．A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．3033．如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，10AD cm =，则折痕EF 的长为（）．A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm34．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒35．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到','BC D C D ∆与AB 交于点E ，若140∠=︒，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒36．如图，在长方形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置，CE 与AD 交于点F ，如果AB ＝2，BC ＝4，则AF 的长是（）．A ．2B ．2.5C ．2.8D ．337．如图，矩形ABCD 沿着对角线BD 进行折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ，16AD =，8AB =，则DE 的长（）．A ．10B ．6C ．8D ．38．如图，长方形ABCD 中，AD BC 6==，10AB CD ==，点E 为射线DC 上的一个动点，ADE 与AD E '关于直线AE 对称，当'AD B 为直角三角形时，DE 的长为()A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或1839．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB ＝2．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM ＝1；③AB⊥CG；④BMG 是等边三角形；⑤点P 为线段BM 上一动点，点H 是BN 的中点，则PN ＋PH ．其中正确结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个40．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（）A ．2b a -B ．22b a -C ．32b a +D ．12b a + 41．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（）A B ．2 C ．1.5 D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题42．已知，如图，长方形ABCD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则BEF ∆的面积为__________．43．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝6cm ，宽AB ＝2cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长______cm ．44．如图，长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，若1AB =，2AD =，则△BED 的周长为_____．45．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点C 与A 重合，若长方形的长BC 为16cm ，宽AB 为8cm ，则DEG △的面积为______．46．如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD＝2AB＝8，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A′）折痕交于点G，则BG＝______．47．已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD=10，AB=8，那么AE=______．三、解答题AB=，48．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上．若6 BC=，求BF的长．949．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．50．如图所示，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，已知长方形OABC的周长为16．（1）若OA长为x，则B点坐标为_____；（2）若A点坐标为（5，0），求点D和点E的坐标．51．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8求．（1）FC的长（2）EC的长．52．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB ＝3cm ，长BC ＝5cm ．求EC 的长．53．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点M 是边CD 上一点，将ADM ∆沿直线AM 对折得到ANM ∆，MN ，AB 的延长线交于点Q ，1DM =，求NQ 的长.54．如图所示，把长方形ABCD 沿AC 折叠，使得B 点落在F 点，AF 与边CD 相交于点E ，求证：AE ＝CE ．55．如图，在□ABCD 中，点E 在AD 上，以BE 为折痕将△ABE 翻折，点A 恰好落在CD 边上的点F 处. 已知△EDF 的周长为12，△BCF 的周长为22，求CF 的长.56．如图，将长方形ABCD 边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，求DE 的长．57．如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠得到△ACD’，AD’与与BC 交于点E ，若AD=4，DC=3（1）求证ABE CD E ∆≅∆'（2）求BE 的长58．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知3AB =，9AD =，求BE 的长及BEF 的面积．59．如图，将长方形纸片ABCD ()AD AB >沿AM 折叠，使点D 落在BC 上（与点N 重合），如果8AD cm =，40DAM ∠=︒，求AN 的长和NAB ∠的度数60．如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，BC＝4，CD＝3，将此长方形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处．DE与BC相交于点F．（1）判断△BDF的形状，并说明理由；（2）求DF的长．61．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别平行且相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．（1）如果∠DEF＝110°，求∠BAF的度数；（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．62．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．求证：AE=CE．63．如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F 处．（1）求证：AE DF =；（2）若1BE =，3BC =，求CD 的长．64．已知，如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置上，连接DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）当160∠=︒，2AE =时，求矩形ABCD 的纸片的面积S ．65．已知，如图矩形ABCD 中，3AB =，9AD =，将此矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ．（1）求ABE ∆的面积；（2）求证：BE BF =．66．如图，长方形纸片ABCD ，//AD BC ，将长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，点C落在点C '处，折痕为EF ，（1）求证：BE BF =．（2）若18ABE ∠=︒，求BFE ∠的度数．（3）若6AB =，8AD =，求BEF 的面积．67．如图，长方形纸片ABCD ，//AD BC ，将长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ．（1）求证：BE BF =．（2）求BEF 的面积．68．如图①，在矩形OACB 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点C 在第一象限，OA ＝8，OB ＝6．（1）请直接写出点C 的坐标；（2）如图②，点F 在BC 上，连接AF ，把ACF 沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C '重合，求线段CF 的长度；（3）如图③，动点P(x，y)在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．69．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点B'处．（1）如图1，当点E与点C重合时，CB'与AD交于点F，求证：FA＝FC；（2）如图2，当点E不与点C重合，且△CEB'为直角三角形时，求CE的长．70．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点D的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．（2）当点H 与点D 刚好重合时，试判断△AEF 的形状，并说明理由．71．如图，将矩形纸片ABCD 中，6AB =，9BC =，沿EF 折叠，使点B 落在DC 边上点P 处，点A 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ．（1）如图，当点P 为边DC 的中点时，求EC 的长．（2）如图，当30CPE ∠=︒，求EC 、AF 的长．（3）如图，在（2）条件下，求四边形EPHF 的面积．72．在矩形纸片ABCD 中，现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折叠为EF ，连接DF ．（1）求证：BEF 是等腰三角形．（2）若6AB =，152EF =，求AD 的长．（3）在（2）的条件下，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则线段EF上是否 最小？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．存在一点M使得AM MG。
人教版八年级下册数学重点知识点练习和答案解析——矩形
人教版八年级下册数学重点知识点练习及答案解析——矩形一、选择题1．AB=DC，AD=BC，BD，AC与BD交于点O，AD=3，AB=2，如图，已知在四边形ABCD中，连结AC，若AO=BO，则四边形ABCD的面积为A．4C．6【答案】C【解析】∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO，BO=DO．∵AO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=3，AB=2，2=6．∴四边形ABCD的面积为AD·AB=3×故选C．B．5D．72．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB=4 cm，AD=8 cm，则折痕EF的长为A．5 cm B．25cm C．23cm【答案】B【解析】如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H．D．35cm由翻折的性质可知AE=E C．设BE=x，则AE=EC=8–x．在Rt△ABE中，依据勾股定理得：42+x2=（8–x）2，解得：x=3．∴BE=3，AE=5．由翻折的性质可知：∠AEF=∠CEF．∵AF∥BH，∴∠AFE=∠FEC．∴∠AFE=∠AEF．∴AF=AE=5．∴BH=5．∴EH=2．∵HF=AB=4．∴EF=22+42=20=25．故选B．3．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为A．11C．19【答案】DB．16D．22【解析】阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C=AD+DC+AB′+B′C=3+8+8+3=22．故选D．二、填空题4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=__________°．【答案】45【解析】根据折叠可得：∠ABE=∠EBD=11∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，22∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°．故答案为：45°．5．N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，如图，在矩形ABCD中，M、则四边形ENFM的周长为__________．【答案】20【解析】CM=BM=4×5=20．故答案为：20．三、解答题=10，根据三角形中位线定理EN=CM=BM=NF=5，则四边形ENFM的周长为6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA=1BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．2【解析】（1）∵BE⊥A C．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°．∵点O是EF的中点，∴OE=OF．又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）．（2）四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD．又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵OA=11BD，OA=AC，∴BD=AC．∴平行四边形ABCD是矩形．227．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF∶∠FDC=3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【解析】（1）∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵∠ADC=90°，∠ADF∶∠FDC=3∶2，∴∠FDC=36°，=54°∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°，∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．。
人教版数学八年级下《18.2.1矩形》课时练习含答案
八年级下册18.2.1矩形课时练习一.选择题（共15小题）1.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）答案：B知识点：坐标与图形性质；矩形的性质解析：解答：解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选B．分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．2.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M 运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A. B.C. D.答案：A知识点：函数的图像；分段函数；矩形的性质解析：解答：解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选第一个选项．故选A．分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．3.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE 的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.4答案：D知识点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质解析：解答：解：连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2＝DE2+DC2，即x2＝（5﹣x）2+32，解得x＝3.4．故选D．分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．本题考查了利用线段的垂直平分线的性质.矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．4.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或20答案：C知识点：等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质解析：解答：解：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：△AEF中，AE＝AF＝10cm；S△AEF＝•AE•AF＝50cm2；②如图（2）：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB﹣AG＝16﹣10＝6cm；根据勾股定理有：BH＝8cm；∴S△AGH＝AG•BH＝×8×10＝40cm2；③如图（3）：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD﹣AM＝18﹣10＝8cm；根据勾股定理有DN＝6cm；∴S△AMN＝AM•DN＝×10×6＝30cm2．故选C．分析：本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．题主要考查了等腰三角形的性质.矩形的性质.勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．5.菱形具有而矩形不具有性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分且相等答案：C知识点：菱形的性质；矩形的性质解析：解答：解：A.菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；B.菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；C.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；D.菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C．分析：由于菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，据此进行比较从而得到答案．本题考查矩形与菱形的性质的区别：矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分.垂直且平分每一组对角．6.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④答案：D知识点：矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。
矩形的性质(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)
人教版初中数学八年级下册18.2.1矩形的性质同步练习夯实基础篇一、单选题：1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等【答案】C【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；它们的对边都具有平行且相等的性质，∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是本题的关键．2．如图，在ABC 中，13,AB CB BD AC 于点D 且12,BD AE BC 于点E ，连接DE ，则DE 的长为（）A ．52B ．72C ．5D ．6【答案】C是直角三角形，3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AE BC ，则图中阴影部分图形的面积和为（）B C．D．A．【答案】C【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．的中点，4．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE AC 于点E ，124AOD ，则CDE 的度数为（）A ．62B ．56C ．28D ．30【答案】C 【分析】由矩形的性质得出OC OD ，得出62ODC OCD ，由直角三角形的性质求出28CDE 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ，AC BD ，OA OC ，OB OD ，∴OC OD ，∴ODC OCD ，∵124AOD ODC OCD ，5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF＝6cm，则AC的长是()A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm故选：C ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．6．如图，在长方形ABCD 中，10cm AD ，6cm AB ．将C 沿BE 折叠，使点C 的对应点C 落在AD 上，则DE 的长度为（）A ．2cmB ．2.5cmC ．4cm 3D ．8cm 3【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于E ，若30DAO ，则BEO 的度数为()A ．45B ．60C ．65D ．75二、填空题：8．如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE BD ，若34ADB ，则E ________．【答案】17 ##17度【分析】连接AC ，交BD 于点O ，先根据矩形的性质可得,,AC BD OA OD AD BC ，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得34CAD ADB ACB ，又根据等腰三角形的性质可得CAE E ，从而可得17DAE CAE ，由此即可得出答案．【详解】解：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是矩形，,,AC BD OA OD AD BC ，34CAD ADB ACB ，CE BD ∵，9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等．10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．∴45MN ；故答案为：45MN ．【点睛】本题考查三角形中位线，解题的关键是确定动点P 的两个边界点．11．如图，在ABC 中，AD 是高，E ，F 分别是AB AC ，的中点．若四边形AEDF 的周长为24，15AB ＝，则AC _____．∴24AB AC ，∵15AB ，∴24159AC ，故答案为：9．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则PE ＋PF ＝________．∵矩形ABCD 的两边AB =3，BC =4∴S ABCD =AB •BC =12，OA =OC13．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ，则BCG 的度数是_________．14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，△CEF沿EF折叠C落在C 处，当AEC为等腰三角形时，BC=________．【答案】18或15或21.9时，即可求解．AF综上所述，BC=18或15或21.9．故答案为：18或15或21.9【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．三、解答题：BC ．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、15．已知：如图，在矩形ABCD中，4AB ，2F．求线段CF的长．∵四边形ABCD是矩形，16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．∴OB=OD，OA=OC，AC=BD∴OA=OB，17．已知：如图，90ACB ADB M N ，、分别是、AB CD 的中点，求证：MD MC MN CD ，．【答案】见解析【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明DM CM ，再利用等腰三角形的性质可证明MN CD ；【详解】证明：如图所示，连接MC MD ，，，18．如图，矩形ABCD 中，BAD 的平分线交BC 于点E ，O 为对角线AC 和BD 交点，且15CAE ．（1）证明AOB 为等边三角形；（2）求AOE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）135°．【分析】（1）先根据矩形的性质得到AO BO 、90BAD ，再证明60BAO 即可证明结论；（2）先说明BO BE ，再求得75BOE ，最后根据角的和差解答即可．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAD∴∠BAE =45°∵∠CAE =15°∴∠BAC =60°∵AO =BO∴△AOB 是等边三角形（2）解：∵△AOB 是等边三角形∴AB =BO∵AB =BE∴BE =BO∴∠BOE =∠BEO∵∠OBE =90°－60°=30°∴∠BOE =∠BEO =（180°－30°）÷2=75°∴∠AOE =∠AOB +∠BOE =60°+75°=135°【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处．若点D 的坐标为 10,8，则点E 的坐标为（）A ．10,3B ． 10,5C ． 6,3D ．4,32．如图，在矩形ABCD 中，3AB ，4BC ，过对角线交点O 作EF AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是（）A ．78B ．65C ．1D ．12【答案】A【分析】首先连接CE ，根据矩形的性质，得出90ADC ，3CD AB ，4AD BC ，OA OC ，再根据EF AC ，得出线段EF 是线段AC 的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线定理，可得AE CE ，然后设DE x ，则4CE AE x ，根据勾股定理，得出 2294x x ，解出即可得出DE 的长．【详解】解：如图，连接CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ，3CD AB ，4AD BC ，OA OC ，又∵EF AC ，∴线段EF 是线段AC 的垂直平分线，∴AE CE ，设DE x ，则4CE AE x ，3．如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点1O ，以1AB AO 、为两邻边作平行四边形11ABC O ，平行四边形11ABC O 的对角线交于点2O ，同样以2AB AO 、为两邻边作平行四边形22ABC O ，…，依此类推，则平行四边形n n ABC O 的面积为（）A ．152nB ．52n C ．152n D ．252n二、填空题：4．如图，在ABC 中，3AB ，4AC ，5BC ，P 为边BC 上一动点，PE AB 于E ，PF AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5，0)，(0，3)，点P在BC边上运动，当 OAP是等腰三角形时，点P的坐标为_____．6．如图，在矩形ABCD 中，AD ，BAD 的平分线交BC 于点E ，DH AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED CED ；②OE OD =；③BH HF ；④AB HF ；其中正确结论的序号是______．在△BEH 和△HDF 中，EBH OHD BE DH AEB HDF，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，故③正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴AB ≠HF ，故④错误．∴其中正确的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．三、解答题：7．如图，折叠矩形ABCD 的顶点D 所在角，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ．(1)若∠DAE ＝26°，求∠EFC 的大小；(2)若AB ＝8，BC ＝10，求EC 的长．8．如图，等腰RtΔEOF 的直角顶点O 是矩形ABCD 对角线的交点，OF 与BC 边交于点M ．(1)如图1，当OE 与AC 在同一条直线上时，求证：222CM CD BM ．(2)如图2，当OE 与BD 在同一条直线上时，若=3AB ，=5BC ，求BM 的长．.【答案】(1)见解析；(2)3.4【分析】（1）连接AM ，根据矩形的性质可知=AO CO ，=AB CD ，90ABC ，因为EOF 是直角三角形，所以OF 是AC 的垂直平分线，故AM CM ，在RtΔABM 中，222AB BM AM ，定理代换即可证得结论；（2）连接DM ，由（1）可知，=DM BM ，设BM x =，则=5CM x ，利用勾股定理求出x 的值即可．【详解】（1）证明：连接AM ，∵四边形ABCD 是矩形，AO CO ，=AB CD ，90ABC ，ΔEOF ∵是直角三角形，MO AC ，OF 是AC 的垂直平分线，=AM CM ，在RtΔABM 中，222AB BM AM ，222=+CM CD BM ；（2）解：连接DM ，由（1）可知，=DM BM ，设==BM DM x ，则=5CM x ，在菱形ABCD 中，90BCD ，3AB CD ，在RtΔMCD 中，根据勾股定理得，222+=CM CD DM ，即222(5)+3=x x ，解得=3.4x ，=3.4BM ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．。
专题10 矩形的判定 题型全覆盖(25题)-2020-2021学年八年级数学下(人教版)(解析版)
专题10 矩形的判定题型全覆盖（25题）【思维导图】【考查题型】考查题型一添加一个条件使四边形是矩形1．（2020·江阴市八年级期中）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【提示】由矩形的判定方法即可得出答案．【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，故选B．【名师点拨】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.2．（2020·辽宁营口市·八年级期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AC=BDC．AB=BC D．AD=BC【答案】B【提示】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相等．【详解】可添加AC=BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选B．【名师点拨】考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．3．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD【答案】D【提示】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【详解】添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．【名师点拨】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．4．（2020·郑州市八年级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=CD【答案】C【提示】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH 为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．【详解】依题意得：四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形），当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度，四边形EFGH为矩形．故选C．【名师点拨】本题考查了矩形的判定定理，难度一般．矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．5．（2020·自贡市八年级期中）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【答案】C【提示】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【详解】A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：C．【名师点拨】本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法.考查题型二证明四边形是矩形6．（2020·东莞市九年级期中）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【提示】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【名师点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.7．（2020·石家庄市八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【提示】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD=12×4×2=4，故答案为4．【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.8．（2020·株洲市八年级期中）在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题提示：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．试题提示：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【名师点拨】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．9．（2020·扬州市八年级期末）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F,（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6．∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴EO=CO ，FO=CO ．∴OE=OF ．（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．∵CE=12，CF=5，∴EF 13．∴OC=12EF=6.5． （3）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO=CO ，∵EO=FO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF 是矩形．【详解】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF 的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO 的长．（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．10．（2020·湖北咸宁市·八年级期末）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ，F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（1）求证： △ABE ≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）2AC AB =时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.【提示】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE=12OB ，DF=12OD ， ∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴≅（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA ，AC=2AB ，∴AB=OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG=AE ，OA=OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形．【名师点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.考查题型三 根据矩形的性质与判定求角度11．（2020·江西八年级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.【提示】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC 的度数，由此即可求得答案.【详解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∴∠OAD＝∠ADO.∴AO＝OD.又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∴∠ODC=3×18°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 12．（2020·南阳市八年级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BDF＝18°．【提示】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数.【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【名师点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.13．（2020·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD，且OA=OD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）DF⊥AC于点F，若∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）详见解析；（2）18°【提示】（1）利用对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明四边形ABCD是矩形；（2）先求出∠FDC=36°，再求出∠OCD =∠ODC=54°，即可求出∠BDF．【详解】（1）∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADF:∠FDC=3:2，∴∠ADF=54°，∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠OCD=∠ODC=90°－∠FDC=54°，∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°－36°=18°．【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2020·渠县九年级期末）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA=OB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【提示】（1）由▱ABCD 得到OA=OC ，OB=OD ，由OA=OB ，得到；OA=OB=OC=OD ，对角线平分且相等的四边形是矩形，即可推出结论；（2）根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB 的长度．【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中， OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ， 又∵OA=OB ，∴AC=BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OD ．又∵∠AOD=60°， ∴AOD 是等边三角形，∴OD=AD=4，∴BD=2OD=8，在Rt ABD 中，==15．（2020·江苏无锡市·八年级期末）如图，已知OAB ∆中，OA OB =，分别延长AO 、BO 到点C 、D ，使得OC AO =，OD BO =，连接AD 、DC 、CB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）以OA 、OB 为一组邻边作AOBE ，连接CE ，若CE BD ⊥，求AOB ∠的度数．【答案】（1）证明过程见解析；（2）120AOB ∠=︒【提示】（1）根据已知条件推出四边形ABCD 是平行四边形，求得AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，等量代换得到AC ＝BD ，于是得到四边形ABCD 是矩形；（2）连接OE ，设EC 与BD 交于F ，根据垂直的定义得到∠CFD ＝90°，根据平行四边形的性质得到AE ∥BO ，根据直角三角形的性质得到EO ＝AO ，推出△AEO 是等边三角形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵OC ＝AO ，OD ＝BO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝12AC ，BO ＝12BD ， ∵AO ＝BO ，∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：连接OE ，设EC 与BD 交于F ，∵EC ⊥BD ，∴∠CFD ＝90°，∵四边形AEBO 是平行四边形，∴AE ∥BO ，∴∠AEC ＝∠CFD ＝90°，即△AEC 是直角三角形，∵EO 是Rt △AEC 中AC 边上的中线，∴EO ＝AO ，∵四边形AEBO 是平行四边形，∴OB ＝AE ，∵OA ＝OB ，∴AE ＝OA ＝OE ，∴△AEO 是等边三角形，∴∠OAE ＝60°，∵∠OAE ＋∠AOB ＝180°，∴∠AOB ＝120°．【名师点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．考查题型四 根据矩形的性质与判定求线段长16．（2020·辽宁阜新市·九年级期中）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF .（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长.【答案】（1）见解析；（2）245【解析】试题提示：（1）先证明四边形AEFD 是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE 的长．试题解析：（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．∴AE=•6824105 AB AFBF⨯==．17．（2020·辽宁鞍山市·八年级期中）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.【答案】(1)见解析；.【提示】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=12AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD.∵DF=CE，∴DF+DE=CE+ED，即:FE=CD.∵点F、E在直线CD上∴AB=FE，AB∥FE.∴四边形ABEF是平行四边形又∵BE⊥CD，垂足是E，∴∠BEF=90°.∴四边形ABEF是矩形.(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，∴∠AFC=90°，AB=FE.∵AB=6，DE=2，∴FD=4.∵FD=CE，∴CE=4.∴FC=10.在Rt△AFD中，∠AFD=90°.∵∠ADF=45°，∴AF=FD=4.在Rt△AFC中，∠AFC=90°.∴AC==∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴O为AC中点在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=12.【名师点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．18．（2020·江西吉安市·九年级期中）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.【提示】（1）根据“矩形的定义”证明结论；（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．【详解】（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，∴AC2+AB2=BC2，∴∠A=90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH=AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12=15•AP．∴AP=365．【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．19．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）CF＝5cm．【提示】（1）要求证BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE＝∠BDC就可以；（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于12 BD•CE＝12BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF∴BF＝BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD =5． 又∵BD•CE ＝BC•DC ，∴CE ＝125BC DC BD ⋅=．∴BE 95=． ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3﹣9655=．∴CF ==cm ． 【名师点拨】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．20．（2020·江苏连云港市·八年级期末）已知BC ＝5，AB ＝1，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，动点P 在线段BC 上（不与点B ，C 重合），过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连接AD ．（1）如图1，若BP ＝4，判断△ADP 的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP ＝1，作点C 关于直线DP 的对称点C ′，连接AC ′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC ′的长度．【答案】（1）△ADP 是等腰直角三角形．证明见解析；（2）①补图见解析；【提示】（1）先判断出PC =AB ，再用同角的余角相等判断出∠APB =∠PDC ，得出△ABP ≌△PCD （AAS ），即可得出结论； （2）①利用对称的性质画出图形；②过点C '作C 'Q ⊥BA 交BA 的延长线于Q ，先求出CP =4，AB =AP ，∠CPD =45°，进而得出C 'P =CP =4，∠C 'PD =∠CPD =45°，再判断出四边形BQC 'P 是矩形，进而求出AQ =BQ ﹣AB =3，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】（1）△ADP是等腰直角三角形．证明如下：∵BC=5，BP=4，∴PC=1．∵AB=1，∴PC=AB．∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．在△ABP和△PCD中，∵B CAPB PDCAB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q．∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP．∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°．∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，连接C'P．∵点C与C'关于DP对称，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，∴∠BPC'=90°，∴∠Q=∠ABP=∠BPC'=90°，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，BQ=C'P=4，∴AQ=BQ﹣AB=3．在Rt△AC'Q中，AC′【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解答本题的关键．考查题型五根据矩形的性质与判定求面积21．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）见解析；（2）【提示】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AO＝1AC＝5，AB＝10，BO＝2∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝12故答案为：【名师点拨】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．22．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）若AB＝4cm，AD＝5cm，当EF⊥BD时，求四边形ABFE的面积．【答案】（1）见解析；（2）10cm2【提示】（1）利用矩形的性质可得：AD∥BC，进而可证全等；（2）利用全等的性质可得：ED＝FB．AE＝CF，可得四边形ABFE的面积是矩形面积的一半．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，又∵O是BD中点，∴OB＝OD，∴△BOF≌△DOE（AAS）．（2）由（1）可得ED＝FB．∴AE＝CF，∴S四边形ABFE＝S四边形CDEF．又∵AB＝4cm，AD＝5cm∴S矩形ABCD＝20cm2，∴S四边形ABFE＝10cm2．故答案为（1）见解析；（2）10cm2．【名师点拨】本题考查矩形的性质，全等的性质和判定，关键是找好对应关系．23．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）详见解析；（2）【提示】（1）因为∠1=∠2，所以BO=CO，2BO=2CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=OD，则可证AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；（2）在△BOC中，∠BOC=120°，则∠1=∠2=30°，AC=2AB，根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积可求．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD，∴AC=2CO，BD=2BO，∴AC=BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）在△BOC中，∵∠BOC=120°，∴∠1=∠2=（180°-120°）÷2=30°，∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8（cm），∴．∴四边形ABCD的面积=4⨯2)【名师点拨】此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系．24．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若AB ＝17，BD ＝30，则四边形ADEC 的面积为 平方单位．【答案】（1）证明见解析；（2）180【提示】（1）本题根据平行的性质以及菱形对角线互相垂直即可直接求证．（2）本题利用菱形性质以及勾股定理求解OA 、OC 、OD ，继而利用割补法求解四边形面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠COD ＝90°，∵CE ∥OD ，∴∠OCE=∠COD=90°，∵DE ⊥CM ，∴∠DEC=∠OCE=∠COD=90°，∴四边形OCED 是矩形；（2）∵在菱形ABCD 中，AB ＝17，∴AB ＝BC ＝CD ＝17，OA=OC ，∵BD ＝30，∴OD ＝12BD ＝15，∴8OA OC ===， ∴11=81581518022AOD OCED ADEC S S S OA OD OC OD =+•+•=⨯⨯+⨯=矩四边形， 故四边形ADEC 的面积为180平方单位．【名师点拨】本题考查四边形的综合，解题关键在于对菱形、矩形对应概念的理解，各判定定理要熟记于心，菱形对角线互相垂直常作为勾股定理应用的前提．25．（2020·山东枣庄市·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．（1）求证：AMB CND △≌△；（2）若2BD AB =，且5AB =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．【答案】(1)见解析；(2)24【提示】(1)由四边形ABCD 是平行四边形得出AB=CD ，AB //CD ，进而得到∠BAC=∠DCA ，再结合AO=CO ，M,N 分别是OA 和OC 中点即可求解；(2)证明△ABO 是等腰三角形，结合M 是AO 的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC 也是等腰三角形，N 是OC 中点，得到∠DNO=90°，得到EM //DN ，再由(1)得到EM=DN ，得出四边形EMND 为矩形，进而求出面积．【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB //CD ，OA=OC ，∴∠BAC=∠DCA ，又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，∴1122===AM AO CO CN ， 在AMB ∆和CND ∆中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD BAC DCA AM CN ，∴()△≌△AMB CND SAS ．(2)BD=2BO ，又已知BD=2AB ，∴BO=AB ，∴△ABO 为等腰三角形；又M 为AO 的中点，∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM ⊥AO ，∴∠BMO=∠EMO=90°，同理可证△DOC 也为等腰三角形，又N 是OC 的中点，∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN ⊥CO ，∠DNO=90°，∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，∴EM //DN ，又已知EM=BM ，由(1)中知BM=DN ，∴EM=DN ，∴四边形EMND 为平行四边形，又∠EMO=90°，∴四边形EMND 为矩形，在Rt △ABM 中，由勾股定理有：3AM ==，∴AM=CN=3，∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，∴6424EMND S MN ME =⋅=⨯=矩形．故答案为：24．【名师点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键．。
八年级下数学《矩形》练习题
八年级下数学《矩形》练习题第一题一个矩形的长是30厘米，宽是20厘米，求其面积。
第二题一个矩形的长是25厘米，面积是400平方厘米，求它的宽。
第三题一个矩形的长是15厘米，宽是12厘米，求其周长。
第四题将一个矩形的长增加20%，宽减少10%，求面积的变化百分比。
第五题一个矩形的长和宽成比例，长与宽的比为3:2，如果长是30厘米，求宽。
第六题一个矩形的周长是50厘米，面积是60平方厘米，求其长和宽。
第七题一个矩形的长和宽成比例，长与宽的比为5:2，周长是70厘米，求长和宽。
第八题一个矩形的长是24厘米，面积是288平方厘米，求宽。
第九题一个矩形的周长是24厘米，面积是36平方厘米，求长和宽。
第十题一个矩形的长是25厘米，宽是15厘米，将它的长和宽都缩小为原来的2/3，求缩小后的矩形的周长和面积。
第十一题一个矩形的宽是7厘米，将它的宽增加30%，求增加后的矩形的周长。
第十二题一个矩形的长和宽成比例，长与宽的比为4:3，周长是35厘米，求长和宽。
第十三题一个矩形的长是m厘米，宽是n厘米，若面积是24平方厘米，求m和n的值。
第十四题一个矩形的长是m厘米，宽是n厘米，若周长是80厘米，求m和n的值。
第十五题一个矩形的长和宽的比是3:4，若周长是42厘米，求长和宽。
第十六题一个矩形的长和宽的比是2:3，若周长是60厘米，求长和宽。
第十七题一个矩形的长和宽的比是5:8，若面积是200平方厘米，求长和宽。
第十八题一个矩形的长和宽的比是3:5，若面积是120平方厘米，求长和宽。
第十九题一个矩形的长和宽的比是3:4，若面积是60平方厘米，求长和宽。
第二十题一个矩形的长和宽的比是4:5，若周长是36厘米，求长和宽。
以上是八年级下数学《矩形》的练习题。