第三章 集合论基础

第三章集合论基础1.如何表示集合？请各举一例。

2.一般地用谓词公式描述法定义集合A：A={x|P(x)}, 请问什么样的元素属于A，什么样的元素不属于A？3.判断下面命题的真值，并说明原因。

集合{a}与集合{{a}}是相同的集合。

4.A、B是集合。

试用谓词公式，表达A⊆B、A=B以及A⊂B。

5.证明空集是唯一的。

6.判断下面命题的真值。

对你的回答，给予证明或者举反例。

1．如果A∈B，B⊆C ，则A∈C。

2．如果A∈B，B⊆C，则A⊆C 。

7.判断下面命题的真值。

对你的回答，给予证明或者举反例。

1．如果A⊆B，B∈C，则A∈C。

2．如果A⊆B，B∈C，则A⊆C。

8.设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}，判断下面命题的真值。

⑴{a}∈A ⑵⌝({a}⊆ A) ⑶c∈A⑷{{a,b}}⊆A ⑸{{{a}}}⊆A9.判断下面命题的真值。

⑴{a,b}∈{{a,b},c} ⑵{a}⊆{{a,b},c} ⑶{a,b}⊆{{a,b},c}⑷{c}⊆{{a,b},c} ⑸({c}⊆{{a,b,c}})→(Φ⊆{a})10.集合A的幂集是如何定义的？令A={1,{1}}，求A的幂集P(A).11.设A={Φ}，B=P(P(A))。

判断下面命题的真值。

1．Φ∈B 2．Φ⊆B 3．{Φ}∈B 4．{Φ} ⊆ B 5．{{Φ}}∈B 6．{{Φ}}⊆B12.填空：设E是全集，A、B、C是任意集合，则⑴A⊕ ~E=( ) ⑵A⊕A=( ) ⑶~A－A =（）⑷A－B( )A ⑸A－B=A( )~B ⑹A( )~A=E13.给定全集E={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={2,3,4}1．求A的幂集P(A)2．求B⊕ ~A14.给定全集N={1,2,3,4,…...}A={1,2,7,8} B={ i | i2<50 }C={i | i可被3整除，0≤i≤30 }D={ i |i=2k, k∈i+, 1≤k≤6 }分别求(1) B-(A∪C) (2) (~A∩B)∪D15.证明A⊆B ⇔ A∩B=A。

16.证明吸收律：对任何集合A、B，有A∪(A∩B)=A 。

17.证明(A－B)－C=(A－C)－(B－C)18.证明(A－(B∪C)=(A－B)∩(A－C)19.下面两个等式都成立不？对于你的回答给予证明或者举反例说明之。

1．A∩(B－C)=(A∩B)－(A∩C)2．A∪(B－C) = (A∪B)－(A∪C)20.证明(A∩B)∪C=A∩(B∪C) 当且仅当C⊆A.21.证明(A－B)－C=(A－C)－B22.证明下面各式彼此等价。

A∪B=E, ~A⊆B, ~B⊆A.23.在什么条件下，下面命题为真？1．(A-B)∪(A-C)=A2．(A-B)∪(A-C)=Φ3．(A-B)∩(A-C)=Φ4．(A-B)⊕(A-C)=Φ24.判断下面命题的真值，并说明原因。

1．A∪B= A∪C，则B=C。

2．A∩B= A∩C，则B=C。

3．A⊕B= A⊕C，则B=C。

25.A、B、C是集合，证明A⊕B= A⊕C，当且仅当B=C。

26.设A，B，C是有限集合，请写出求|A∪B∪C|的包含排斥原理公式。

27.某个研究所有170名职工，其中120人会英语，80人会法语，60人会日语，50人会英语和法语，25人会英语和日语，30人会法语和日语，10人会英语、日语和法语。

问有多少人不会这三种语言？28求1到1000之间不能被5、6、8整除的数的个数。

29.对24名科技人员掌握外语的情况进行调查结果如下：英、日、德、法四种外语中，每个人至少会一种；会英、日、德、法语的人数分别是13、5、10、9人；同时会英、日语的有2人；同时会英、法语的有4人；同时会德、法语的有4人；同时会英、德语的有4人；会日语的人不会德语，也不会法语；问这24人中，只会一种外语的人各是多少人？同时会英、法、德三种语言的人有多少人？30.填空。

令.A,B是有限集合，P(A)表示A的幂集，已知|A|=3，且|P(B)|=64，|P(A ∪B)|=256，则|B|=( )，|A∩B|=( )，|A－B|=( )，|A⊕B|=( )。

31.令集合A={1,{1}},B={1},P(A)表示A的幂集1. 分别计算(1) P(A)＝{ }(2) P(B)={ }。

2．再判断下面命题的真值，并简单说明原因。

(1) 1∈P(A), (2).{1}⊆P(A) (3).{1}∈P(B) (4).{{1}}⊆P(B)3.分别计算:(1).A与B的笛卡儿积：A×B(2).A⊕B(3) P(A)－P(B)32.填空：A,B,C是集合，(A-B)∪(A-C)=A，当且仅当( )。

33.设F表示一年级大学生的集合；S表示二年级大学生的集合；M表示数学专业学生的集合；C表示计算机专业学生的集合；D表示听离散数学课学生的集合；G 表示星期六晚上参加音乐会的学生的集合；,H表示星期六晚上很迟才睡觉的学生集合。

则将下面各个句子所对应的集合表达式分别写在句子后面的括号内：(1) 所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。

( ).(2) 这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期六晚上去听音乐会的学生在星期六晚上很晚才睡觉。

( )(3) 听离散数学课的学生都没有参加星期六晚上的音乐会。

( )(4) 星期六晚上的音乐会只有大学一、二年级的学生参加。

( )(5) 除去数学专业和计算机专业以外的二年级的学生都去参加星期六晚上的音乐会。

( )34.A与B是全集E的子集,给定各个命题以及由这些命题构成集合X,如下所示: X={N,P,Q,S,T,U,V,W,Y,Z}N：A－B=A P：A⋂B=B Q：A⊆B S：A⊆~B T：B⊆AU：~B⊆~A V：A⋂B=ΦW：A⋃B=B Y：~A⊆~B Z：B⊆~A又令R是X上的命题等价关系,则商集X/R=( )35.A与B是全集E的子集,给定各个命题以及由这些命题构成集合X, 如下所示:X={P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,Z}P: A⋃B=B Q: B⊆A R: A⊆~B S: ~A⊆~B T: A⋂B=BU: A⋂B=ΦV: ~B⊆~A W: ~A⊆B Y: A⊆B Z: A⋃B=E又令R是X上的命题之间的等价关系⇔，则商集X/R=( )36.判断下面命题得真值，并说明原因。

1．A、B是集合，如果(A-B)∪(A-C)=A，仅当B=C=Ф。

2．A、B是集合, 则A－B=B－A 当且仅当A=B37.设E是全集，P(A)是集合A的幂集，则有(1) P(A)∪P(~A)=P(E) (2) P(A)∩P(~A)=φ(3) P(A)∩P(B)=P(A∩B)这三种说法是否正确？并对你的答案给予证明或者举反例。

38.令P(A)表示A的幂集，全集E={Φ,{Φ}}, A⊆E, 计算下面各式：(要求有计算过程)1．P({{Φ}})⊕P(~{Φ});2．P(A)⋂P(~A);3．P(E)－P(~{{Φ}}) 。

39.令A,B是集合,给出命题如下:A―B=Φ, A⊆B , A=B, ～B⊆～A上述命题中，哪些是彼此等价的?如果彼此等价请给予证明。

40.10令全集E={1,2,3}，A={1,2}，P(A)表示集合A的幂集。

⌝1.计算P(E)－P(A)2.计算~A⊕E1.答案：集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。

例如，N={1,2,3,4,……}描述法：用谓词公式描述元素的属性。

例如，E={x| x是偶数}2.答案：其中P(x)是描述元素x的特性的谓词公式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则a∉A。

3.答案：命题的真值为F 。

因为它们的元素不同。

{a}中元素是a，而{{a}}中元素是{a}。

4.答案：谓词定义：A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)A=B⇔∀x(x∈A↔x∈B)A⊂B⇔∀x(x∈A→x∈B) ∧∃x(x∈B∧x∉A)5.答案：证明假设有两个空集Φ1、Φ2 ，则因为Φ1是空集，由于空集是任何集合的子集，所以Φ1⊆Φ2。

因为Φ2是空集，类似得Φ2 ⊆Φ1。

所以Φ1=Φ2 。

所以空集是唯一的。

6.答案：1．T，证明：因为B⊆C ，A∈B，所以A∈C。

2．F，例A={1} B={{1}} C={{1},2}，满足A∈B, B⊆C ，但是不满足A⊆C。

(因为1∈A 但1∉C )。

7.答案：1．F，举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}} 满足A⊆B, B∈C ，但是A∉C 。

2．F，举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}}满足A⊆B, B∈C ，但是不满足A⊆C 。

8.答案：⑴T ；⑵F ；⑶F；⑷T ；⑸F 。

9.答案：⑴T ；⑵F；⑶F；⑷T ；⑸T 。

10.答案：集合的幂集：由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。

记作P(A)或2A。

P(A)={B| B⊆A}A={1,{1}}时，P(A)＝{Φ,{1} ,{{1}}, {1,{1}}}.11.答案：解：B=P(P(A)) =P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}可见1、2、3、4、5、6中命题均为真。

12.答案：⑴A⊕ ~E=( A ) ⑵A⊕A=( Φ) ⑶~A－A =（~A）⑷A－B(⊆ )A ⑸A－B=A(∩)~B ⑹A( ∪)~A=E13.答案：解. P(A)={Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}~A={4,5}B⊕ ~A={2,3,4}⊕{4,5}={2,,3,4,5}-{4}={2,3,5}14.答案：解. A={1,2,7,8} B={1,2,3,4,5,6,7}C={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}D={2,4,8,16,32,64} ~A={3,4,5,6,9,10,11,12...}（1) B-(A∪C)={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}={4,5}（2) (~A∩B)∪D={3,4,5,6}∪D={2,3,4,5,6,8,16,32,64}15.答案：证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B16.答案：证明A∪(A∩B)= (A∩E)∪(A∩B) (同一)= A∩(E∪B) (分配)= A∩E=A (零律) (同一)17.答案：证明：任取x∈(A－C)－(B－C)⇔x∈(A－C)∧x∉(B－C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A－B∧x∉C⇔x∈(A－B)－C所以(A－B)－C=(A－C)－(B－C)18.答案：证明：任取x∈A－(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A－B∧x∈A－C⇔x∈(A－B)∩(A－C)所以A－(B∪C)=(A－B)∩(A－C))19.答案：1 成立，2不成立。