推理与证明教案

推理与证明合情推理（一）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重点：能利用归纳进行简单的推理.

教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

二、讲授新课：

1. 教学概念：

①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

②归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.

2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.

3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上

归纳推理的一般步骤：

⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

⑵提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？

(iii )观察等式：2221342,13593,13579164

+==++==++++==，能得出怎样的结论？

③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定）

2. 教学例题：

① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, …

由上述具体事实能得出怎样的结论？

② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n

a a n a +=

=+ ，试归纳出通项公式.

（分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构

造新数列）

3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.

三、巩固练习：

22221.:5124,7148,111120,131168,...24,,?

-=-=-=-=观察所得的结果都是的倍数继续试验你能得到什么猜想

1122.{},1,(*),2.n n n n

a a a a n N a +==∈+在数列中试猜想这个数列的通项公式

123.,2(1).n n n -+对于任意正整数猜想与的大小关系