第二章 离散传递函数与Z
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传递函数z变换离散化
传递函数z变换离散化
Z变换是一种常用的信号处理技术，在许多信号处理领域得到广泛应用。
它可以将函数近似地转换为离散信号，提供一种简单而有效
的方法来分析信号。
离散化是一种重要的信号处理技术，通常用于数据采集和信号处理的系统中。
离散化的目的是将连续的信号转换成由若干数字值表示
的离散信号，以提供良好的信号分析和识别性能。
Z变换可以有效地解决此问题，将连续的函数转换成离散的信号。
Z变换的过程非常简单：将函数f(t)映射到一组离散时刻t1，
t2，…，tn施加一个简单而快速的变换：z (f (t))=F (t)，其中F(t)是离散函数。
Z变换还可以用于减小和消除信号中的噪声或干扰，从而提高信号检测的准确性。
因此，Z变换是一种常用的信号处理技术，可以有效地将连续的函数转换成离散的信号，简化分析并提高信号检测的准确性。
由于它
易于实现和计算，因此在众多信号处理领域得到广泛应用。
第二章 线性离散系统的Z变换分析法
z
3、滞后定理 Z[ f (t nT )] znF(z)
4、超前定理
n1
Z[ f (t nT )] zn[F(z) f ( jT)z j ] j0
5、终值定理
2.2.3 Z变换的基
本性质和定理 lim f t lim f (kT) lim (1 z1)F(z) lim z 1 F(z)
2.2.1 Z变换定义
注意：F(z)实际上只是采样函数f*(t)的z 变换，而不是连续函数f(t)的z变换。
一对一
一对多
连续函数
采样函数
Z变换函数
f(t)
f1(t) f2(t)
t
2.2.1 Z变换定义
2.2.2 Z变换方法
1. 级数求和法（亦称定义法）
例：单位斜坡函数 x(kT ) kT
在满足收敛条件 z 1 时，其收敛和为： Tz 1
f (t) f (kT ) (t kT ) (1 0.5k ) (t kT )
k 0
k 0
2. 部分分式法
例：求 F(z) 2z2 1 ，的z反变换。
(z 1)(z 2)
解：
F (z) 2z2 1 0.5 1 1.5 z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
F ( j ) f (t)e jtdt
f ( j ) 1
F ( j )d
2
f (t) F( j )
2、采样定理
F*( j )
F( j ) T ( j )
1 T
F( j
jk s )
2、采样定理
频率混叠
2、采样定理
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
第2章 Z变换及Z传递函数
将F*(s)记为F(z)则
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
F ( s) f (t )ets dt
0
F(z)就称为离散函数f*(t)的Z变换
2.1 Z变换定义与常用Z变换
基本定义
在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬间的 状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的 特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从这个意义
证明：
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n
n 0
f (0) z k f (T ) z ( k 1) f (2T ) z ( k 2)
1 2 z k f (0) f ( T ) z f (2 T ) z z k F ( z)
f (0) lim F ( z )
z
证明：
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
所以
f (0) lim F ( z )
z
2.2 Z变换的性质和定理
5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
2.1 Z变换定义与常用Z变换
2．部分分式法 已知F(s)
Z变换求解
设连续时间函数 f(t) 的拉氏变换 F(s) 为 有理函数 ，将展
开成部分分式的形式为
ai F ( s) i 1 s si
n
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
ai z F ( z) siT z e i 1
g (kT ) f (iT )
计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数(3)
mn m n 1 n
如果G(z)是物理可实现的，则要求n≥m。否 则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的 输入，这是物理不可实现的。
第2章 Z变换及Z传递函数
在扰动作用下的线性离散系统
线性离散系统除了参考输入外，通常还存 在扰动作用，如图所示。
f(t)
r(t) R (z)
e*(t) D(z) T E (z)
解
G
s
K (1 e
Ts
s
s 1
]
式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z 变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可 得上式对应的脉冲传递函数为
G z K (1 z
1
)[
Tz
1 1 2
1 z
T
1 z
1
T
1 e
T
] z
E (z) R(z) 1 GH ( z )
E (z) R(z) 1 1 GH ( z )
闭环误差Z传递函数： e ( z ) W
又：
Y (z) G (z) E (z)
G (z) R(z) 1 GH ( z )
闭环Z传递函数：W
(z)
Y (z) R(z)
G (z) 1 GH ( z )
Z传递函数的物理可实现性 从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输 入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果” 关系。设G(z)的一般表达式为 ：
b 0 b1 z b m z Y (z) G (z) 1 n U (z) 1 a1 z a n z
1 m
如果G(z)是物理可实现的，则要求n≥m。否 则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的 输入，这是物理不可实现的。
第2章 Z变换及Z传递函数
在扰动作用下的线性离散系统
线性离散系统除了参考输入外，通常还存 在扰动作用，如图所示。
f(t)
r(t) R (z)
e*(t) D(z) T E (z)
解
G
s
K (1 e
Ts
s
s 1
]
式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z 变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可 得上式对应的脉冲传递函数为
G z K (1 z
1
)[
Tz
1 1 2
1 z
T
1 z
1
T
1 e
T
] z
E (z) R(z) 1 GH ( z )
E (z) R(z) 1 1 GH ( z )
闭环误差Z传递函数： e ( z ) W
又：
Y (z) G (z) E (z)
G (z) R(z) 1 GH ( z )
闭环Z传递函数：W
(z)
Y (z) R(z)
G (z) 1 GH ( z )
Z传递函数的物理可实现性 从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输 入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果” 关系。设G(z)的一般表达式为 ：
b 0 b1 z b m z Y (z) G (z) 1 n U (z) 1 a1 z a n z
1 m
离散时间系统与z变换ppt课件
( 2 ) 对 左 边 序 列 ( n＜0 存 在 ) ， ｜ z｜＜R+ 收 敛 ， 且 R+ 是 左边序列的极点。
(3) 若X(z)不只一个极点，则找与 收敛域相重的那个极点，对右边序列， 最外极点之外的区域为收敛域；对左 边序列，最内极点之内的区域为收敛 域，如图2-31所示。
(4) 对双边序列，若在左边序列的 收敛域存在重叠部分，则这重叠部分 就是它的收敛域。若不存在重迭部分， 则z变换不存在。
对于一个序列x(n)，其z变换的定义为
X(z) x(n)zn n
其中z为复变量，也可记作Z［x(n)］ =X(z)。式(2-49)的定义也称为双边z 变换； 相应的还有单边z变换。
对于所有的序列或所有的z值，z变换 并不总是收敛的。对于任意给定的序列， 使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：{Z： X(z)存在}＝收敛区域。
(5) argXej argXej ， 即 怕 应 是 奇 函 数 。
(6) XenRe[X(ej)],xe(n)是 偶 序 列 部 分 。
Xo(n)jIm[X(ej)]，xo(n)是 奇 序 列 部 分 。
2.5 离散信号的z变换
1.z变换的定义及其收敛域
2.系统传递函数H(z)的频域表示
描述线性非移变系统的差分方程为
N
M
ajy(nj)bix(ni)
j0
i0
对上式方程两边取z变换为
N
M
ajzjY(z) biziX(z)
j0
i0
M
M
Y X((zz))iN 0a bijzz ij
bizi
i0 N
图2-28连续和离散信号的傅氏变换
(3) 若X(z)不只一个极点，则找与 收敛域相重的那个极点，对右边序列， 最外极点之外的区域为收敛域；对左 边序列，最内极点之内的区域为收敛 域，如图2-31所示。
(4) 对双边序列，若在左边序列的 收敛域存在重叠部分，则这重叠部分 就是它的收敛域。若不存在重迭部分， 则z变换不存在。
对于一个序列x(n)，其z变换的定义为
X(z) x(n)zn n
其中z为复变量，也可记作Z［x(n)］ =X(z)。式(2-49)的定义也称为双边z 变换； 相应的还有单边z变换。
对于所有的序列或所有的z值，z变换 并不总是收敛的。对于任意给定的序列， 使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：{Z： X(z)存在}＝收敛区域。
(5) argXej argXej ， 即 怕 应 是 奇 函 数 。
(6) XenRe[X(ej)],xe(n)是 偶 序 列 部 分 。
Xo(n)jIm[X(ej)]，xo(n)是 奇 序 列 部 分 。
2.5 离散信号的z变换
1.z变换的定义及其收敛域
2.系统传递函数H(z)的频域表示
描述线性非移变系统的差分方程为
N
M
ajy(nj)bix(ni)
j0
i0
对上式方程两边取z变换为
N
M
ajzjY(z) biziX(z)
j0
i0
M
M
Y X((zz))iN 0a bijzz ij
bizi
i0 N
图2-28连续和离散信号的傅氏变换
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z aT z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a, a1, a2为任意常数，连续时间函数f(t), f1(t), f2(t) 的 Z变换分别为F(z), F1(z), 及F2(z)，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
已知离散系统的传递函数
已知离散系统的传递函数
离散时间系统是指系统输入输出信号是在离散时间上进行的系统。
离散系统的传递函数是指系统输入输出之间的比例关系。
对于已知离散系统的传递函数，我们可以通过对其进行分析和运算，得出系统的特性和性能。
离散系统的传递函数通常用Z变换表示，即：
H(z) = Y(z)/X(z)
其中，H(z)为系统的传递函数，X(z)为系统的输入信号的Z变换，Y(z)为系统的输出信号的Z变换。
对于某些离散系统，其传递函数可以简化为一个有理函数的形式，即：
H(z) = b0 + b1z^-1 + b2z^-2 + ... + bMz^-M
-----------------------------------------
a0 + a1z^-1 + a2z^-2 + ... + aNz^-N
其中，b0~bM和a0~aN为系统的系数。
通过对离散系统的传递函数进行分析，可以得出系统的频率响应、相位响应、幅频响应等特性。
除了对离散系统的传递函数进行分析，我们还可以通过对系统进行仿真和实验，来验证其特性和性能。
例如，可以通过Matlab等工
具进行离散系统的模拟，或者通过实验设备对系统进行实际测试。
这些方法可以帮助我们更全面地了解离散系统的行为和性能，从而优化系统设计和应用。
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x(t0 ) e A(t ) Bu ( )d
t0
t
e 为转移矩阵
若采用零阶外推法： 即 kT t (k 1)T ,u(t ) u(kT ) 常数 假设初始时间 则 t0 kT ,t (k 1)T x(kT T ) e x(kT ) e Bu ( )d
z 1 s 0 1 a1T 1 amT
(1 z 1eb1T )...(1 z 1ebmT ) K z lim H ( s) lim s 0 z 1 (1 z 1e a1T )...(1 z 1e amT )
4.冲激响应不变法
所谓冲激响应不变法是从连续系统的冲激 响应中进行采样而得到离散的冲激响应序 列，对该序列进行Z变换即可求得所对应 的离散传递函数H(z)。 步骤：
对零点s=a，极点s=b来说， 由定义 z e , z e
aT bT
即：
H ( z ) H ( s ) ( s a) ( z e aT ) ( s b) ( z e )
bT
s1,2 a jb 时 对于共轭复根： 即：
( s a jb)(s a jb) (1 z 1e aT e jbT )(1 z 1e aT e jbT ) 1 2 z 1e aT cos(bT ) z 2e 2 aT
四.系统结构与Z传递函数
根据结构框图以及不同环节类型求 取离散传递函数。在数字化的结构 框图中，采样开关可以看作是一个 离散化的环节，即Z变换，H(z)是已 经进行了离散化处理。 G ( s ) 是连续 系统环节.即为连续化的表示形式。
1.完全离散化环节组成的系统，系统Z传递 函数的求法近似于连续系统 2.连续与离散混合系统 T 1°开环情况 R(Z) T Y(Z) G (S) G2(S)
dx(t ) L y(t ) Y ( s) sX ( s) dt H ( s) s
dx(t ) y (t ) 近似向后差分 dt x(n) x(n 1) Z y ( n) T 1 (1 z ) X ( z ) Y ( z) T
Y ( z) 1 z H ( z) X ( z) T H ( z ) G( s)
1
1 z s T
1
转换的工程意义
x(n) H(s) y (t)
T
y1(n)
H (z)
y2(n)
y1 (n) y2 (n) 则 H (s) H ( z) 等效 若： 等效于零阶保持器法
2.双线性变换法
r(t)
T
H(S)
y(t)
T
y＇(k)
r(k)
H(Z)
y(k)
sT / 2
e z e sT / 2 则H ( s ) H ( z )变换等效 e
1 1
F (T ) e AT L1[( sI A)1 ]t T F (T ) e AT
T N ( AT )i ( AT )i i! i! i 0 i 0 N
i i 1 i i N A T A T At G1 (T ) e dt 0 i! i 0 (i 1)! i 1 G (T ) G1 (T ) B
对给定的时域状态方程如何求 出H(z)
由线性状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t )
x(t )
t t0
x(t0 ) x(0) 0
若t0 0
则解为
x(t ) e
At A ( t t0 )
AT ( k 1)T A( nT T ) kT
u 常数，找出积分处 令t kT T , dt d
( k 1)T kT
e
A ( kT T )
Bd e At B dt
0
T
x(kT T ) F (T ) x(kT ) G (T )u (k ) ( F (T ) e , G ( ) e dt B)
在进行变换以后，需要重新确定直流增 益，即开环传递系数，具体做法如下：
K s ( s a1 )...( s am ) H (s) ( s b1 )...( s bm ) K z (1 z e ) (1 z e ) H ( z) 1 b1T 1 bmT (1 z e ) (1 z e ) 根据：z e sT , s 0时，z 1 即： lim H ( z ) lim H ( s) 可求得K z ( K s已知）
1. H ( s ) h(t ) L1[ H ( s )] 2. 离散化h(t ) 令t nT ,即h(t ) 3. 对h(nT )求Z 变换即得到H ( z ) t nT h(nT )
例：
求H(z)
解：
1
sc H ( s) 试用冲激响应不变法 ( s a)(s b)
1
H(Z)
H ( z ) Z [G1 ( s) G2 ( s)] G1G2 ( z )
R(Z)
T
T
T
G1(S) H(Z)
G2(S s)] Z [G2 ( s)] G1 ( z )G2 ( z )
对于并联
G1(S)
G2(S) H(Z)
第三章：离散传递函数与Z变 换分析方法
一、离散传递函数H(z) (G(z))
定义：在零初始条件下，输入离散信号 与输出离散信号之比 即
Y ( z) H ( z) R( z )
R(Z)
H(Z)
零状态
Y(Z)
且：H( z ) Z [h(n )]
δ (nτ
)
H (z)
n
h (nτ
)
RG1 ( z ) E2 ( z ) 1 G1G2 F ( z ) G2 ( z ) Y ( z ) RG1 ( z ) 1 G1G2 F ( z )
3.具有扰动作用的情况
N(S) R(S) + F(S)
T
G1(S)
++
G2(S)
T
Y(Z)
若R(s)=0时，在N(s)下的输出Y(z)
均有
H ( z) G1 ( z) G2 ( z )
G1(S)
G2(S) H(Z)
2.闭环情况
R(S) + T
G(S)
Y(Z)
T
G( z) H ( z) 1 FG ( z )
F(S)
R(S) + Y(Z)
T T
T
G(S)
G( z) H ( z) 1 F ( z )G ( z )
或
y(n) bi r (n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
两边做Z变换
Y ( z ) bi R ( z ) z aiY ( z )z
i i 0 i 1 M N i M
Y ( z) H ( z) R( z )
b z
i 0 N i i 1
H ( z ) h(n ) z , h(n ) h(t )
R 0
t n
二、Z传递函数与差分方程
根据Z变换的性质，Z传递函数与差分方 程之间可以相互转换
差分方程
移位定理
Z 传递函数
y(n) a1 y(n 1) ... aN y(n N ) b0 r (n) b1r (n 1) ...bmr (n M )
AT At 0 T
y (k ) Cx(k ) 对(1)进行Z 变换 zX ( z ) zx(0) FX ( z ) GU ( z ), 令x(0) 0 即X ( z ) ( zI F ) GU ( z ) 对(2)式进行Z 变换Y( z ) CX ( Z ) C ( zI F ) 1 GU ( z ) H ( z ) Y ( z ) / U ( z ) C ( zI F ) G
若y (k ) y (n)
sT
由台劳级数可得：
e
sT / 2
Ts 1 2
e
sT / 2
Ts 1 , 2
Ts 1 sT 2 ze Ts 1 2
解得：
2 1 z 1 2 z 1 s 1 T 1 z T z 1 H ( z ) H (s) 2 1 z 1 s 1 T 1 z
i
1 ai z i
用相仿的方法，也可以将一个给定离散 传递函数H(z)转化成为差分方程
三.连续系统与离散系统之间的 转换
常用方法 1.微分方程的差分近似法 2.双线性变换法 3.零极点匹配法 4.冲激响应不变法
1.微分方程的差分近似法
基本方法：通过对比寻找s与z的关系 对于
F(S)
R(S) + -
E1(S) G1(S)
E2(S) E2(Z)
T
G2(S)
T
Y(Z)
F(S)
G2 ( z ) Y ( z) RG1 ( z ) 1 G1G2 F ( z ) Y ( z ) E2 ( z ) Z [G2 ( s )] E2 ( z )G2 ( z ) E2 ( z ) Z [ R ( s )G1 ( s )] E2 ( z ) Z [G2 ( s ) F ( s )G1 ( s )] RG1 ( z ) E2 ( z )G1G2 F ( z )
a c at c b bt 1. h(t ) L [ H ( s)] e e a b a b a c anT c b bnT 2. h(nT ) e e a b a b ac z c b z 3. H ( z ) Z [h(nT )] aT a b z e a b z e bT