高考数学(文)一轮复习课件7函数的奇偶性与周期性(人教A)

是奇函数也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.
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②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
或等价于: f (x) 1,则f (x)为偶函数; f (x) 1,
f (x)
f (x)
则f (x)为奇函数.
(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.
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【典例1】判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
1f x x2 x 1x 1, 4;
2 f x x 1 1 x x 1,1;
答案:A
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5.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R, 则()
A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-
解析:法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(x) ＝ 2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1) ＝－2×(－1) 2＋(－1)＝－3. 法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函
数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x) 2 －(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
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(2)对函数奇偶性的理解 ①函数奇偶性的判断 a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数
既不是奇函数,也不是偶函数.
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b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x) 且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
答案:－3
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3.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则
{x|f(x-2)>0}=()
A.{x|x<-2或x>4}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0; 当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,综上 {x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.
的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非 零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正 数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则 kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上､ 下界.
答案:B
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4.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()
A.-3
B.-1
C.1
D.3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0, 解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=(21+2×1-1)=-3,故选A.
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考点陪练
1.已知f x ax2 bx是定义在a 1, 2a上的偶函数, 那么a b
的值是（
）
A. 1 3
C. 1 2
B. 1 3
D. 1 2
答案:B
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2.（2011·安徽）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
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②在公共定义域内 a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是
奇函数. b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数. ③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性
相反.
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2.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内
1 x
3
f
x
a
1 x 1
1 2
a
0,
a
1 ;
4
f
x
x(1 x(1
x) x)
(x 0) .
(x 0)
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[分析]判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对 称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.
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[解]1由于f x x2 x 1, x 1, 4的定义域不是关于 原点对称的区间,因此, f x是非奇非偶函数.
第七讲函数的奇偶性与周期性
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回归课本 1.函数的奇偶性
(1)函数的奇偶性的定义
奇偶性 偶函数
奇函数
定义
图象特点
如果函数f(x)的定义域 关于y轴对 内任意一个x都有f(- 称 x)=f(x),那么函数f(x) 是偶函数.
如果函数f(x)的定义域 关于原点对 内任意一个x都有f(- 称 x)=-f(x),那么函数f(x) 是奇函数.
2Q f x x 1 1 x ,已知f x的定义域为1 x 1,
1 x
其定义域关于原点对称.又f x x 1 1 x
1 x
(x 1) 1 x (1 x)2 (1 x)
3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数. 答案:B
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6.如果函数g
x
2x 3,
f
( x),
(x 0) __ .
答案:2x+3
2020/4/28
类型一 函数奇偶性的判断 解题准备:判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不