偏微分方程数值解法的研究

王海林，徐珊，宋论兵，高全归

【摘要】本文将从两个方面来讨论偏微分方程的数值解法，其一为网格比对数值解法的影响，其二为不同差分格式对偏微分方程数值解法的影响，这两个方面都会影响偏微分方程数值解的结果.

【期刊名称】赤峰学院学报（自然科学版）

【年(卷),期】2012(000)018

【总页数】2

【关键词】偏微分方程；数值解；稳定性

随着科学技术和社会的发展，大量复杂的计算问题不断出现在人们面前.在计算机没有问世之前，为了解决某些复杂的计算问题，不少科学家献出了大半生，甚至毕生的精力，1867年法国天文学家达拉姆尼（D a l a m n y）花了整整20年的时间，求解了一个天体运动的摄动级数展开式[1].但这并不是解决复杂问题的好方法，于是人们开始研究解决复杂计算问题的方法，为了解决一些复杂的计算问题，数值计算方法便出现了.而偏微分方程的数值解是其中一个非常重要的分支，例如要准确预测天气的变化情况，就要求解成千上万个偏微分方程组[1]，人工求解是很不现实的，因而，偏微分方程的数值解就显得相当重要了.偏微分方程的数值解法主要有三种，有限差分法，变分法，有限元方法，使用最普遍的是有限差分法.而有限差分法在求解偏微分方程的时候会存在不稳定性，所以，需要分析有限差分法求解偏微分方程的稳定性，差分方程的稳定性是指研究差分方程在右端自由项无误差的情况下，初值干扰对差分方程解的影响，它反映了差分解是否连续依赖于初值的情形[2]，有限差分法又存在很多种差分格式.本文将从两个方面讨论偏微分方程的数值解法.本文的第一部分将对有限差分法做个简单介绍，第二部分将给出网格比对稳定性的影响，第三部分将给出具体的差分格式对数值解的影响，第四部分内容为本文的结论与讨论.

1 有限差分法简介

考虑偏微分方程中最简单的一维对流方程的初边值问题：

要利用数值方法求解上述定解问题，首先需要对定解区域离散化，用平行直线族xj=j h，tk=k τ，把区域D划分成若干个小矩形，其中h，τ称为空间步长和时间步长，τ称为网h格比（如果为二阶的网格比可表为等）.接下来对微分方程离散化，由泰勒级数展开可知，在接点(j,k)处微商和差商存在如下关系[3]：

在此记表示u(xj,tk)的近似值，这样就可以用差商代替（1）式中的微商，即可以得到相应的差分方程，有时候也称为差分格式：

最后将边界条件和初始条件离散化后就可以做数值计算了.