2019届二轮复习 圆锥曲线 学案 (全国通用)
高二文科数学复习学案(圆锥曲线)
圆锥曲线与方程一、 知识点总结： 1、 三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。
动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变。
椭圆：平面内与两个定点1F ，2F 的距离_____等于常数（___于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
即：212122F F c a PF PF =>=+（0a >，0c >，a ，c 为常数），则P 点的轨迹为以_______为焦点的椭圆。
注意：若122a F F =时，点P 的轨迹为________。
若1202a F F <<时，点P 的轨迹________。
双曲线：在平面内到两个定点1F ，2F 距离___________等于常数（___于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
即：212122F F c a PF PF =<=-（0a >，0c >，a c ，为常数），则P 点的轨迹为以________为焦点的双曲线．注意：若122a F F =时，点P 的轨迹为_______________。
若122a F F >时，点P 的轨迹________。
若20a =时，点P 的轨迹是_________________．另外，定义中的_________必不可少. 抛物线：平面内到定点F 与到定直线l 距离_______的点的轨迹。
（其中F l ∉） 注意：若l F ∈，则P 点的轨迹为______________________________。
2、三种圆锥曲线的标准方程：椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>，焦点在x 轴上；22221(0)y x a b a b+=>>，焦点在y 轴上． （谁的_______________，焦点就在谁的轴上。
）双曲线：22221(00)x y a b a b-=>>，，焦点在x 轴上；22221(00)y x a b a b-=>>，,焦点在y 轴上． (谁的______________，焦点就在谁的轴上。
2019届高考数学二轮复习分层教学专项二专题五3第3讲圆锥曲线的综合问题学案
第3讲 圆锥曲线的综合问题定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 【解】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1， 且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， 所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0， 所以λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.因为λ1＋λ2＝－3，所以my 1－1＋m y 2－1＝－3， 所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ），得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， 所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②， 故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)， 即Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若bk为常量，则直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k，0.(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，即得定点坐标．[对点训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32. 所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0. 由根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)． 综合①②可知，直线AB 过定点(8，0)．定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．【解】 (1)设P (x ，y )，易知N (x ，0)，NP →＝(0，y )，又NM →＝12NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又点M 在椭圆上，所以x 29＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＝1，即x 29＋y 28＝1.所以点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－18k 2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48（1＋k 2）8＋9k2， 联立直线l 2与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），x 29＋y 28＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋9k 2x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，同理可得|CD |＝1＋1k 2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝48（1＋k 2）9＋8k2. 所以1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248（k 2＋1）＋9＋8k 248（k 2＋1）＝1748. 综上可得1|AB |＋1|CD |为定值．求定值问题常见的2种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，A 为椭圆C 上的一点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，E ，F 是椭圆C 上的两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值．解：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）＋32消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 2)x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，则x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12（4k 2＋3）x A＝4k 2－12k －34k 2＋3，①又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数， 故以上k 用－k 代替得x F ＝4k 2＋12k －34k ＋3，② 所以k EF ＝y F －y Ex F －x E＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k （x F －1）＋32－⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x E －1）＋32x F －x E＝－k （x F ＋x E ）＋2kx F －x E.把①②两式代入上式，得k EF ＝12，为定值．最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围．【解】 (1)由题意知2c ＝2，即c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，得m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k2.由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.先通过直线与圆相切得到k ，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系23≤λ≤34，结合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k ，m 的不等式，再由k ，m 的关系，消元，得到关于k 的不等式，通过解不等式达到目的．方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知A 是椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1(t >3)的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】 (1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.因为t ＝4，所以A (－2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程E ：x 24＋y 23＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－27，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，127，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，－127，则△AMN 的面积为12×247×⎝ ⎛⎭⎪⎫－27＋2＝14449.(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2ttk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.设M (x 1，y 1)，则x 1·(－t )＝t 2k 2－3t3＋tk2，即x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.由t >3，得3k （2k －1）k 3－2>3，所以k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件2|AM |＝|AN |得到新参数k 与已知参数t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件t >3建立关于k 的不等式．方法三：利用判别式构建目标不等式已知点F 为椭圆E ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．【解】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.因为直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 因为直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，所以|PM |2＝54，①当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， 所以λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ， 整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，k 2>14.所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，所以λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，因为k 2>14，所以45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.此题抓住直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 这一条件，利用判别式Δ>0构建关于k 的不等式，从而求得λ的取值范围．方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为G (x ，y )，则其焦点为F (2x －1，y )，由题意可知点A 到直线x ＝1的距离为2，则|AF |＝2，所以4x 2＋y 2＝2，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)．(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4，两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，①将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k ，代入①式得k ＝－y 02.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m ，所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′(x ′B ，y ′B )，B (x B ，y B )为直线x＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y ′B <y 0<y B ，即－3<y 0< 3.所以－334<m <334，且m ≠0.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－334，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，334.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．命题角度二 构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设F 2A →＝λF 2B →，T (2，0)，若λ∈[－3，－1]，求|TA →＋TB →|的取值范围． 【解】 (1)由离心率e ＝33，可知c a ＝33，由△F 1AB 的周长为43，得4a ＝43，所以a ＝3，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在，即λ＝－1时，设A 在x 轴上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－233，又T (2，0)，所以|TA →＋TB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－233＝2.当直线l 的斜率存在，即λ∈[－3，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－4k 2＋3k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4k 22＋3k2.因为F 2A →＝λF 2B →，F 2(1，0)，所以y 1y 2＝λ，λ<0.易知λ＋1λ＋2＝（y 1＋y 2）2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22－4k 22＋3k2＝－42＋3k 2，由λ∈[－3，－1)，得λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－103，－2，即λ＋1λ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，0，故－43≤－42＋3k 2<0，解得k 2≥13.因为TA →＝(x 1－2，y 1)，TB →＝(x 2－2，y 2)， 所以TA →＋TB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k ，－4k 2＋3k ， 故|TA →＋TB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22＝36k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）2＝4（2＋3k 2）2＋643（2＋3k 2）＋163（2＋3k 2）2＝4＋643·12＋3k 2＋163·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3k 22. 令t ＝12＋3k 2，因为k 2≥13，所以0<12＋3k 2≤13，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，所以|TA →＋TB →|2＝4＋643t ＋163t 2＝163(t ＋2)2－523∈⎝⎛⎦⎥⎤4，31627，所以|TA →＋TB →|∈⎝⎛⎦⎥⎤2，22379.综上，|TA →＋TB →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，22379.本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子12＋3k 2，此时可把式子12＋3k 2看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个简单的二次函数．方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋bx(b ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．【解】 (1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]， 所以a 2＝2c 2，所以e ＝22. (2)因为△PQF 2的周长为42， 所以4a ＝42，即a ＝ 2.由(1)知b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.所以F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92（2k 2＋1）， 令t ＝2(2k 2＋1)，则F 2P →·F 2Q →＝72－9t (t >2)，所以F 2P →·F 2Q →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72.结合①②，得F 2P →·F 2Q →∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，72，所以F 2P →·F 2Q →的最大值是72.本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到F 2P →·F 2Q →的目标函数，然后分离参数，构建y ＝a ＋bx(b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．方法三：构建双曲线型函数y ＝ax ＋b x(ab ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为0， 又A (－2，0)，故可设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1my －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4. 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m24m 2＋1，－4m 4m 2＋1.①当m ≠±1时，k MN ＝5m 4（m 2－1），l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，此时直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.②当m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，此时直线MN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.综上，直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. (3)设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，则S △AMN ＝84t ＋9t，且t ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号． 又y ＝4t ＋9t 在[2，＋∞)上单调递增，所以S △AMN ≤1625，当且仅当m ＝±1时取等号．故(S △AMN )max ＝1625.本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以m 2，然后同时除以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，再进行换元就可以看出其分母为双曲线型函数结构y ＝4t ＋9t，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．[对点训练]1．(2018·豫南九校联考)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3，又|OA |－|OF |＝1，所以a －a 2－3＝1，解得a＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)设M (x M ，y M )，易知A (2，0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1.设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )， 则FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，即4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，所以直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 由x M ≥1，得20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64，所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 2．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 的斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题可知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以直线AP 的斜率k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 的斜率的取值范围是(－1，1)． (2)由(1)知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ，14－x 2.①当直线AP 的斜率为0时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，|PA |·|PQ |＝1.②当直线AP 的斜率不为0时，设直线l AP ：y ＝kx ＋12k ＋14，l BQ ：y ＝－1k x ＋32k ＋94，由14－x 2－12－x ＝k ，整理得x ＝k ＋12，联立直线AP 、直线BQ 的方程可得Q ⎝ ⎛3＋4k －k 22k 2＋2，⎭⎪⎫9k 2＋8k ＋14k 2＋4，故PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k －k 2－k 31＋k 2，－k 4－k 3＋k 2＋k 1＋k 2，又PA →＝(－1－k ，－k 2－k )，故|PA |·|PQ |＝AP →·PQ →＝（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＋k 2（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＝(1＋k )3(1－k )(－1<k <1，且k ≠0)．令f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且x ≠0，则f ′(x )＝(1＋x )2(2－4x )＝－2(1＋x )2(2x －1)，由于当x ∈(－1，0)和x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2716，故|PA |·|PQ |的最大值为2716.综上，|PA |·|PQ |的最大值为2716.存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一 点、线的存在性问题(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以c 2a ＋t 2b ＝1，解得t ＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a ＝b 2ac，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，① 又AB ＝23，所以a 2＋b 2＝12，②由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204＝1，③设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－22，0)， 所以y 0x 0＋22×y 0x 0－m＝k ，④由③得y 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 208，⑤ 将⑤代入④，得k ＝8－x 22[x 20＋（22－m ）x 0－22m ]. 所以⎩⎨⎧22－m ＝0，22m ＝8，所以m ＝22，k ＝－12，所以存在点D (22，0)，使得k QA ×k QD ＝－12.命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切． (1)试求动圆圆心C 的轨迹方程．(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，x 1＋x 2＝－36k 9k 2＋8，所以x 0＝－18k9k 2＋8， y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8， 因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k ，所以m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k ， 当k >0时，9k ＋8k ≥29×8＝122，所以－212≤m <0；当k <0时，9k ＋8k ≤－122，所以0<m ≤212.因此，存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－212，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，212.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练]已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝14，一动圆与直线x ＝－12相切且与圆C 外切．(1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程．(2)若经过定点Q (6，0)的直线l 与曲线T 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在y 轴的左侧，故x ≥0， 因为动圆与直线x ＝－12相切，且与圆C 外切，所以|PC |－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝12，所以|PC |＝x ＋1，所以（x －1）2＋y 2＝x ＋1， 化简可得y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线l 与y 轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，y 2＝4x 并消去x ，可得y 2－4my －24＝0，显然Δ＝16m 2＋96>0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，①又因为x 1＋x 2＝(my 1＋6)＋(my 2＋6)， 所以x 1＋x 2＝4m 2＋12，②因为x 1x 2＝y 214·y 224，所以x 1x 2＝36，③假设存在N (x 0，y 0)，使得NA →·NB →＝0， 由题意可知y 0＝y 1＋y 22，所以y 0＝2m ，④由N 点在抛物线上可知x 0＝y 204，即x 0＝m 2，⑤又NA →＝(x 1－x 0，y 1－y 0)，NB →＝(x 2－x 0，y 2－y 0)，若NA →·NB →＝0，则x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0， 由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0， 即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以m 2＝23，故m ＝±63，所以存在直线3x ＋6y －18＝0或3x －6y －18＝0，使得NA ⊥NB .1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .2．(2018·福州模拟)已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1， 所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)， 设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )， 则x 2M 4＋y 2M3＝1， 所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M ＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M －4)2，又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9， 所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )， 设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0， 由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 1， 所以x M ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21－x P ＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21，同理可得x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22， 又k 1·k 2＝－34， 故x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3， 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P 3＋4k 21＝－x M ， 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数． 3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若PA ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c 2＝c a， 解得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意知直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0.设k PA ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ， 直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6，8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k ，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－1k .因为y M ·y N ＝8k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1k ＝8， 因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .① 由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.。
二轮复习 圆锥曲线的性质 学案(全国通用)
微专题67 圆锥曲线的性质一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以2242002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =。
则22b PQ a= （5）离心率：ce a=，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122tan 2PF F S b θ=V （其中12PF F θ=∠）证明：1212121sin 2PF F S PF PF F PF =⋅V 且222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-()()212121221cos PF PF PF PF F PF =+-+()2212124421cos c a PF PF F PF ∴=-+ 2221212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==++ 12212121212112sin sin 221cos PF F b S PF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+V 22121212sin tan 1cos 2F PF F PFb b F PF =⋅=+因为1200122PF F S c y c y =⋅⋅=⋅V ，所以2120tan 2F PFb c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S V 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点 （二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：ce a=，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
2019-2020学年高三数学二轮专题复习《圆锥曲线与方程》导学案.doc
2019-2020学年高三数学二轮专题复习《圆锥曲线与方程》导学案1. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>，其焦点F 到准线l 的距离是12。
（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线上的一点P 的横坐标是(0)t t >，过P 的直线交抛物线于另一点Q ，过点Q 作PQ 的垂线交抛物线于另一点N ，若MN 为抛物线的切线，求t 的最小值。
2. 已知222:(1)(1)C x y r r -+=>，设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上。
（1）求点N 的轨迹E 的方程；（2）若12200(,2),(,),(,)A x B x y C x y 是E 上不同的点，且AB BC ⊥，求0y 的取值范围。
3. 如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D在抛物线22(0)x py p =>上，其中点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知过点(0,1)P -的直线l 与抛物线24x y =相交于点1122(,),(,)A x y B x y 两点，12,l l 分别是抛物线24x y =在,A B 两点处的切线，,M N 分别是12,l l 与直线1y =-的交点。
（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较||,||PM PN 的大小，并说明理由。
复合函数1.设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a …的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.2.已知函数22()ln(1).1xf x xx=+-+(I) 求函数()f x的单调区间;（Ⅱ）若不等式1(1)n a en++≤对任意的N*n∈都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.3．已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，/1()()2g x f x =．（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数； （III ）证明：3()2f x ≥．4.设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．。
二轮专题复习圆锥曲线教学案
专题复习：圆锥曲线【知识梳理】1、 椭圆、双曲线、抛物线的概念。
2、标准方程所表示曲线的几何性质。
3、直线与圆锥曲线的位置关系。
4、体会设而不求思想及坐标法解题。
通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。
主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现。
2．直线与圆锥曲线的位置关系，常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度。
3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．轨迹问题、对称问题、参变量的范围问题、定点、定值及最值问题也是本章的几个热点问题，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。
【自测回扣】1、已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积为(A) 3(2＋3) (B) 3(2－3) (C)2＋ 3 (D) 2－ 3答案：(B)2、设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：(B)3、椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为____________.答案：24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，则M 到抛物线焦点的距离是________． 答案：658.【典型例题】例1、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=.故椭圆C 的方程为 22143x y +=. （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+.所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kk x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=.当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥.所以00y ≤<，或00y <≤.综上，0y 的取值范围是[. 思想方法规律总结：垂直平分问题要充分抓住垂直和平分两个条件：垂直用好斜率为负倒数的条件，平分用好中点在对称轴上的条件；求0y 的范围，要把0y 表示为k 的函数. 变式训练1、在周长为定值的ABC ∆中，已知||AB =，动点C 的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时，C cos 有最小值12-. (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，求曲线G 的方程. (2)过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线G 于M ，N 两点．将线段MN 的长|MN |表示为m的函数，并求|MN |的最大值．解：(1)设 ||||2CA CB a += (a >为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距2||c AB ==因为 22(||||)2||||1226cos 12||||||||CA CB CA CB a C CA CB CA CB +---===-又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 26cos 1C a ≥-，由题意得 22611,42a a -=-=. 所以C 点轨迹G 的方程为 221(0)4x y y +=≠ (2) 由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|MN |＝ 3.当m ＝－1时，同理可知|MN |＝ 3. 当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1， 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|MN |＝ 3. 所以|MN |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)． 因为|MN |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|MN |＝2. 所以|MN |的最大值为2.例2、已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅为定值;（II ）若△POM 的面积为25，求向量与的夹角；(Ⅲ) 证明直线PQ 恒过一个定点.解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线， ,4414,222121211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即4,142121211=∴+=+y y y y y y 即.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM .5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOM S ROM 由此可得tan α =1, 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量απα(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,Q M BQ k k =∴ 313222331,1444y y y y y y -=+-即3231311,4y y y y +=-+ 23133(1)()4,y y y y ∴++=-即131340y y y y +++=,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即 即.(*)04)(43232=+++y y y y,44432232232y y y y y y k PQ +=--=)4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点)4,1(-E .思想方法规律总结：定值问题注意联系韦达定理；定点问题注意要把直线表示成y-0y =k(x-0x ). 变式训练2、已知 F 1、F 2是椭圆14222=+y x 的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足21PF ⋅=1.过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（1）求P 点坐标;（2）求证：直线AB 的斜率为定值; （3）求△PAB 面积的最大值.解：（1）由题可得F 1(0, 2), F 2(0, －2), 设P(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) 则)2,(),2,(001001y x PF y x PF ---=--=,1)2(202021=--=⋅∴y x PF PF),(00y x P 在曲线上，则21)2(24:24,1420202020202020==----=∴=+y y y y x y x 得从而则点P 的坐标为（1，2）（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k(k>0) 则BP 的直线方程为：y －2=k(x －1)222222222222212)2(2,2)2(21),,(04)2()2(2)2(142)1(2k k k k k k x k k k x y x B k x k k x k y x x k y B B B B +--=-+-=+-=+=--+-++⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-则设得由222222k k k x A +-+=同理可得 2228)1()1(,224k kx k x k y y k k x x BA B A B A +=----=-+=-则 ∴AB 的斜率2=--=BA BA AB x x y y k 为定值（3）设AB 的直线方程：m x y +=204224:14222222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y 得 22220)4(16)22(22<<->--=∆m m m 得由3||m d AB P =的距离为到 3)214(||2⋅-=⋅m AB2)28(81)8(813||3)214(21||21222222=+-≤+-=⋅⋅-=⋅=∆m m m m m m d AB S PAB 则当且仅当m=±2∈（－22，22）取等号 ∴三角形PAB 面积的最大值为2【总结提高】高考命题要求掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法， 直线与圆锥曲线的位置关系，注意数学思想与方法的应用，注重对数学能力的培养，加强探究性、综合性、应用性,体会设而不求思想及坐标法解题。
圆锥曲线复习学案
圆锥曲线复习学案（一）一、基础知识解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
1、 三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，（这种说法不作要求）三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线 的距离，F ∉ ，如图：因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
① 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
② 定量：（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）， 举焦点在x 轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2019届二轮复习高考解答题突破(五)圆锥曲线的综合应用学案
高考解答题突破(五)圆锥曲线的综合应用突破“两设”——设点、设线[思维流程][技法点拨]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1问通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2问往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点\”“线\”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．考向一圆锥曲线中的范围、最值问题解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．[解](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD ＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．解圆锥曲线范围、最值问题的要点求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个参数的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．[对点训练]1．(2018·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于两点P ，Q ，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．[解] (1)由题意可知以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．∴|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)． ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12.∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝ 1－b 2a 2＝12＝22.(2)∵△PQF 2的周长为42，∴4a ＝42，∴a ＝2，由(1)知b 2a 2＝12，∴b 2＝1， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝－1，解方程组⎩⎨⎧x ＝－1，x 22＋y 2＝1，可得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－22.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22，∴F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，∴F 2P →·F 2Q →＝(－2)×(－2)＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝4－12＝72.故F 2P →·F 2Q →＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2消去y 整理得 (2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.∴F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1 ＝72－92(2k 2＋1)，∵k 2>0，∴可得－1<F 2P →·F 2Q →<72， 综上可得－1<F 2P →·F 2Q →≤72， ∴F 2P →·F 2Q →的最大值是72.考向二 圆锥曲线中的定点、定值问题1．定点问题的求解策略解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y ＝kx ＋m (k 存在的情形)．然后利用条件建立k 与m 的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．2．定值问题的求解策略定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．[解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1，由已知可得，点A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3点(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．[对点训练]2．(2018·天津和平二模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的右顶点为A ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于M 、N 两点(异于A 点)，且满足MA ⊥NA ，试证明直线l 经过定点，并求出该定点的坐标．[解] (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：如图，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，整理，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.从而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2，由椭圆E 的右顶点为A (2,0)，MA ⊥NA ， 得y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 则有3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，整理，得7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－2k7，均满足条件3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，直线l 过定点A ，与题设矛盾；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0， 所以直线l 经过定点，且定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 考向三 圆锥曲线中的探索性问题处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．[解]存在性问题的解题步骤[对点训练]3．(2018·河北唐山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k ，使得以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．[解] (1)直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab (－a )2＋b2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)存在．理由：假设存在这样的k .联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.由题意知Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，②x 1x 2＝91＋3k 2，③而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时成立， 则y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0，④ 将②③式带入④式整理得k ＝76. 经验证，k ＝76时使得①式成立．综上可知，存在k ＝76使得以CD 为直径的圆过点E .专题跟踪训练(二十七)1．(2018·济南模拟)已知点P (－2,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)上，动点A ，B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率； (2)求△P AB 面积的最大值．[解] (1)将P (－2,1)代入x 2a 2＋y 22＝1，得(－2)2a 2＋122＝1，a 2＝8.故椭圆方程为x 28＋y 22＝1.当直线AB 斜率不存在时不合题意，故设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 22＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－4km 1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM ＝k OP ，y 0x 0＝－12，m －4km＝－12，∴k ＝12，即直线AB 的斜率为12. (2)当k ＝12时，由Δ＝64－16m 2>0得－2<m <2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4，|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝1＋122(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21＋1224－m 2，点P 到直线AB ：y ＝12x ＋m 的距离d ＝|m －2|1＋122，△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|m －2|4－m 2 ＝－(m －2)3(m ＋2).设f (m )＝－(m －2)3(m ＋2)(－2<m <2)，则f ′(m )＝－[3(m －2)2(m ＋2)＋(m －2)3]＝－4(m －2)2·(m ＋1)， 求得f (m )max ＝f (－1)＝27，所以S max ＝27＝3 3.2．(2018·东北三校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为22，且过焦点的弦中最短的弦的长度为233.(1)求该椭圆C 的方程．(2)经过椭圆右焦点F 2的直线和该椭圆交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，O 为原点，若OP →＝12OA →＋32OB →，求直线的方程．[解] (1)由题意得，在椭圆中c ＝2，所以a 2－b 2＝2.① 过焦点的弦中垂直于x 轴的弦最短，易得该直线与椭圆的交点的纵坐标为±b 2a .由弦的长度为233得2b 2a ＝233，即b 2a ＝33.② 由①②式得a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)， 因为OP →＝12OA →＋32OB →，所以x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2. 又因为点P 在椭圆上，所以x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2 ＝14＋34＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝0.①当直线斜率为0时，其方程为y ＝0，此时不妨设A (3，0)，B (－3，0)，不满足x 1x 2＋3y 1y 2＝0，不符合题意，舍去．②当直线斜率不为0时，设直线方程为x ＝my ＋2，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，x 23＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋3y 1y 2＝m 2y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋2＋3y 1y 2＝(m 2＋3)×－1m 2＋3＋2m ×－22mm 2＋3＋2＝0，化简，得m 2－4m 2＋3＝0，解得m 2＝1，所以直线方程为x ＝±y ＋ 2.综上，直线方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.3．(2018·西安模拟)如图，点F 是抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且AF →＝(2,0)，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求抛物线Γ的方程；(2)若k 2－k1＝2，点D 是B ，C 处切线的交点，记△BCD 的面积为S ，证明S 是定值．[解] (1)设A (x 0，y 0)，可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，p 2－y 0＝(2,0)，∴⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝p2代入x 2＝2py (p >0)，得4＝p 2，即p ＝2，∴抛物线Γ的方程为x 2＝4y .(2)证明：如图，过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，并设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224， 由(1)得A (－2,1)，∴k 2－k 1＝x 224－1x 2＋2－x 214－1x 1＋2＝x 2－x 14，又k 2－k 1＝2，∴x 2－x 14＝2，即x 2－x 1＝8. 又x 2＝4y 即y ＝14x 2，有y ′＝12x ， ∴k BD ＝x 12，k CD ＝x 22，∴直线DB ：y ＝x 12x －x 214，直线CD ：y ＝x 22x －x 224. ∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224解得⎩⎨⎧x D ＝x 1＋x 22，y D＝x 1x24.又∵直线BC 的方程为y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)， 将x D 代入，得y E ＝x 21＋x 228.∴△BCD 的面积为S ＝12ED ·(x 2－x 1)＝12×(y E －y D )×(x 2－x 1)＝12×(x 2－x 1)28×(x 2－x 1)＝12×828×8＝32(定值)． 4．(2018·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m 2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝m －m 2＝m 2，故e ＝c a ＝22.(2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)．所以x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k 2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式，可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·12(m －6)3. |CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上，因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫4232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49， 故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．。
高二期末圆锥曲线复习学案汇编
圆锥曲线复习学案（一）一、基础知识1、三种圆锥曲线的研究（1）当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线焦 距无 长轴长 无 无 实轴长 无无 短轴长 无 通径长 离心率基本量关系无（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变），当焦点在x 轴上的方程如下：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2222=+（a>b>0）1b y a x 2222=-（a>0，b>0） y 2=2px （p>0） 顶 点 （±a ，0） （0，±b ）（±a ，0）（0，0） 焦 点 （±c ，0） （2p，0） 中 心 （0，0）范 围 |x|≤a |y|≤b|x|≥a x ≥0 焦半径————|PF|=x 0+2p总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
二、常见结论：1、与双曲线22221x y a b-=(a>0,b>0), 有共同渐近线的双曲线系方程为等轴双曲线的性质： 离心率为 ，渐近线方程为 ，等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠02、焦点弦的性质 焦点弦 过px y22=()0>p 的焦点弦ＡＢ，Ａ（1x ，1y ）Ｂ（2x ，2y ）（1）AB = ；（2）12y y = ，12x x = ，（3）以AB 为直径的圆与准线相切（4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p ,通径是过焦点最短的弦. 三、典例剖析题型一:圆锥曲线的定义及方程例1根据下列条件，求双曲线方程： （1）已知双曲线的一条渐进线方程为12y x =，且通过点(3,3)A ，则该双曲线的标准方程为 ．（2） 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-；例2（1）设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(3,1)，则2||||PM PF +的最大值为 ．（2）设点P 在双曲线116922=-y x 上，若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，求△F 1PF 2的周长。
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第九讲 圆锥曲线一、知识方法拓展： 1、直线系方程若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。
当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。
特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。
对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。
2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上）的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆， 当 1e >时, 点的轨迹是双曲线， 当 1e =时, 点的轨迹是抛物线， 其中e 是圆锥曲线的离心率ce a=，定点F 是圆锥曲线的焦点， 定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2a x c=±。
3、圆锥曲线和直线的参数方程圆222x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。
椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数，称为离心角。
双曲线22221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。
抛物线22y px =的参数方程是222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 是参数。
过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，t 为参数。
（关注几何意义）。
4、圆锥曲线的统一极坐标方程以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为1cos epe ρθ=-，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。
二、热身练习：1、（07武大）如果椭圆()222210x y a b a b +=>>那么双曲线22221x y a b -=的离心率为（ ） （A（B ）2（C（D ）54【答案】C【解析】圆锥曲线的离心率c e a=， 椭圆中：222c a b =-∴222234a b e a -==，得224a b = 双曲线中：22222254c a b e a a +===，得e =C 。
2、（07武大）点P 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的一点，12,F F 为椭圆两焦点，那么12F P F P ⋅的最小值为（ ）（A ）22a b - （B ）2b（C ）222a b -（D ）222b a -【答案】D【解析】本题可以直接用坐标法来处理，解答如下：设点()[]()()()12,,,:,0,:,0P x y y b b F c F c ∈--坐标为∵∴()()2222222222122=,,2,a b F P F P x c y x c y x y c y b b a b b-⎡⎤⋅+⋅-=+-=-+∈-⎣⎦ 所以答案选择D 。
3、（11复旦）椭圆2212516x y +=上的点到圆()2261x y +-=上的点距离的最大值是（ ）（A ）11（B（C ）（D ）9【答案】A【解析】由平面解析几何的知识，椭圆2212516x y +=上的点到圆()2261x y +-= 上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。
设椭圆上点的坐标()5cos ,4sin P θθ，圆的圆心()0,6O ，则：PO ===10≤=（当sin 1θ=-时取等号）∴所求距离的最大值=10+1=11。
4、（11卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ） （A ）216y x = （B ）28y x =（C ）216y x =-（D ）28y x =-【答案】A【解析】设抛物线方程为px y 22=，则⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，联立直线与抛物线方程消去y 得： ()02008082=++-x p x ，88021p x x +=+，122py y +=- 从而根据点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,88011p p A 在抛物线px y 22=上得：880222p pp +=⎪⎭⎫⎝⎛- 解得：8=p 或0（舍去），故选A 。
三、真题精讲：精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6道，中等与较难的比例为2：1。
例1、（11卓越）已知椭圆的两个焦点为()11,0F -、()21,0F，且椭圆与直线y x =切。
（1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于P 、Q 及M 、N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。
【解析】（1）由题知：221a b =+ 所以可设椭圆方程为222211x y b b+=+∵椭圆与直线y x =∴方程组222211x y b b y x ⎧+=⎪+⎨⎪=-⎩只有一个解，即方程())22242211230b x b x b b +-+-++=有两个相等的实数根所以)()()()222426214212380b b b b b b ⎡⎤∆=-+-+-++=-=⎣⎦解得21b =所以椭圆方程为2212x y += （2）当PQ 斜率不存在（或为0）时，1=22PMQN S PQ MN ⋅=四边形 当PQ 斜率存在（且不为0）时，设为k ，则MN 的斜率为1k-（0k ≠） 所以PQ 的方程为y kx k =+设PQ 与椭圆的交点坐标()()1122,,P x y Q x y 、，联立方程2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩∴12x x 、为方程()2222214220k x k x k +++-=的根∴12PQ x =-==同理MN =所以42242421211=44225224104PMQN k k k S PQ MN k k k k ⎛⎫++⋅==- ⎪++++⎝⎭四边形 22114124410k k ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪++⎝⎭因为221448k k +≥，当且仅当21k =时等号成立。
所以2211164,21294410k k ⎛⎫ ⎪⎡⎫-∈ ⎪⎪⎢⎣⎭⎪++⎝⎭综上所述，PMQN S 四边形的面积的最小值为169，最大值为2。
例2、（11华约）双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，是左、右焦点，P是右支上任一点，且12212,3F PF F PF S π∆∠==。
（1） 求离心率e ；（2） 若A 为双曲线左顶点，Q 为右支上任一点，是否存在常数λ使22QAF QF A λ∠=∠恒成立？【解析】（1）在12PF F ∆中，有()()1222212121222cos 3PF PF a F F PF PF PF PF π⎧-=⎪⎨=+-⋅⎪⎩双曲线定义余弦定理 ∴()22212121221cos 43F F PF PF PF PF c π⎛⎫=-+⋅-= ⎪⎝⎭∴22212444PF PF c a b ⋅=-=∴1222121sin 23PF F S PF PF π∆=⋅== 所以223b a =，2c a ==∴2ce a== （2）由（1）知双曲线的方程为：222213x y a a-=不妨先设2QF x ⊥轴，此时Q 点的坐标为()2,3a a∴223AF a QF ==，2QAF ∆为等腰直角三角形，2212QAF QF A ∠= 下面证明12λ=。
令()sec tan Q a ϕϕ则2tan QF A ∠==2tan QAF ∠==∴()()()2222sec1sec1tan22sec2sec4sec13tan1QAFϕϕϕϕϕϕϕϕ++∠===-+++--⎝⎭()()()2sec1tan2sec1sec2QF Aϕϕϕϕ+===∠-+-所以，存在常数12λ=，使2212QAF QF A∠=∠恒成立。
注：设P是椭圆22221x ya b+=（或是双曲线22221x ya b-=）上一点，12F PFθ∠=（12F F、分别是左右焦点），则1222tan cot22PF FS b bθθ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭或。
例3、（08武大）已知A、B两点在椭圆22:1xC ym+=()1m>上，直线AB上两个不同的点P、Q满足::AP PB AQ QB=，且P点坐标为()1,0。
（1）若2m=，求证：点Q在椭圆准线上；（2）若m为大于1的常数，求点Q的轨迹方程。
【解析】（1）证明：设()()()332211,,,,,yxQyxByxA若xAB⊥轴，则1::==QBAQPBAP，即QP,两点重合，与已知矛盾；设kKAB=，则3223121,1xxkQBxxkAQ-+=-+=当2=m时，则()0,1P为椭圆:C1222=+yx的右焦点；则2211222,222xexaBPxexaAP-=-=-=-=；QBAQPBAP::=3122322112221222xxkxxxkx-+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∴其中由图形可知：()()03132>-⋅-xxxx，化简可以得到23=x，即点Q在准线上；（2）解：设()1:-=x k y l AB ，则()()()()()()1,,1,,1,332211---x k x Q x k x B x k x A()()11111221221-+=-+-=x k x k x AP ，同理1122-+=x k PB ；2321x x k QB -+=，1321x x k AQ -+=；QB AQ PB AP ::=()()()()()()132223121111x x x k x x x k --+=--+∴即()()()()13223111x x x x x x --=-- 由图像()()()()0,011132321>--<--x x x x x x 于是：()()()()011132231=--+--x x x x x x 整理得到：()()222121213-++-=x x x x x x x ； 联立()⎪⎩⎪⎨⎧-==+1122x k y y m x ，消去y 得：()()01212222=-+-+k m x mk x mk()2221222111,12mk k m x x mk mk x x +-=+=+()()()m m k m k m k m k m k k m x x x x x x x =-++-+-=-++-=∴21214112222222222121213从求解过程中发现，不论Q 点的纵坐标3y 为何值，点Q 的横坐标均为m ； 故：Q 点的轨迹方程为m x =；例4、、（10武大）对于抛物线24y x =上的两相异点A 、B ，如果弦AB 不平行于y 轴且其垂直平分线交x 轴于点P ，那么称弦AB 是点P 的一条相关弦。