二重极限释疑解难
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
一题多解探讨二重极限的计算
一题多解探讨二重极限的计算作者：徐泰燕来源：《科技视界》 2014年第14期徐泰燕（武昌工学院，湖北武汉 430065）【摘要】函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，相对于一元函数的极限问题，以二元函数为代表的多元函数的重极限，因其自变量的增加和极限趋近路径的任意性而使问题变得相对复杂，本文主要针对教学过程中遇到的一个二元函数的二重极限求解的典型例子结合相关极限理论给出五类不同的解法，更加灵活鲜明地对二元函数的极限求解方法做了相关的系统性讨论总结，拓宽了解题思路。
【关键词】二元函数的极限；等价无穷小量代换；极坐标变换；洛必达法则二元函数为代表的多元函数的极限定义和一元函数的极限定义均可利用“ε-δ定义[1]”给出，表面上看，多元函数的重极限的复杂度只是由于变元个数的增加引起的，但实际上，相比一元函数在x0处的点极限仅要求x从x0的左、右两侧直线趋近于x0不同，多元函数的重极限对趋近路径有更高的要求，即满足任意性（既包括沿两个坐标轴方向的直线路径，也包括更复杂的任意函数曲线路径），因此，二元函数的极限求解问题相对复杂很多。
求一元函数的极限有许多方法，如：四则运算求极限法、等价无穷小量代换法、有界量乘以无穷小量仍为无穷小量的结论、两类重要极限、利用连续性、洛必达法则等，上述方法在条件满足的情况下可以推广到二元函数为代表的多元函数的重积分计算中，也即重积分的计算可以选择恰当的变量代换转化成一元函数的极限求解，进而使问题变得简便。
1 先猜测极限，再用二重极限的“ε-δ定义”证明结论2 利用一元函数极限的“有界量乘以无穷小量仍为无穷小量”结论求解对于一元函数的极限，有下面定理：定理1[1] 在某一极限过程中，若α（ｘ）是无穷小量，ｆ（ｘ）是有界函数，则α（ｘ）ｆ（ｘ）仍是无穷小量。
对于上面定理，可将其推广到多元函数的重极限计算中，本例中，对函数做变形得： 3 利用解析函数的L’Hospital法则求解4 利用极坐标变换计算5 利用二元函数的洛必达法则求解定理3[4] 若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）、ｇ（ｘ，ｙ）满足：（1）在（下转第143页）（上接第134页）区域Ｄ内有定义，（ｘ０，ｙ０）为Ｄ的一个聚点；（2）６结论以上就是笔者针对在教学中遇到的“0/0型”二重极限，针对此极限进行了五种不同方法的探讨，其中方法二和四均是利用了化二重极限为一元函数极限的思想，这在重积分的计算中很重要，是解决二重极限的突破口。
二重极限的计算方法总结
239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。
1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。
点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。
若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。
一题多解探讨二重极限的计算
一题多解探讨二重极限的计算作者：徐泰燕来源：《科技视界》2014年第14期【摘要】函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，相对于一元函数的极限问题，以二元函数为代表的多元函数的重极限，因其自变量的增加和极限趋近路径的任意性而使问题变得相对复杂，本文主要针对教学过程中遇到的一个二元函数的二重极限求解的典型例子结合相关极限理论给出五类不同的解法，更加灵活鲜明地对二元函数的极限求解方法做了相关的系统性讨论总结，拓宽了解题思路。
【关键词】二元函数的极限；等价无穷小量代换；极坐标变换；洛必达法则二元函数为代表的多元函数的极限定义和一元函数的极限定义均可利用“ε-δ定义[1]”给出，表面上看，多元函数的重极限的复杂度只是由于变元个数的增加引起的，但实际上，相比一元函数在x0处的点极限仅要求x从x0的左、右两侧直线趋近于x0不同，多元函数的重极限对趋近路径有更高的要求，即满足任意性（既包括沿两个坐标轴方向的直线路径，也包括更复杂的任意函数曲线路径），因此，二元函数的极限求解问题相对复杂很多。
但有时题目不满足相应的条件，无法运用相应的方法，例如在实际教学过程中遇到的下面求二重极限：I=■■的问题，因为函数f（x，y）=■在点（0，0）处无意义，进而不连续，从而本极限不能利用二元函数的连续性计算该极限，但可以结合相关二元函数的理论探讨其他求解方法。
本文针对该题给出五种不同的解答方法，以供大家教学时参考。
求一元函数的极限有许多方法，如：四则运算求极限法、等价无穷小量代换法、有界量乘以无穷小量仍为无穷小量的结论、两类重要极限、利用连续性、洛必达法则等，上述方法在条件满足的情况下可以推广到二元函数为代表的多元函数的重积分计算中，也即重积分的计算可以选择恰当的变量代换转化成一元函数的极限求解，进而使问题变得简便。
在一元函数的极限求解中，当x→0时，sinx→0和ln（1+x）均为无穷小量，利用第一类重要极限可知sinx～x，同理，ln（1+x）～x，在做极限的乘除法运算时，可将sinx用x代换，ln（1+x）用x代换，从而■■=■■=1，可见恰当的进行等价无穷小代换可使极限问题变得简便。
定义证明二重极限
zt10专题十 关于多重极限问题
专题十 关于多重极限问题重极限是学习多元函数的偏导和多元积分学的基础.所以，只有首先解决了重极限的相关问题，才能更好的学习多元函数的偏导和重积分。
问题1：二重极限是如何定义的？有几种定义方式？如何理解？答： 对于二重极限的定义，不同教材中有不同的表述，但是归纳起来主要有三种.定义1 设函数(),z f x y =在点()000,p x y 的某一邻域内有定义（点0p 可除外），如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于所在邻域内适合不等式0d <<的一切点(),p x y 所对应的函数值(),f x y 都满足不等式(),f x y A e -<，那么，常数A 就称为函数(),z f x y =当00,x x yy 时的极限.定义2设函数(),z f x y = 定义域为D ，点()000,p x y 是平面上的一点，函数(),z f x y =在点()000,p x y 的任一邻域中除0p 外，总有异于0p 的属于D 的点，如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对D 内适合不等式00pp d <<的一切点p ，有不等式()f p A e -<成立，则称A 为()f p 当0p p ®时的极限.定义3 设数(),z f x y =的定义域为D ，点()000,p x y 是D 的聚点，如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对D 内适合不等式00pp d <<的一切点(),p x y ，都有(),f x y A e -<成立，常数A 就称为函数(),z f x y =当00,x x yy 时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求函数(),f x y 在点()000,p x y 的某去心邻域内有定义，而定义2允许(),f x y 在点()000,p x y 的任一去心邻域内都有使(),f x y 无定义的点，相应地，定义1要求0p 的去心邻域内的点都适合()f p A e -<，而定义2只要求上述邻域内使(),f x y 有定义的点p 适合()f p A e -<.可见，定义1对函数的要求高，因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用.例如极限()221lim sinx y x yxy→→+，依定义1就无意义，因而在点()0,0的任意δ邻域内，总存在点()()()()(),0,,0,,0,,00,0a a b b a b δδ--<<<<使(),f x y =()221sinx yxy+无定义，当然在这些点不等式(),f x y A e -<就没有意义，但依据定义2（允许不考虑ox oy 轴，轴上的点）有()22001lim sinx y x yxy→→+=0.又例如极限00sin limx y xy x→→依定义1也无意义，但依定义2可以不考虑o y 轴上()0x =的点，对一切0x ≠的点，sin xy xy y xx≤<<，则对0ε∀>，必δε∃=，当0,δ<<且0x ≠时，有sin 0xy xε-<成立，故依定义2，00sin limx y xy x→→=0.由于定义2放宽了对函数的要求，从而使极限概念更便于应用，但由于没引入“聚点”概念，使叙述显得过于烦琐，并且在讨论极限的性质时，更不方便.关于这一点，下面将举例说明.定义3虽然和定义2在本质上没有什么不同，但由于它事先导入“聚点”概念，这样就使得极限定义的叙述方便多了。
巧用第二个重要极限解1∞型极限
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ｕ） （ ｘ
３北京大学编． 高等代数 ［ ］北京：高等教育出版社 ，２０ Ｍ ． ０３
Ｃ ｉ ｓ ｎ ｏ ｉ ｄ ｃｔ ｎ ｌ ｅ ｅ ｒ 青年与社会 ｌ ０ ０９ ｈ ｅ ｅ ｄ ｒ ｇ Ｅ ｕａｉ ａ Ｒ ｓ ａｃ ｎ ａ Ｆ ｅｎ ｏ ｈ １ ． 下 ２
一９ 一 ５
例３ ，求极限ｌ １ ｔ ２）。 ｉ 一ａ ｍ（ ｎ
解： ｌ协 ＝ １一 一 ＋ 咖 １ （ ＝
例 ３中将等 价无 穷小 与简 化公 式结 合使 用 ， 使得 此公 式更 加 简 单实 用 。公 式虽 然简单 实用 ，但并 不是 万能 的 ， 们在 实际 使 我 用 的时 候一 定要 注意 以下 两点 ：① 待定 极 限中无论 是 ＋ 还 是 一０ 原 极 限只要 是 １型 待定 式 即可使 用该 公式 。 ， ②使 用公 式 时 ，
解： 式：ｉ １兰］ ： ＾＋ ｅ 原 １ ＿…＿－ 式＝ｍ “ Ｐ ５ ３ ｌｆ ＋ ” 】 ￣
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由此我 们可 看 出适用 简 化公 式解 决 １相 比解法 一 和解法 二
大大 简 化 了计 算过 程 。
解 法二 ：利 用第 二个 重要极 限 ，对 指数 进行 配方 ：
例２ 求 限￣【－ｘ ， 极 ２ １
（］＝－］ ：『 ］‘＝ （ －＋ （ ‘ ｘ （ ‘ ！３ — 一 ＋ ・ ’ ： ］ ： ＋ ；＝ ５ ）
・
中外教 育研 完 ・
２１ ００年 ９月 Ｎ ９ Ｏ．
浅谈二重极限的若干计算方法
浅谈二重极限的若干计算方法二重极限是多元函数理论基础，在高等数学和数学分析中都做了介绍，对于二重极限重点是它的计算方法，虽然许多学者对此做了归纳，但由于二重极限的复杂性，他们的归纳都不是很全面，因此，本论文在已有的基础上对二重极限的计算方法做了较为全面阐述，使得二重极限的计算更为简便、快捷．1 二重极限定义设函数(,)f x y 在区域D 内有定义，000(,)p x y 是D 的内点，如果对于任意的正数ε，总存在正数σ，使得对于D 内适合不等式00p p σ<=<的一切点(,)p x y 都有(,)f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x x y y →→时的二 重极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=．2 二重极限的求法2.1 定义验证法先求出一个累次极限，再用定义验证该累次极限是否为二重极限，或先猜出二重极限的值，再用定义验证．例1 设22331(,)()sinf x y x y x y=++，33(0)x y +≠，求(,)(0,0)lim (,)x y f x y →． 解 00limlim (,)0x y f x y →→=，事实上对任意(,)(0,0)x y ≠222222331(,)0()sinf x y x y x y x y x y-=+≤+≤++0,ε∀>取σ=,x y σσ<<时，有22331()sin0x y x y ε+-<+即(,)(0,0)lim (,)x y f x y →=0．例[1](278280)2P - 求(,)(0,)sin limx y c xyx → (0)c ≠．解sin sin sin sin 11xy xy cx cx xy xy cx cx-=-+-其中sin sin sin sin sin sin xy cx c xy c cx c cx y cxxy cx cxy-+--= sin sin sin sin c xy c cx c cx y cxcxy cxy --=+(第一个分式用微分中值定理)cos sin ()c cx c y xy cx cxy cx yζ-=-+⋅（ζ介于,x y 间） 进而有sin sin sin (cos )xy cx c y cx xy cx y cxζ--≤+ 由于0sin lim1x xyxy→=，所以只要x 足够小就可使得sin 2cx cx ≤． 又因为lim1y ccy→=，故对任意0,0εσ>∃>，当0,0x y σσ<<<<时，恒有sin 1,126cx c cx y εε-<-<， 从而sin sin sin sin sin sin sin 111(12)62xy xy cx cx xy cx cx xy xy cx cx xy cx cx εεε-=-+-≤-+-<++= 即(,)(0,)sin limx y c xyc x →=．由上两例可知定义验证法求二重极限要求所给函数的某个累次极限等于二重极限或者能够观察出已知函数的二重极限，因此该方法局限性较强，只适用于一些简单的二重极限的计算．2.2 利用连续函数的定义 二元函数(,)f x y 的定义域为,D 000(,)P x y D ∈且为D 的聚点，若00)00(,)(,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续．所以，可用定义计算连续函数的二重极限．例3 求 2234lim(7)x y x xy y →→-++．解由22(,)(7)f x y x xy y =-++为连续函数且(3,4)20f =得2234lim(7)20x y x xy y →→-++=．只要所给函数为连续函数就可以用连续函数的定义求二重极限，但一般情况下所给函数都比较复杂，因此在解题时很少用到该方法．2.3 利用四则运算法则如果当00(,)(,)x y x y →时有(,)f x y A →，(,)g x y B →，则(,)(,)f x y g x y A B ±→±；(,)(,)f x y g x y A B ⋅→⋅；(,)(0)(,)f x y AB g x y B→≠．例4 求22123lim ()x y xy x y x y →→++．解 22123lim ()x y xy x y x y →→++221212lim(3)10lim()3x y x y xy x y x y →→→→+==+． 如果已知函数可以化成两个或多个易求极限的函数的加、减、乘、除的形式，那么就可以用四则运算法则求出已知函数的极限．2.4 利用两个重要极限 （1） 0sin lim 1x x x →=；（2）1lim(1)xx e x→∞+=． 例[2](133)5P 求2sin 0lim(1)xyx x y a xy →→+．解 2sin 0lim(1)xyxx y axy →→+=222sin 11sin 00lim[(1)]lim[(1)]xy t y y a xy xy t tx t y ay axy t e ⋅⋅→→→→+=+=．这种方法主要是根据已知函数的特点将它转化成一元函数（或部分转化为一元函数），然后利用两个重要极限再求值，计算过程比较简单，这里不再过多解释．2.5 利用等价无穷小代换当0,x y a →→时，有~sin ~ln(1),xy xy xy +tan ~,xy xy 211cos ~()2xy xy - arcsin ~,xy xy 1~xy e xy -．例6 求33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+．解 33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+=22(,)(0,)lim 1cos ln(1)x y a x y xyxy xy →⋅-+=22(,)(0,)2lim21()2x y a x y xyxy xy →⋅=． 例7 求20sin(3)lim 1xy x y ax y e →→-． 解 当0,x y a →→时， 22sin(3)~3,1~xyx y x y e xy -故 20sin(3)lim 1xy x y a x y e →→-2003lim lim30x x y a y ax y x xy →→→→===． 该方法主要是把已知函数的某部分用它的等价无穷小代替，使原函数化成容易计算的较简单的函数，但由于相互等价的函数很多，因此在选择用哪种形式的无穷小代替时，要具体问题具体分析．2.6 利用夹逼定理(,)f x y 与(,)g x y 在00(,)x y 连续且有相同的极限A ，若(,)h x y 在00(,)x y 的某邻域有(,)(,)(,)f x y h x y g x y ≤≤成立，则00(,)(,)lim (,)x y x y h x y A →=．例[3](27)8P 求22limx y x yx xy y →+∞→+∞+-+．解 由不等式222x y xy +≥得2222110x y x y x yx xy y x y xy xy x y+++≤≤≤≤+-++- 而11lim ()0x y x y →+∞→+∞+=，故有22lim x y x y x xy y →+∞→+∞+-+0=．利用夹逼定理求二重极限是计算二重极限常用的方法，解题时常常需要通过分子放大、分母缩小或分子缩小、分母放大即放缩原函数得到易求极限的函数．但由于该方法要求放缩后的函数与原函数的极限相同，这就使得放缩时有一定的约束性，因此用这种方法时要重点注意放缩过程．2.7 利用恒等变形如果二元函数(,)f x y 含有分式，可以让分子、分母同乘以不为零的函数，如果(,)f x y 是指数形式，可以先求它对数的极限，然后再求原函数的极限．例9求22(,)limx y →解22(,)limx y →(,)limx y →=(,)(0,0)lim x y →=(,)(0,0)lim 2)x y →=4=．例[4](1)10P 求2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+．解 令2222()x y u x y =+，则222222222222ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y=+=+++ 而2222(,)(0,0)(,)(0,0)221lim lim 011x y x y x y x y x y →→==++ ，令22x y t +=则 2222(,)(0,0)lim ()ln()lim ln 0x y t x y x y t t →→++==所以2222(,)(0,0)limln()0x y x y x y →+=故2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+01e ==．这种方法要求已知函数是含有根式的二元函数或者极限是01,0∞等的未定型函数，所以很容易判断是否用该方法计算二重极限．2.8 利用变量代换利用变量代换是把二重极限转化为一元函数的极限或化为易于计算的二重极限，如利用极坐标变换令cos ,sin x r y r θθ==，利用倒数11,x y u v==，利用两个变量,x y 的和x y t +=、平方和22x y t +=及乘积xy t =等变换．例11 求2222()22(,)(0,0)lim 2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+．解 22u x y =+ 则(,)(0,0)lim 0x y u →=2222()22(,)(0,0)lim2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+00lim lim 12sin 2cos u u u u u u e e e e u u --→→-+===． 例[4](1)12P 求22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+．解 cos ,sin x r y r θθ==，由(,)(0,0)x y →得0r →22222424(,)(0,0)010limln()lim sin 2ln 4x y r x y x y r r θ→→≤+=⋅⋅而211sin 244θ≤，34444430000484ln lim ln lim lim lim()014r r r r r r r r r r r r r →→→→⋅===-=-所以4401lim ln sin 204r r r θ→⋅⋅= 从而22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+0=.例13 求21lim(1)x x yx y axy-→∞→+其中0a ≠．解 2()11(1)(1)x xxy x yx y yxyxy⋅--+=+，当,x y a →∞→时，令,xy t =相应有t →∞， 则11lim(1)lim(1)xy t x t y ae xy t→∞→∞→+=+=21lim(1)x x yx y a xy -→∞→+ 1[ln(1)]()()1lim[(1)]lim xyx xxy x y yxy x y yx x y a y ae xy +--→∞→∞→→=+=1lim [ln(1)]lim11()1xy x x y ay ax xy x y yaaeee →∞→∞→→+-⋅===.例14 求222()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+．解 222222()2()2()22()()2x y x y x y x y x y x y x y x y ee e e e-++++++==-⋅ 当,x y →+∞→+∞时，令x y t +=，相应有t →+∞则222()2()lim lim 0x y t x t y x y t e e +→+∞→+∞→+∞+==，2222lim 22lim lim 0x y x y x x x y y y x y x ye e e e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅=⋅= 所以222()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+ 0=．例[5](3)15P 求22limx y yx y →∞→∞+．解 11,x y u v==，当,x y →∞→∞时，有0,0u v →→ 22lim x y yx y →∞→∞+12121222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()()u v u v v u v u v u v ---→→==++` 令 cos ,sin u r v r θθ==，当0,0u v →→时，0r →+，2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0u v r r u v r r u v rθθθθ++→→→===+ 即 22lim0x y yx y →∞→∞=+．变量代换法也是计算二重极限常用的方法，从例题的计算过程可以看出采用恰当的变量代换可以使得二重极限的计算更为简便．综上所述，二重极限的计算与一元函数极限的求法有很多类似之处，但由于一元函数的极限至多是左、右两种方式的逼近，而二重极限是任意方向的逼近．因此，二重极限的计算比一元函数极限的计算复杂得多，在遇到求二重极限的问题时，要具体问题具体分析，找出解决问题的最恰当的方法．。
累次极限和二重极限
累次极限和二重极限累次极限和二重极限是微积分中的重要概念，它们在求解多元函数的极限问题中起着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍累次极限和二重极限。
一、累次极限的定义和性质1. 定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=y_0$，则称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处的累次极限存在，记为：$$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) $$2. 性质（1）若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和$\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 存在，且三者相等。
（2）若 $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和$\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 存在，则$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，且三者相等。
二、二重极限的定义和性质1. 定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $(x,y)$ 满足$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$ 时，有 $|f(x,y)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 是 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二重极限，记为：$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$$2. 性质（1）若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二重极限存在，且二者相等。
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二重极限释疑解难
问题1：关于二重极限的定义有以下三种不同的说法，试分析比较它们的差异何在？
定义1 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内有定义(点0P 可以除外)，如果对于每一个任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于适合不等式
δ<-+-<2020)()(0y y x x
的一切点),(y x P ，所对应的函数值),(y x f 都满足不等式
ε<-|),(|A y x f ,
那么，常数A 就称为函数),(y x f z =当00,y y x x →→时的极限.
定义2 同定义1，但另加附注如下：
如果函数),(y x f z =在点0P 的任一邻域中除0P 外，尚有不属于函数定义域D 的点，但又总有异于0P 的属于D 的点，那么只要对D 内适合不等式δ<<||00PP 的一切点P ，有不等式ε<-|)(|A P f 成立，那么，便称A 为函数)(P f 当0P P →时的极限.
定义3 设函数),(y x f z =的定义域为D ，点),(000y x P 是D 的聚点.如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式
δ<-+-<<20200)()(||0y y x x P P
的一切点D y x P ∈),(，都有
ε<-|),(|A y x f
成立，那么称A 为函数),(y x f z =当00,y y x x →→时的极限.
解答：
这三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1、定义2的主要差异是，前者要求),(y x f 在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，而后者允许),(y x f 在点),(000y x P 的任一去心邻域内都有使),(y x f 无定义的点.相应地，定义1要求0P 的去心邻域内的点P 都适合ε<-|)(|A P f ，可见，定义1对函数的要求高，因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用.至于定义3与定义2本质上是一
样的，不过定义3要事先导入“聚点”概念，这样使极限定义的叙述方便些.例如,极限y xy y x )sin(lim 0
0→→，函数的定义域为挖掉x 轴的区域，按定义1是不存在，而按定义2和定义3该极限存在且为零.
问题2：当动点),(y x 沿着任一直线无限趋近于点)0,0(时，函数),(y x f 的极限存在且都等于A ，能否说函数),(y x f 当)0,0(),(→y x 时，二重极限也等于A ？ 解答：
不能.例如函数242),(y
x y x y x f +=，022≠+y x ，当动点),(y x 沿着y 轴)0(=x 无限趋于点)0,0(时，有
)(0,l i m 0
0=→→y x f y x . 当动点)(y x ,沿着任意一条直线kx y =（k 为任意实数）无限趋近于点)(0,0时，都有
0lim lim ),(lim 2
20224300
0=+=+=→→→=→k x kx x k x kx y x f x x kx y x . 但是，当动点),(y x 沿抛物线2x y =无限趋近于点)0,0(时，有
21lim ),(lim 44400
02=+=→→=→x x x y x f x x y x . 所以，函数242),(x
y y x y x f +=当)0,0(),(→y x 时，极限不存在.
问题3：如果引入极坐标θcos 0r x x +=,θsin 0r y y +=，且对每一个θ值都有
A r y r x f r =++→)s i n ,c o s (l i m 000
θθ (1) 其中A 为一个与θ无关的常数，那么是否必有
A y x f y y x x =→→),(l i m 0
0？ (2) 解答：
不是必有，且通常没有这结论。
就是说，通常不能用变换式 )sin ,cos (lim ),(lim 000
00θθr y r x f y x f r y y x x ++=→→→ 来求二重极限.
因为这里虽说对每个θ值(1)式都成立，但也不外乎说点),(y x 沿着任一条直线趋向于),(00y x ，并不是),(y x 以任何方式趋向于),(00y x ，即使(1)存在，且为一个与θ无关的常数A ，我们还是不能保证(2)式成立.例如极限
6
23
0lim y x xy y x +→→ 不存在，因为当),(y x 沿曲线kx y =3趋向于)0,0(时，
2222206230
01lim lim 3k k x k x kx y x xy x kx y x +=+=+→→=→, 结果与k 有关，但若用变量代换：θcos r x =，θsin r y =.则有
θθθθ66223406230
0sin cos sin cos lim lim r r r y x xy r y x +=+→→→0sin cos sin cos lim 642320=+=→θθθθr r r 这个结果显然是错误的.
问题4：判定二重极限不存在，有哪些常用方法？ 解答：
根据重极限的定义，),(lim 0
0y x f y y x x →→存在，要求点),(y x P 以任意方式趋向于点),(000y x P 时，),(y x f 趋向同一个常数.因此判定二重极限不存在.常用方法有如下两种：
1） 选取一种0P P →的方式，若),(lim 0
y x f P P →不存在，则 ),(lim 00y x f y y x x →→不存在.
2）
找出两种0P P →的方式，分别记为0P P →和0P P →若A y x f P P =→),(lim 0，A y x f P P =→),(lim 0，且A A ≠，则
),(lim 00y x f y y x x →→不存在.
现举例如下：
例1 讨论极限22220
01sin lim y x y x y x +→→. 解 因2022220
021sin lim 1sin lim x y x y x x x y x →→=→=+不存在. 故原极限不存在.
例2 讨论极限2
200lim y x xy y x +→→. 解 因22220220
01)1(lim lim k k x k kx y x xy x kx y x +=+=+→→=→, 其值因k 而异，故原极限不存在.。