坐标变换确定二重极限的技巧及实例

解 令 戈＝ｒｃｏｓＯ，Ｙ＝ｒｓｉｎＯ，对任意０
并２一Ｖ２
ｒ２ ＣＯＳ ０ 一ｓｉｎ２口）
＝ｃｏｓ２０，
菇２＋Ｙ２一 ｒ２ ｃｏｓ２０ ＋ｓｉｎ２０）
所以
ｌｉｍ≤二≤不存在．
例６计算。，．溉．ｏ，－＿赢／２ （＃．ｙ）一（ｏ，ｏ）茹‘＋Ｙ。
１．＾．… （，．，）一（０．）ｐ
２
解 令 戈＝ＴｃｏｓＯ Ｙ＝ｒｓｉｎＯ，对任意０
例８计算ｌｉ珥窆丘。ｉｎ＾ ３）若２∥（ｒ）不存在，且９（口）≠ｏ时，则（；，热’０）厂（名，ｙ）不存在·
（，，ｙ）一（ｏ．ｏ，ｘｙ
茗‘＋Ｙ‘
解
令 菇＝ｒｃｏｓＯ，Ｙ＝ｒｓｉｎ０，
菇２＋ｖ２．
１
■产８ｍ丁４万－２ 。ｃｖ
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２蔺８２１ｎ≯． ’１
眭ｔ：ｆ：，ｌｉｍ。＋ｓｉｎ≯１不存在，面２≠。．
第１３卷第４期 ２００６年１２月
兰州工业高等专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｍｚｌｌｏｕ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｃｏｌｌｅｇｅ
文章编号：１００９—２２６９（２００６）０４—００５３—０３
Ｖ０１．１３．Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．，２００６
用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例＋
阎家灏
（兰州工业高等专科学校基础学科部，甘肃兰州 ７３００５０）
文献标识码：Ａ
若二元函数八茹，Ｙ）＝簧糍（Ｒ（ｘ，Ｙ）≠０）在以点（ｏ，０）为中心，以占＞０为半径的去心开圆域内
有定义．当（茗，Ｙ）一（０，０）时，所谓函数．厂。 （菇，，，）极限的未定式是指 ｌｉ啦 ｇ（茁，Ｙ）＝０，且ｌｉｒａ Ｒ（菇，
’
（，．Ｔ）啼（Ｏ，０）
（，．ｙ）一（Ｏ，０）
Ｙ）＝０时的二重极限ｌｉｍ ｆ（石，Ｙ）． （ｘ，ｙ）一（０，Ｏ）
万方数据
·５４·
兰州工业高等专科学校学报
第１３卷
则，ｌｉｍ厂（茗， Ｙ。 ）＝． ０ （，，ｒ）一、ｏｏ，ｏ）。 例３ 求㈠增ｏ∥ｏ筹 彤第√ｓｉｎ‰ｓ口裳描√ｓｉｎ‰矶越臼， （，．ｙ）斗（．）’ 并‘＋Ｖ‘ 解 令茗＝ｒｃｏｓＯ Ｙ＝ｒｓｉｎＯ
此时，Ｉ ｓｉｎＯｃｏｓＯｃｏｓ２０ Ｉ≤１ 且ｌｉｒａ ｒ２＝０
所以 鲥４ 求
糌 ㈠ｙ·）ｉｍｏ（ｏ川叫弼Ｙ－ｏ． （，，
‘
，０）。 石‘＋
ｎ小ｍ啪 Ｏ
解 令戈＝ｒｃｏｓＯ Ｙ＝ｒｓｉｎＯ，
戈２ｙ２＋以可ｊ一 ！翌！！±篷！±ｚ１２
ｌｎ（１＋ｒ２）
一
ｒ＋ｒ３ｓｉｎ２２０＋
１＋扣ｉ拗≥ｌ从而ｌ面１ 当０＜ｒ＜１时，对任何０有
㈦＇
１ｎ（１＋ｒ２）
ｒ
—１。ｒ３ｓｉｎＺ２０ ４
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎ＇ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅ ｆｏｒｍ’ｓ ｄｏｕｂｌｅ ｌｉｍｉｔ ｔｏ ｂｉｎａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｑｕｅｓｔｉｏｎ．Ｗｈｅｒｅａｓ，ｉｔ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ａｔ ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｋｉｎｄｓ ａｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｎ，ｓｏｍｅ ｕｓｅｆｕｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｌｉｍｉｔ ａｌｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｂｒｎ坞ａｆ－ ｔｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ａｎｄ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｗａｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅ ｌｉｍｉｔ；ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ；ｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅ ｆｏｒｍ
引证文献(2条)
1.阎家灏 用代换法求解二重极限的类型和实例[期刊论文]-兰州工业高等专科学校学报 2007(1) 2.赵书改 关于求重极限的方法与技巧的一些研究[期刊论文]-大众科技 2010(2)
本文链接：/Periodical_lzgygdzkxx200604014.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：f81eb237-c7cc-4d31-b924-9dcf009e59e4
Ｓｋｉｌｌｓ ａｎｄ Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔｏ Ｄｅｆｉｎｅ Ｄｏｕｂｌｅ Ｌｉｍｉｔ ｗｉｔｈ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ ＹＡＮ Ｊｉａ—ｈａｏ
（Ｔｈｅ Ｂａｓｉｃ Ｃｏｕｒｓｅｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ ＣｏＨｅｇｅ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００５０，Ｃｈｉｎａ）
毗㈠，ｌ…ｉｒａ。，等ｓｉｎ南不存在．
总之，对函数厂（茹，ｙ）作极坐标变换戈＝ｒｃｏｓＯ，Ｙ＝ｒｓｉｎＯ后，依其不同类型化成∥（ｒ）９（ｒ，口）的不同 形式，能够方便、快捷地判断当（名，ｙ）一（０，Ｏ）时，函数ｆ（ｘ，ｙ）二重极限的存在性．
参考文献：
［１］秦素娥．确定二元函数极限不存在的方法及实例［Ｍ］．工科数学，１９９３，（专辑）：２３，２５． ［２３ 同济大学数学教研室．高等数学：下册［Ｍ］．高等教育出版社，１９８８． ［３］邹本腾．高等数学辅导［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００２． ［４］阎家灏．正项级数敛散性的一种审敛［Ｊ］．兰州工业高等专科学校学报，２００４，１１（４）：３７．３８ ［５］ 阎家灏．极限逆向问题的求解［Ｊ］．兰州工业高等专科学校学报，２００３，１０（４）：５，８．
解 令戈＝，ｃ０８口 Ｙ＝ｒｓｉｎ０
。
１ｉｍ＿』垒兰丝一：ｌｉｍ＿＝刍一：ｌｉｒａ ２“：ｑ：２
ｈ∽叫ｏ．ｏ）￣／Ｘ２＋ｙ２＋１—１ 一ｏ＋￣／ｒ２＋１—１ ｐｏ＋
２）若存在Ｍ＞Ｏ，对充分小的ｒ＞０和任何口，有Ｉ ９（ｒ，口）Ｉ≤Ｍ，且ｌｉｒａ．＋∥（ｒ）＝０‘４｜，
★收稿日期１２００６—０６—２９ 作者简介：阎家灏（１９４３一），男，甘肃兰州人，教授．
限．特地将函数ｆ（菇，Ｙ）＝八／＇ＣＯＳ０，ｒｓｉｎ０）化成∥（ｒ）９（ｒ，口）形式［２｜，以确定函数，（石，Ｙ）的二重极限，这里 用极坐标变换确定函数．厂（茗，Ｙ）二重极限的技巧，是如何选择表示式∥（ｒ）９（ｒ，臼）．
１ 函数ｆ（ｘ，Ｙ）＝ｆ（ｒｃｏｓ０，ｒｓｉｎ０）＝∥（，）９（，，Ｄ）极限存在的情形
摘要：判定二元函数ｆ（戈，Ｙ）的未定式二重极限的存在性是一个比较困难的问题．用极坐标变换，
就能确定一些未定式的二重极限的存在性．就代换的类型进行了研究，依据代换后妒（ｒ）９（ｒ，口）
的不同形式，得到了一些确定二重极限的有用方法，并探究出一些新的实例．
关键词：二重极限；极坐标变换；未定式
中图分类号：０ １７４．１
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运用上、下确界和极坐标变换,化二元函数的重极限的判断和求解为一元函数极限的判断和求解,得到了用极坐标变换求解二重极限的一个定理和一 些推论,并推广到用n维球坐标变换求n重极限.
茗＋厅戈 刁一ｒｃｏｒｓｃｏ口ｓＯ ＋７
ｌ
１＋面１’
因为
以而２ ｃｏｓＯ振荡无极限，所以 （＃·，）一（Ｏ·０）戈＋
不存在．
。／（茗， ２）若ｌｉｒａ∥（ｒ）＝Ｏｔ，ｌｉｒａ ９（口）不存在时，则ｌｉｒａ
。
（，．，）斗（Ｏ
Ｙ）不存在．
ｒ÷０＋ｒ·Ｏ＋
例７
并＋以丽２ 计算ｌｉｍ
戈２＋＇，２
．。＿。＿＿＿＿＿。＿。＿。．。＿。＿。－。。－－．。．－．．＿●‘＿－＿＿－。．＿－＿＿一
下载时间：2010年8月11日
判断未定式二重极限不存在，常用的方法有以函数所属的类型，选取路径，使ｌｉｍ ｆ（并，Ｙ）不存在；
（１，ｙ，斗Ｌ０，０）
或者选取两种不同路径，使 １ｉｍ．厂（并，Ｙ）都存在，但二者不相等［１］ｆ．但对于判断未定式二重极限存在，并
求其极限值，往往很困难，没有有效的方法．本文用极坐标变换就代换的几种类型进行了研究． 在极坐标变换菇＝ｒＣＯＳ０，Ｙ＝ｒｓｉｎ０，讨论（茹，Ｙ）一（０，０），即相应于ｒ一０＋时，二元函数，（戈，Ｙ）的极
１）当９（ｒ，ｐ）＝ｃ（ｃ为常数），即ｆ（茗，Ｙ）＝∥（ｒ）［３］时，可直接用洛比达法则计算，！ｉ玛…，（省，Ｙ）．
～ｊ．，，—’‘Ｕ。ｔ／，
例１ 解
求ｌｉｍ（茹２＋ｙ２）ｌｎ（菇２＋Ｙ２） （＊，，）一＋（Ｏ，Ｏ）
令菇＝／＇ＣＯＳ０ Ｙ＝ｒｓｉｎ０
例２求㈠热川考‰ ㈠热，ｏ）（菇２＋ｙ２）ｌｎ（菇２＋ｙ２）－“ｌｉｒａ ｒ２ｌｎｒ２“ｌｉｒａ ｌｒｎ—ｒ＿＿２－兰２“ｌｉｒａ—ｒ２＝ｏ
Ｉｎ（１＋ｒ２）
因此
ｒ＋０＋
筹 ｒ
＝“ｌｉｒｍ＋再ｏ２＋７ｒ１ ＋一 ＝
２ 函数ｆ（ｚ，Ｙ）＝ｆ（ｒｃｏｓＯ，ｒｓｉｎＯ）＝∥（，）９【０）极限不存在的情形
１）若∥（ｒ）：ｃ，９（口）不是常值函数，与方向角０有关时，则 １ｉｍ．厂（茗，Ｙ）不存在吲． （，，ｙ卜－（０．０）
例５计算。，．，慨。ｏ，萎｛苇 （，．ｙ）斗（Ｏ。）省。＋’，。
（＃．ｙ）一（０，０）
解 令 并＝ｒｃｏｓＯ，Ｙ＝ｒｓｉｎＯ，（０＜ｒ＜＋∞
一丌＜０≤丌）
万方数据
第４期
阎家灏：用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例
．５５．
名＋以百２一 ｒ面， 苎：±ｚ：
一
２７
ｒｃｏｓＯ＋ｒ
粤一仉｛１３是“ｌｉｍ０：。再刍２∞， 虽然
ｒ＋０＋ｒ斗０＋＝Ⅱ１十ｕｕｏＶ
因此 ，！ｉ玛厂（戈，Ｙ）不存在． （，．ｙ）一（ｏ，ｏｆ
参考文献(5条) 1.秦素娥 确定二元函数极限不存在的方法及实例 1993(zk) 2.同济大学数学教研室 高等数学 1988 3.邹本腾 高等数学辅导 2002