2015-2016学年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1

n
m
a ＝(
n
m
a ) ；③ a2 ＝ a ；
n
4
④a的n次方根是 a，(n∈N，n≥2)． 其中正确的有________个． 【错解】 4
【错因分析】 时， n
①当n为奇数时，
n
an ＝a；当n为偶数
a a≥0， n a ＝|a|＝ －a a<0.
②当a<0时，不一定成立，例如 －2 ≠( －2)2； ③当a<0时，不成立．例如 －32≠ －3； ④因为a不一定有n次方根，即使有也不一定唯一． 综上所述，以上四个结论都是错误的． 4
3 1 2 2


4 3
1 3 4 －4×7－2 4 ×2 4 －1
16 ＝108＋2－ 7 －2－1 5 ＝1047.
解 (1)原式＝1＋16×(－1)－2 8· 2 3· 24· 24· (－2)5＝1－16＋
－ －
22＝－11. 4 1 4＋ (2)原式＝ 2
5 2 － 2
3 3 1 5 3 3 3＝ ＋ － ＝ . 2 2 2 2 2
二
根式与分数指数幂互化
将下列根式化为分数指数幂的形式： 1 (a>0)； a ；
2 4 m n
＝
n
am ，分数
＝(－3)
1 2
＝ －3 ，而 －3 在
实数范围内是无意义的．当a>0，b>0，s，r∈R时，运算性 质：as· ar＝as r，(ar)s＝ars，(ab)r＝ar· br也是成立的．
＋
在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式， 化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能地 统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求 值、计算，达到化繁为简的目的．
a，n为奇数， n a ＝ |a|，n为偶数.
对于根式的运算结果，并不强求统一的表示形式，一般地 用分数指数幂表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果．但 结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含 有负指数．
2．指数幂的运算 分数指数幂是根式的一种表示形式，即a 指数不能随意约分，如(－3)
四
关于条件求值问题
【例 4】
【解】
设 a>1，b>0，ab＋a b＝2 2，求 ab－a b 的值．
－ －
由 ab＋a－b＝2 2平方得 a2b＋a－2b＝6.
－ －2b
∴(ab－a b)2＝a2b＋a
－2＝6－2＝4.
∵a>1，b>0，∴ab－a－b>0. ∴ab－a b＝2.
－
规律技巧
本题ab与a b互为倒数，抓住这一点，已知和
－
所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
变式训练4
已知a ＋a
1 2
－
1 2
a2＋1 ＝m，求 a 的值．
解
由已知平方可得a＋a－1＝m2－2，
a2＋1 － ∴ a ＝a＋a 1＝m2－2.
易错探究 【例5】 有以下结论： ① a ＝a(n∈N，n≥2)；② n n
课前热身 1.根式及相关概念 (1)一般地，如果一个数的n(n>1，n∈N*)次方等于a，那么 这个数叫做a的n次方根，也就是，若________，则x叫做a的n 次方根．式子 n n a 叫做________，这里n叫做________，a叫做
________．( a)n＝________.
(2)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 方根是一个________，这时，a的n次方根用符号________表 示． 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数， 这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根 用符号________表示，正负两个n次方根可以合写为 ________(a>0)．
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2．1 指数函数
2．1.1
指数与指数幂的运算
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解n次方根与根式的概念，能正确运用根式的性质化 简、求值． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握根式与分数指数幂的互化． 3．掌握有理数指数幂的运算性质.
－ 3 0.25 81 ＋38
－
1 2
－10×0.027 .
1 3
【解】
25 (1)原式＝ 9
1 2
1 － 64 －2 2 ＋ 10 ＋ 27 3
37 5 －3＋ 48 ＝ 3 ＋
9 37 100＋16－3＋48＝100.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
有理指数幂的运算
计算： 37 －3π ＋ ； 48
0
【例1】
25 64－2 －2 0.5 (1) 9 ＋0.1 ＋27 3
(2)(0.0081)
1 － 4
7 － －3×80 1×
－ 1 3
1.(1)xn＝a (2)负数 自 2.(1)a 我 (2)0 校 对 (2)0 3.(1)a
m n
根式 n a

根指数 a － a n
被开方数 n ± a a<0
a
n
|a|＝ a 1 a
m n
a≥0－a
没有意义
4.ar＋s ars arbr
思考探究 a>0?
在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
【例2】 (1) (2) 1 a 1 3 4 (3)(
x x22 b
－ 2 3
5
)
－
2 3
(b>0)．
规律技巧
此类问题应熟练应用a
m n
＝
n
am (a>0，m，n∈
N*，且n>1)，当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指 数幂写出，然后用性质进行化简．
变式训练2
化简下列各式：
a－1＋b－1 (1) ； － ab 1 (2) a2 3 2 a· a
3 －1 (2)原式＝104 4
－(3×1)－1×
10 1 ＝ － ×1－3＝0. 3 3
规律技巧
一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负
数，将负指数化为正指数.
变式训练1
求值：
(1)( 2－1)0＋(－2)4· (－1)3－(16)－2· 8－1· 42· 24 · (－32)； (2) 0.0625＋ 4 3 27 25 4－ 8.
3
(a>0)；
3 2 (3)a · a .
1 1 a－1＋b－1 a＋b 解 (1)解法一： ＝ 1 ＝a＋b. ab－1 ab a－1＋b－1 a－1＋b－1ab 解法二： ＝ ＝a＋b. ab－1 ab－1ab
三
条件根式的化简
【例3】 n a＋bn. 【分析】
已知a<b<0，n>1，n∈N ，化简
2．根式的性质 (1)当n为奇数时， ________. (2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________． n a ＝________，当n为偶数时，
n
n
an ＝
3．分数指数幂的意义 (1)设a>0，m，n∈N ，n>1，则将 am 表示为a的分数指数 幂的形式为____________，a
4
2
4
【正解】
0
当堂检测
16 1.81
－ 1 4
的值是(
) 3 B. 2 81 D．－ 4
2 A. 3 4 C.81
解析
16－1 4 81
2 －1 ＝34 4
2 － 3 ＝3 1＝2.
答案
B
2．下列说法中：①16的4次方根是2；② 是± 2；③当n为大于1的奇数时， 当n为大于1的偶数时， 数为( A．1 C．3 ) B．2 D．4 n n
＝
1 4 1－2x3
，故1－2x>0，解得
答案
D
4．化简：( 3＋ 2)2014· ( 3－ 2)2014＝________.
解析 ＝12014＝1.
由指数幂的运算知，原式＝[( 3＋ 2)( 3－ 2)]2014
答案
1
5．计算或化简下列各式： (1)计算( 2 × 3) ＋( 2 2) 2014)0的值； 3
提示 (1)若a＝0，∵0的负数指数幂无意义， ∴(ab)r＝ar· br，当r<0时不成立，∴a≠0. (2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立， 如[(－4) ]
2
1 4
≠(－4)
1 2
，∴a<0时不成立．
因此规定a>0.
名师点拨 1.根式的运算 根式运算中，常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况， 特别要注意两者运算顺序是否可换、何时可换，应正确使用公 式( a)n＝a， n n
*
n
a－bn
＋
分n为奇数和n为偶数两种情况解答．
【解】
当n为奇数时，
原式＝a－b＋a＋b＝2a； 当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－b ＋ a＋b
n
n
n
2a n为奇数， ＝ －2a n为偶数.
4
16 的运算结果
a 对任意a∈R都有意义；④
a 只有a≥0时有意义．其中正确的个
解析 16的4次方根是± 2， 16 ＝2，故①②不正确，③④ 正确．
4
答案
B
3．若(1－2x) A．x∈R C．x>0.5