【文献综述】二元函数重极限和累次极限的关系及其求解
多元函数重极限与累次极限的关系
，
因而 ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ， ｙ ） 不存在 ， 同理 ｌ ｉ ｍ
— ｆ ＿ ＋ ｏ ＿ ＋ ｏ
ｆ （ ｘ ｌ ， ｘ ２ …Ｘ ｎ ） ： Ａ
ａ 竹
ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ｘ ， Ｙ ） 不存在 。
—
ｒ＋ ｏ． ∈ Ｑ
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ， ｙ ） ： ０ ， 但
（ ｘ ， ｙ ） — （ ０ ｐ ）
由于 ｘ —ａ即 ｘ ｉ － ＋ ａ ￣ （ ｉ ＝ １ ， ２ …ｎ ） 故也可记为
ｌ ｉ ｍ
ｘ ， — ａ】 ， ＿ “
ｌ ｉ ｍ ｙ ｓ ｉ ｎ １ ｓ ｉ ｎ ＿ １ ＿ ＿ 不存在
ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ｉ ｓ ａ ｍｕ ｌ ｔ ｉ － ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｋ ｅ ｙ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ｓ ，ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｈ ｅ ｎ ｓ ｉ ｖ ｅ ａ ｎ ｄ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｓ ｐ ｏ ｆ ｍｕ ｈ ｉ － ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ
１ 多元 函数 的极 限
（ １ ） 重极 限。定义 １ ： 设 ＱＣＲ ｎ ， ａ 是 ｎ 的聚点 ， 在 ｆ （ ｘ ） 有 Ｑ／ ｛ ａ） 定义 ， Ａ是 一实数 ， 若 ｅ ＞ Ｏ任给存在 限值 随 ｍ的变化而不相等 ， 所以
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ，
（ ｘ ， ｙ ） — （ ０ ， ０ ）
ｙ ） 不存在 ， 但ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ， ｙ ） ＝ ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ｘ ， ｙ ） ＝ ０ ．
二元函数重极限和累次极限的关系及其求解【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学二元函数重极限和累次极限的关系及其求解1.国内外现状极限思想也是社会实践的产物。
追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。
他意识到极限概念的重要性试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”。
但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。
牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。
维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。
所谓an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。
因此,这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。
在该定义中,涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
2．研究方向许汪涛《关于多元极限概念》中强调突出多元函数的重极限与累次极限是两个性质上不同，却又紧密相关的概念。
二重极限与累次极限的联系及应用
ｌ ｉ ａ ｒ
， （ ｚ， ） 存在 ， 则
－＋０ 一 ０
． ． 【ｌ Ｊ ，ｕｊ
ｌ ｉ ａ ｆ（ ｒ ｘ， ）一 ｌ ｉ ａ ｒ ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ， ）一
ｌ ｉ ａ ｒ ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ， ） ．
＿ ＿ ＿
— Ｏ ｙ ＿ ． ０
【 ０ （ ｚ一 ０ ， 或 — Ｏ ） ．
无法 决定 原点 附近 ２维 小 邻 域 的整 体 情 况 ． 可 能这
１ ０ ，
ｙ 一０ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ １ － ０ ３பைடு நூலகம்— １ ６ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ２ — ０ ２ — ２ ７
作者简介： 戴 中元 （ １ ９ ８ ４－ －） ， 男， 上海人 ， 硕士， 讲师 ， 从 事 调 和 分 析 与
小 波 分 析研 究 ． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｒ ｉ ｂ ｂ ｏ ｎ ｉ ｆ ｓ ｈ ２ ０ ０ ２ ＠ ｍａ ｔ ｈ ． ｐ ｋ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｅ ｎ
有如下 结论 ．
或是 否定命 题 ， 或 是需 要很 多条 件 的肯定命 题 ， 得 出
的定 理很 复杂 ， 不方 便记忆 ． 本 文给 出 了在 一般 情况 下， 二重 极 限 与 累 次 极 限 的肯 定 命 题 ， 只需 有 界 条
定理 １ ［ ］ 卵 若 存在 ， 并令
ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ｘ， ） 与ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ， ） 均 ，
证 明 这里 仅证 明第一 个等 式 ， 第 二个 等式类 似 可得 ． 由二 重极 限存 在 （ 设 为 Ａ） 的定 义可 知 ， 对 任 意￡ ＞０ ， 存在 ＞ ０ ， 使得
Ｉ ｆ （ ｘ， ） 一Ａ Ｉ ＜ｓ （ 一 ≤ ， ≤ ） ．
二重极限与累次极限的关系
类 似 地 ， 定 义 ｆｘＹ 在 点 （。ｙ） 先 对 Ｙ 可 （，） ，０处
后对
注 ：１ 二 重极 限定义 中 ， ） （。ｙ） （） （ ， ，０蕴涵 ， ）
着 扩 。 和
的 同时性 和 任意 性 ， 同时性 是指
ｙ
２
ｌｍ ｉ
１８ ５
南 昌 高专 学 报
２１ ０ ０年
再 求 二 重 极 限 ， （ ，） 直 线 ｙ ｍ 令 ｚＹ 沿 ＝ ｘ趋 于
（ ， ）有 ００ ，
（
ｙｉ— ）０但 ｓ ＝ ｎ
ｆ ｘ ｙ 不存在 。 ￣ ，）
塑 一警 ＝ ｌ ｉ ｍ
但这 并不 能 说 明ｆ ｘ ｙ 在点 （ ， ） 的极 限 （ ，） Ｏ ０处
（ 吕梁 高 等专 科 学校 数 学 系 山西 吕梁 ０ ３ ０ ） ３ ０ ０
摘 要 ： 文 分 析 了二 元 函数 的 二 重 极 限及 累 次 极 限 的 定 义 ， 且 讨 论 和 总 结 了这 两 种 极 限 之 间的 区别 和 本 并
内在联 系。 关 键 词 ： 元 函 数 ： 重极 限 ： 次极 限 二 二 累
８则 称 当 Ｐ Ｐ 时 在 Ｄ上 收 敛 ， 称 Ａ 为 厂 ， ０ 厂 并 当 时的二 重极 限 ， 为 ｔ 厂Ｐ） 记 ｉ （ ｍ
．
２１由定 义 可 知 ， 重 极 限 与 累 次极 限 的本 ． ． 二 质 不 同 ， 者之 间并 没有 蕴 涵关 系 ， 且 ， 个 累 二 并 两 次极 限 之间 也没 有蕴 涵关 系 。
个 重 要 内容 ， 对初 学 者 来 说 ， 二元 函数 的两 种 极 限—— 二 重 极 限 与 累 次极 限 之 间 的 关 系 是 他 们
浅谈二元函数极限运算的计算方法
浅谈二元函数极限运算的计算方法
湖南农业大学东方科技学院 张 孟 吴常虹
摘 要：二元函数的极限是从一元函数的极限的概念推广而来，两者既有联系又有区别，本文总结了二元函数极限 计算的一些常见方法。
关键词：极限 换元 夹逼准则
文章编号：ＩＳＳＮ２０９５－６７１１／Ｚ０１－２０１７－０１－０１８０
，0 ≤
x2 y 2 x4 + y 2
3Hale Waihona Puke ≤x2 y 2 2x2 y
3
1 = y 2
3
x2 y 2 1 因为 lim y = 0 ， 由夹逼定理 lim 4 2 = 0 x →0 x + y x →0 2 y →0 y →0
在这个题目中利用基本不等式对分母进行放缩，从而达到 对整体的放大。 三、利用恒等变形求二重极限 在求二元函数的极限时，最常见的恒等变形有分子或分母 的有理化。 例： lim x →0 3 − xy + 9 y →0 和一元函数一样，遇到无理式时，有理化的过程是不可缺 少的
函数的极限是高等数学中的重要内容，二元函数的极限是 从一元函数的极限的概念推广而来，两者既有联系又有区别， 二元函数极限的计算方法很多可以借助于一元函数的极限的计 算方法来求解，然而目前大多数教材对二元函数的极限的计算 方法没有深入地介绍，学生在讨论二元函数的连续、可微性时 经常会涉及到二元函数的极限运算，往往会有很多的困惑，因 此本文总结了二元函数极限运算的几种常见方法，以供大家参 考。 一、利用换元思想将二重极限化为一元函数的极限 例： lim x + y − sin x + y
y →0
四、利用两个重要的极限公式求二重极限 例： lim x →0
二重极限与累次极限的关系与应用论文
大理学院本科毕业论文二重极限与累次极限的关系及其应用The relationship and application of the Double limit and Repeated limit学院：数学与计算机学院项目组成员：潘逢生指导教师：王绍荣专业：数学与应用数学年级（班级）： 06级数本一班起止日期： 2009-6-25至2009-12-20制表日期：2009年 10 月 1 日[摘要]本文主要从累次极限与二重极限的定义出发，总结了累次极限与二重极限存在性的所有可能发生的情况和有关的定理，对二重极限与累次极限的关系作了一个比较完整的研究。
[关键词]二重极限；累次极限；存在性；一致趋向[Abstract] In this paper, according to definition of the repeated limita n d t h e d o ub l e limit, summed up all the possible presence of the repeated limit and thed o u b le l i m i t in existence and some related theorems, have a more complete study of thed o u b le limit and the repeated limit in existence.[Keywords] Double limit; repeated limit; existence; the same trend目录1.前言 (1)2. 二重极限与累次极限的区别与联系 (1)3.二重极限与累次极限存在性的七种情况 (3)3.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在 (3)3.2累次极限都不存在，二重极限存在 (4)3.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在 (4)3.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在 (5)3.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在 (5)3.6累次极限与二重极限都存在且一定相等 (6)3.7二重极限与累次极限都不存在 (6)4.关于二重极限与累次极限的几个定理和问题 (7)4.1二重极限与累次极限存在必相等定理 (7)4.2二重极限存在时累次极限也存在的条件 (8)参考文献 (10)致谢 (11)1前言本文以二重极限与累次极限的关系为研究对象，原因在于它不仅对多元函数极限的求法和极限思想有很大的启发作用而且对多元函数的其他性质与应用也有很大的帮助，是研究多元函数的连续性，可积性，可微性的重要工具。
二重极限与累次极限及其应用
二重极限与累次极限及其应用作者：左双勇来源：《求知导刊》2015年第11期摘要：极限是研究函数的重要工具之一，二重极限是定义二元以上函数极限的基础，这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。
举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系，最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。
关键词：极限;二重极限;累次极限1.二重极限与累次极限的概念二元函数的极限有两种概念，它们分别是二重极限与累次极限，其定义分别如下：定义1：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若存在常数A，对∨ε>0，总;δ>0，只要点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）2< δ，恒有|f（x，y）-A|limf（x，y）=A或 limf（P）=A上面定义的二元函数的极限也称为二重极限。
[1]定义2：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若limf （x，y）=φ（y）存在，且limφ（y）=A存在，则称A为函数z=f（x，y）的先x→x0后y→y0次序的累次极限，记作：lim limf（x，y）=A。
同样的方法可以定义相反次序的累次极限lim limf（x，y）=A。
[2]2.二重极限与累次极限的关系举例二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念，下面举例说明它们在存在性上是相互独立的，没有必然的联系。
（1）二重极限存在，两种不同次序的累次极限也存在，且相等。
例如，—，x2+y2≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; x2+y2=0二重极限lim—=0存在。
这是因为对∨ε>0，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2两种不同次序的累次极限lim lim—=0，lim lim—=0存在且相等。
（2）二重极限存在，两种不同次序的累次极限都不存在。
例如，xsin—+ysin—，x≠0，y≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; ; ; ; ; ;x=0，y=0二重极限lim（xsin—+ysin—）=0存在。
浅议二元函数重极限与累次极限的关系
浅议二元函数重极限与累次极限的关系
极限是数学里的一个重要的概念，通过极限的研究也可以更好的研究和解决方程。
特别是二元函数重极限和累次极限的关系更加复杂，研究这种关系对于理解二元函数方程里一些复杂问题具有特殊的重要性。
从数学角度来分析，二元函数重极限基本上是累次极限的一种简写形式，即$lim_{x→x_0 } f(x)=lim_{x→x_0,y→y_0}f(x, y)$ 。
当我们考虑一个二元函数f(x, y)时，如果y=y0，即函数中的第二项y的值是一个常量，f(x, y)就可以被
简单的替换成一元函数$ f(x)=f(x,y_0 ) $，这就意味着二元函数重极限和累次极限的情况是一致的，这就是它们之间的关系。
同样，累次极限也可以被简化为重极限，即当累次极限的变量维度只有一个时，就可以简单地使用重极限代表，这也意味着累次极限和重极限之间也有一定的相互关系。
可以发现，当极限变量维度只有一个时，重极限和累次极限之间具有一定的等
价性，并且当变量维度更高时，它们之间也有类似的关系，累次极限也可以被简化为重极限。
因此，重极限和累次极限之间基本上是等价的，他们之间存在一定的相互转换关系。
关于二重极限与累次极限的研究
关于二重极限与累次极限的研究二重极限与累次极限是微积分学中重要的研究内容，用于描述多元函数的性质。
在本文中，我们将探讨二重极限与累次极限的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们先来定义二重极限。
设有二元函数$f(x,y)$，当$x$和$y$的取值在其中一区域中变化时，如果当$(x,y)$趋近于其中一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$无限接近于常数$L$，则称$L$为$f(x,y)$当$(x,y)$趋近于$(a,b)$时的二重极限，记作：$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$$接下来，我们来看一些二重极限的性质。
首先，在计算二重极限时常用的方法有直接代入法、夹逼法和极坐标转化法等。
其次，对$f(x,y)$的二重极限不存在的情况，通常表明函数在$(a,b)$处没有定义或者存在其中一种不连续性。
最后，对于其中一点$(a,b)$，若存在不同的趋近方式使得二重极限的值不同，则二重极限不存在。
然后我们来介绍一下累次极限。
设有二元函数$f(x,y)$，如果对于每个$x$，当$y$趋近于其中一点$b$时，有$\lim_{y\to b}f(x,y)=g(x)$，则称$g(x)$为$f(x,y)$当$y$趋近于$b$时的累次极限，记作：$$\lim_{y\to b}(\lim_{x\to a}f(x,y))= g(x)$$类似地，如果对于每个$y$，当$x$趋近于其中一点$a$时，有$\lim_{x\to a}f(x,y)=h(y)$，则称$h(y)$为$f(x,y)$当$x$趋近于$a$时的累次极限。
累次极限与二重极限的关系是：如果当$(x,y)$趋近于$(a,b)$时，存在$L$使得$f(x,y)$的二重极限等于$L$且$f(x,y)$的累次极限存在，则二重极限和累次极限相等。
接下来，我们来看一些关于二重极限和累次极限的例子。
以函数$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$为例，当我们计算$f(x,y)$在$(0,0)$处的二重极限时，可以使用极坐标转化法，令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则有：$$f(x,y)=\frac{r\cos\theta\cdotr\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\frac{\cos\theta\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$$当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，$r$趋近于零，而$\theta$可以取任意值。
二元函数极限证明
二元函数极限证明)in1y?ysin1x, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。
例函数 f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线 y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。
（4）二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在 , 则必相等.( 证 )（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等第三篇：二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。
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文献综述
数学与应用数学
二元函数重极限和累次极限的关系及其求解
1.国内外现状
极限思想也是社会实践的产物。
追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。
他意识到极限概念的重要性试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”。
但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。
牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。
维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。
所谓an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。
因此,这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。
在该定义中,涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
2．研究方向
许汪涛《关于多元极限概念》中强调突出多元函数的重极限与累次极限是两个性质上不同，却又紧密相关的概念。
并且论述了这两种概念的区别及联系，从七个方面讨论了解重极限的方法。
张同琦《浅议二元函数重极限与累次极限的关系》中讨论了重极限与累次极限的关系及重极限与累次极限存在且相等的条件。
赵丽琴，白云芬《累次极限与二重极限的关系研究》阐述了累次极限与二重极限在其定义的基础上讨论两者之间的关系，从理论上指出累次极限不能看作二重极限特例的根本原因。
张俊显《二重极限的研究》中通过利用定义、不等式、代入求值、因式有理化、极坐标作变量代换等对二重极限的研究，解决了一些二重极限计算的困难，阐明了一些复杂的二重极限的方法。
罗志敏《浅谈二重极限交换次序的问题》中主要讨论了求函数列的二重极限的次序的交换问题，给出了二重极限可交换次序的具体条件，并列举了一些相关应用。
3. 进展情况
19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。
但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。
所谓an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立”。
4. 存在问题
我们所讨论的多元函数是从一元函数的分析中推断出来的，并且考虑的定义域都是实数域。
由于研究对象所存在的域（或空间）不同，那么他们的性质也会有一定的变化，比如泛函分析中同样有极限的存在，但他们所研究的对象就会有所不同。
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
但是在实际生活的应用中仍需要问题的需要不断改进函数极限值存在的条件使之更加贴近现实。
5．参考文献
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[2]王旭琴.二重极限与累次极限的关系[J].南昌高专学报，2010,87:157-158.
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[4]赵丽琴，白云芬.累次极限与二重极限的关系研究[J].石家庄学院报，2005,7(3):19-20.
[5]黄克武.论重极限与累次极限的等价性[J].云南教育学院报，1995,11（5）:20-23
[6]张同琦.浅议二元函数重极限与累次极限的关系[J].渭南师范学院报，2000，15（5）：69-70.
[7]陈继修，於崇华，金路.数学分析第二版下册[M].北京：高等教育出版社，1999:120-125.
[8]翟明娟.多元函数重极限的几种求法[J].晋东南师范专科学校学报,2003,20(2):50-51.
[9]罗志敏，汪琳.一类多元函数极限的计算[J].科技创新导报，2008.26:242-243.
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[12]阎明刚.用定义证明多元函数极限的一个方法[J].商丘师专学报（自然科学版），1988,(2):53-
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[13]张俊显.二重极限的研究[J].石家庄大学报，2000,12（1）：24-26.
[14]罗志敏。
浅谈二重极限交换次序的问题[J].赤峰学院报学报（自然科学版），2009,25
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