2012届高考数学课时复习题1
2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合-学生版
2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合§1.1 集合的含义及其表示经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人CD ．倒数等于它本身的数2下面四个命题正确的是（ ）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程2210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ； （3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A ； 其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x2-3x+5=0的解集是空集； （3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集； 其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A ． {x,y 且0,0x y <>} B ． {(x,y)0,0x y <>}C. {(x,y)0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>}6．用符号∈或∉填空：0__________{0}， a__________{a}， π__________Q ， 21__________Z ，－1__________R ，0__________N ， 0 Φ． 7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x =}．8．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N=-+∈∈}为 ．9．当a 满足 时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集．10．对于集合A ＝{2，4，6}， 若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x2－x}中的x 不能取哪些数值？12．已知集合A ＝{x ∈N|126x －∈N }，试用列举法表示集合A ．13.已知集合A={2210,,x ax x a R x R++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则11Aa∈-,证明：（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。
2012届高考数学一轮复习测试题及答案(一)
第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。
2012 年全国各地高考数学试题及解答汇编大全
3、 (2012 全国卷大纲版●理)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列， 要求每行的字母 互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A). A. 12 种； B. 18 种； C. 24 种； D. 36 种. 4、 (2012 全国卷大纲版●理)正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE BF
2、 (2012 新课标●理)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边 长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A). A. B. C. D.
2 ； 6
3 ； 6 2 ； 3
2 . 2
【解析】 ABC 的外接圆的半径 r 1 1 o 3 ，球心 O 到面 ABC 的距离 2 sin 60 3 第 1 页/共 64 页
1 1 1 1 f ( y)，即 y f 1 ( x) g ( x) 知， y f (2 x) 的 2 2 2
反函数是 y 1 g ( x) ，故函数 y f (2 x) 与 y 1 g ( x) 的图像也关于直线 y x 对称；正 2 2 确. ③ f ( x) f (2 x) f ( x 2) f [2 ( x 2)] f (4 x) f ( x 4) .故 f ( x) 是周期为 4 的函数. 故选 C.
由对称性知， y x，y 1 ， ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 围成的面积与 x
1 y x，y ， ( x 1)2 ( y 1)2 1 围成的面积相等. x
故 A B 所表示的平面图形的面积为 y x ， ( x 1)2 ( y 1)2 1 围成的面积
2012年高考数学一轮复习 4-专题1课时作业
4专题1课时作业一、选择题1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1∴S n ＝2·2n－12－1－n ＝2n ＋1－2－n2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13B.512 C.12D.712 答案 B 解析b n ＝1a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512 3．已知等差数列公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nd a 1a 1＋nd B.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋ndD.n ＋1a 1[a 1＋n ＋1d ]答案 B 解析∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B4．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2008的值为( )A.20052006B.20062007 C.20072008D.20082009答案 D解析 直线与x 轴交于(2n，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12008－12009)＝1－12009＝20082009二、填空题5．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5050 解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×100＋12＝50506．S n ＝122－1＋142－1＋…＋12n 2－1＝________. 答案n2n ＋1 解析 通项a n ＝12n 2－1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋17．(2010·《高考调研》原创题)某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数共有________．答案 255解析 当n 为偶数时，由题易得a n ＋2－a n ＝2，此时为等差数列；当n 为奇数时，a n ＋2－a n＝0，此时为常数列，所以该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数总和为S 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255.三、解答题8．(2010·某某卷，文)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21.S n ＝19n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n－12.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n q 2，(q ≠0) 求和：1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n.解 由题意得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝(1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1)＋(1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n )＝1a 1(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＋1a 2(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q2n －2)．当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32n ，当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32(1－q －2n1－q －2)＝32[q 2n－1q 2n －2q 2－1]． 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n ， q ＝132[q 2n－1q 2n －2q 2－1]， q ≠1.10．数列{a n }的前n 项和为S n ＝10n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 易求得a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)． 令a n ≥0，得n ≤5；令a n ＜0，得n ≥6. 记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则： (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝10n －n 2. (2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.综上，得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10nn ≤5时；n 2－10n ＋50n ≥6时.11．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4(1)求{a n }的通项公式． (2)求{T n }的通项公式． 解析 (1)T 1＝a 1＝1T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2 ∴a n ＝2n －1(2)解法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －1①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n② ②－①得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋21－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2解法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n ＝21－2n1－2－n＝2n ＋1－n －212．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n ①，∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1②， ①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .13．已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列{1a n－1}是等比数列；(2)求数列{n a n}的前n 项和S n . 解 (1)∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12.∴数列{1a n －1}是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n .①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝121－12n1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n ，又1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12，∴数列{n a n }的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n n ＋12＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。
2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数-学生版
2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数§2.1.1 函数的概念和图象经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(,]4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆++∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x=∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．§2.1.2 函数的简单性质经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于 （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数1()x f x -=是（ ）A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ ）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(,)22y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是 ．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。
2012届高考数学一轮复习 1不等式和绝对值不等式课件 (文) 新人教A版选修4-5
)
C.(-4,0)
D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1,
∴0<x<2或-4<x<-2,
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 答案:D
5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值 是( A.0 C.-1 ) B.1 D.2
(2)由不等式|2x+5|>7+x,
可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
整理得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
(3)解法一:分别求|x-1|,|x+2|的零点,即1,-2.
由-2,1把数轴分成三部分:
x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当x<-2时,原不等式为1-x-2-x<5. 解得-3<x<-2;
[反思感悟] 使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明
确,通过添､拆项后,适当放缩.
错源
去绝对值不当致误
【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2. [剖析] 本题可以按照-,4把实数集分割成三个部分,去掉绝对值后转化为三个不等式组的解处理.可能出 现的错误就在这个去绝对值上,一个是分区时漏掉了端点值- ､ 4,另一个是在各个部分内判断绝对 值内式子的符号,如当- ≤ x<4时认为2x+1<0等.
等式.转化的途径有三种:一是依据实数绝对值的定义:
2012届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案
专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x＜0，有x2≤02. (2,3)解析：M＝(－∞，3)，N＝(2，＋∞)，∴ M∩N＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4＞0.4. [－1,1]解析：集合A＝[－1,1]，B＝(－∞，1]，∴ A∩B＝A.5.215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a，a＋45≤10≤a≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b－13≥0，b≤113≤b≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13解析：p：x2＋x－6＜0为真，则不等式的解集为A＝(－3,2)，由q：mx ＋1＞0得m＝0时，解集为B＝R，m＞0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－1m，＋∞，m＜0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m，m＝0时，A B成立；m＞0时，－1m≤－3,0＜m≤13；m＜0时，－1m≥2，－12≤m＜0，综上m∈⎣⎡⎦⎤－12，13.7. 12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的有15－x，只喜爱乒乓球的有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞)解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x＋3x＋1≥02x＋2－(x＋3)x＋1≥0x－1x＋1≥0(x－1)(x＋1)≥0且x≠－1x≥1或x＜－1.∴集合A＝{x|x≥1或x＜－1}．(2) (x－a－1)(2a－x)＞0(a<1)(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a ＋1.∴不等式的解为2a＜x＜a＋1.∴集合B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵B A，∴2a≥1或a ＋1≤－1，∴ a≥12或a≤－2.又a<1，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.10. 解：若命题p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m2－4＞0，－m＜0m＞2.若命题q为真，Δ＝16(m－2)2－16＜0,1＜m＜3.p或q为真，p且q为假，所以若命题p为真，命题q为假，则m≥3；若命题p 为假，命题q为真，则1＜m≤2，综上，则实数m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x－2)2解析：函数满足f(x)＝f(x＋2)，函数周期为2.则x∈[2,3]，x－2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解： 任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲 基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析： 二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )，∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲 函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立， 即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明： 当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0， 故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解： 由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲 不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号． 即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18； 当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数， 故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲 导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析： 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2， －2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32， 若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立， 则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5； 当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2， 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲 三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ s inα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲 平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6， 则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要 解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲 数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ， 所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ， 当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ， 此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010， 有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值 极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷[全套]
解析 A＝{x|－a≤x≤a}，根据题意可知 1≤a＜2. 10．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}， 则 A*B 中元素的个数为________． 答案 10 解析 由题知，A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，
［精品］2012 年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷解析版［全套］
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共 10 个，即 A*B 中的元素 有 10 个． 11．设集合 A、B 都是 U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}， 且 A∩B＝∅，则 A＝________. 答案 {3,4}
2x－1>0 2x－1<0 或 1－|x|<0 1－|x|>0
)
1 B．x>1 或－1<x< 2 1 D．x<－1 或 x> 2
1 1 x>2 x<2 ∴ 或 x>1或x<－1 －1<x<1 1 ∴x>1 或－1<x< ，故选 B. 2 7．(2011· 徐州质检)已知集合 M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 M ∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( A．a＝2009，b＝－2010 C．a＝2009，b＝2010 答案 D 解析 化简得 M＝{x|x<－1 或 x>2009}， 由 M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知 N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的两个根． 所以 b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即 a＝－2009. 8．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为 ( ) 1 A．{x|－1<x< } 2 C．{x|－2<x<1} 答案 A 解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根． 1 B．{x|x<－1 或 x> } 2 D．{x|x<－2 或 x>1} ) B．a＝－2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010
2012届高考理科数学小题训练
2012届高考理科数学小题训练1 姓名一、本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N = （ ） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<2．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a等于（ ）A ．5B ．52C ．25D ．53．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm4．命题“存在R x ∈，使24x ax a +-＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A. m 250B. m 350C. m 225D. m 22256. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽 取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表 示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 为（ ） A ．> B ．< C ．＝ D ．不能确定7. 函数x x y sin 3+=的图象大致是（ ）正视图侧视图俯视图8．设双曲线1422=-y x 的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x ,为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为 （ ）A ．2-B ．223-C ．0D ．225-二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。
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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y |y ＝12x ，x ∈A ，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2,3,4}
B ．{1,2} C{1,3} D ．{2,4}
解析：由题意得B ＝{12，1，32
，2}，则A ∩B ＝{1,2}． 答案：B
2．（2011·威海模拟）如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则
阴影部分所表示的集合是( )
A ．(∁I A ∩
B )∩C
B ．(∁I B ∪A )∩C
C ．(A ∩B )∩∁I C
D ．(A ∩∁I B )∩C
解析：由图可知阴影部分所表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .
答案：D
3．(2010·北京宣武模拟)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：A ∩B ＝{3,4}，U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，∁U (A ∩B )的元素个数有3个．
答案：C
4．设集合U ＝{小于7的正整数}，A ＝{1,2,5}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |32－x ＋1≤0，x ∈N ，则A ∩(∁U B )＝( )
A ．{1}
B ．{2}
C ．{1,2}
D ．{1,2,5} 解析：U ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{3,4,5}，则A ∩∁U B ＝{1,2}．
答案：C
5．设集合A ＝{x |y ＝x 2－4}，B ＝{y |y ＝x 2－4}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2－4}，则下列关系：①A ∩C ＝∅；②A ＝C ；③A ＝B ；④B ＝C .其中不．
正确的共有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：②、③、④都不正确．
答案：C
6．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A *B 为( )
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}
D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 解析：A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，由图可得A *B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．
答案：D
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．设集合A ＝{x |x 2－2x ＋2m ＋4＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为____________．
解析：设M ＝{m |关于x 的方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0的两根均为非负实数}，
则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4(－2m －3)≥0，x 1＋x 2＝2＞0，
x 1·x 2＝2m ＋4≥0，⇒－2≤m ≤－32， 设全集U ＝{m |Δ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m ≤－32， ∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪
－2≤m ≤－32， ∴m 的取值范围是∁U M ＝{m |m <－2}．
答案：{m |m <－2}
8．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x ＜1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.
解析：A ∪B ＝{x ∈N *|lg x ＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．
答案：{2,4,6,8}
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：借助Venn 图分析(如图所示)．
答案：12
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 解：由9∈A ，可得x 2＝9，或2x －1＝9，
解得x ＝±3，或x ＝5.
当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；
当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝ {－8，－7，－4,4,9}；
当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．
综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}．
11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R}．
(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，
B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＝1m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．
∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.
∴m ＞5或m ＜－3.
12．若集合A ＝{x |x 2－2x －8＜0}，B ＝{x |x －m ＜0}．
(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；
(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．
解：(1)由x 2－2x －8<0，得－2<x <4，
∴A ＝{x |－2<x <4}．
当m ＝3时，由x －m <0，得x <3，∴B ＝{x |x <3}，
∴U ＝A ∪B ＝{x |x <4}，∁U B ＝{x |3≤x <4}．
∴A ∩(∁U B )＝{x |3≤x <4}．
(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，
又A∩B＝∅，∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.。