待定系数法求直线与圆的方程
圆的一般方程jiang
练习
求圆x2 y 2 -2x 2 y 1 0的圆心和半径
圆心（1,1）半径为1
例2 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2） 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
方法一：
待定系数法
解：设所求圆的一般方程为：
2 2 2 2
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
1 2 2 D E 4 F 为半径的圆； 圆心、以 2
（2）当 D E 4F 0 时, 方程①表示一个
2 2
点
D E ； ， 2 2
2 2
（3）当 D E 4F 0 时, 方程①不表示任 何曲线.
x y Dx Ey F 0 D E 4 F 0
利用配方法，得：
D E D E 4F ① x y 4 2 2
2 2
2
2
对于x y Dx Ey F 0 ①
2 2
（1 ） 当 D 2 E 2 4F 0
D E ① 表示以为 ， 时， 2 2
2 2 2 2
称为圆的一般方程．
1 D E 表示以 ， 为圆心、以 2 2 2 D 2 E 2 4F 为
半径的圆；
例1 求圆
解：
x y 6x 4 y 5 0 的圆心和半径
2 2
D 6, E 4, F 5
D E 圆心 C ( , )即（-3, 2） 2 2 你能用配方法求 1 半径 D 2 E 2 4 F =2 2 圆心和半径吗？
(x 3 2 3 ) ( y )2 1 2 2
3 3 , 2 2
圆的一般方程
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版
圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程． 重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（ ） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
高考数学备考复习 易错题十：直线与圆的方程
高考数学备考复习易错题十：直线与圆的方程一.单选题（共13题；共26分）1.直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有公共点，则过点(m,n)的直线与椭圆的交点的个数是（）A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个2.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by-4=0对称，则a2+b2的最小值是（）A. 2B.C.D. 13.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是（）A. B. k<0或 C. D. 或4.已知圆C:（x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C 的切线方程是（）A. y=x+2-B. y=x+1-C. y=x-2+D. y=x+1-5.（2015·湖南）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96.（2015·安徽）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或127.（2015全国统考II）已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为（）A. B. C. D.8.若原点到直线3ax＋5by＋15＝0的距离为1，则的取值范围为（）A. [ 3，4]B. [3，5]C. [1，8]D. (3，5]9.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A. ﹣或﹣B. ﹣或﹣C. ﹣或﹣D. ﹣或﹣10.（2016•全国）圆的圆心到直线的距离为1，则a=( )A. B. C. D. 211.已知点P（1，2）和圆C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是（）A. k∈RB. k＜C. ﹣＜k＜0D. ﹣＜k＜12.直线L圆x2+（y﹣2）2=2相切，且直线L在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线L的条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 413.平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A. 2x﹣y+5=0B. x2﹣y﹣5=0C. 2x+y+5=0或2x+y﹣5=0D. 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0二.填空题（共4题；共4分）14.已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是________15.（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．16.（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为________．17.一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是________．三.综合题（共2题；共20分）18.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．(1)求过点A且平行于l的直线的方程；(2)若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案解析部分一.单选题1.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】直线与圆没有公共点，，在圆内部，在椭圆内部，所以过的直线与椭圆有两个交点【分析】判断直线与椭圆的交点个数，需判断直线过的定点与椭圆的位置关系，求解本题利用到了数形结合法，此法在一些选择填空题目中经常用到，可使计算简化，难度适中2.【答案】A【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，圆的一般方程，直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为圆：关于直线对称，所以直线过圆心（－1,2)，所以－2a+2b－4=0,a=b－2,=2,的最小值是2，故选A。
2.待定系数法
2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
9.4.2圆的一般方程
课堂基础巩固
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2化为一般方程是( A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＋3＝0 C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋y2＋2x－4y＋3＝0
[答案] D
)
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( A. 2π B．2π
)
C．2 2π D．4π
[答案] C
a 2 3 (3)对方程x ＋y ＋ax－ 3 ay＝0配方，得(x＋ ) ＋(y－ 2 2
2 2
a)2＝a2. 当a＝0时，该方程表示的图形为一个点(0,0)． a 3 当a≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为(－2， 2 a)， 半径长为|a|.
[点评]
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，
2 2
5 5 示以(4，0)为圆心，4为半径的圆．
规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与 y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－ 4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的 常数即可． (2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特 征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次 方程，代数特征明显．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0
解法2：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线 方程为x＋y＝0
x＝1 由 x＋y＝0
得圆心坐标为M(1，－1)，
半径r＝|MA|＝ 5， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
总结评述：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的性质的解 法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小，充分利用圆的 性质可简化解题过程． 2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知条件容易 求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问 题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可．②如果给出 圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一 般采用一般方程，求出D、E、F即可．
第13课：圆的方程(2)
填一填· 知识要点、记下疑难点
2.2.1（二）
1． 对于二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当 D2＋E2－4F
本 课 时 栏 目 开 关
D E ＝0 时，方程表示 一个点 ，该点的坐标为(－ 2 ，－ 2 )；当 D2＋E2－4F<0 时， 不表示任何 图形； D2＋E2－4F>0 方程 当 D E 时， 方程表示的曲线为圆， 它的圆心坐标为 (－ 2 ，－ 2 ) ，
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
跟踪训练 1 求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标． 解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵O，M1，M2 三点都在圆上，
本 课 时 栏 目 开 关
∴O，M1，M2 三点坐标都满足所设方程， 把 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)代入所设方程， F＝0 D＝－8 得：D＋E＋F＋2＝0 ，解得：E＝6 4D＋2E＋F＋20＝0 F＝0
D＝－6， ⇒E＝－2， F＝5.
△ABC 外接圆的方程．
本 课 时 栏 目 开 关
在所求的圆上， 4D＋3E＋F＋25＝0， 故有5D＋2E＋F＋29＝0， D＋F＋1＝0
故所求圆的方程是 x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
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2.2.1（二）
2.2.1（二）
182＋18D＋F＝0 2 18 －18D＋F＝0， 62＋6E＋F＝0
本 课 时 栏 目 开 关
D＝0 解之得E＝48 F＝－324
，
∴圆拱所在的圆的方程为：x2＋y2＋48y－324＝0； 将点 P2 的横坐标 x＝6 代入圆方程，
高中数学第2章直线和圆的方程章末核心素养整合新人教版选择性必修第一册
【典型例题6】已知圆C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点.
= ,
= ,
联立③④,解得
或
= -
= .
= ,
= ,
经检验此时的 l1 与 l2 不重合.故
或
= -
= .
【跟踪训练2】已知直线l1:ax+2y+6=0,直线l2:x+(a-1)y+a21=0,当l1∥l2时,a=
;当l1⊥l2时,a=
.
答案:-1
解:(1)因为AC⊥BH,所以设边AC所在的直线的方程为
2x+y+t=0.把点A(5,1)代入直线方程2x+y+t=0中,解得t=-11.
所以边AC所在的直线的方程为2x+y-11=0.
(2)设点 B(x0,y0),则边 AB 的中点为
联立得方程组
+ +
,
.
- - = ,
为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0.
【典型例题1】 已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线
CM所在的直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在的直线
方程为x-2y-5=0.求:
(1)AC所在的直线的方程;
(2)点B的坐标;
(3)AC边上的中位线所在直线的方程.
(1)求k的取值范围;
(2)若 ·=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.
解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
4.1.2圆的一般方程(使用)
二元二次方程表
示圆的一般方程
练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是
圆心（1，-2）半径3
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0
是 圆心（3，-1）半径 10
不是
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆.
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ - 2 ,- 2
）.
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x + ) + ( y + ) = 2 2 4
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 的曲线是圆呢？
1 (2)分 AP 的比为 的点Q的轨迹方程. 2
3 2 1 2 1 ( x - ) + y = 2 4 1 2 2 2 ( x - 2) + y = 9
解析几何-直线与圆的方程(二)
高二数学授课教案学生姓名授课教师班主任上课时间9 月 23 日时—时科目数学课题第1课时平面解析几何——直线与圆的方程学习目标1．回顾、加强空间坐标系、直线与圆的方程基础知识．2．巩固直线、圆的方程的主要求解方法．(重点)3．能够解决综合性解析几何问题．(难点)教学过程教学设计一、主干知识梳理1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为y kx b=+；2．知直线横截距x，常设其方程为x my x=+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y，当斜率k存在时，常设其方程为00()y k x x y=-+，当斜率k不存在时，则其方程为x x=；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1•k2＝－1.提醒:当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. (2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒:应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的三种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
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待定系数法求直线与圆的方程
待定系数法是一种常用的数学方法.对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数.其广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等.
使用待定系数法解题的一般步骤是：
(1) 确定所求问题含待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
其中，如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
① 利用对应系数相等列方程；
由恒等的概念用数值代入法列方程；
③ 利用定义本身的属性列方程；
④ 利用几何条件列方程.
本文举例说明待定系数法在直线和圆中的应用.
例1 过点（2，-1）做一直线，使到点(1，2)的距离为 1，求此直线方程.
评注: 本题是一道常规题，通过方程的形式引入待定系数，再通过距离公式得到关于k 的方程,解出k 值，得直线方程。
此外要注意斜率不存在的情况.
例2 求圆心在直线 2x —Y 一3— 0上，且过点 (5，2)和点(3，一2)的圆的方程.
分析: 求圆的方程基本方法第一步是设出圆的方程，而圆的方程有一般式和标准式，下面我们从这两个角度用待定系数法求解，看看解题过程的区别．
(1)直接设圆的标准方程为222)(r b y a x =-+-）（由已知 的三个条件可得
关于a ，b ，r 的三个方程，解之可得所求圆的方程。
(2)因为条件中圆心在直线2x-y-3=0上，因此可设圆心为(a ，2a-3)，半
径为r ，从而得圆的标准方程为,)32(222r a y a x =+-+-）（再把已知的两点坐标
代入可得解.
.
10)1(2,
10,2,
)322()3(,)322(-52-32,5,
)32(,,32.
10)1(2,
10,1,2,)2()3(,
)2()5(,032,)(22222222222222222222222=-+-⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=+-+=+-+--=-+-⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩
⎪⎨⎧=--+-=-+-=--=-+-y x r a r a a r a a B A r a y a x r a a y x r b a r b a r b a b a r b y a x ）（所以所求圆的方程为：解之得）（）两点所以有，（），（又圆过）为（从而得到圆的标准方程半径为），法二，设圆心为（）：（所以，所求圆的方程为解之得则
）为（法一，设圆的标准方程解答：
评注:
确定圆的方程需要三个独立的条件，“选标准，定参数”是解题的基本方
法.其中，“选标准”是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.本例给了二种解法，其中解法一是最基本的直接利用条件，而解法二对条件进行了一定的变形，从而使要待定的参数由三个变成了两个，减少了解题的运算量.
此外本题也可这样考虑：因为圆过A(5，2)，B(3，一 2)两点，所以圆心一
定在线段 AB 的垂直平分线上，由 AB 的垂直平分线方程和已知的直线方程联立，可解得圆心的坐标，再由两点间距离公式可求得半径，从而原问题可解，这说明结合平面几何的知识可使问题的求解得到优化.
例3 试判断A(1，2)，B(O ，1)，C(7，6)，D(4，3)四点是否在同一圆上。
分析：可以由其中三点确定一个圆的一 般式方程，再对余下的一点进行验
证。
解答：因为线段 AB ，BC 的斜率分别为,1,1-==BC AB k k ，所 以 A ，B ，C
三 点不共线，设过 A ，B ，C 三点 的圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，因为A ，B ，C 三点在圆上，所以它们的坐标满足此圆的方程，即
四点在同一个圆上。
在此圆上，故即点，：点坐标代入方程左端得将为所以过三点的圆的方程，，
，解之得，D C B A D D y x y x F E D F E D F E F E D ,,,05-3448-34.
0548548,08567,
010522222=⨯+⨯+=-+-+⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=++=+++
评注：
本题由于不能确定出圆心和圆的半径，所以不适宜用圆的标准方程，故采用圆的一般方程求解.
其实本例还有一种特殊的解法：由,,1BC AB k k BC AB ⊥-=⋅得出即 AC 为过 A ，B ，C 三点的圆的直径，由AC=10，AC 中点 M 的坐标为(4，一2)，从而可以得 DM= 5，所以点 D 在 圆M 上，即A ，B ，C ，D 四点共圆，这说明挖掘题中所隐含的信息很重要.
巩固练习
1．求过两直线 x+3y-10=0和 y=3x 的交点并且和原点距离为 1的直线方程.
2．三条直线 y = 0， x = 1，y = x 围成的一个三角形，其外接圆的方程是 .
3．求圆心在直线 x =2上，与 y 轴交于A(O ，一4)，B(O ，一2)的圆的方程.
4．一圆经过 A(4，一2)，B(一1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2，求此圆的方程.。