常微分方程3.4-线性非齐次常系数方程的待定系数法
常微分方程第四章
3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i =都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了.形如)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n =+'+++--的方程（其中),,2,1(n i p i =均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果 0)(=x f ，即01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)(≠x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程0=+'py y这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解px e x y -=)(.因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y -=)(.对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如x e x y λ=)(的解，其中λ是待定常数.为了确定λ，可以将x e x y λ=)(代入方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n .这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y '''),,2,1(,)(n i e y x i i ==λλ代入方程得：0)(111=++++--x n n n n e p p p λλλλ因为0>x e λ，所以有0111=++++--n n n n p p p λλλ该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.x e x y λ=)(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当λ是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解.1、特征根互异首先，假设特征方程有n 个互异的实根n λλλ,,,21 .这时，就可以得到相对应的n 个解x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121因为n λλλ,,,21 两两互异，所以x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为x n x x n e C e C e C x y λλλ+++= 2121)(.其中n C C C ,,,21 是任意常数.例1 求方程023=+'+''y y的通解.解 特征方程为0232=++λλ即0)2)(1(=++λλ从而，特征根为2,121-=-=λλ 基本解组为x x e x y e x y 221)(,)(--==因此方程的通解为x x e C e C x y 221)(--+= 其中21,C C 是任意常数.例2 求方程045=+'-''y y y 的通解及满足初始条件：4)0(,1)0(='=y y 的特解. 解 特征方程为0452=+-λλ 即0)4)(1(=--λλ 从而，特征根为4,121==λλ 基本解组为x x e x y e x y 421)(,)(==因此方程的通解为 xx e C e C x y 421)(+=其中21,C C 是任意常数.下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入x x e C e C x y 421)(+=x x e C e C x y 4214)(+='得⎩⎨⎧=+=+4412121C C C C 所以1,021==C C ，因此所求的特解为x e x y 4)(=.其次，互异的特征根中含有复根，即n λλλ,,,21 中有复数，不妨设bi a k +=λ（b a ,为实数）.这时，bi a k +=λ所对应的解为x k e x y λ=)(.由于bi a k +=λ为复数，x k e λ应该如何定义呢？定义之后x k e x y λ=)(的求导与k λ为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题.给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如)sin (cos θθi r bi a z +=+= 其中ab b a r arctan ,22=+=θ. 同时，复数也可以写成指数形式，即θθθi r i r i e e e re bi a z +===+=ln ln所以有)sin (cos )sin (cos ln ln θθθθθi r i e e r i r +=+=+于是有)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k +==+λ.有了定义之后，我们来研究k λ为复数与k λ为实数时的求导计算是否相同.性质1.无论α是实数还是复数，总有x x e e ααα=')(.证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.因为)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x +==+α所以)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x ++-='+'='α x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e αα=++=+++=))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [. 由性质1，可得：无论α是实数还是复数，总有x n n x e e ααα=)()(.性质2.无论α是实数还是复数，对任意实数k ，总有x k k x k e x kx e x ααα)()(1+='-.证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.这时)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k +==+α所以)sin ()cos ()('+'='bx e x i bx e x e x ax k ax k x k α)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k +++-+=--])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k +++++=-))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax k ++++=-x k k e x kx αα)(1+=-.有了上述定义和性质，bi a k +=λ所对应的解为)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k +==λ是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复解的概念，并把复解实数化.定义3.4 函数)(),(x v x u 都是实数函数，设复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，则称复值函数)(x y 为方程的复解.定理3.11设复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，则复值函数的实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.证明 因为复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，所以有0))()(())()(())()(())()((1)1(1)(=++'++++++--x iv x u p x iv x u p x iv x u p x iv x u n n n n 即0))()(())()((]))(())([())(())((1)1()1(1)()(=++'+'+++++---x iv x u p x v i x u p x v i x u p x v i x u n n n n n n 即)())(())([()]()())(())([(1)1(1)(1)1(1)(x v p x v p x v i x u p x u p x u p x u n n n n n n n '+++++'+++---- 0)](=+x v p n所以0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x u p x u p x u p x u n n n n0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x v p x v p x v p x v n n n n即，实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数bi a k +=λ，则该复数根对应一个复解)sin (cos bx i bx e y ax +=而该复解的实部函数bx e x u ax cos )(=和虚部函数bx e x v ax sin )(=都是齐次方程的解，即，该复根bi a k +=λ对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决：（1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于n 个，怎么处理？（2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？因为方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的系数),,2,1(n i p i =全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，bi a +是特征根，则bi a -也是特征根.这样，复解是成对出现的，bi a -所对应的复解为)sin (cos bx i bx e y ax -=这时，它的实部函数和虚部函数同bi a k +=λ的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根bi a ±=λ对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是n 个.而且，实部函数和虚部函数可以由bi a ±=λ所对应的两个复解)sin (cos )(1bx i bx e x y ax +=和)sin (cos )(1bx i bx e x y ax -=来表示，即)]()([21)]sin (cos )sin (cos [21cos )(21x y x y bx i bx e bx i bx e bx e x u ax ax ax +=-++== )]()([21)]sin (cos )sin (cos [21sin )(21x y x y ibx i bx e bx i bx e i bx e x v ax ax ax -=--+== 下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组.定理3.12 如果)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是在区间),(b a 上的n 个线性无关的函数，21,k k 是两个非零常数，则函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.证明 设函数组)(,)()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+的线性组合等于零.即0)()())()(())()((3321222111=+++-++x y C x y C x y x y k C x y x y k C n n即0)()()()()()(332221112211=+++-++x y C x y C x y k C k C x y k C k C n n因为函数组)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的，所以0,0,0322112211====-=+n C C k C k C k C k C因为21,k k 不为零，由0,022112211=-=+k C k C k C k C 可得：021==C C所以0321=====n C C C C因此，函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程044=+'+''+'''y y y y的通解.解 特征方程为04423=+++λλλ即0)4)(1(2=++λλ从而，特征根为i 2,13,21±=-=λλ基本解组为x x y x x y e x y x 2sin )(,2cos )(,)(321===-因此方程的通解为x C x C e C x y x 2sin 2cos )(321++=-其中321,,C C C 是任意常数.例4求方程05262)4(=+'+''+'''+y y y y y的通解.解 特征方程为05262234=++++λλλλ即0)52)(1(22=+++λλλ从而，特征根为i i 21,4,32,1±-=±=λλ基本解组为x e x y x e x y x x y x x y x x 2sin )(,2cos )(,sin )(,cos )(4321--==== 因此方程的通解为x e C x e C x C x C x y x x 2sin 2cos sin cos )(4321--+++=其中4321,,,C C C C 是任意常数.2、特征根有重根设1λ是)1(n k k ≤<重特征根（1λ为实数或复数），则1λ对应着齐次方程的一个解x e x y 1)(1λ=.但是，1λ是k 重特征根，相当于k 个特征根，只得到了一个解.这时得到的线性无关解的个数会少于n 个，构不成基本解组.所以k 重特征根1λ应该对应k 个线性无关的解，那除了x e x y 1)(1λ=外还应补上1-k 个解，应该补上哪些解呢？我们先研究二阶常系数线性齐次微分方程有重根的情形. 设二阶齐次方程为0=+'+''qy y p y其中q p 42=.特征方程为02=++q p λλ特征根为22,1p -=λ 则得到二阶齐次方程的一个非零解x p e x y 21)(-=.利用刘维尔公式可求得与x p e x y 21)(-=线性无关的另一个解)(2x y ，x p px px x p pdx xe dx ee e dx x y e x y x y 222112)()()(-----==⎰=⎰⎰ 即，当21p -=λ是二重特征根时，除了对应解x p e x y 21)(-=之外，还对应另外一个与x p e x y 21)(-=线性无关的解x p xe x y 22)(-=.与二阶方程类似，我们猜想，当1λ是k 重特征根时，对应的k 个线性无关的解为x k k x x e x x y xe x y e x y 111121)(,,)(,)(λλλ-===下面来证明这个猜想，即证明),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解.首先，特征方程为0111=++++--n n n n p p p λλλ记n n n n p p p P ++++=--λλλλ111)( ，因为1λ是k 重特征根，所以0)()()(1)1(11==='=-λλλk P P P 且0)(1)(≠λk P下面求),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ的各阶导数，由牛顿—莱布尼兹公式得：x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(111212111111)(λλλλλ----------++''+'+= x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(11111312112111111)1(λλλλλ----------------++''+'+= ………………………………………………………………………………………………………x i i i e x x x y 1])([))((111λλ'+='--代入i n i n n i n i y p y p y p y +'+++--1)1(1)( 得x i i i i i i e x P x P x P x P 1]))(())(())(()([)1(11)1(111111λλλλλ------++''''+''+因为k i ,,2,1 =，所以0)()()(1)1(11==='=-λλλi P P P因此01)1(1)(=+'+++--i n i n n i n i y p y p y p y故),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解.以上只讨论了1λ是重根的情形，对于一般的情形，我们有如下的定理. 定理3.13 如果方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n有两两互异的特征根t λλλ,,,21 ，它们的重数分别为1,,,,21≥i t m m m m ，且n m m m t =+++ 21，则齐次方程的基本解组为xm m x x e x x y xe x y e x y 11111121)(,,)(,)(λλλ-===x m m m x m x m e x x y xe x y e x y 22212121121)(,,)(,)(λλλ-+++=== ……………………………………………………………x m n x m n x m n t t t t t t e x x y xe x y e x y λλλ121)(,,)(,)(-+-+-=== .证明 由上述论证，函数组中的每一个函数都是齐次方程的解.现在只需要证明它们是线性无关的函数组. 设函数组的线性组合等于零，即][11111121x m m x x e x C xe C e C λλλ-+++ ][22212121121x m m m x m x m e x C xe C e C λλλ-+++++++ 0][121=+++++-+-+-x m n x m n x m n t t t t t t e x C xe C e C λλλ . 整理可得：x m m e x C x C C 111][121λ-+++ +++++-+++x m m m m m e x C x C C 222111][121λ 0][121=++++-+-+-x m n m n m n t t t t e x C x C C λ . 即x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.假设n C C C ,,,21 至少有一个不为零，则)(,),(),(21x P x P x P t m m m 中至少有一个不是零多项式，不妨假定)(x P t m 不恒为零.而)1,,2,1)((-=t i x P i m 至多为1-i m 次多项式，在x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.两边同时乘以x e 1λ-得)(1x P m ++-x m e x P )(122)(λλ0)()(1=+-x m t t e x P λλ.对上式关于x 求1m 次导数，这时有0))(()(11=m m x Px m m x m e x P e x P )()1()()(1221122)())((λλλλ--= ………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()1()()(111)())((λλλλ--= （其中)()1(x P im 是与)(x P i m 同次数的多项式),,2(t i =） 所以，上式化为0)()()()1()()1(1122=++--x m x m t te x P e x P λλλλ 再在两边同时乘以x e )(21λλ-得0)()()()1()1(22=++-x m m t te x P x P λλ 对上式关于x 求2m 次导数，这时有0))(()(22=m m x P………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()2()()()1(222)())((λλλλ--= 所以上式化为0)(0)()2(2=++-x m t te x P λλ 序行此法，最后可得0)()()1(1=---x t m t t te x P λλ 而0)(1≠--x t t e λλ，所以0)()1(=-x P t m t，故0)(=x P t m ，这与)(x P t m 不恒为零矛盾.因此假设不成立，即n C C C ,,,21 全为零.所以，函数组是线性无关的，从而是基本解组.由定理3.13，我们得到了方程的基本解组，从而可以写出齐次方程的通解为][)(11111121x m m x x e x C xe C e C x y λλλ-+++= +++++x m x m xe C e C 212121[λλ ][]12112221x m n x m n x m n x m m m t t t t t t e x C xe C e C e x C λλλλ-+-+--+++++++ .如果在上述基本解组中，出现了复解，那么同单根的情形一样，可以取其实部函数和虚部函数，将复解实数化.例如bi a +=1λ是1m 重的特征根，则与其共轭的复数bi a -=2λ也是1m 重的特征根，这一对共轭的特征根会对应12m 个复解;,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e +-++.,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e ----将这12m 个复解实数化，得到12m 个实解;cos ,,cos ,cos 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax - .sin ,,sin ,sin 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax -由定理3.12知，替换后的函数组仍是基本解组.对于其它复数根，也可以采用同样的处理方法，最后就可以得到方程的n 个线性无关的实解. 例5 求方程096=+'+''y y y的通解.解 特征方程为0962=++λλ即0)3(2=+λ从而，特征根为32,1-=λ基本解组为x x xe x y e x y 3231)(,)(--==因此方程的通解为x x xe C e C x y 3231)(--+=其中21,C C 是任意常数. 例6 求方程0412136)4()5(='+''-'''+-y y y y y的通解.解 特征方程为0412*******=+-+-λλλλλ即0)2()1(22=--λλλ从而，特征根为2,1,05,43,21===λλλ基本解组为x x x x xe x y e x y xe x y e x y x y 2524321)(,)(,)(,)(,1)(=====因此方程的通解为x x x x xe C e C xe C e C C x y 2524321)(++++=其中54321,,,,C C C C C 是任意常数. 例7 求方程08126=+'+''+'''y y y y的通解.解 特征方程为0812623=+++λλλ即0)2(3=+λ从而，特征根为23,2,1-=λ基本解组为x x x e x x y xe x y e x y 2232221)(,)(,)(---===因此方程的通解为)()(23212x C x C C e x y x ++=-其中321,,C C C 是任意常数. 例8 求方程04454)4(=+'+''+'''+y y y y y的通解.解 特征方程为04454234=++++λλλλ即0)1()2(22=++λλ从而，特征根为i ±=-=4,32,1,2λλ基本解组为x x y x x y xe x y e x y x x sin )(,cos )(,)(,)(432221====--因此方程的通解为x C x C x C C e x y x sin cos )()(43212+++=-其中4321,,,C C C C 是任意常数. 例9 求方程0168)4(=+''+y y的通解.解 特征方程为016824=++λλ即0)4(22=+λ从而，特征根为i i 2,24,32,1-==λλ基本解组为x x x y x x y x x x y x x y 2sin )(,2sin )(,2cos )(,2cos )(4321====因此方程的通解为x x C x C x x C x C x y 2sin 2sin 2cos 2cos )(4321+++=其中4321,,,C C C C 是任意常数.。
常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法
常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法线性非齐次常系数方程是指具有以下形式的方程：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)\\qquad (1)$$其中，$a_i$为常数，$f(x)$为已知函数，$y=y(x)$是未知函数，$y',y'',\\cdots,y^{(n)}$分别表示$y$关于$x$的1、2、$\\cdots$、$n$阶导数。
方程中的$f(x)$称为非齐次项，若$f(x)=0$，则方程称为齐次方程。
求解线性非齐次常系数方程的一般步骤是先求出对应的齐次方程的通解，再通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解，最终得到该方程的通解。
待定系数法是一种求解非齐次方程的特解的方法，其基本思想是假设非齐次项$f(x)$可以表示成若干个基本函数的线性组合，然后通过确定基本函数的系数，求出一个特解。
之后，将该特解与齐次方程的通解相加，就可以得出非齐次方程的通解。
下面我们详细介绍待定系数法的具体步骤：步骤1：求出对应的齐次方程的通解齐次方程对应的特征方程是：$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\\cdots+a_1r+a_0=0\\qquad (2)$$我们可以用求解特征方程的方法来求出齐次方程的通解。
步骤2：假设待求特解的形式设非齐次项$f(x)$可以表示为：$$f(x)=P(x)e^{kx}$$其中，$P(x)$为多项式 or 三角函数或其他一些特殊函数，$k$为待定系数。
步骤3：确定待求特解中的待定系数待定系数要根据$f(x)$中的函数形式确定。
一般来说，$P(x)$的次数（或者三角函数、其他函数的阶数）决定了需要确定的待定系数的个数。
如果$f(x)$中有多个基本函数，则需要对每个基本函数都设一个待定系数，并分别解出这些待定系数。
步骤4：代入非齐次方程，得到待定系数的解将假设的特解代入非齐次方程$(1)$中，将各项展开并整理，得到一个关于待定系数的方程，解出待定系数。
非齐次方程求解题技巧
非齐次方程求解题技巧非齐次方程通常由齐次方程和特解两部分组成，解这类方程的一般思路是先解齐次方程得到通解，再找到一个特解，最后将齐次方程和特解合并得到非齐次方程的通解。
以下将介绍求解非齐次方程的常见方法和技巧。
一、待定系数法待定系数法是解非齐次线性常微分方程的常用方法。
假设非齐次方程为\\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y^{(1)}+a_ny=g(x) \\]其中$g(x)$为已知函数，$y^{(k)}$表示$y$的$k$阶导数。
用$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$表示齐次方程的$n$个线性无关的解，则非齐次方程的通解可设为\\[y=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n+y_p \\]其中$C_1,C_2,...,C_n$为待定常数，$y_p$为特解。
先求齐次方程的通解：对于$n$阶齐次方程$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y^{(1)}+a_ny=0 $，假设它的特征方程的根为$r_1,r_2,...,r_n$，则齐次方程的通解为\\[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+...+C_ne^{r_nx} \\] 其中$C_1,C_2,...,C_n$为常数。
再求特解：将待定系数法所设的非齐次方程代入原方程，化简并比较系数，得到待定系数的值。
常用的待定系数的选取方法有：（1）如果$g(x)$是多项式，则$y_p$也选为多项式，且$y_p$的次数不高于$g(x)$的次数。
（2）如果$g(x)$是三角函数的线性组合或指数函数$e^{ax}$与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。
（3）如果$g(x)$是多项式与指数函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。
（4）如果$g(x)$是多项式与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。
待定系数法在解微分方程
待定系数法在解微分方程1 待定系数法概述待定系数法是一种求解常系数非齐次线性微分方程的方法之一。
它通过假设非齐次项的形式，从而确定待定系数，再将其代入非齐次线性微分方程中，逐步求解得到通解。
2 待定系数法的假设在待定系数法中，我们假设非齐次项的形式为$f(x)$，其中$f(x)$是已知函数。
我们需要根据$f(x)$的具体形式来假设待定系数。
对于常见的函数形式，我们可以做出以下假设：1. 当$f(x)$为常数或多项式时，假设待定系数为与$f(x)$同阶次的多项式。
2. 当$f(x)$为$e^{ax}$形式时，假设待定系数为$Ae^{ax}$。
3. 当$f(x)$为$sin(ax)$或$cos(ax)$形式时，假设待定系数为$Asin(ax)+Bcos(ax)$。
3 求解待定系数在做出待定系数的假设后，我们需要将其代入非齐次线性微分方程中，进而求解待定系数的值。
做法如下：1. 将待定系数代入非齐次线性微分方程中，得到一个新的方程。
2. 比较新方程中各阶导数系数与待定系数所代表的阶次系数，列出方程组。
3. 解出方程组中的未知系数，即求得待定系数的值。
4 案例分析下面以一个具体的例子来展示待定系数法的求解过程：求解微分方程$y''-3y'+2y=e^{2x}$。
1. 首先，假设待定系数为$Ae^{2x}$。
2. 将待定系数代入原方程，得到一个新的方程$(D-2)^2(Ae^{2x})-3(D-2)Ae^{2x}+2Ae^{2x}=e^{2x}$，其中$D$是微分符号。
3. 对新方程中各阶导数系数与待定系数所代表的阶次系数进行比较，得到方程组$(4A-3A+2A)e^{2x}=e^{2x}$，解得$A=1$。
4. 代入待定系数$Ae^{2x}$中得到通解$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+e^{2x}$。
5 总结待定系数法是一种简单实用的求解常系数非齐次线性微分方程的方法。
它的关键是根据不同的非齐次项形式，做出不同的待定系数假设，并关注新方程中待定系数所代表的阶次系数，列出方程组求解。
常系数线性非齐次微分方程
2 是单根， 设 y* x(Ax B)e2x,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2
y C1e2x 2
.
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y*,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x) j,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
线性齐次及非齐次方程的解法
为函数 y1( x), y2( x),, ym ( x) 的朗斯基行列式。
结论 若 y1( x), y2( x),, yn( x)为 n 阶 线性齐次方程
a ( x) y(n) a1( x) y(n1) an1( x) yan ( x) y0
的 n 个 解 ，则 y1( x), y2( x),, yn ( x) 在区间 I 上线性
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
25
例5.
解方程
d4 w dx4
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
6
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1
1 2
( y1
y2 )
e x cos x
y2
1 2i
(
y1
y2
)
e
x
sin
x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
21
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法
高阶线性非齐次常系数方程的待定系数法
总结词
通过比较方程的系数和初始条件，求解出待定系数的 值。
详细描述
对于高阶线性非齐次常系数方程，我们可以将其表示为 $y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + p_2(x)y^{(n-2)} + cdots + p_n(x)y = q(x)$ 的形式。通过比较方程的系数和初始 条件，我们可以求解出待定系数的值。具体来说，将方 程两边同时除以 $y$，得到 $frac{y^{(n)}}{y} + p_1(x)frac{y^{(n-1)}}{y} + p_2(x)frac{y^{(n-2)}}{y} + cdots + p_n(x) = frac{q(x)}{y}$。然后，将等式两边积 分，得到 $ln |y| + int p_1(x) dx = int frac{q(x)}{y} dx$。 最后，通过求解这个方程，我们可以得到 $y$ 的通解。
对未来研究的展望
01
进一步研究待定系数法在其他 类型微分方程中的应用，如高 阶微分方程、偏微分方程等， 以拓展该方法的应用范围。
02
探讨待定系数法的理论依据和 数学原理，深入研究其内在机 制和性质，为该方法的改进和 完善提供理论支持。
03
结合数值计算和计算机技术， 研究如何提高待定系数法的计 算效率和精度，以适应大规模 复杂问题的求解需求。
定义与性质
01
线性
方程中的未知函数和其导数都是 一次的，即形式为 y''+py'+qy=f(x)。
非齐次
02
03
常系数
与某个已知函数f(x)有关，即形 式为y''+py'+qy=f(x)。
专升本巧算常微分方程待定系数法
专升本巧算常微分方程待定系数法一、概述常微分方程是描述自然界和社会现象中各种变化规律的数学模型，因此在工程、物理学、生物学等领域有着广泛的应用。
在高等数学中，学生不可避免地会接触到常微分方程的求解，而待定系数法是解常微分方程中的特殊方法之一。
本文将介绍待定系数法的基本思想和具体步骤，并结合实例进行讲解，帮助读者更好地掌握这一方法。
二、待定系数法的基本思想待定系数法是解决非齐次线性常微分方程的一种常用技巧。
其基本思想是在寻找方程的特解时，假设特解中的未知常数的具体形式，并将其代入原方程，通过确定未知常数的取值来得到方程的特解。
待定系数法的关键在于如何选择合适的特解形式和未知常数的取值，下面将结合具体的例子进行详细介绍。
三、待定系数法的步骤1. 确定待定系数的形式在使用待定系数法解非齐次线性常微分方程时，首先需要确定特解中未知常数的形式。
常见的特解形式包括：- 若非齐次项是常数函数或指数函数，则特解中的未知常数形式为常数；- 若非齐次项是正弦函数、余弦函数或它们的线性组合，则特解中的未知常数形式为正弦函数和余弦函数的线性组合；- 若非齐次项是多项式函数，则特解中的未知常数形式为与非齐次项多项式次数相同的多项式。
2. 代入原方程确定特解中未知常数的形式后，将特解代入原方程，并求出特解中未知常数的具体取值。
3. 得到通解将特解与对应齐次线性常微分方程的通解相加，即可得到非齐次线性常微分方程的通解。
四、待定系数法的实例分析下面通过具体的例子来展示待定系数法的应用过程。
考虑一阶线性非齐次常微分方程：$$\frac{dy}{dx}+2y=e^x$$(1) 确定特解的形式由于非齐次项为指数函数，所以特解中未知常数的形式为常数，假设特解为$y_p=Ae^x$。
(2) 代入原方程将特解$y_p=Ae^x$代入原方程，得到：$$Ae^x+2Ae^x=e^x$$化简得：$$3Ae^x=e^x$$解得$A=1/3$，因此特解为$y_p=\frac{1}{3}e^x$。
待定系数法求解微分方程的特解的一点探究
课程教育研究Course Education Research2021年第30期待定系数法用于常系数微分方程ay″+by′+cy=g(t),a,b,c为任意常数(1)右端g(t)是某些基本函数的情况,常见的有多项式、指数函数、正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘积组合。
这种方法的特点就在于不需通过积分运算,而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解,即将求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理,因而比较简便。
同时,待定系数法是一种常见的求解常系数非齐次微分方程的方法,该方法推广到求解三阶,四阶甚至更高阶的微分方程。
值得注意,在此类型的求解过程中正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。
在国内外许多教材中得出,若非齐次项g(t)为多项式与三角函数的乘积P n(t) eαt sin(βt)或P n(t)eαt cos(βt)的单个表达式,其中P n(t)是最高次幂为n的实值多项式,α,β为实数,结合三角函数的性质,方程(1)的特解需设为:[(c0t n+c1t n-1+…+c n)cos(βt)+(d0t n+d1t n-1+…+d n)sin(βt)]eαt(2)若无说明,本文均不考虑α±iβ是代数方程ay2+by+c=的共轭特征根。
将特解(2)带入方程(1)中,通过待定系数法求出实数c j,d j(j=0,1,…,n),继而获得微分方程的特解。
在此处,我们不可避免地提出疑问,对于g(t)=P n(t) eαt cos(βt),其特解是否能写成如下:(q0t n+q1t n-1+…+q n)·eαt(Acos(βt)+Bsin(βt))(3)三项相乘的形式,其中,q0,q1,…,q n,C,K均是实数。
事实上,通过具体例题,我们可以判断形式(3)是不合理的,后文我们将从理论上推导,证明特解形式(2)的正确性。
在文献[1]和[2]中,对于g(t)是两项相加的情形时,即g(t)=[P n(t)cos(βt)+Q m(t)sin(βt)]eαt,相应的特解假设为Y(t)=[2Re(D(t))cos(βt)+2Im(D(t))sin(βt)]eαt,其中,D(t)为t的l次多项式,l=max{n,m}。
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q 0, q 0, p 0, q 0, p 0,
通过比较系数法来确定待定常数 B0 , B1,, Bn
5
例1
求方程
d2x dt 2
dx dt
2x
8t
2
的一个特解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 2,2 1.
零不是特征根,因此, 设方程特解的形式为
(t) B0 B1t B2t2.
原方程的通解为:
x(t) c1 c2et t(t3 4t2 12t 24).
7
二、非齐次项是多项式与指数函数之积
L[
x]
d2x dt2
p
dx dt
qx
(b0
b1t
bn t n
)e
t.
做变换 x(t) e t y(t), 则方程变为:
d2y dt 2
(2
p)
dy dt
(
2
p
q) y
b0
b1t
A 3. 4
对第二个方程, 设特解 2 (t) B0 B1t B2t 2
代入第二个方程得:
B0
62 25
,
B1
12 5
,
B2
1.
原方程的通解为
x
c1et
c2e5t
3 4
tet
t2
12 5
t
62 . 25
13
三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积
L[x] x px qx [ Am (t) cos t Bn (t)sin t]e t
通常利用待定系数法来求解。
2
一、非齐次项是多项式
L[x]
d2x dt 2
p
dx dt
qx
b0
b1t
bnt n.（3.4.2）
当 q 时0,零不是方程的特征根.
可取特解形式为 (t) B0 B1 Bntn （3.4.3）
其中 B0, B1,是待Bn定常数.
比较方程 L[(t)] b0 b1t bnt n 同次幂的系数…… 解出 B0, B1, Bn
)e
t.
对应的齐次方程的特征方程 2 p q 0.
(1) 当 不是特征根时, 方程的特解形式为
(t) (B0 B1t Bntn )e t.
(2) 当 是单特征根时, 方程的特解形式为
(t) t(B0 B1t Bntn )e t .
(3) 当 是二重特征根时, 方程的特解形式为
(t) t2 (B0 B1t Bntn )e t .
对应齐次方程的通解为: x c1 cost c2 sin t. 再求非齐次方程的一个特解.
i i 是特征根, 故原方程特解的形式为 (t) t(Acost B sin t)
17
例6 求方程
d2x dt 2
x
2
sin
t
的通解.
方程特解的形式为 (t) t(Acos t B sin t)
得 A=2，B=1，故原方程的特解为
(t) et (2cost sin t)
于是通解为
x
et
(2 cos t
sin
t)
c1et
c e2t 2
16
例6 求方程
d2x dt 2
x
2
sin
t
的通解.
解: 先求对应齐次方程的
d2x x 0 dt 2
的通解.
这里的特征方程 2 1 0 有两个解 12 i
方程的特解 (形t)式为
(t) tk [Pl (t) cos t Ql (t)sin t]e t ,(k 0,1)
l max{m,n}
当 不i是对应齐次方程的特征根时,取 k . 0 当 是i对应齐次方程 的特征根时,取 k . 1
14
例5 求 x'' x' 2x et (c的os通t 解7.sin t) 解：先求对应齐次方x程'' x' 2x 的0通解
www.hzdiyan.co m www.sysm www.qcxgqt.co m http://sj /dx/150527/4630604.html http://sj /dx/150526/4630038.html http://sj /dx/150509/4621414.html http://sj /dx/150526/4630001.html http://sj /dx/150526/4629997.html http://sj /dx/150517/4624817.html http://sj /dx/150517/4624816.html http://sj /dx/150513/4623087.html http://sj /dx/150513/4623086.html http://sj /dx/150525/4629500.html http://sj /dx/150525/4629498.html http://sj /dx/150525/4629496.html http://sj /dx/150525/4629488.html http://sj /dx/150515/4624389.html http://sj /dx/150515/4624384.html http://sj /dx/150515/4624378.html http://sj /dx/150523/4628925.html http://sj /dx/150523/4628922.html http://sj /dx/150519/4625738.html http://sj /dx/150517/4624823.html
3.4 线性非齐次常系数方程
线性非齐次常系数方程的待定系数法. 在第2节给出的常数变易法比较繁琐，
本节将给出比较简单的解法.
1
考虑常系数非齐次线性方程
L[x]
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an x f (t) (3.4.1)
当 f (t是) 一些特殊函数，
如指数函数，正余弦函数，及多项式时，
bnt
n.
(t
)
B0 t(B0
B1t B1t
Bnt n , Bnt n
),
t 2 (B0 B1t Bnt n ),
2 p q 0, 2 p q 0,2 p 0, 2 p q 0,2 p 0,
8
L[
x]
d2x dt2
p
dx dt
qx
(b0
b1t
bn t n
9
例3
求方程
d2x dt2
2
dx dt
x
t
2et
的一个特解.
解: 对应的齐次方程的特征根为二重根 12 1.
因此, 该方程特解的形式为
(t) t2 (B0 B1t B2t2 )et .
将 (t) 代入方程, 可得
B2
1 12
,
B1
0,
B0
0.
因此, 原方程的一个特解为 (t)
1
t 4et .
12
10
例4
求
d2x dt 2
4
dx dt
4x
(1
t
t27)e2t Nhomakorabea的特解.
解: 做变换 x(t) e2t y(t), 则原方程变为
d2y dt2
1
t
t 27
对上面方程积分得到一个特解
y(t) t2 t3 t27 ,
12 23
28 29
因此, 原方程的特解为
(t) e2t [ t2 t3 t27 ].
齐次方程通解为: x(t) c1 c2et .
f (t) 4t3. 因为零是特征方程的单根,
故特解形式为 (t) t(B0 B1t B2t 2 B3t3),
将 (t) 代入方程得: B3 1, B2 4, B1 12, B0 24.
原方程的特解为: (t) t(t3 4t2 12t 24).
将 (t) 代入方程得
2B2 B1 2B0 2(B2 B1)t 2B2t 2 8t 2. 比较上式两端的系数, 可得 B2 4, B1 4, B0 2.
因此, 原方程的一个特解为
(t) 2 4t 4t2.
6
例2
求方程
d2x dt 2
dx dt
4t3的通解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 0,2 1.
/dx http://www.tulo /
3
L[ x ]
d2x dt2
p
dx dt
qx
b0
b1t
bnt n .
当 q 0, p时,0 零为方程的单特征根，令
(t) t(B0 B1 Bntn )
当 q 0, p时,0 零为方程的二重特征根，
代入原方程得
2Bcost 2Asin t 2sin t. 比较方程两边的系数得: A 1, B 0.
故原方程的特解为: (t) t cos t.
因而原方程的通解为: x c1 cost c2 sin t t cost.
18
作业: P149 2，3，6，7，8 (1)，9, 10
19
因为方程的右端由两项组成, 根据解的叠加 原理, 可先分别求下面两个方程的特解.
12
d 2 x 6 dx 5x 3et dt 2 dt
d2x dt 2
6
dx dt
5x
5t
2
这两个特解之和为原方程的一个特解. 1 1, 2 5.
对于第一个方程, 设特解 1(t) Atet
代入第一个方程得:
特征方程 2 2 0 的根为 1 1, 2 2
所以齐次方程的通解为
x c1et c2e2t