二项分布及Pisson分布-
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布与Poisson分布
px 7 1 px 8 1 p(x 8) x 9
1 C180 0.868 0.142 0.58 0.155
因此，10例患者中至少9例有效的概率为0.581，至多7例有效的概率 为0.155。
n
P( X K ) P(K ) P(K 1) P(K 2) P(n) P( X )
K
（3）至多有k例阳性的概率：
k
P( X K ) P(0) P(1) P(2) P(k) P( X )
X= 0, 1, 2, … k…n
0式
生存数 （X）
3
死亡数 （n-X)
0
2
1
1
2
0
3
甲乙 丙
生生 生 生生 死 生死 生 死生 生 生死 死 死生 死 死死 生 死死 死
每种组 每种排列的概率 合的概
px nx1 nx, x 率
0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.8×0.2×0.2=0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512
他观察单位的结果。 6
三. 概率的计算：
从一个阳性率为π的总体中，随机抽取含量为n的样本，则 样本中阳性数X或阳性率p服从二项分布B （ n、π）。
（1）恰有k例阳性的概率：
P(X k) (nk ) k 1 nk
(
n k
)
n! k!(n
k )!
（2）至少有k例阳性的概率：
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数为n。
二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。
泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。
它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。
均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。
在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。
均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。
指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。
它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。
指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。
指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。
它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。
正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
SPSS-二项分布与poisson分布
例：设一般人群食管癌患病率为30/10万， 某研究者随机抽查当地500人，问至少6 人患食管癌的概率为多少？ =500×30/10万=0.15，X=6 至少6人患食管癌的概率为： P（X≥6）= 1－ P（X≤5）
= 1－ CDF.POISSON（5，0.15 ）
笃 学
CDF.BINOM（X，n，p）－ CDF.BINOM（X － 1 ，n，p）。
笃 学 精 业 修 德 厚 生
1. SPSS数据录入： 随便录入一个数据 2. 采用函数计算发生阳性数为不同值时的概率大小： Transform →Compute ，弹出对话框，设置一个新变量为 概率px，然后在数学表达式空白栏中输入 CDF.BINOM（X，10，0.8）－ CDF.BINOM（X －1 ， 10，0.二、Poisson分布
在二项分布中，若某事件的发生率非常小，且 样本例数非常大时，则二项分布逼近Poisson分 布。常用于研究单位时间、面积、容积内某事 件的发生数。
Poisson分布累计分布函数为：CDF.POISSON （X，）。 为单位时间、面积、容积内某事 件的平均发生数，X为试验观察的发生数。
二项分布与Poisson分布
笃 学
精 业
修 德
厚 生
一、二项分布
（一）二项分布资料 满足三个条件：
各观察单位只能具有相互对立的一种结果；
已知发生某一结果的概率大小；
每个观察对象的观察结果互相独立。
笃 学
精 业
修 德
厚 生
设有10只小白鼠接受某种毒物，观察其生存或死亡， 已知死亡率为80%，每只小白鼠的死亡不受其它小 白鼠死亡的影响。则可能出现死亡0、1、2、…10只 的概率分布分别为： P（X=0）=C100 ·0· （1－ ）10 P（X=1）= C101 ·1· （1－ ）9 …… P（X=10）= C1010 ·10· （1－ ）0 相加为1
概率论中的二项分布与泊松分布
概率论中的二项分布与泊松分布概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的概率以及它们之间的关系。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常见且重要的概率分布。
本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功事件发生的次数服从二项分布的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两个可能结果的试验，如抛硬币的结果只有正面和反面两种情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中，n代表试验次数，k代表成功事件发生的次数，p代表每次试验成功的概率，C(n,k)代表组合数。
二项分布的特点有以下几点：1. 二项分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...,n。
2. 二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 当试验次数n趋向于无穷大时，二项分布逼近于泊松分布。
二项分布在实际应用中有广泛的应用，比如在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一定数量的产品中出现不合格品的概率；在投资决策中，可以使用二项分布来计算在一系列投资项目中成功项目的数量等。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或区域内，事件发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的概率很小，但试验次数很大的情况。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中，λ代表单位时间或单位区域内事件的平均发生率。
泊松分布的特点有以下几点：1. 泊松分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...。
2. 泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 当试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，但np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
泊松分布在实际应用中也有广泛的应用，比如在电话交换机的排队系统中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达电话的数量；在可靠性工程中，可以使用泊松分布来描述设备的故障率等。
二项分布与泊松分布
二项分布的应用
2 正态近似法：应用条件：np及n(1−p)均≥5
p±uαsp
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 率为8.81%，求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
s p p ( 1 p ) /n 0 .0( 1 8 0 .0 8) 8 /3 1 8 2 0 .0 1 9 1 1 .5 % 5 6 6
第一节 二项分布和总体率的估计
一、二项分布 （一）二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病 人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养 的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 （binomial population）。
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
1 查表法：附表6百分率的置信区间表直接
列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查nx的阴性部分的QL~QU再相减得 PLand pU PL=1-QL 1-QU 例：某地调查50名儿童蛔虫感染情况，发现有10人大便
中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的95%置信区间是多少？
1份混合样本中含有k份阳性的概率为当k0时p0是说混合样品中没有1阳性样品的原始概率反映的是混合样品阴性的概率当收集的样本数量很大时全部检验费时费力可以用群检验的方法进行解决若每个标本的阳性概率为则其阴性概率为q1便是某个群m个标本均为阴性的概率一个群为阴性的群的概率而1q就为一个群阳性的概率
二项分布与泊松分布
第一节 二项分布和总体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
二项、Poisson分布
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n=3,π=0.5
x
n=10,π=0.5
Poisson分布的形状取决于 的大小。 Poisson分布的形状取决于 λ 的大小。 Poisson分布为正偏态分布 ， Poisson 分布为正偏态分布， 且 λ 愈小分布 分布为正偏态分布 愈偏； 愈偏； 随着λ的增大， 随着λ的增大，分布逐渐趋于对称 –当时 λ ≥ 20 已基本接近对称分布； 当时 已基本接近对称分布；
小鼠存亡组合 生存 3 死亡 0
排列方式 甲 生 生 乙 生 生 死 生 死 生 死 死 丙 每种排列的概率
每种组合的概率
3 × × 生 0.2×0.2×0.2=0.008 p (x = 0 ) = ( 0 )π 0 (1 − π )3 = 0.008
p (x ) =
( )π (1 − π )
n x x
19
= 0 . 4879
5、二项分布的应用条件 、
各观察单位只能有互相对立的一种结果，属于二 各观察单位只能有互相对立的一种结果，属于二 分类资料 已知发生某一结果(如阴性) 概率π不变， 已知发生某一结果(如阴性)的概率π不变，其对 立结果(如阳性)的概率则为1 立结果(如阳性)的概率则为1-π
−λ
λ
x
X !
X=0，1，2，… =0，
则称该事件的发生服从参数为λ的 Poisson分布 记为X 分布， Poisson 分布 ， 记为 X ～ Poisson(λ) 。 X 为 单位时间或空间内某事件的发生数， 单位时间或空间内某事件的发生数，P(X) 时的概率 ， 为事件数为 X 时的概率， e 为自然对数的 底。
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2020/3/30
nj=10
治疗病人有效率70% π=0.70
2020/3/30
p1=X1/n p2=X2/n p3=X3/n p4=X4/n
... ...
p100=X100/n
100次
（2）二项分布的图形
① 二项分布的图形由n+1条线段组成，横坐标表示
研究事件发生次数，纵坐标为概率，线段长度表示 发生该次数的概率大小，所以各条线段长度之和为1
本例 n=100，p=55/100=0.55, np=55，n(1-p)=45均大于5，可以利用正
态分布法求总体率的可信区间。
2020/3/30
Spp(1 n p)0 .5 5 1 (1 0 0 0 .5 5 )0 .0 4 9 7
p 1 . 9 6 S p 0 . 5 5 1 . 9 6 × 列0 表. 0 4 9 7 ( 0 . 4 5 2 6 , 0 . 6 4 7 4 )
如果随机变量X的取值为0，1，2，…，n， 且其取值为k的概率为
P (X k ) C n k k(1 )n k
则称X服从二项分布，记作X~Β(n,π) 。 其中π为随机事件发生的概率，n为试验次数
2020/3/30
二项分布的 概率函数式
P (X k ) C n k k(1 )n k
2020/3/30
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果
（如“阳性”）的概率π固定不变
③ 重复试验是相互独立的，即任何一次试验结果 的出现不会影响其他试验出现的概率
2020/3/30
2020/3/30
3。二项分布的性质
2020/3/30
例 某医生用某药治疗31例脑血管梗塞患者，
其中25例有效，试求该药物治疗脑血管梗塞有 效率95%可信区间。
本例中X=25>31/2，所以应先求出无效率的
95%可信区间。
用n-X=6查表得到该区间为：（8%，38%）
所以该药物有效率的95%可信区间为：（62%， 92%）
2020/3/30
现某一结果（如阳性结果）的次数的一种概率 分布。
2020/3/30
在医学卫生领域中，服从二项分布的试验较 常见：某种药物治疗某种非传染性疾病，疗效 分为有效与无效；动物的急性毒性试验中，观 测动物的死亡与存活；接触某种病毒性疾病的 传播媒介后，出现感染与非感染等。
2020/3/30
1。二项分布的定义
2020/3/30
随机变量分为连续型和离散型，相应的概 率分布就分为连续型概率分布和离散型概率 分布。 连续型概率分布：正态分布、t分布、F分布 离散型概率分布：二项分布、Poisson分布
2020/3/30
2020/3/30
一、二项分布的概念
二项分布是指在只会产生两种可能结果（阳
性或阴性）之一的n次独立重复试验中，当每 次试验的“阳性”结果概率π保持不变时，出
2。正态近似法
当n较大，p和1-p均不太小（np以及n(1-p)均
大于5）时，可以利用正态近似法求总体率的可信 区间。
总体率的可信度为1-α的可信区间：
p u/2Sp
2020/3/30
例6-3 在观察一种药物对某种非传染性疾病
的治疗效果时，用该药物治疗了此种非传染性 疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计 该药物治疗有效率的有95%可信区间。
（1）二项分布的均数与标准差
在n次Bernoulli实验中，出现“阳性”结果的次数X
的总体均数： X n
总体方差： X 2 n(1) 总体标准差： X n(1)
2020/3/30
在n次Bernoulli试验中，出现“阳性”结果的次数为
X，则X/n为试验结果的样本率，用p表示。
p的总体均数： p
2020/3/30
2020/3/30
2020/3/30
② 二项分布的图形形状取决于π和n。当 π=0.5时，二项分布为对称分布。当π≠0.5时， 二项分布是偏态的，但随着n的增大，分布趋于 对称；当n→∞时，只要π不太靠近0或1，二项
分布则接近正态分布。
2020/3/30
二、二项分布的应用
（一）总体率的区间估计 1。查表法
p
(1)
n
2020/3/30
样本率p的标准差也称为率的标准误，可以用来
描述率的抽样误差的大小。率的标准误越小，则率
的抽样误差就越小。
实际工作中，总体率π往往未知，此时若用样本
率p作为总体率π的估计值，得到的是Sp，它是σp
的估计值。
Sp
p(1 p) n
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
n
P(X ) 1
X 0
2020/3/30
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果 发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利 （Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件 发生的次数X服从二项分布。
对于n≤50的小样本资料，可使用附表6求其
总体率的可信区间。
2020/3/30
例6-3 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶
腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现 有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率 的95%可信区间。
本例n=13，X=6。查附表6，当α取0.05
时，数值为19-75 所以该吻合术妇女受孕率的95%可信区间
为：（19%，75%）
2020/3/30
例 某医生用某药治疗31例脑血管梗塞患者，
其中25例有效，试求该药物治疗脑血管梗塞有 效率95%可信区间。
2020/3/30
附表6只列出了X≤n/2的部分，当X>n/2时， 可以按“阴性数”n-X查表求其总体阴性率的
可信区间，然后再求所需的阳性率的可信区间。 阳性率区间的下限=1-阴性率区间的上限 阳性率区间的上限=1-阴性率区间的下限
所以，该药物治疗总体有效率的95%可信区间为： （45.26%，64.74%）
2020/3/30
（二）样本率与总体率的比较
样本率与总体率比较的检验目的是推断
样本所代表的总体率π与已知的总体率π0
是否相等。
2020/3/30
例6-4 已知某种疾病采用常规治疗的治愈
率约为45%。现随机抽取180名该疾病患者改 用新的治疗方法进行治疗，治愈117人。问新 治疗方法是否比常规疗法的效果好？