3.2一元二次不等式及其解法
【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)
1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
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∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或 ，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
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【经典例题】 类型一：解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 （1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5
3.2一元二次不等式及其解法
想一想，当x取何值时，y 的值大 于零？（或小于零？） y O m x y n O x
复习
当x m时y 0 当x m时y 0
当 x n时 y 0 当 x n时 y 0
考察：对一次函数y=2x-7，当x为何值 时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值 时，y>0？
-2 O
3
x
结论:
解一元二次不等式
ax2+bx+c>0
(a>0，△=0 )的步骤： ① 将二次不等式化成一般式；
② 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 根据图象写出不等式的解集.
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框 图:
△≥0
x
结合函数图 象进行思考
Hale Waihona Puke -2 O3x思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值 时，y=0？当x为何值时，y<0？当x为何值时， y>0 ?
y
当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 当2<x<3 时, y<0 即 x2x6<0 当 x<2 或 x>3 时, y>0 即 x2x6>0
b 2a
x< x1或x> x2
举例
例1 解不等式x2-6x-7>0 y
解：方程x2-6x-7=0的解是
x1 1, x 2 7
作函数图象的草图 所以，不等式的解集是
-1 o
7 x
{x | x<-1 或 x > 7 }
3.2一元二次不等式及其解法(2)
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
例3：已知 ax2 (1 a)x 1 0 恒成立，
求a的取值范围。
y
解：不等式恒成立，即解集为R
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得： 3 2 2 a 3 2 2
又a 0
解 （1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 即当x> 1 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分
2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
⊿>0
y
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实 有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2
ax2+bx+的c>解0（集a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
Δ =b2-4ac
Δ >0
Δ =0
Δ <0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的解
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
有两个相异实根 x1,2=
b b2 4ac (x1<x2) 2a
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于 取中间”)
答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)
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即时训练 3-1:(1)不等式 x 1 ≤3 的解集是
;
x
解析:(1)原不等式等价于 x 1 -3≤0⇔ 1 2x ≤0⇔ 2x 1 ≥0⇔x(2x-1)≥0,且 x
x
x
x
≠0,解得 x≥ 1 或 x<0. 2
答案:(1){x|x≥ 1 或 x<0} 2
(2)不等式 2x 1 >1 的解集是
3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法
课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌 握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等 式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
自主学习
知识探究
1.一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0), 其中a≠0,且a,b,c为常数. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的 解 ,一元二次 不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的 解集 .
高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为 禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值，并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式可化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
2a
韦达定理
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向；
b 对称轴 x
3.2《一元二次不等式及其解法》(人教版必修5)好
ax2+bx+c>0 或 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 } 的解集
b {x|x≠ − } 2a
R Φ
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Φ
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 的程序 框图: 框图
△≥0
b x≠− 2a
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x< x1或x> x2
题2：解不等式4x2-4x +1>0 解不等式4
因为△ 解： 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x ≠ 1/2 } 另解:由于4 另解:由于4x2-4x+1 =(2x-1)2≥0
2
{
{
x
x
2
− 16 > 0
x2 − 4x + 3 > 0
2
或
− 16 < 0 x2 − 4x + 3 < 0
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习题3.2
A组 第2题 B组 第2题
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解 于 等 x − ax − 2a < 0. 关 x不 式
2 2
方程x 2 − ax − 2a 2 = 0.的判别式∆ = a 2 + 8a 2 = 9a 2 ≥ 0
得方程的两根为x1 = 2a, x2 = − a. (1)若a > 0, 则 − a < x < 2a
3.2一元二次不等式及其解法
由右边的图象填空： 边的图象填空：
⑴当 x=0 或 5 时,
⑵当 0<x<5 时,
= 0, 即 x 2 − 5 x = 0; y
y < 0, 即 x − 5 x < 0;
2
> 0, 即 x 2 − 5x > 0. ⑶当 x<0 或 x>5 时, y
∴可知 x 2 − 5 x < 0 的解集为 { x 0 < x < 5}
一元二次不等式也可用图象法求解
5
问：y= ax2＋bx＋c（a>0）的图象与 轴的交 ＋ （ > ）的图象与x轴的交 点情况有哪几种？ 点情况有哪几种？
一元二次方程的解即一元二次函数图象与x轴 一元二次方程的解即一元二次函数图象与 轴 方程的解即一元二次函数图象与 交点的横标，一元二次不等式的解集即一元二次 交点的横标，一元二次不等式的解集即一元二次 函数图象在x轴下方或上方图象所对应 的范围。 轴下方或上方图象所对应x的范围 函数图象在 轴下方或上方图象所对应 的范围。 利用二次函数图象能解一元二次不等式！ 二次函数图象能解一元二次不等式 利用二次函数图象能解一元二次不等式！
解：∆ =（a + 1) 2 − 4a = (a − 1) 2
(1)当 a = 1时， ∆ = 0，原不等式即为 x 2 − 2x + 1 > 0，其解集为 {x x ≠ 1}
分类讨论！ 分类讨论！
变形1 解关于x 变形1：解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0 (a≠0) 引申1 解关于x 引申1：解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0 (a≠0)
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（2）x2+x-1>0 解：x2+x-1=0
-1± 5 x1 、 2 = 2
x2+x-1>0 -1- 5 -1+ 5 x< 或x> 2 2 -1- 5 -1+ 5 原不等式的解集为{x|x< 或x> } 2 2
（3）9x +6x+1>0
解：
2
9x2+6x+1>0
2 1 (3x+1)2>0 (x+ ) >0 3
1 x<-2或x> 3
小结：本节课学习了以下3个内容：
1、一元二次不等式的定义及一般形式；
2、三个“二次”的联系；
3、一元二次不等式的解法。
练习：P80
作业：P81[B组]：1、(1)、(2)、(3)、(4)
b c ax bx c a( x x ) a[ x 2 ( x1 x2 ) x x1 x2 ] a a
a( x x1 )(x x2 )
ax bx c 0 a( x x1 )(x x2 ) 0
2
( x x1 )(x x2 ) 0 x x1或x x2
ax bx c 0 a( x x1 )(x x2 ) 0
2
( x x1 )(x x2 ) 0 x1 x x2
例:解下列不等式
（1）2x2-x-6<0
解：2x2-x-6<0
(x-2)(2x+3)<0
3 - <x<2 2
3 原不等式的解集为{x|- <x<2} 2
当 =b2-4ac>0时
设ax2+bx+c=0（a>0）的两根 分别为x1、x2, 且x1<x2,则
ax2+bx+c>0 x<x1或x>x2
ax2+bx+c<0 x1<x<x2
b c x1 x2 , x1 x2 (a 0) a a
2 2
注：当 0时， ( x1 x2 )
J
x2-5x≤0
0≤x≤5
2、三个“二次”的联系 设 =b2-4ac 则y=ax2+bx+c、ax2+bx+c=0 与ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0的联系如下表：
b 2 4ac
二次函数
0
y
x1
0
y
x
y
0
0
无实根
y ax2 bx c(a 0)
A公司收取的费用为： 1.5x
B公司收取的费用为： 1.7+1.6+1.5∙∙∙+(1.8-0.1x)
依题意得： 整理得：
x(35-x) = 20 x(35-x) 1.5x≤ 20 x2-5x≤0
二、推进新课
1、一元二次不等式的定义及一般形式
（1）定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的 不等式称为一元二次不等式。
的图象
0
x2
0 x1 = x 2 x
有两个相等实根
x
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
的根
b b 2 4ac x1 2a x2 b b 4ac 2a
2
b x1 x 2 2a
b x | x 2a
ax2 bx c 0(a 0)
x -x-6<0
2
2
(x+2)(x+3)<0 -2<x<3
故原不等式的解集为{x|-2<x<3}
（6）3x +2x>2-3x
解：
3x2+2x>2-3x
2
3x2+5x-2>0
(x+2)(3x-1)>0 1 (x+2)(x- )>0 3
1 故原不等式的解集为{x|x<-2或x> } 3
b {x|x<- } a
b {x|x>- } a
探究三个“二次”的关系
先考察x2-5x=0、y=x2-5x与x2-5x≤0的关系
x -5x=0x1=0或x2=5
2
y
由y=x2-5x图象知：
当x<0或x>5时，y>0，即：
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图象.gsp
x2-5x>0 当0<x<5时，y<0，即： x2-5x<0
（2）一般形式
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
(a≠0)
回顾一元一次方程、一次函数、一元一次不等式间的关系
a>0
y
a<0
y
y=ax+b(a≠0) 的图象
ax+b=0的解集 ax+b>0的解集
ax+b<0的解集
b a
O
x
O
b a
x
b {x|x=- } a b {x|x>- } a
b {x|x=- } a b {x|x<- } a
3.2一元二次不等式及其解法
学习目标： （1）通过实例抽象出一元二次不等式的概念
（2）类比三个“一次”间的关系，得出三个 “二次”间的关系
（3）掌握一元二次不等式的解法
学习重点：当 >0时，一元二次不等式的解法 学习难点 ：当 ≤0时，一元二次不等式的解法
一、导学
探究课本P76问题： 设一次上网x小时，则
y=9x2+6x+1
x 1
1 故原不等式的解集为{x|x≠- } 3
3
（4）x -4x+5<0
解：
=(-4)2-4× 5=-4<0
2
方程x2-4x+5=0没有实根
x
方程x2-4x+5<0的解为空集
（5）-x +x+6>0 （6）3x +2x>2-3x
2
2
（5）-x2+x+6>0
解：
-x +x+6>0
的解集
x | x x1或x x2
xR
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
x | x1 x x2
3、一元二次不等式的解法 由三个“二次”的联立，可得解一元二次不等式的程序
一元二次不等式（a<0）
化成a>0的形式
解相应方程 画出相应函数图象
写出解集
重点情形特写：