《一次方程组》章末复习指导
一次方程组复习资料
一次方程组复习资料一次方程组复习资料一次方程组是初中阶段数学学习的重要内容之一，也是后续数学知识的基础。
它是由一系列等式组成的数学表达式，其中每个等式都包含一或多个未知数。
在这篇文章中，我将为大家提供一些一次方程组的复习资料，帮助大家巩固和加深对这一知识点的理解。
1. 什么是一次方程组？一次方程组是由一系列一次方程组成的方程集合。
一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。
一次方程组可以有一个或多个未知数，每个未知数在每个方程中的系数都是常数。
2. 解一次方程组的方法解一次方程组的方法有多种，常见的有代入法、消元法和等式相加法。
下面我们分别介绍这三种方法。
代入法：首先选择一个方程，将其中一个未知数表示成其他未知数的函数，然后将其代入到其他方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，再解这个方程即可。
消元法：通过对方程组进行加减运算，使得其中一个未知数的系数相等，然后将这两个方程相减，消去这个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程，再解这个方程即可。
等式相加法：将方程组中的两个方程相加，消去一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程，再解这个方程即可。
3. 实例演练为了更好地理解和掌握解一次方程组的方法，我们通过一些实例来进行演练。
例1：解方程组2x + y = 73x - 2y = 1我们可以使用消元法来解这个方程组。
首先将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将这个方程与第二个方程相加，得到7x = 15。
解这个方程可以得到x = 15/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为7 - 2(15/7) = 49/7 - 30/7 = 19/7。
例2：解方程组2x + 3y = 84x - y = 2我们可以使用代入法来解这个方程组。
首先将第一个方程中的x表示成y的函数，得到x = (8 - 3y)/2。
然后将这个表达式代入到第二个方程中，得到4(8 - 3y)/2 - y = 2。
人教版七年级上册第三章一元一次方程全章小结复习教学设计
2.培养学生面对问题时，能够勇于尝试、积极思考的良好品质，增强其克服困难的信心。
3.通过解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的重要作用，增强其应用数学知识解决实际问题的意识。
本教学设计旨在帮助学生在复习一元一次方程的基础上，进一步提高知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的能力。在教学过程中，注重理论与实践相结合，鼓励学生积极参与，培养其数学素养。
-结合实际案例，进行情境教学，让学生在实际问题中发现数学的价值和应用。
2.教学策略：
-对于教学重点，通过精讲精练的方式，帮助学生巩固基础知识，提高解题技能。
-对于教学难点，采用分步指导、逐步推进的策略，让学生在教师的引导下逐步攻克难题。
-针对学生的个体差异，提供差异化教学，确保每个学生都能在原有基础上得到提高。
教学过程：
-布置基础练习题，让学生独立完成，巩固方程的解法。
-设置提高练习题，鼓励学生尝试解决，培养其解题技巧。
-对学生的练习进行及时反馈，指导其改进解题方法。
2.设计意图：通过有针对性的练习，帮助学生查漏补缺，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本章节的一元一次方程全章小结进行归纳总结。
教学过程：
（二）过程与方法
1.通过对一元一次方程全章的复习，引导学生自主总结方程的相关概念、性质和解法，培养其自主学习能力。
2.设计具有层次性的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题和解决问题的能力。
3.利用小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作学习的意识，提高课堂互动性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发其学习热情，使其在解决方程问题的过程中感受到数学的魅力。
“二元一次方程组”复习指导
“二元一次方程组”复习指导一、复习目标1．能说出什么是二元一次方程（组）及它的解，会检验某对数值是不是某个二元一次方程（组）的解；2．会灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组；3．会根据给出的实际问题，列出二元一次方程组，从而求得问题的解，并能检验所列方程组的解是否正确、合理.二、重点难点重点：二元一次方程组的解法和列二元一次方程组解决实际问题.难点：列二元一次方程组解决实际问题.四、知识要点1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项．的最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程.2．二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.3．二元一次方程的正整数解：适合二元一次方程的每对未知数的值都是正整数，一般是有限个.4．二元一次方程的一般式：c by ax =+ (a 、b 不为0)5．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组.6．二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.7．二元一次方程组的解法：①代入消元法（简称代入法）；②加减消元法（简称加减法）8．列方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，找出题目中的相等关系；（2）设求知数；（3）根据题目中的相等关系列方程，并组成方程组；（4）解方程组；并检验解的正确性；（5）检验作答.9．列方程组解应用题要领：（1）善于将生活语言代数化；（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3）善于寻找数量间的等量关系.10．掌握化归思想在本章内容中，蕴涵着一个重要的数学思想——化归思想.化归思想的突出运用有：①化二元为一元；②化复杂为简单；③化实际问题为数学问题.把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解决实际问题的基本途径.五、考点透视解二元一次方程组和用二元一次方程组解决实际问题是中考中的重要考点，题型多以选择、填空、计算和应用题出现，且近几年常与函数（将在八年级学习）等题结合起来，综合性强，能解决实际问题，符合社会发展的需要，需引起同学们的注意.例1 解方程组⎩⎨⎧=-=+.52,4y x y x 分析：此题可以用两种方法求解，若用代入法，则可将①变形，得到x y -=4③，把③代入②，消去y ；若用加减法，则可直接用①＋②，消去y .解法一：由①得x y -=4，③将把③代入②，得5)4(2=--x x ，解得3=x .把3=x 代入③，得1=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . 解法二：①＋②，得93=x ，解得3=x .把3=x 代入②，得1=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . 例2 今年第8号台风“莫拉克”给台湾同胞造成巨大的经济损失.某学校积极组织捐款支援灾区，七年级（1）班55名同学共捐款500元，捐款情况如下表.表中捐款8元和10元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由.① ②分析：本题中存在着两个等量关系：（1）学生人数共55人；（2）捐款钱数共500元.根据这两个等量关系，不难列出方程组求解.解：设捐款8元的有x 人，捐款10元的有y 人，根据题意，得⎩⎨⎧⨯-⨯-=+--=+.71265500108,7655y x y x 解得⎩⎨⎧==.25,17y x 答：捐款8元的同学有17人，捐款10元的同学有25人.点评：这既是一道残缺型试题，又是一道说理型试题.本题以向灾区捐款为背景，巧设墨水污染为悬念，使问题富有探索性.。
一次方程(组)复习教案
一次方程（组）复习教案教学目标：1. 回顾和巩固一次方程（组）的基本概念和解法。
2. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
教学内容：1. 一次方程（组）的概念。
2. 一次方程（组）的解法。
3. 一次方程（组）在实际问题中的应用。
教学重点：1. 一次方程（组）的基本概念和解法。
2. 将实际问题转化为一次方程（组）求解。
教学难点：1. 一次方程（组）的解法。
2. 实际问题与一次方程（组）之间的联系。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学实例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习一次方程（组）的基本概念。
2. 引导学生回顾一次方程（组）的解法。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解一次方程（组）的解法，包括代入法、消元法等。
2. 通过实例演示和解题思路分析，帮助学生掌握解法。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置一组一次方程（组）的练习题。
2. 学生独立完成，教师巡回指导。
四、实际问题应用（10分钟）1. 给出一个实际问题，要求学生将其转化为一次方程（组）求解。
2. 学生分组讨论，展示解题过程和结果。
五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结一次方程（组）的解法和实际应用。
2. 学生分享学习心得，教师给予点评和鼓励。
教学评价：1. 课堂练习的完成情况。
2. 实际问题应用的能力。
3. 学生对一次方程（组）的掌握程度。
六、一次方程（组）的解法深入探讨（15分钟）1. 深入分析一次方程（组）的解法，包括解的定义、性质及解的存在性。
2. 通过具体例子，讲解如何判断方程（组）是否有解、解的个数以及解的范围。
七、解一次方程（组）的策略（10分钟）1. 介绍解一次方程（组）的常用策略，如从简单方程开始解、先解出某个变量再解出其他变量等。
2. 引导学生学会选择合适的策略，提高解题效率。
八、一次方程（组）在实际问题中的应用举例（15分钟）1. 通过生活、物理、数学等领域的具体实例，展示一次方程（组）在解决实际问题中的应用。
人教版初一数学下册：《二元一次方程组》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个.要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩ 273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）A . 1330x y x y +=⎧⎨+=⎩ B . 1332x y x y +=⎧⎨+=-⎩ C . 1334x y x y +=⎧⎨-=⎩ D . 1333x y x y +=⎧⎨+=⎩【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C .【解析】选项A 、B 、D 中，将方程1x y +=，两边同乘以3得333x y +=，从而可以判断A 、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C. 【总结升华】在111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 均不为零），（1）当121222a a c a b c =≠时，方程组无解；（2）当121222a a c a b c ==，方程组有无数组解； （3）当1222a a ab ≠，方程组有唯一解． 举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（3）】 【变式1】若关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m = ．【答案】1．【变式2】已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩有无数多个解，则a 、b 的值等于 ．【答案】a ＝﹣3，b ＝﹣14．类型二、二元一次方程组的解法2. (黄冈调考)解方程组2()5335()322x y y x y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩①②【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x -y )，因此可以把(x -y )看作一个整体，消去(x -y )可得到一个关于y 的一元一次方程．【答案与解析】解：由①×9得：6(x -y )+9y ＝45 ③ ②×4得：6(x -y )-10y ＝-12 ④ ③-④得：19y ＝57， 解得y ＝3．把y ＝3代入①，得x ＝6．所以原方程组的解是63x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果． 举一反三：【变式】(换元思想)解方程组16105610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩【答案】 解：设6x y m +=，10x yn -=． 则原方程组可化为15m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=-⎩．所以36210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 即1820x y x y +=⎧⎨-=-⎩．∴ 119x y =-⎧⎨=⎩．3.（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【思路点拨】把代入方程组第一个方程求出c 的值，将x 与y 的两对值代入第二个方程求出a 与b 的值，即可求出a+b+c 的值．【答案与解析】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5， 把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．举一反三：【变式】已知二元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+175194y x y x 的解为a x =，b y =，则=-b a .【答案】11.类型三、实际问题与二元一次方程组4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.60cm【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x ，宽为y ，就可以列出一个关于x 、y 的二元一次方程组. 【答案与解析】解：设每块地砖的长为xc m 与宽为ycm ，根据题意得：6023x y x x y +=⎧⎨=+⎩，解得：4515x y =⎧⎨=⎩ 答：每块地砖长为45cm ，宽为15cm【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系.举一反三：【变式】如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.【答案】解：设每个小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得：422(2)37x y x y y +=⎧⎨+-=⎩，解得103x y =⎧⎨=⎩所以阴影部分的面积为：22(73)922(79)910382y xy +-=+-⨯⨯=. 答：图中阴影部分的面积为82.5.（龙岩）已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案与解析】【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数． 举一反三：【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。
中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析
中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般步骤 步骤名 称 方 法依 据注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6.【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可． 【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷， 根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6， 解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．解下列方程组． （1）（2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7， 去括号得：﹣4y+6+3y=7， 解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5， 则方程组的解；（2），①×4+②×3得：17m=34， 解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13， 解得：n=3， 则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：① ②【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2； （2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：601000(10002000)100000 x yx y+=⎧⎨++=⎩解得：2040 yx=⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩． 答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。
中考数学《一次方程（组）》总复习训练含答案解析
一次方程（组）一、选择题1．电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22．若a=b﹣3，则b﹣a的值是（）A．3 B．﹣3 C．0 D．63．为紧急安置100名地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，则恰好能安置的搭建方案共有（）A．8种 B．9种 C．16种D．17种4．方程2x+1=0的解是（）A．B．C．2 D．﹣2二、填空题5．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是g．6．某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满足的方程是．7．某商店一套秋装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价为元．8．如图，某商场正在热销北京奥运会的纪念品，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃价格是元．9．某种服装按进价提高50%后标价，又以8折优惠卖出，结果仍获利15元，这种服装的进价为元．三、解答题10．解方程组：．11．解方程：．12．某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%．求这个月的石油价格相对上个月的增长率．13．预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？14．某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？15．根据北京奥运票务网站公布的女子双人3米跳板跳水决赛的门票价格（如表），小明预定了B等级、C等级门票共7张，他发现这7张门票的费用恰好可以预订3张A等级门票．问小明预定了B等级、C等级门票各多少张？等级票价（元/张）A500B300C15016．四川汶川的特大地震灾害，牵动着全中国人民的心．某校发出为灾区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款4万5千元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元？一次方程（组）参考答案与试题解析一、选择题1．电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】三元一次方程组的应用．【专题】压轴题．【分析】根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．【解答】解：设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z，根据已知条件，得：，（1）×2﹣（2）×5，得：2x=5z，即2个球体相等质量的正方体的个数为5．故选：A．【点评】本题通过建立二元一次方程组，求得球体与正方体的关系，等量关系是天平两边的质量相等．2．若a=b﹣3，则b﹣a的值是（）A．3 B．﹣3 C．0 D．6【考点】代数式求值．【分析】此题可用将a=b﹣3代入b﹣a，去括号合并同类项即可求得．【解答】解：∵a=b﹣3∴b﹣a=b﹣（b﹣3）=b﹣b+3=3．故选A．【点评】主要考查了整体思想．解题的关键是将a用b﹣3代替代入代数式求解．3．为紧急安置100名地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，则恰好能安置的搭建方案共有（）A．8种 B．9种 C．16种D．17种【考点】推理与论证．【专题】方案型．【分析】可设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶．根据两种帐篷容纳的总人数为100人，可列出关于x、y的二元一次方程，根据x、y均为非负整数，求出x、y的取值．根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案．【解答】解：设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，依题意，有：6x+4y=100，整理得y=25﹣1.5x，因为x、y均为非负整数，所以25﹣1.5x≥0，解得0≤x≤16，从0到16的偶数共有9个，所以x的取值共有9种可能，由于需同时搭建两种帐篷，x不能为0（舍去）即共有8种搭建方案．故选A．【点评】解决本题的关键是找到人数的等量关系，及帐篷数的不等关系．4．方程2x+1=0的解是（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】先移项，再系数化1，可求出x的值．【解答】解：移项得：2x=﹣1，系数化1得：x=﹣．故选B．【点评】解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，移项时要变号，最后系数化1．二、填空题5．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是20g．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量=两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量=50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组．【解答】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．由题意列方程组得：，解方程组得：．答：每块巧克力的质量是20克．故答案为：20．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，根据图表信息列出方程组解决问题．6．某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满足的方程是150×80%﹣x=20．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】应用题．【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：售价﹣成本=利润，根据等量关系列方程即可．【解答】解：设这种服装的成本价为每件x元，则实际售价为150×80%元，根据实际售价﹣成本=利润，那么可得到方程：150×80%﹣x=20．故答案为：150×80%﹣x=20．【点评】本题以经济中的打折问题为背景，主要考查根据已知条件构建方程的能力，其中把握等量关系“售价﹣成本=利润”是关键．7．某商店一套秋装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价为340元．【考点】有理数的混合运算．【专题】应用题．【分析】认真审题找出等量关系：服装的标价的80%正好等于服装的进价加上获利，然后根据等量关系列方程解答．【解答】解：设先设服装的标价为x元．80%•x=200+72，解得x=340．【点评】此题为实际应用题，与生活比较接近，此类题目更能激发学生的学习兴趣．也是中考中的热点题型．8．如图，某商场正在热销北京奥运会的纪念品，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃价格是145元．【考点】一元一次方程的应用．【专题】经济问题；压轴题．【分析】此题等量关系为：一盒福娃的价格+奥运徽章的价格=170元，设一盒福娃价格是x元，可用代数式表示一枚奥运徽章的价格，即可根据等量关系列方程求解．【解答】解：设一盒福娃价格是x元，则x+（x﹣120）=170，解得：x=145．则一盒福娃价格是145元．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．9．某种服装按进价提高50%后标价，又以8折优惠卖出，结果仍获利15元，这种服装的进价为75元．【考点】一元一次方程的应用．【专题】销售问题；压轴题．【分析】要求进价，可用未知数设出进价，然后根据按进价提高50%后标价，又以8折优惠卖出，结果仍获利15元这个等量关系列出方程求解．【解答】解：设进价是x元．根据题意得：80%（1+50%）x﹣x=15，解得：1.2x﹣x=15，x=75故填75．【点评】注意：利润=售价﹣进价．8折即标价的80%．三、解答题10．解方程组：．【考点】解二元一次方程组．【分析】由于两个方程中y的系数相同，可以选择用加减消元法来解．【解答】解：，（2）﹣（1），得x=5，把x=5代入（1），得y=2．∴原方程组的解为：．【点评】解二元一次方程组体现了数学的转化思想，即二元方程一元化，本题也可以利用代入消元法求解，但是不如加减消元法简单，同学们不妨一试．11．解方程：．【考点】高次方程．【分析】先把方程组中的方程化简后再解．【解答】解：（2）可化为（x﹣y）（x+y）=5，原方程组可化为：把（1）代入（2）得：2x=﹣6x=﹣3把x=﹣3代入（1）得y=﹣2∴原方程组的解为【点评】解二元一次方程组时，方程组中的方程若能进行因式分解应先因式分解后再求值．12．某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%．求这个月的石油价格相对上个月的增长率．【考点】一元一次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x．根据这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%列方程求解．【解答】解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x．根据题意得：（1+x）（1﹣5%）=1+14%．解得：x==20%．答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%．【点评】这里要分别把上个月的石油进口量和上个月的石油价格看作单位1．13．预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？【考点】一元一次方程的应用．【专题】行程问题．【分析】由题意可得：试验列车由北京到天津的行驶时间为36分钟，由天津返回北京的行驶时间为30分钟；但这36分钟与返回时30分钟所行驶路程是相等的．根据行驶路程相等这一等量关系列出方程求解即可．【解答】解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时（x+40）千米依题意得：（x+40）解得：x=200．答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．【点评】本题也是一道与时事紧密相关的数学题，在考核学生数学知识的同时让学生了解时事，本题着重考核了学生应用适当的数学模型解决实际问题的能力．易忽视点：预计时间为30分钟，学生易忽视．14．某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？【考点】一元一次方程的应用．【专题】应用题；比赛问题．【分析】设这个队胜了x场，根据共得分是19分，即：胜场得分+平场得分=19分，列方程求解．【解答】解：设这个队胜了x场，依题意得：3x+（14﹣5﹣x）=19，解得：x=5．答：这个队胜了5场．【点评】理解此题中的等量关系：胜的场数得分+平的场数得分=19分，是解决本题的关键．15．根据北京奥运票务网站公布的女子双人3米跳板跳水决赛的门票价格（如表），小明预定了B等级、C等级门票共7张，他发现这7张门票的费用恰好可以预订3张A等级门票．问小明预定了B等级、C等级门票各多少张？等级票价（元/张）A500B300C150【考点】二元一次方程组的应用．【专题】图表型．【分析】本题的等量关系可表示为：B门票+C门票=7张，购买的B门票的价格+C门票的价格=3张A门票的价格．据此可列出方程组求解．【解答】解：设小明预订了B等级，C等级门票分别为x张和y张．依题意，得解方程组，得答：小明预订了B等级门票3张，C等级门票4张．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．16．四川汶川的特大地震灾害，牵动着全中国人民的心．某校发出为灾区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款4万5千元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】本题中有两个等量关系：老师捐款数+学生捐款数=4万5千，学生捐款数=2×老师捐款数﹣9千．设两个未知数，根据以上等量关系列出二元一次方程组．【解答】解：设老师捐款x元，学生捐款y元．则有（1分）（4分）解得：（7分）答：该校老师捐款18 000元，学生捐款27 000元．（8分）【点评】关键是弄清题意，找出等量关系．11 / 11。
一次方程(组)复习教案
一次方程(组)复习教案教学目标：1. 掌握一次方程的概念和解法。
2. 学会解一次方程组的方法和技巧。
3. 能够应用一次方程(组)解决实际问题。
教学内容：1. 一次方程的定义和解法。
2. 一次方程组的定义和解法。
3. 一次方程(组)的解的判定。
4. 一次方程(组)的应用。
教学步骤：一、导入：1. 复习一次方程的概念和解法。
2. 引入一次方程组的定义和解法。
二、新课内容：1. 讲解一次方程的解法，包括解的定义、解的判定、解的求法。
2. 讲解一次方程组的解法，包括解的定义、解的判定、解的求法。
三、实例解析：1. 提供几个一次方程的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
2. 提供几个一次方程组的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
四、练习：1. 让学生做一些一次方程的练习题，巩固解法。
2. 让学生做一些一次方程组的练习题，巩固解法。
五、应用拓展：1. 提供一些实际问题，让学生应用一次方程(组)解决。
2. 讨论一次方程(组)在实际问题中的应用和意义。
教学评价：1. 课后作业：布置一些一次方程(组)的练习题，检验学生掌握情况。
2. 课堂问答：提问学生一次方程(组)的概念和解法，检验学生理解情况。
教学资源：1. 教案、PPT、练习题。
2. 教材、辅导书。
教学时间：1. 课时：45分钟。
2. 备课时间：1小时。
一次方程(组)复习教案教学目标：1. 掌握一次方程的概念和解法。
2. 学会解一次方程组的方法和技巧。
3. 能够应用一次方程(组)解决实际问题。
教学内容：1. 一次方程的定义和解法。
2. 一次方程组的定义和解法。
3. 一次方程(组)的解的判定。
4. 一次方程(组)的应用。
教学步骤：六、巩固练习：1. 提供几个一次方程的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
2. 提供几个一次方程组的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
七、拓展提升：1. 提供一些一次方程(组)的综合性实例，让学生独立求解。
2. 引导学生探讨一次方程(组)在不同情境下的应用。
2024年秋新沪科版七年级上册数学教学课件 第3章 一次方程与方程组 本章小结与复习
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
同学们，通过这节课的学习 ，你有什么收获呢？
谢谢 大家
（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等， 那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组 变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.
（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上 加减消元的考虑.
6 三元一次方程组
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方 程组，叫作三元一次方程组.
3
性质3：如果 a＝b，那么 b＝a.（对称性）.
例如，由 -4=x，得 x=-4.
4
性质4：如果 a＝b，b=c，那么 a＝c.（传 递性）.
例如，x=3，又y=x，所以y=3.
在解题过程中，根据等式的传递性，将一 个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
2 一元一次方程
只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1， 且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程.
例 4 一个方程组不小心被涂上了染料，如下：
●x＋●y＝22，
x＝4，
3x－●y＝8. 小聪说：“这个方程组的解为y＝2，而我求
x＝1， 出的解是y＝6. 经检查后发现，我看错了第二个方程中 y
的系数．”请你根据以上信息，把原方程组还原出来．
解：设方程●x＋●y＝22中x，y的系数分别为
a，b，方程3x－●y＝8中y的系数为c，由题意，
得方程组
4a+2b=22，
a = 4，
12－2c=8， 解得 b = 3
a+6b=22.
c = 2.
所以原方程组为
4x+3y=22， 3x－2y=8.
例5 某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内， 计划插播长度为15秒和30秒的两种广告. 15秒广告每 播1次收费0.8万元，30秒广告每播1次收费1.5万元. 若要求每种广告播放不少于2次． (1)两种广告的播放次数有几种安排方式？ (2)电视台选择哪种方式播放收益较大？
一次方程(组)复习教案
一次方程(组)复习教案第一章：一次方程的定义与解法1.1 方程的定义：解释方程的概念，方程是一个含有未知数的等式。
强调方程中的等号表示两边的值相等。
1.2 一次方程的定义：介绍一次方程的概念，一次方程是最高次数为1的方程。
举例说明一次方程的一般形式：ax + b = 0。
1.3 解一次方程的步骤：讲解解一次方程的步骤，包括：1. 将方程写成标准形式ax + b = 0。
2. 移项，将未知数移到方程的一边，常数移到另一边。
3. 化简方程，消去系数。
4. 求解未知数的值。
1.4 解一次方程的练习：提供一些练习题，让学生根据解一次方程的步骤求解。
引导学生运用加减法、乘除法等运算来化简方程。
第二章：二元一次方程的定义与解法2.1 二元一次方程的定义：介绍二元一次方程的概念，二元一次方程是含有两个未知数的一次方程。
举例说明二元一次方程的一般形式：ax + = c。
2.2 解二元一次方程的步骤：讲解解二元一次方程的步骤，包括：1. 将方程组写成标准形式，即两个方程分别写成ax + = c 的形式。
2. 利用代入法或消元法求解未知数的值。
3. 检验解的可行性，确保解满足原方程组的所有方程。
2.3 解二元一次方程组的练习：提供一些练习题，让学生根据解二元一次方程的步骤求解。
引导学生运用代入法、消元法等方法来求解方程组。
第三章：一次方程与一次不等式的关系3.1 一次方程与一次不等式的定义：介绍一次方程与一次不等式的概念，一次方程是等式，而一次不等式是不等号连接的两个表达式。
举例说明一次不等式的一般形式：ax + b > c 或ax + b ≤c。
3.2 一次方程与一次不等式的关系：解释一次方程的解集是一次不等式的解集的特殊情况。
讲解如何从一次方程的解集中找出满足一次不等式的解。
3.3 解一次不等式的步骤：讲解解一次不等式的步骤，包括：1. 将不等式写成标准形式，即ax + b ≤c 或ax + b > c。
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《一次方程组》章末复习指导
一、综述
1．本章复习可着重抓以下两个方面：
（1）解一次方程组的基本思想（消元）和基本方法（代入法与加减法）；
（2）列出一次方程组解简单的应用题．
2．本章涉及的概念有二元一次方程，二元一次方程组、二元一次方程组的解、三元一次方程组等．这些概念都是用描述方法给出的，教学时不要求精确化，并且不必引伸、扩充其他概念，更不宜涉及同解方程组、二元一次方程组的解的讨论和不定方程的概念．
3．本章是初中代数中极为理想的教学内容——既有知识、技能，又可培养学生分析问题、解决问题的能力；既可传授数学思想、数学方法，又可对学生进行思想教育，提高学生的学习积极性．教学中要充分认识本章内容的地位作用，使得知识、技能、思想、方法诸方面相辅相成、融为一体．这也从另一方面说明了；本章的概念定义应该浅化，不能耗时过多．对于义务教育来说，上述概念只需为后续内容开路即可，只需让学生学会基本的、能长远起作用的那部分知识、技能、思想和方法．
4．如果学生学有余力，可以扩充一些数学史知识，选做一些与本教科书配套的课外习题集中的题目，但不宜扩大教学内容，例如，不宜让学生过早地去解不定方程．至于用行列式来解二元一次方程组，因为没有三元、四元等多元线性方程组作比较，看不出行列式的优点，学生会把用行列式相除表示的方程组的解当作公式去记，这对初一学生来说好处不大．再说，二元一次方程组的行列式解法也是从加减消元法推导出来的，让初一学生掌握代入法、加减法就足够了．
二、知识结构
用二元一次方程组解决实际问题的过程：
三、本章反映的数学思想和方法
方程思想：所谓方程，是指含有未知数的等式．而解方程就是解决这样一个问题：当未知数取什么数（或数组）时等式成立．本章的二元一次方程组概念的提出，就是通过一个实际数字问题，列出方程组而获得解答，进而直接了当地引入两个未知数得到了二元一次方程、二元一次方程组，方程的思想在本章中主要体现在应用问题之中．
转化思想：本章转化思想主要体现在将未知转化为已知和把复杂问题转化为简单问题上，这在解方程组的过程中都有非常明显的体现．
消元法：本章在二元一次方程组的解法中分别介绍了消元的两种方法，即：代入消元法和加减消元法．其中的“消元”又体现了数学研究中“化未知为已知”的重要思想．这种思想方法不仅在解二元一次方程组中起着重要作用，而且也是解二元二次方程组的基本思想方法．因此对“消元法”必须给予足够的重视，在学习中注意掌握和灵活运用．。