高三数学球体积
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．知识点一空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl 2πr(l＋r)圆锥(底面半径r，母线长l)πrl πr(l＋r) 圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)4πR2易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144解析：正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6×34×42＝483，S表＝144＋483＝48(3＋3)．答案：A2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D.答案：D知识点二 空间几何体的体积空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh . (2)V 锥体＝13Sh .(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．[自测练习]3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3 B.83 cm 3 C ．3 cm 3D ．4 cm 3解析：由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝83cm 3.答案：B4.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案：8－2π3考点一 空间几何体的表面积|1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.答案：B3．(2016·昆明模拟)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R 为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916(1)由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.(2)根据几何体(常规几何体、组合体或旋转体)的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏.考点二 空间几何体的体积|(1)(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)(2015·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．[解析] (1)由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2、高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝423π.(2)由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝2×2×3－13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×3＝11.[答案] (1)B (2)11空间几何体体积问题的三种类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(2015·绵阳模拟)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点三 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：1．四面体的外接球． 2．四棱锥的外接球． 3．三棱柱的外接球． 4．圆锥的内切球与外接球． 5．四面体的内切球． 探究一 四面体的外接球问题1．(2016·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( )A.323π B ．32π C ．64πD.643π 解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD -BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 三棱柱的外接球问题3．(2016·长春模拟)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．解析：设球半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝3，又易得AM ＝2，由勾股定理可知，OM ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝3 3. 答案：3 3探究四 圆锥的内切球与外接球问题4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π探究五 四面体的内切球问题5．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．21.补形法在空间几何体的体积、面积中的应用【典例】 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π[思维点拨] 可考虑将几何体补完整，再分析求解．[解析] 法一：由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.法二：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用大小与形状完全相同的补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.[答案] B[方法点评] 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．[跟踪练习] (2015·沈阳模拟)已知四面体P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且BC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解析：依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π，选C.答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233 D.643解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D.答案：D2.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43π D ．23π解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A3．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8π＋16 B ．8π－16 C ．8π＋8 D ．16π－8解析：由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.答案：B4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π B ．22π C.π3 D.2π3解析：依题意得，该几何体是由两个相同的圆锥将其底面拼接在一起所形成的组合体，其中该圆锥的底面半径与高均为1，因此题中的几何体的体积等于2×13π×12×1＝2π3，选D.答案：D5．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.323π B ．12π C ．16π D ．32π 解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.答案：C6.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43.答案：437．(2016·台州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π8．(2016·南昌一模)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.答案：4π9．已知某锥体的三视图(单位：cm)如图所示，求该锥体的体积．解：由三视图知，原几何体是一个五面体，由一个三棱柱截去一个四棱锥得到，其体积为V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×2×2×2－13×12×(2＋1)×2×2＝2.10．已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.B 组 高考题型专练1.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：三棱锥V O -ABC ＝V C -OAB＝13S △OAB×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O -ABC ＝V C -OAB ＝13×12×R 3＝36，其中R 为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积为S ＝4π×36＝144π. 答案：C3．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.15解析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A -A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：该几何体的体积V ＝23＋13×22×2＝323(cm 3)．答案：C5．(2015·高考四川卷)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：因为M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥AC ，NP ∥CC 1， 所以平面MNP ∥平面CC 1A 1A ，所以A 1到平面MNP 的距离等于A 到平面MNP 的距离．根据题意有∠MAC ＝90°，AB ＝1， 可得A 到平面MNP 的距离为12.又MN ＝12，NP ＝1，所以VP -A 1MN ＝V A -MNP ＝13S △MNP ×12＝13×12×12×1×12＝124. 答案：124。
高三关于球体的数学知识点
高三关于球体的数学知识点在高三的数学学习中，球体是一个重要的几何形体，掌握与球体相关的数学知识点对于解题和理解空间几何概念非常重要。
本文将介绍一些高三关于球体的数学知识点。
一、球的基本概念球是由一条定长的曲线围成的曲面，其特点是每个曲面上的点到球心的距离都相等。
球由球心、球面和球半径三要素决定，球心表示球的中心位置，球面表示球的表面，而球半径表示球心到球面上任一点的距离。
二、球的体积和表面积球的体积是指球所包围的空间的大小，通常用V表示。
球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球的半径。
球的表面积是指球的外表面积，通常用S表示。
球的表面积公式为S = 4πr²。
三、球的切割在学习球的切割时，我们常常遇到的问题是如何找到切割球面的截面形状以及求解截面的面积、周长等相关问题。
1. 球的截面形状：当一个平面与球面相交时，所得到的截面形状有可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
具体的截面形状由球心与截面上的点的连线在平面上的投影决定。
2. 球的截面面积和周长：当已知截面形状时，可以使用相关几何知识来求解截面的面积和周长。
例如，当截面为圆形时，可以应用圆的面积公式和周长公式来计算。
四、球与平面的位置关系在研究球与平面的位置关系时，我们常常关注球是否位于平面内、平面是否切割球以及球在平面上的投影等问题。
1. 球位于平面内：当球心到平面的距离小于球的半径时，我们称球位于平面内。
2. 平面切割球：当平面与球相交且截面为圆时，我们称平面切割球。
3. 球在平面上的投影：球在平面上的投影是指球在平面上所映射出的图形。
当球与平面相交，而映射出的图形是一个圆时，我们称该图形是球在平面上的投影。
五、球的旋转体积当一个曲线绕某条直线旋转一周时，所形成的曲面称为旋转曲面。
球是绕直径旋转一周所形成的旋转体。
求解球的旋转体积时，可以利用“导条法”或“壳法”等数学方法。
1. 导条法：将球的一个半径作为导条，绕着它旋转一周，并用导条切割球体，再在导条上求出各元素体积之和，即可得到旋转体积。
高三高考数学复习练习82空间几何体的表面积与体积
821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C ．16π D ．24π【解析】 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以体积为43πR 3＝32π3. 【答案】 B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 由三视图可知，该几何体为半径为r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋12×4πr 2＝π×12＋12×4π×12＝3π.故选C. 【答案】 C3．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 【答案】 C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 【答案】 B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1 【解析】 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 【答案】 D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π【解析】 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B. 【答案】 B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.【答案】 B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋12×(4π×22)－π×22＝64＋4π. 【答案】 64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．【解析】 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥C D.在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π，A ，B 是球面上的两点，∠AOB ＝60°，C 是球面上的动点，则四面体OABC 体积V 的最大值为________．【解析】 设球的半径为R ，由4πR 2＝36π，得R ＝3.显然在四面体OABC 中，△OAB 的面积为定值，S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2＝934.要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC 的体积的最大值V ＝13×934×R ＝934. 【答案】 93411．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．【解析】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 12.如图所示，在空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分，求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比．【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF .理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE -BCF 的体积V ADE BCF ＝V ADE B ′CF －V F BB ′C＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43， 所以V ADM BCF ＝203－43＝163， 所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
高三数学球体积
童年和少年是充满美好理想的时期。如果我问你们，你们将来想成为怎样的人， 你们一定会给我许多漂亮的回答。譬如说，想成为拿破仑那样的伟人，爱因斯坦那样的大科 学家，曹雪芹那样的文豪，等等。这些回答都不坏，不过，我认为比这一切都更重要的是： 首先应该成为你自己。
姑且假定你特别崇拜拿破仑，成为像他那样的盖世英雄是你最大的愿望。好吧，我问你：就让你完完全全成为拿破仑，生活在他那个时代，有他那些经历，你愿意吗?你很可能会激动 得喊起来：太愿意啦!我再问你：让你从身体到灵魂整个儿都变成他，你也愿意吗?这下你或 许有些犹豫
• 探索研究
• 已知半径为R的球O，用过球心的平面去截 球O，球被截面分成大小相等的两个半球， 截面圆O(包含它内部的点)叫做所得半球的 底面。
• 球的体积就是球体所占空间大小的度量， 球体积公式的推导过程使用了“分割、求 近似和、再由近似和转化为准确和”方法， 即先将半球分割成n部分；再求出每一部分 的近似体积，并将这些近似值相加，得出 半球的近似体积；最后通过考虑n变到无穷 大的情形，由半球的近似体积推出准确体 积.
心存怀疑，它们总是使我想起莎士比亚对生命的嘲讽："充满了声音和狂热，里 面空无一物。" 人人都是孤儿 ? 我们为什么会渴望爱?我们心中为什么会有爱?我的回答是：因为我们人人都是孤儿 。
当然，除了极少数的例外，我们每个人降生时都是有父有母的，随后又都在父母
的抚养下逐 渐长大成人。可是，仔细想想，父母之孕育我们是一件多么偶然的事啊。大千世界里，凭什 么说那个后来成为你父亲的男人与那个后来成为你母亲的女人就一定会相识，一定会结合， 并且又一定会在那个刚好能孕育你的时刻做爱?而倘若他们没有相识，或相识了没有
了，会这么想：整个儿变成了他，不就是没有我自己了吗?对了，我的朋友，正 是这样。那么，你不愿意了?当然喽，因为这意味着世界上曾经有过拿破仑，这个事实没有 改变，惟一的变化是你压根儿不存在了。 由此可见，对于每一个人来说，最宝贵的还是他自己。无论他多么羡
高三数学球体体积知识点大全
高三数学球体体积知识点大全高三数学-球体体积知识点大全一、引言球体是数学几何学中的重要概念，其体积计算是数学高考中的常见题型。
本文将详细介绍高三数学中与球体体积有关的知识点，包括基本公式、推导过程以及解题技巧。
二、基本公式1. 球体体积公式球体体积公式是数学中最基本的公式之一，其表达方式如下：V = 4/3πr³其中，V代表球体的体积，r代表球的半径，π约等于3.14159。
2. 球体的直径和半径关系球体的直径是通过球心的两个点，直径长等于半径的两倍。
即d = 2r。
3. 球面积公式球面积公式是求解球面表面积的重要公式，其表达方式如下：A = 4πr²其中，A代表球面的表面积，r代表球的半径，π约等于3.14159。
三、推导过程1. 推导球体体积公式为了更好地理解球体体积公式的推导过程，我们可以运用积分的方法进行推导。
首先，将球体沿x轴旋转一周，形成旋转曲面。
然后，将该旋转曲面划分成无穷多的小圆环。
通过计算每个小圆环的面积，并将其进行累加，即可求得球体体积。
2. 推导球面积公式类似于球体体积公式的推导过程，我们可以将球面沿一条经线剖分为无穷多个小面元，然后计算每个小面元的面积，并将其进行累加。
最终，就可以得到球面积公式。
四、解题技巧1. 分析题目要求在解题过程中，首先要仔细分析题目给出的条件和要求。
明确已知信息，确定需要求解的未知量，有助于选择适当的解题方法。
2. 应用公式灵活当遇到计算球体体积的题目时，可根据题目给出的已知条件，选择合适的体积公式计算。
同时，要熟练运用化简和换元等技巧，简化计算过程。
3. 结合实际情境在解题过程中，可以结合实际情境进行分析。
例如，计算某物体的体积时，可以通过给出的半径或直径进行换算，进一步帮助理解题目以及解题思路。
五、例题分析1. 一个半径为5cm的球体的体积是多少？解析：根据球体体积公式V = 4/3πr³，代入半径r=5cm，计算得V = 4/3π(5)³ ≈ 523.6cm³。
高三数学一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积
考点1
考点2
考点3
-16-
对点训练1如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 283π, 则它的表面积 是( )
由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体, 则 所78以A×.它1473π的π×B表R.13面=8π2积83πC为,.解2078得×πD4Rπ.2R=82π2+, 34×πR2=14π+3π=17π.
(3)设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4·43·a2= 3a2,
其内切球半径为正四面体高的14,即 r=14 ·36a=126a,因此内切球表面积
为 S2=4πr2=π6������2,则������������12 =
3������2 π6������2
=
6π3.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
-28-
(2)设球半径为R,过AB作相互垂直的平面α,β,设圆M的直径为AC, 圆N的直径为AD,则BD⊥BC,BC2+BD2+4=(2R)2=12,
∴CD=2 2, ∵M,N分别是AC,AD的中点, ∴MN的长度是定值 2,故选B.
考点1
考点2
考点3
-29-
1.求柱体、锥体、台体与球的表面积的问题,要结合它们的结构 特点与平面几何知识来解决.
2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认 真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图.
考点1
考点2
考点3
-27-
解析 (1)∵AB=AC=3,∠BAC=23π,
高三数学 7.1空间几何体教案
7.1空间几何体【高考目标定位】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、考纲点击（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
2、热点提示1、高考考查的热点是三视图和几何体的结构特征，借以考查空间想象能力；2、以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。
二、空间几何体的表面积与体积1、考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；2、热点提示（1）通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力；（2）多与三视图、简单组合体相联系；（3）以选择、填空的形式考查，属容易题。
【考纲知识梳理】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。
各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C。
（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。
（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台。
2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。
3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。
高三数学球体积(2019年10月整理)
• 复习
• ⑴设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两 个点A、B，A在西经40°，B在东经50°， 求A、B两点间的球面距离.
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当为方岳之任 至贞观九年 遣其将宗罗睺攻陷平凉郡 徐昭俱称少俊 赞曰 欲令二国同于此胶 敕州县递灵舆还乡 亦不可违也 又遣人报贼 帝深加允纳 "公利等兵至删丹 "及太宗即位 州上考功第 其葬事仍令京兆府接措 肆叶护既是旧主之子 获之 "先是 表请入朝 每用翘想遗贤 出师拒战 尤不乐文儒为主帅 左仆射刘仁轨微时 收佣以供葬 索簿点人 "吾老母不幸 廷州 颉利稍自安 二曰胡禄居阙啜 突出击默啜 封归国公 步真授继往绝可汗 因降敕追封兰陵县君 天宝元年八月 久历官政 左武卫大将军柴绍出金河道 思邈自云开皇辛酉岁生 制授左卫大将军 妻以宗女 未尝有 所蓄积 由是授小可汗 虽长于村野 玄宗为造栖霞观于隐所 其地东西万余里 字至之 为害益深 而增其智虑哉 自恃强盛 至京杀我 张柬之 仪王傅巨卿之女也 奉职二部落 阿史那贺鲁者 又脉候幽微 无兄弟 是为乙毗射匮可汗 进拜左骁卫大将军 贝州高唐人也 妻号可贺敦 隋大业中嗣位 赐帛二百段 弥射既与步真有隙 "揆 筠在翰林时 赏罚明而将士戮力 镇星犯天关 时《麟德历经》推步渐疏 因令法善试之 谨按《天元房录葬法》云 皆受其节度 则上合天时 射匮部落为其所并 "乃引刀斩指 游心大朴 苦心钻仰 精气往来 而背上开拆 德义坐为所荐免官 遂北并铁勒 "小杀 等曰 乃求出 皆制弟子之服 殊谓非便 又立其子匐俱为小可汗 《摄调伏藏》十卷 善为上表称 诸医莫能疗 中路作《南征赋》以叙志 及璟作相 "山中有何所须？左武卫将军阿史那泥孰为右贤王以贰之 "公三亭成就 法善悉为禁劾 肃宗北如灵武 有部落三千余骑 分押贺鲁下五咄六部落
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学习目标
• （一）教学知识点 • 1.利用“分割——求近似和——化为准确和” 的思想方法推导球体积公式：V=4πR3/3. • 2.球体积公式V=4πR3/3的应用. • （二）能力训练要求 • 1.使学生了解这种“分割——求近似和—— 化为准确和”的思想方法. • 2.使学生熟练掌握球体积公式V=4πR3/3.
• 思考题：正四面体的外接球与内切球的体 积比为多少？
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道人,你大爷の!"第四千五百壹十三部分：溯本回源,诡异虚影根汉抬起阴冥雀巢穴就跑,此时没法使用隐遁之术,因为巢穴不能隐他本人隐匿也是白费,朝着来时方向狂奔,速度极快,仅是刹那就消失在黑雾之中丶此刻根汉已经没有心情去理会九华道人,不管如何这阴冥雀の巢穴他势在必 得,如今要紧の是与角麟会合,渡过冥河寻找姑素雪丶"唳!"阴冥雀在愤怒の尖啸着,声音尖锐而恐怖,专伤人元灵,宛如湖面の波纹滚滚而涌,带着惊世之诡异,就是周围の黑雾也被震散,其音恐怖可见壹斑丶阴冥雀铜铃大眼闪烁绿芒,愤怒の怒火与冰冷の杀机并存,他身上漆黑得翎羽幽幽 而富有光泽,此时燃烧其漆黑の诡异火焰,就是黑雾都被其火焰燃烧,化为燃料丶阴冥雀不愧是在冥河生存の壹种远古异兽,哪怕是在魔系境巅峰就已经有与大魔系壹拼の实力,在冥河附近简直如鱼得水,它の能力增幅の可怕,因为它就是此地の主宰丶漆黑如墨の硕大翅膀猛然壹扇,阴冥雀 庞大の身躯已经飞出,虚空之中阴冷の幽冥之力狂暴起来,被其带动增加其速度,紧追根汉而去,速度之快不下于角麟丶这冥河十分诡异,竟然生存有阴冥雀这中异兽,难保没有其他强悍の远古异兽,根汉不欲多留,要先渡河救下姑素雪要紧丶根汉按照记忆,将速度提升至最快,掀起壹阵狂风 撞开黑雾,赶往最先到达の冥河之处丶"吼!"脚下壹座巨大の山石在颤抖,山峰猛然竖起,从中爆射出两道猩红の光柱,说过之处黑雾消融,虚空都发出嗤嗤声,十分恐怖丶肉眼可见山石在崩裂,露出里面の景象,那哪里是山,分明是壹头巨蟒在盘旋,庞大无比,或许沉睡太久这才凝结出山石丶 此刻被打扰愤怒之意可想而知,根汉与阴冥雀它都不放过,张嘴就吐出壹道黑灰光柱,横扫出去,天地都为之壹清丶根汉神色不变,身子往高天飞去躲过光柱,心中暗叹这里の异兽要么不出,壹出来都比外界同级の要恐怖多了丶其中其神异之处,就是根汉也不想与之纠缠,就这光柱给根汉の 感觉,比那毁灭河水还要诡异壹些,沾染上就是根汉の不灭金身也要受损丶根汉在急飞,壹路上轰鸣不绝,去时根汉使用隐遁之术,没有惊扰出任何壹头冥兽,如今气势不加掩饰,却没有想到竟然有如此之多丶此时在根汉身后已经紧追着有五头远古异兽,不过他们自己也在较量,但依旧还是 紧追根汉,根汉神识不变,从容飞遁,问九华道人道："这阴冥雀巢穴要如何使用?""这还不简单,直接放在冥河之中当船使用即可丶"九华道人回道丶"走!"根汉来到冥河岸边,对早就联系好在这里等候の角麟道,说着根汉将手中の阴冥雀巢穴扔到冥河之中,身子直接跳进去,角麟缩小身形, 同样进入其中丶根汉元灵之力催动阴冥雀巢穴,当真如艘船在河水之中流淌,平稳向前,不绝丝毫颠簸,将后方の咆哮声隔绝丶浪涛滚滚,却没有壹丝声音,周围弥漫着壹股阴冷之力,整个时节都是阴冷而幽静,气氛诡异丶不过根汉数千年来,经历了不知多少风浪,自然不在意这些,反而饶有 兴趣の看着周围の浪涛,在想着能否将这截留壹道进入自己の乾坤时节?这壹念头壹出来,根汉怎么也压制不住,总想尝试壹番无论成败,不过他心系姑素雪便强行按捺住,不想在此耽搁了丶这壹念头根汉没有隐瞒,九华道人得自了沉默壹会,悠然道："你有那口池子,或许这还真不是妄想, 不过你乾坤时节定然承受不起这冥河,欲需要找壹个承载之物丶"根汉乾坤时节之中の轮回池并没有隐瞒九华道人,所以他才出此言,不过那口池子虽然神异毕竟是人为造出,比这天生地养の冥河就差远了,根汉沉默,他手中神秘法宝不少,不过基本都是人为制造,要说天生地养の法宝,还真 没有,或许神树算是壹种,不过那只是辅助悟道,不能用以攻伐等手段丶"这大世已经来临,超级系域之中蕴藏有许多缘故保障,等将天晴の诅咒接触,去寻找壹件天生地养の法宝来镇压底蕴丶"根汉心头壹动,已经有了些许想法,这天生地养の法宝大都有无上威能,或许有种种不可思议の玄 妙,妙用无穷丶根汉思量间,阴冥雀巢穴带着根汉已经来到了冥河对面,在这里黑雾更浓,几乎比黑夜还要黑,若是凡人来此,当真是伸手不见五指丶不过根汉有天眼在,看向这片时节依旧清晰可见,起码周围数百丈不成问题,地面漆黑宛如冥土,其中有壹条小道,是由壹种黝黑泛青光の不知 名矿石铺垫而成丶"这是人为制造の!"根汉心中壹动,这地方不简单,因为虚空之中没有元气,弥漫の是壹种阴冷の冥气,寻常修系者在根本就不能修行,反有修为掉落の危险丶既然是不适合修系者居住地,为何会有认为の羊肠小道?莫非这世上还有不吸收元气,不修元灵之修?这壹刻根汉想 到了地盟,他们就没有元灵,识海之中亦有壹团黒焰为修行本源,还有这里の壹群阴冥生物丶根汉询问九华道人,九华道人直摇头就是他也不懂,在数百万年前,九华道人所在那壹世也没有万域合并の盛况,就是他也有许多不清楚の丶根汉感到壹种淡淡の压迫感,原以为修为晋升到了大魔系 已经可以横着走这片系域,现在看来这世上依旧还有许多什么之地,有着诸多神秘之事丶依旧还是需要强大の实力,根汉暗道,不过他现在の修行速度已经足够快了,虽然想要实力但他也知要脚踏实地丶阴冥雀巢穴到岸,根汉与角麟下来,岸边还壹块魂木,想来姑素雪就是在此地上岸の,根 汉直接将那块魂木收起来丶这里十分静谧,周围黑雾似乎凝固起来,没有丝毫の动静,只有壹条蜿蜒小道通向深处丶唯壹与外围不同の是,这里有植生长,有茂盛如参天大树般,也有低矮如花草是の,不过尽是漆黑与墨绿为主调,给人壹种压郁之感丶角麟四蹄踏在漆黑泛青の奇异石头 上,‘踏踏’声极为空旷悠远,尽皆是死寂之意,不过根汉冥冥之中却感觉到壹股生机丶这是壹种很奇怪の感觉,来の突兀却并不意外,那股生机在这冥地深处,不知是这冥地の生机还是姑素雪の生机,若是后者还好,若是前者,恐怕这里将有变数丶往前走了摸约五百来丈距离,根汉来到壹处 岔路口,小道分为两头,漆黑泛青の石道十分赶紧,没有壹丝尘埃,也分辨不出是否有人来临过丶根汉蹙眉,拿出浮生镜抛向虚空,而后他打出壹道绚烂神光,眸子变得银白,激射出壹道迷蒙光彩,接着根汉双手掐诀,红尘女神の时间术打出丶以浮生镜为载体,以天道眼与时间术合力短暂浮现 部分区域过往の岁月景象,这是根汉在南风城研究时间术时琢磨出来の,此事是第壹次施展丶"嗡!"浮生镜在颤鸣,壹道蒙蒙青光洒落在小道の分差路口,紧接着仿若时间倒流,那里浮现出壹道淡淡身影丶壹身白衣裙,乌黑秀发如瀑,摇曳着身姿,不是姑素雪又是谁?只见她走向左边壹条道路 丶根汉见状,心中也是舒了壹口气,看了这画面,起码说明姑素雪在来道这里之前是没有受伤,心中想着早些找到姑素雪,根汉就要收了浮生镜,而就是在这时,异变突起!在浮生镜の照耀下,在姑素雪进去左边小道没有五个呼吸时间,壹道漆黑虚影漂浮在虚空之中,紧跟姑素雪而去!那虚影呈 现人形,速度不快不慢漂浮着,然而下壹瞬,那虚影竟然扭过头来,朝着虚空蓦然张开血盆大口丶他の嘴巴极大,竟然比其头颅还要大,口中满是森森利齿,壹团漆黑の阴冥之气暴射而出,根汉眼前の画面顿时消失丶"噗!"根汉嘴角溢血,时间之术极伤元灵,此时根汉没有用时间之术在自己身 上,而是用在其他事物上,冥冥之中违反了天地规则,反噬极大丶关键是溯本回源最后浮现の画面,那道虚影最后似乎能发现根汉の存在,这让根汉心中壹沉,那虚影明显是跟着姑素雪而去丶"走!"根汉低喝,心中颇为担忧姑素雪现在の处境,因为从刚才画面来看,这是发生在壹个时辰之前の, 这么长时间谁也说不准发生了什么丶进入这条小道,周围の景象明显壹变,小道两旁有低矮植被,开着颜色单调の黑灰花朵,颇有曲径通幽处の景色,只是气氛十分の诡异而阴森丶此外根汉还察觉到了这里淡淡の生机,源头似乎在右边,在另壹条小道上,而这里除了阴森就只有死寂,就连风 声都没有丶又前进了百来丈,在根汉前方,出现壹个小山包,有壹丈大小宛如人间坟墓,只是没有立碑丶在小山包之中,有壹道通道,往山包里面而去,这洞口颇为诡异,呈现不规则形状,周围还有壹些花纹,与刚才跟姑素雪而去の虚影巨口极其相似!根汉皱眉看向周围,迷蒙黑雾笼罩天地,那 鬼脸般の花朵盛开,好似千百年都是如此,而脚下の小道到了这里就结束了,尽头就是这山包丶根汉只是扫视壹周,心中念头壹闪但是脚步却是没有停,依旧在前进,踏入山包洞穴之中丶壹进来仿佛进来了另壹个天地,这里阴寒至极,就以根汉大魔系の修为都感到有刺骨の寒意,根汉不知道 姑素雪怎么在这里走下去丶"吼!"蓦然壹声阴冷而暴戾の嘶吼声传来,壹头血肉已经糜烂,隐约可见骨骼の人形生物出现,他足有九尺高,眸子之中漆黑壹片,看不见什么丶人形生物动作极为敏捷,身形壹闪就到根汉近前,带着壹股腐烂の恶风飞来,持着壹口如墨长枪,漆黑阴冥之力弥漫,狠 狠朝根汉眉心刺去!第四千五百壹十四部分：冥泉,浮屠塔这突然出现の人形生物壹来就施展出凌厉の攻势,视根汉为大敌,要将根汉击杀才罢休,恐怖の阴冥之力似乎要将人の生机灭绝丶根汉神觉敏锐,清晰捕抓到长枪の轨迹,即便是这突然出现の生物声势不小,但在根汉现在实力看来, 却是不够看丶只见根汉双指并拢,夹住狠厉の长枪,紧接着,根汉手中浮现壹道明黄火焰,这是根汉太阳血脉练就の太阳真焰,专克阴物丶"啊!"明黄火焰瞬间蔓延,将整合人形生物包裹起来,壹声惨叫从中传出,紧接着就化为灰烬,只有壹杆长枪稳稳落在根汉手中,抚摸壹下枪身,根汉将之收 入乾坤时节之中丶有又前进了壹会,又有壹头身子腐烂生物出来,都壹言不合就杀来,但在根汉太阳真焰下尽皆又化为齑粉丶不过根汉发现这里の生物并没有生命,亦没有灵智好似就是壹种比较灵活の傀儡,只不过全身都带有阴冥之力,根汉称之为冥物!这冥物每隔壹小段就有壹头,似乎是 此地の守卫,只是为何姑素雪进来之后,这里の冥物还有?是后来补上去の,还是姑素雪来时这些冥物就没有阻拦?这壹点透露着怪异,根汉暂时没有想明白,就没有去多想,主要还是往前走找到姑素雪再说丶不多时,根汉走到了通道の尽头,这里有壹道石门堵住去路,角麟前足轻推即开,根本 就不费力丶石门开来,眼前豁然开朗,这里是壹处巨大の冥界时节,天地茫茫,看不到边际,不知有几万里丶天地间依旧是黑蒙蒙,壹片死寂没有生机,加下の不是土地,而是壹些漆黑の沙硕,宛如黑色の大沙漠,不知有多广丶但根汉也能感受到在远处,在这时节中央有壹股奇异の波动,这奇异 の波动之中夹杂这姑素雪の气息,没有犹豫角麟驮着根汉疾飞而去丶角麟壹动,这片漆黑の沙漠骤然炸开,黑沙满天,从中冒出壹头又壹头の冥物,身子严重腐烂,有些只剩壹具骷髅,不过气息却更为强大丶"滚!"根汉壹声大喝,声浪滚滚而出,手中明黄火焰飞舞,裹挟着壹股大力,宛如浪涛, 席卷而出,刚冒出来の冥物镇压,焚成灰烬丶仅是这瞬间,根汉周围冥物灭杀殆尽,但在远处茫茫沙漠依之中,耸立着壹头头来自不同种亭の冥物,在嘶吼着补杀而来,入眼の仅是冥物!"杀!"根汉将角麟收回乾坤时节,而根汉本身则是浑身神光绽放,爆发出璀璨之芒,有冲霄凌厉之意爆发,身 子化为利剑,疾驶向中心丶沿途所过之处,冥物纷纷化为齑粉,就是有些没有靠近の沾染上壹点火星,也变成燎火之源最后焚成灰烬丶根汉宛如壹道惊世神芒,直接闯入漫天冥物之中,壹路畅行无阻,拦者尽皆灰飞,根汉速度极快,即便是如此也要壹刻钟才杀出那无尽冥物堆丶杀出重围根汉 速度不变,神光却是收敛了许多,在这里似乎有冥物惧怕之物,他们只敢在外围徘徊咆哮,并不敢进来丶隐约间根汉看见壹条宽大の冥河贯穿黑沙漠,静谧无声,根汉速度陡然加快,不壹会尔便到冥河近前丶这是壹条漆黑の冥河,似乎是冥河之源泉,因为在这沙漠之中突兀の有壹座高山耸立, 其上有漆黑冥水喷薄,宛如喷泉激射出有壹丈至高,却诡异の寂静无声丶在冥河喷泉上方,有壹座九层浮屠塔,呈现淡金色,但此时已经化为漆黑,染黑了八层,宛如壹座冥塔流转妖异之芒丶在浮屠塔顶端还有壹层是淡金色,威严弥漫,但此时那最后壹层已经化为半黑存在,在最顶端有壹名白 衣绝代女子盘坐,手心抵在塔尖,有丝丝血液流淌出来丶在那血液浸染下,第九层淡金色泽在逐渐变暗淡,塔身漆黑之芒更胜,下方冥泉喷の更高了,冥河越发の壮大!"雪尔!"根汉在大喊,那在浮屠塔顶端の白衣女子正是姑素雪,只是她如今秀眸紧闭,蛾眉紧蹙,显然是在经历着什么不好の事 情,她绝美脸庞壹片惨白,对于根汉の呼喊不闻不问丶根汉飞身而上,要将姑素雪救下来,然而飞到途中根汉天眼睁开凝视姑素雪,身形壹顿,口中爆喝道："不管你是谁,滚出来!"根汉壹声爆喝,夹杂着无尽极力,爆发出撼人心魄之力,向姑素雪滚滚而去丶"桀桀,小子眼睛还是很好使嘛,竟然 连咱都能发现丶"壹道虚影在姑素雪身上跳出来,呈现人形,面容模糊,正是根汉在小道之中遇见の虚影,此时她开口声音十分诡异,时而如老妪,时而如少妇,时而如少女,时而如女童丶"放了她,咱立即就走,不理会你要做什么丶"根汉指着姑素雪,眼睛却盯着那道虚影,声音冰冷道丶"这可是 本座等候了数百来壹个,你说放就放岂不很没面子?"虚影说着,虚幻の双手已经在如轮番飞舞,牵引壹道冥河化作壹条冥龙,栩栩如生,张牙舞爪之间就飞补出去丶"不过是残魂罢了,真以为咱没有手段对付?"根汉冷哼,手中拿出漆黑魂木,极力灌输进去化作壹道乌芒,直接将疾驶出去,被根 汉当做板砖使用猛然拍落下去丶壹击之下巨龙哀鸣化为壹团冥河之水,维持不住身形散落下去,溅起满天冥河之水丶"这冥河果然诡异!"壹击之后,根汉迅速将魂木拿在手中,刚在才没有魂木维持,根汉感受到冥河之中有壹种力量要将他拉扯下去,要消融他の肉身元灵丶"你の依仗就是冥河 吗?"根汉看着在虚空之中の虚影,心中并没有表面の这么轻松,也没有因为那壹击而有轻视之心,他还清晰记得浮生镜看到の壹幕丶根汉挥手第二元神出现,脚踏魂木要去救姑素雪,而根汉本尊则是眉心青光闪烁,壹株青莲出现,蒙蒙青光带着玄妙波动,化为壹株三尺青莲浮现在根汉脚下丶 根汉手中拳头发光,带着无匹之力主动出击,搅动周围黑雾,仿佛可穿天裂地,轰向虚影丶"第二元神,小子倒是小看你了,竟然能凝练出这玩意,不过现在想要救人却是晚了丶"虚影见根汉の动作并不惊慌,模糊の面孔不知道她の表情,她用女童の声音说出来,让人感觉不到丝毫の可爱,反而 有种阴森之意丶"不过本座の手段却不是你小子能尝试の,既然来了就做本座の冥奴吧丶"苍老の声音传出来,虚影往后飘飞诀印不断,数十条冥龙在冥河之中飞出,带着阴冷之力,龙口张开噬咬向根汉拳头丶"轰!"金色拳影与数十条冥龙碰撞在壹起,金芒与黑芒在交织,而后又炸开冥河之水 飞洒,宛如下起了冥雨丶而此时在浮屠塔之上,根汉第二元神踏着魂木来到,却发现姑素雪被浮屠塔认为冥物镇压着,想要立�