结构动力学2
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结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
结构动力学(2)
4. 对称性的利用 振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振
动时荷载对称或反对称。
多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称， 可分别取半边结构进行计算。
对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下， 振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可 分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。
(A( j ) )（T K ωi2 M)A( i ) 0
(A( i ) )（T K ω2j M)A( j ) 0
(1)
(A( i ) )（T K T ωi2 M T )( A( j ) ) 0
(2)
又: K T K MT M
(1)式-(2)式得:
( i22 j)(源自A( i ))TM
A(
3. 动内力幅值计算 位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时
达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力 学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。
多自由度体系不仅位移动力系数和内力动力系数不同，而且 不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，不能采 用统一动力系数计算动力反应。
由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以， 一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。
对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为
(11m1
1
2
)
y10
12 m2
y20
1P
2
0
21m1 y10 (22m2
1
2
)
y20
2P
2
0
D m1 11 2 1 12m2 2 21m1 2 m2 22 2 1
结构动力学第二章 单自由度系统的振动2
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。 注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微 小时段 有关，一般可取小于系统自振周期 的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是 用一系列离散数据表示（如试验数据），此时 的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11
结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础
第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。
N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。
• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。
两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。
《结构力学》结构动力学(2)
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。
于开平-结构动力学第二讲
(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角 根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
������������ሷ 1 + ������������ሶ 1 + ������������1 = ������0 sin������������ 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ������������ሷ 2 + ������ ������ሶ 2 + ������������2 = ������0 cos������������ （2） （1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为������ ������ = ������������ ������ ������������������ ，代入运动控制方程得： (−������2 ������������������ + ������������������������������ + ������������������ )������ ������������������ = ������0 ������ ������������������ 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数������ ������������������ 前系数相等，由此可得： ������������ = ������0 ������ − ������������ 2 + ������������������
05 结构力学——结构动力学2
A0 1 ln (2)设经过na周，振幅将降到0.05厘米以下，由 2na Ana A0 1 . 5 0 1 ln na ln 10 . 32 11 2 An 2 0 . 0355 0 . 05
2
K kl
2
K J
k m
18
第三节
单自由体系自由振动
2、有阻尼的自由振动 ( 0 )
m y c y ky 0 2 y 2 y y 0
齐次线性微分方程的特征方程
2 2
k m c 2m
2
2 0 2 ( 1 ) 1 ,2
微分方程的解按特征根的性质不同，具有三种不同形式：
19
第三节
单自由体系自由振动
( 1)
2、有阻尼的自由振动 ( 0 ) 1 小阻尼的情况 两个特征根为复数
y ( t ) e( C cos t C sin t ) d 2 d
t 1
2
y y 0 0 y ( t ) e ( y cos t sin t ) d d
a
32
第四节
单自由体系受迫振动
1、单自由体系受迫振动的一般解
m y c y ky F ( t ) E F ( t) 2 E y 2 y y m y ( t ) y ( t ) y ( t ) 1 2
求特解的基本思路
将动荷载的作用看成是一系列在质点上暂短停留 的不变的力（脉冲）的集合，由叠加可得到任意 荷载作用的响应。
kg W
g W
g ys
1 m
自振频率和周期的特性：
2
K kl
2
K J
k m
18
第三节
单自由体系自由振动
2、有阻尼的自由振动 ( 0 )
m y c y ky 0 2 y 2 y y 0
齐次线性微分方程的特征方程
2 2
k m c 2m
2
2 0 2 ( 1 ) 1 ,2
微分方程的解按特征根的性质不同，具有三种不同形式：
19
第三节
单自由体系自由振动
( 1)
2、有阻尼的自由振动 ( 0 ) 1 小阻尼的情况 两个特征根为复数
y ( t ) e( C cos t C sin t ) d 2 d
t 1
2
y y 0 0 y ( t ) e ( y cos t sin t ) d d
a
32
第四节
单自由体系受迫振动
1、单自由体系受迫振动的一般解
m y c y ky F ( t ) E F ( t) 2 E y 2 y y m y ( t ) y ( t ) y ( t ) 1 2
求特解的基本思路
将动荷载的作用看成是一系列在质点上暂短停留 的不变的力（脉冲）的集合，由叠加可得到任意 荷载作用的响应。
kg W
g W
g ys
1 m
自振频率和周期的特性：
高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)
a J
Φ
a p b Φ J b {0} p
[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复 杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进 行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综 合总体结构的动态特性 总系统（n个自由度） 子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI
Φ
a p b Φ J b {0} p
[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复 杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进 行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综 合总体结构的动态特性 总系统（n个自由度） 子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI
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其最大位移或振幅为：
y (t )max yst
1
动力系数为：
y(t )max
yst
2 1 2
2 1 2
※动力系数的含义
结构动力学
重要的特性：
“共振”
当θ/ω→0时,β→1，荷载变 化得很慢，可当作静荷载处理。 3 当0<θ/ω<1时,β>1，并且随 θ/ω的增大而增大。
r
y e t a sin( r t )
称为衰减系数
yn e tn a sin( r tn )
yn1 e ( tn T ) a sin( r tn 2 )
yn yn r 1 ln ln 2 yn1 2 yn1
k kg m W 12103 9.8 44.27s 1 60
W
解: (2)求荷载频率 求动力系数
1
2n 2 400 41.89 s 1 60 60 41.89
2
解 (3)：求动力系数
1
2
44.27 41.89 1 2 1 在共振区 44.27 20 0.0159 m 竖向振动振幅 y P yst 9.56 3 12 10 地基最大压力 pmax W P0 60 9.56 20 12.56kPa A A 20 20
2
当θ/ω→1时,β→∞。即当荷 1 载频率接近于自振频率时，振幅 会无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。 当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。
3570cm4 I22b 例题 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数 325 W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力 可见，对于本例，采用较小 P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动 的截面的梁既可避免共振， 的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m. 又能获得较好的经济效益。 解：1）求自振频率和荷载频率
g
st 2n 60 23.14500 60 52.3 1S 52.3/57.4=0.91,共振！ 1 1 5.88 2）求动力系数β 2 2 2 2 39.7 1 152.3 57.4 1.35
39.7 48EIg Ql3 482.1104 7480 980 354003 57.4 1 S 3570
短时荷载的动力效果取决于加载持续时间的长短。
结构动力学
•阻尼对振动的影响
振动中的阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构和支撑之间 的摩擦、材料之间的内摩擦，周围介质的阻力，等等。 阻尼力对质点运动起到阻碍作用。从方向上看：它总是与质点的 速度方向相反。
地震波
台北的101大楼是在88-92楼层挂置 一个重达680公吨的巨大钢球，利用摆 动来减缓建筑物的晃幅.
结构动力学
•单自由度体系的强迫振动
结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。 单自由度体系强迫振动方程
my ky Fp (t ) Fp (t ) 2 y y m
简谐荷载 常用的荷载 一般动荷载 突加荷载 短时荷载 线性渐增荷载
结构动力学
简谐荷载
Fp (t ) F sin t
有阻尼单自由体系自由振动
y
m
l
m y
ky
cy
m cy k11 y 0 y
令： 2
k11 c ， m 2m
2 y 2 y 0 设解为：y Ce t y
EI
3EI k11 3 l
y
2 2 2 0
杜哈梅积分 一般动荷载：
P (t ) y y m
2
t 0, S Pt , v0
y
S ， y0 0 m
t=0时刻瞬时冲量S引起的动力反应：
P(t )
dS P(τ )dτ
S sin t m
S sin (t τ ) 当t τ 时 m P(τ )dτ t τ 时刻作用 dS： dy sin (t τ ) 当t τ 时 m 由叠加原理 t 时刻位移反应： t τ 时刻作用 S： y
y
m
l
m y
ky
cy
m cy k11 y 0 y
令： 2
k11 c ， m 2m
2
2 y 2 y 0 当 1时： r 1 y 令
初始条件 t 0： y0 , y
EI
3EI k11 3 l
y
y y0 阻尼圆频率：
2
1
9.59
0.946
2 2 2 1 2 4 2
1 41.892 41.892 2 1 44.272 4 0.15 44.272
2
3.31
因在共振区或： 1 / 2 3.33 20 0.0055m 竖向振动振幅 yP 3.31 3 12 10 P0 60 W 20 地基最大压力 pmax 3.31 6.31kPa A A 20 20
讨论：由此可以测定阻尼比。 测定精度如何提高？
例题 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压 刚度系数为cz=0.6N/cm2=0.6×103kN/m3，基础地面积A=20m2。 试求机器连同基础作竖向振动时 (1) 自振频率； (2) 机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min。求 振幅及地基最大压力。 (3) 如考虑阻尼，阻尼比ξ=0.5，求振幅及地基最大压力。 解: (1)让振动质量向下单位位移 P0sinθt 需施加的力为： k= czA= 0.6×103 ×20 =126×103kN/m结动力学THE END!
y y
2
2
Fp (t ) m
F y sin t y m
y 设特解为： (t ) A sin t
y (t ) F
( 2 2 ) A sin t
F sin t m
2 m 2 (1 2 )
sin t
F A m( 2 2 )
令： yst
F F ————最大静位移 2 m
结构动力学
特解： y (t ) yst
1
齐次解：
2
1 2
sin t
y(t ) C1 sin t C2 cos t
1 1
y (t ) C1 sin t C2 cos t yst
t 0, C1 yst 2 , C2 0 1 2
Ql Pl (Q P)l 175.6MPa max 4W 4W 4W 149.2
必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 Ql3 Pl 3 max st y st 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 48EI 48EI 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
i r
（ 2 1）
2
令 当阻尼很小，即 当 1时： r 1
y e t (C1 sin r t C2 cos r t ) 初始条件 t 0： y0 , y y y0
ye
阻尼圆频率：
t
t y0 r y 0 y0 cos r t sin r t e a sin( r t ) r
r
讨论：有阻尼时频率、周期的变化如何？
当 1时为临界阻尼、 1为超阻尼 振动不会产生？
有阻尼单自由体系自由振动
那么，方程的解为： y (t ) yst
1
2
2
sin t
过渡阶段
平稳阶段
sin t sin t 2 1 2
按照自振频率振动
按照荷载频率振动
结构动力学
平稳振动阶段，任意一个时刻的位移为：
y (t ) yst 1
1 2
2
sin t 1
τ
dτ
t
1 y (t ) m
t
0
P(τ ) sin (t τ )dτ
t
称为杜哈梅（J.M.C.Duhamel)积分。 初始条件 t 0： y0 , y v0 y
1 y (t ) y0 cos t sin t m
v0
t
0
P(τ ) sin (t τ )dτ