数列不等式与函数不等式
不等式与数列
不等式与数列
不等式与数列是数学中重要的概念，它们的推导和解决给我们的生活带来诸多
的便利。
不等式指的是当两个或更多个实数变量之间存在某种关系时，可以用一个不等
式来描述或表示它们之间存在的关系。
例如a>b或c≤d。
了解不等式使我们应付
复杂的实际问题更加占据上风，并且使现代社会取得惊人的进步。
而数列是指一系列的数据，是按照一定的规律排列的数的有序集合。
例如
1,2,3,4,5…他们之间存在着一定的关系，如此解决数列问题，就需要根据不同的
数学方法来解决。
例如等差，等比，错位等方式来进行推导，使用不同的几何方法来求解。
不仅如此，不等式与数列更可以应用于日常生活中来解决不同的实际问题。
比如，我们去购物，判断我们买的东西能不能够满足条件，就需要用到这些概念；或者判断两个房间的面积哪个大，哪个小，也可以用到这两个概念。
甚至当我们判断一个运动员的能力，又可以使用这两个概念，比如比赛的成绩，时间和距离等信息；当我们编写程序时，也是立靠不等式与数列来完成编程任务的。
不等式与数列就像我们身体里的神经，支柱给我们坚定的支撑，几乎每一个工程，每一个娱乐，都需要参考不等式与数列，他们是科学发展的内在力量，决定着“赢者为王”道理，只有以不等式与数列为根基，以智慧为武器，才能把事情做的更好、更正确。
“与函数有关的数列不等式”的又一种证题模式——构造新数列证明不等式
检验： 当ｎ ＝ １ 时， 左 边＝ ａ １ ＝ ÷， 右 边＝ ， 左边＞ 右 边， 不等 式
成立 ；
Ｆ （ Ｘ ） 在（ １ ， ＋ ＊） 上单调递减 ， 即ｒ （ ｘ ） ＜ Ｆ （ １ ） ＝ ０
＜ｌ ｎ ｘ （ ｘ ＞１ ） 成立 ，
故
当 ｎ ＝ ２ 时 ’ 左 边 ＝ ａ 。 ＋ ａ ＝ ÷ ＋ 寻＝ ７ 百 ８ ， 右 边 ＝ 丁 ４ ．
则ｂ ｎ＝ Ｔ ｎ— Ｔ ｎ — ｌ ：Ｉ ｎ 下 面只 需 要 证 ： ａ ＜ｂ （ ｎ ２， ｎ ＥＮ ） ・
等， （ ｎ ＞ ２ ， ｎ ）
下 面 只需 证 ： ａ ＞ｃ ，
即证 ： ３ “ （ ｎ ２＋ｎ ）＞（ ３ “ 十２ ） （ ｎ ２＋ ｎ一 １ ） ，
Ｎ‘） ．
左 边 可 以 看 做 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 Ｓ ＝ １ ＋ ÷＋ ÷＋ ÷＋ … ＋
１
， ｎ
证明 － ａ ｌ ＋ａ ２ ’ ＋ａ ｎ
・
１
；
证明 ： 易求出 ａ ｎ 令ｃ ＝ ｎ ２
一
（ ｎｅＮ ） ・
＝
右边可以看做数列 ｛ ｂ ｝ 的前 ｎ 项和 Ｔ ＝ １ ＋ ｆ ｎ ｎ ，
．
综 上所述 ： 原不等式 ａ － ＋ ａ ２ ＋… ＋ ａ ｎ
题２ ． （ ２ ０ ０ ９年 湖北卷压轴题最后一 问）
成立・
明加强不等式． 文【 １ 】 中的例 ２ ：
（ Ⅱ ） 求 证 ． （ １ ＋ Ｔ １ ） （ １ ＋ ÷ ） （ １ 了 １ ） … ・ ． （ １ ＋ ÷ ） ＜ ｅ ｎ 丁 ＋ ２ ．
或“ 积式 ” ， 对这一类数列不等式 ， 笔者 总结 了另外 一种方 法 ： “ 构造新 数 列证 明数列 不等式 ” ， 即把不等式两边分别 看成数列 ｛ ａ ｝ 和数 列 ｛ ｂ ｝ 的 前 ｎ项和 ， 要原不等式成立 ， 只需 比较 ａ 和 ｂ 的大小 。
数列不等式
数列不等式数列不等式是数学中最基础的概念之一，也是解决特定问题的基本技术之一。
它能够帮助人们了解数学直觉，构建可操作的数学模型，以及深入挖掘生活中的数学关系。
一般地，数列不等式表示一个或多个等号组成的不等式，通常是以两两等式相结合的形式出现，即：若X1≤X2≤X3≤ (X)则，X1+X2+X3+…+Xn≤n(X1+Xn)2数学研究者经常使用这类不等式来描述给定的数列的范围，以及这些数列的几何发展情况。
例如，某数列的前n项和可以用如下变量替代：Sn=X1+X2+X3+ (X)这些变量可作为连续的函数。
通过不等式的方式来描述这些函数，通常可以提出一定的结论，甚至可以形成一个系统的数学研究体系。
不等式可以用来描述给定的数列和函数，例如可以利用不等式提出如下结论：若给定函数f(x)满足f(x)≤a，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤na2此外，如果f(x)的导函数的值存在，不等式往往用来描述导函数的大小或值的确定性。
例如，若函数f(x)的导函数g(x)存在，可以提出如下结论：若g(x)≤g1，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤ng1n不等式用来描述函数的空间形状和时间发展也是如此。
比如，有一类函数叫做凸函数，它以特定的形式出现：f(x)≤f(x1)+f′(x1)(xx1)其中，f′(x1)是函数f(x)在x1点处的导函数。
上述不等式可用来表示函数f(x)的单调性和凸性。
此外，不等式可以用来解释随机事件的发生，特别是事件的概率关系。
例如，假设有A、B、C三次事件，看作A事件概率P(A)，B事件概率P(B)，C事件概率P(C)。
那么根据不等式的概念，可以推出： P(A∪B∪C)≤P(A)+P(B)+P(C)这个不等式说明，A、B和C三个事件同时发生的概率一定比分别发生的概率之和要小。
数列不等式在各个学科领域都有着重要的作用，尤其是经济学、金融学、管理学等社会科学。
它能够有效地提升模型的效率，模拟实际发生事件的过程，开发更为实用的决策策略。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
高三数列不等式知识点总结
高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。
在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。
下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。
一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。
2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。
学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。
二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。
2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。
3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。
4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。
5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。
三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。
2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。
例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。
3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。
综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。
学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。
高中数学函数、数列、不等式、几何求【最值问题】通解法分享!
通解法就是把数列、不等式、解析几何等最值问题通通转化为函数问题，然后根据函数的属性来求最值。
高中数学最值问题
【基础方法介绍】
1、求函数最值常见的方法主要有这7种：
配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，数形结合图象法。
2、求几类重要函数的最值方法；
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法 (线性规划，曲函数的最值 )
【各类最值题型通解方法】
【函数求最值常用10法例题解析】
方法1：利用一次函数的单调性
方法2：利用二次函数的性质
方法3：利用二次方程的判别式
方法4：利用一些重要不等式求最值
方法5：利用三角函数的有界性求最值
方法6：利用参数换元求最值
方法7：利用图形对称性求最值
方法8：利用圆锥曲线的切线求最值
方法9：利用复数的性质求最值
方法10：利用数形结合方法求最值
【最值问题练习】。
高中奥数_函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一 能力培养1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨问题1数列{n a }满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100nn a -的最小值; (III)设函数()f n 是1100nn a -与n 的最大者,求()f n 的最小值.问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件:1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,⋅⋅⋅),21a a ≠,1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,⋅⋅⋅),其中a 为常数,k 为非零常数.(I)令1n n n b a a +=-(n N *∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞.问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅成公差小于零的等差数列.(I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN的夹角,求tan θ.三 习题探讨 选择题1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是A,1(0,2+B,1(2C,1[1,2D,11(22- 4在等差数列{}n a 中,1125a =,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上三个点,F 为焦点,若,,AF BF CF 成等差数列,则有A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213211x x x =+ D,2213x x x =⋅ 6在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = .8223323232323236666n nn n S ++++=+++⋅⋅⋅+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前2m 项之和2m S = .11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,②96S S <,③7a 是各项中最大的一项,④7S 一定是n S 中的最大项,其中正确的是 . 解答题12已知23123()nn f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,且123,,n a a a a ⋅⋅⋅组成等差数列(n 为正偶数). 又2(1)f n =,(1)f n -=,(I)求数列的通项n a ;(II)试比较1()2f 与3的大小,并说明理由.13已知函数2()31f x x bx =++是偶函数,()5g x x c =+是奇函数,正数数列{}n a 满足11a =,211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=.(I)若{}n a 前n 项的和为n S ,求lim n n S →∞;(II)若12()()n n n b f a g a +=-,求n b 中的项的最大值和最小值.14. 已知等比数列{}n x 的各项不为1的正数,数列{}n y 满足log 2n n x y a ⋅=(0a >且1a ≠),设417y =,711y =.(I)求数列{}n y 的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设2n yn b =,123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+,求25lim2nn S →∞的值.(III)试判断,是否存在自然数M,使当n M >时1n x >恒成立,若存在求出相应的M;若不存 在,请说明理由.15设函数()f x 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有12()()f x f x -12x x <-,且存在0x ,使得00()f x x =,数列{}n a 中,10a x <,1()2()n n n f a a a n N +=-∈,求证:对于任意的自然数n ,有: (I)0n a x <; (II)1n n a x +<.参考答案:问题1解:(I)212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,得n S =2n n a当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2n n a 21(1)n n a ---,有221(1)(1)n n n a n a --=-,即111n n a n a n --=+. 于是3241123112313451n n n a a a a a n a a a a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=2(1)n n +.又112a =,得n a =1(1)n n +. 由于1a 也适合该式,故n a =1(1)n n +.(II)1100nn a -=299n n -=2(49.5)2450.25n -- 所以当49n =或50时,1100nn a -有最小值2450-. (III)因()f n 是1100nn a -与n 的最大者,有(1100)()1100(100)nn n f n n n a ≤≤⎧⎪=⎨-<⎪⎩,有min ()f n =(1)f =1.问题2(I)证明:由1210b a a =-≠,得2322121()()()0b a a f a f a k a a =-=-=-≠. 由数学归纳法可证10n n n b a a +=-≠(n N *∈). 而,当2n ≥时,1111111()()()n n n n n n n n n n n n n n b a a f a f a k a a k b a a a a a a +---------====--- 因此,数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. (II)解:由(I)知,11121()()n n n b kb k a a n N --*==-∈当1k ≠时,112211()(2)1n n k b b b a a n k--++⋅⋅⋅+=-≥-当1k =时,12n b b b ++⋅⋅⋅+=21(1)()n a a --(2n ≥)而12213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n -++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-≥,有当1k ≠时,1n a a -= 1211()(2)1n k a a n k---≥-;当1k =时,1n a a -=21(1)()n a a --(2)n ≥.以上两式对1n =时也成立,于是当1k ≠时,11211()1n n k a a a a k --=+--= 11(())1n k a f a a k--=+--当1k =时,121(1)()n a a n a a =+--=(1)(())a n f a a +--.(III)解:当1k <时,11()lim lim[(())]11n n n n k f a aa a f a a a k k-→∞→∞--=+-=+--. 问题3解:(I)设点P(,x y ),由M (1,0)-,N (1,0)得(1,)PM MP x y =-=--- ,(1,)PN NP x y =-=-- ,(2,0)MN NM =-=有2(1)MP MN x ⋅=+ ,221PM PN x y ⋅=+- ,2(1)NM NP x ⋅=- .于是MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅成公差小于零的等差数列等价于 2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x ⎧+-=++-⎪⎨⎪--+<⎩,即2230x y x ⎧+=⎨>⎩ 所以点P 的轨迹是以原点为圆心为半径的右半圆C.(II)设P(00,x y ),则由点P 在半圆C 上知,22001PM PN x y ⋅=+-又PM PN ⋅=,得cos PM PN PM PNθ⋅==⋅又001x <≤,12≤<,有1cos 12θ<≤, 03πθ≤<,sin θ==由此得0tan y θ==. 习题解答:1由1(21)0n n a a n k +-=++>,n N *∈恒成立,有30k +>,得3k >-,选D.21211212112112121(21)22(21)21223(21)131(21)2n n n n n n n n n n a a n a a a a S n n b b b b T n n n ------+-+--======+-+--,选B. 3设三边长分别为2,,a aq aq ,且0,0a q >>①当1q ≥时,由2a aq aq +>,得112q ≤<②当01q <<时,由2aq aq a +>,得112q <<,于是得1122q +<<,选D. 4由10191a a d =+>,且9181a a d =+≤,而21lim ()2n nn da S t n →∞+==, 又1125a =,于是737550t <≤,选D. 5由椭圆第2定义得222132()()22()a a a AF CF x x BF x c c c+=+++==+,选A.6由条件得31444tan ,9tan 3A B =-+=,有tan 2A =,tan 3B =. 得tan tan[()]tan()1C A B A B π=-+=-+=,于是ABC ∆为锐角三角形,选B. 7由12345636a a a a a a +++++=,12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=有12165()()()216n n n a a a a a a --++++⋅⋅⋅++=,即16()n a a +=216,得1n a a +=36,又13242na a n +⨯=,解得18n =. 822111111()()333222n n n S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+,得11332lim 1121132n n S →∞=+=--.9由条件知,公比q 满足01q <<,且11115a q =-,当01q <<时,11015a <<; 当10q -<<时,1121515a <<.于是1a 的取值范围是112(0,)(,)151515. 10当n 为奇数时,相邻两项为n a 与2n a +,由51n a n =+得25(2)1(51)n n a a n n +-=++-+ =10,且16a =.所以{}n a 中的奇数项构成以16a =为首项,公差10d =的等差数列.当n 为偶数时,相邻两项为n a 与2n a +,由n a = 22n ,得2222222n n n na a ++==,且22a = 所以{}n a 中的偶数项构成以22a =为首项,公比2q =的等比数列. 由此得212(1)2(12)610522212m m mm m S m m m +--=+⨯+=++--.11由6778,S S S S <>,得780,0a a ><,有0d <;96S S <;7S 是n S 中的最大值,选①②④. 12解:(I)由12(1)n f a a a =++⋅⋅⋅+=2n ,再依题意有1a +n a =2n ,即12(1)2a n d n +-=① 又121(1)n n f a a a a n --=-+-⋅⋅⋅-+=,(n 为正偶数)得2d =,代入①有21n a n =-. (II)2311111()3()5()(21)()22222n f n =+++⋅⋅⋅+-,2341111111()()3()5()(21)()222222n f n +=+++⋅⋅⋅+- 得2311111111(1)()2()2()2()(21)()2222222n n f n +-=+++⋅⋅⋅+--于是2111()12()(21)3222n f n n-=+---⋅<.13解: (I)可得2()31f x x =+,()5g x x =,由已知211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=,得11(32)()0n n n n a a a a ++-⋅+=,而10n n a a ++≠,有123n n a a +=,于是1lim 3213n n S →∞==-.(II)215832()()6()1854n n n n b f a g a a +=-=-+, 由12()3n n a -=知n b 的最大值为1143b =,最小值为4374243b =.14解: (I)22log log n n a n x y x a==,设11n n x x q -=有1122log 2log 2log log n n n a n a n a x y y x x q a++-==-=,又{}n y 成等差数列.742log 74a y y q d -==-,得2d =-,17(71)(2)23,y y =--⨯-=252n y n =-. 当0n y ≥时,即23(1)(2)0n +-⨯-≥,得252n ≤.于是前12项和最大,其最大值为144.(II)25222ny n n b -==,2312b =,得21124n n b b -+==,23112()4n n b -= 232522lim 1314n n S →∞==-,于是251lim 23n n S →∞=(III)由(I)知当12n >时,0n y <恒成立,由2log n a n y x =,得2n y n x a =.(i)当01a <<且12n >时,有2n y n x a =01a >=,(ii)当1a >且12n >时,1n x <,故当01a <<时,在12M =使n M >时,1n x >恒成立;当1a >时不存在自然数M,使当n M >时1n x >.15证明:用数学归纳法 (I)当1n =时,10a a <命题成立.假设当n k =(k N *∈)时,0k a a <成立,那么当1n k =+时,由1212()()f x f x x x -<-,得00()()k k f x f a x a -<-,又00()f x x =,有00()k k x f a x a -<-, 而0k a x <,得00()k k x f a x a -<-,于是000()k k k a x x f a x a -<-<-,即0()2()k k k ka f a x f a a +<⎧⎨>⎩,又1()2k k k f a a a +=-, 有10(2)2k k k a a a x ++-<,即10k a x +<,于是当1n k =+时,命题也成立. 综上所述,对任意的k N *∈,0n a a <.(II)由1212()()f x f x x x -<-,得00()()n n f x f a x a -<-, 又00()f x x =,得00()n n x f a x a -<-,又0n a a <,得00()n n x f a x a -<-,即000()n n n a x x f a x a -<-<-, 有()n n f a a >,而1()2n n n f a a a +=-,得12n n n a a a +->, 故1n n a a +>.。
常见的几个函数不等式及其应用
常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xx x x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx .综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11ln >≥+x x x .③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='，而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='，由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(2111ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
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