抽象与概括

第五章抽象与概括一、抽象与概括内容概述我们现在来进行第五章的学习指导。

在这一章我们主要介绍了两种数学思想方法，抽象方法和概括方法。

抽象和概括是两种非常重要的数学方法，任何数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。

首先我们来回顾这一章所讲的主要内容。

我们把这一章内容分成三部分来进行小结，即● 抽象方法；● 概括方法；● 抽象和概括之间的关系。

1．抽象方法● 抽象的含义抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。

这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。

而舍弃的是事物的非本质特征。

比如在几何中学习“角”的概念时，就要分析组成“角”的各种特征，将非本质特征——形状、位置、角度等与本质特征——端点、射线区别开，并把本质特征抽取出来，这就是抽象过程。

再通过概括，形成了角的概念。

“角是由一个端点引出的两条射线所组成的平面”。

再如，建立数学模型。

数学模型通常是为解决实际问题而建立的。

实际问题又叫原型。

通常原型包含了很多复杂因素，很多关系。

而在建立数学模型过程中，我们就要把原型中很多次要的、非本质的因素去掉，而提取出问题的最本质的因素和联系，这就是一个抽象过程。

抽象的意义就在于，通过抽象能透过事物的表面现象抓住事物的本质。

我们知道，任何事物都有它的现象和本质。

现象是表面的形态和外部的联系；本质指事物内在的性质和内在联系。

事物的现象往往不能正确地反映事物的必然规律，事物的本质则能反映事物的必然规律，但不易为人们直接感知。

因此我们要用科学抽象方法来透过事物的现象获得它的本质，并用概念、原理、规律的形式描述和固定下来。

● 抽象过程抽象过程是非常复杂的。

但大多数的抽象过程基本都涉及到这四个环节，即比较和区分、舍弃和收括。

其中，比较和区分是抽象过程的基础。

我们知道，抽象是要抽取同类事物的共同的本质属性，因此抽象首先就要找到同类事物的本质属性，这是通过比较和区分环节完成的。

比较和区分就是在思维中确定对象的共同点和不同点，并把这些共同点和不同点在思维中固定下来，有时则需要按照共同点和不同点把对象分类。

如质数、合数概念的形成。

通过对自然数能否被其他数整除作比较，发现有些自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除；有些自然数除了能被1和自身外还能被其他数整除；而1只能被1整除。

这样通过比较区分，就把最初所考察的对象自然数分成了3类。

舍弃和收扩则是在比较和区分的基础上，舍弃掉对象的某些性质，同时收扩我们需要的某些性质。

如上例，舍弃掉具体的除法运算等性质，收扩一个自然数被其他自然数整除个数的性质，分别形成了质数和合数的概念。

这四个环节中，比较和区分是基础，而舍弃和受扩是在比较和区分基础上进行的。

● 数学抽象的特征数学抽象就是利用抽象方法来获得数学概念、构造数学模型，建立起数学理论的思维过程。

数学抽象着眼于空间形式和数量关系。

由数学抽象形成数学概念、数学模型时，抽取的是数量关系和空间形式，舍弃的是事物的物理属性、生物属性等。

如自然数的概念，就是从现实世界中抽取量的特性形成的。

几何中的一些基本概念则是抽取事物的形的特性形成的。

与其他学科相比，数学抽象有以下几个特征。

（1）数学抽象具有无物质性。

数学抽象无物质性即可以从抽象过程来看，也可以从抽象结果来看。

抽象过程无物质性，就是在抽象过程中，舍弃了事物的物质特性，抽取的是事物的数量或形的特性。

如自然数1，2，3…，是从1个苹果，2只羊，3朵花…等抽取出数量特性形成的。

从抽象结果来看，用数学抽象形成的数学概念无物质性。

如1，2，3 这些数不表示现实世界任何物质，而只是量的特性的反映。

（2）数学抽象具有层次性数学中的很多概念都是抽象之上再进行抽象形成的，这是数学抽象层次性的表现。

这是比较容易理解的。

如自然数1，2，3等是对真实事物的抽象基础上形成的，较大的数又是在已有的数的概念和加法运算抽象基础上形成的，而字母表示数又是在数概念抽象基础上形成的。

（3）数学抽象过程要凭借分析或直觉有些数学抽象需要我们逐步分析形成的，如质数和合数概念的形成过程。

而有些抽象则是一下子抓住事物的本质特征，不需要分析过程。

例如，圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就是能够通过直觉去把握它的一种数学概念。

（4）数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象如在解线性方程组时，我们可以用消元法来解，也可以把它抽象成行列式来解。

● 常用的数学抽象方式（1）弱抽象：是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。

这时原型成为新概念或新理论的特例。

（2）强抽象：是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。

强抽象的结果类属于原概念，它们之间是一种从属关系。

（3）理想化抽象：理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象（数学概念）的思维过程。

这种抽象的结果是一种理想化的观念形态。

（4）公理化抽象：数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾而形成的一种数学抽象。

（5）可实现抽象：它是理想化抽象的一个特殊情况。

通过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为了可能。

它是一种理想化的、潜在的抽象形式。

2．概括方法● 概括的含义概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。

概括包含两方面，一是推广，把个别事物的某些属性推广到同类事物中去，二是总结，把同类事物的共同属性总结出来。

● 概括种类概括通常可分为经验概括和理论概括两种。

例如，根据解题的经验和有关理论的指导，总结出二元二次方程组的各种类型及解法，这是经验概括，而进一步认识到由高向低，由多元向一元化归，认识到降次，消元替换的各种化归策略和法则等，这就是理论概括。

数学中经常用到的就是理论概括。

● 概括过程一个概括过程通常通过比较、区分、扩张、分析等几个主要环节完成的。

比较和区分的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较和区分要得到的是某类对象的共同本质。

扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象当中去。

扩张是概括的关键。

在扩张中得到更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真的。

为此，就要进行分析。

分析实际上是一个演绎证明过程，证明扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对象的本质属性。

例如，由1=11+3=1+3+5=1+3+5+7=通过比较区分得到左边数列和等于项数的平方。

把这个共同点推广到一般情况，对任意的n，有1+3+5+…+（2n-1）=最后用数学归纳法来证明。

这就是一个的概括过程。

3．抽象和概括的关系抽象和概括是两种不同的数学方法，抽象侧重于分析和提炼。

而概括侧重于归纳和综合。

但二者又有着密切的关系。

抽象是概括的基础，概括是抽象的发展。

二、重点难点解析1．常用的数学抽象方式教材中列出了五种常用的抽象方式，我们这里重点介绍弱抽象、强抽象、理想化抽象、公理化抽象这四种抽象方式，因为可实现性抽象也是一种理想化抽象，这里我们就不单独讲述了。

● 弱抽象弱抽象是指由原型中抽取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。

这时原型成为新概念或新理论的特例。

因此，弱抽象也称为“概念扩张式抽象”。

事实上，弱抽象也是一种概括。

比较常见的弱抽象是从已有的概念出发，减弱其中某一个属性的限制，就得到比原来更为广泛的概念。

例如，对正方形的概念，它有两个属性：四边相等和四个角相等，舍去边相等的属性，保持角相等的属性就得到矩形的概念，舍去角相等的属性而分离出边相等的属性，就得到棱形的概念。

原概念正方形显然是新形成概念棱形和矩形的特例。

从数学史上我们知道，一些重要概念的历史演变就是一系列弱抽象的过程，比如距离的概念，最早考虑的是位于同一直线上的两点之间的距离，当舍去“单点”和“同一直线上”的限制得到三维空间中“点与直线”、“直线与直线”之间的距离的概念，若进一步舍去“点”和“直线”的限制，人们就得到空间中任意两个“几何体”之间的距离。

若进一步舍去“现实三维空间”及“几何体”的限制，人们就得到n维欧氏空间中任意两个点集之间的距离的概念。

若进一步舍去n维欧氏空间的限制，人们就得到度量空间中任意两个点集之间距离的概念。

从上面例子看到，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质进行分析，并从中分离出某个特征，而且为了完成弱抽象，必须用明确的数学语言去表达分离出来的特性。

● 强抽象强抽象就是指通过把—些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。

这时，新概念是原概念的一个特例。

如从平行四边形出发，对其内角加以限制，要求其中至少有一个角是直角，就得到了矩形的概念，矩形显然是平行四边形的一个特例；对平行四边形的边限制加强为相邻两边相等，就得到棱形概念。

在这里，新形成的概念棱形和矩形都是平行四边形的特例。

可见，弱抽象与强抽象是紧密关联的，其思维方向正好相反，弱抽象是减弱对原型某一特征的限制，原型往往是新形成概念的特例。

而强抽象则是加强对原概念的某一特征的限制，新概念是原概念的特例。

恰当地利用弱抽象，可以将已有的概念和理论扩张成为一般的概念和理论；而恰当地利用强抽象，可以加强对数学对象的研究深度。

在教学中，利用强弱抽象法，可以帮助学生分析各种数学概念的层次和相互关系，从而能使学生系统地掌握数学内容，● 理想化抽象：理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的数学对象（数学概念）的思维过程。

由理想化抽象形成的数学概念的性质，并非客观事物本身所具有的，而是从实际事物中分离出来经过思维加工而得到的。

例如，几何中点、线、面等概念的引入，就是理想化抽象的典型例子。

如数学中的点，没有大小，仅有位置。

这显然已不是一个实在的“物质点”，直线在数学中常用三个属性来描述，第一，绝对的细，没有厚度和宽度；第二，无限的长，两头没有边界，第三，直，没有弯曲。

现实世界中没有这种物理形态。

显然，这种点、线、面是现实世界中不存在的，是我们构造出的一些理想化对象，就像物理学中的质点一样。

代数中虚数的引入、几何学中无穷远点的引入都是理想化抽象的结果。

理想化抽象结果虽不是现实世界中的具体的实物对象，但它的出现有利于数学研究。

● 公理化抽象：公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾而形成的一种数学抽象。

如数学中的原始概念是没有定义的，因为如果所有概念都下定义的话，必然会导致循环定义。

那么对于这些原始概念应该如何界定呢？数学中是用公理化方法处理的。

也就是通过公理来约束原始概念。

点、直线、平面就是几何中的原始概念。

下面我们以直线为例来看看是如何用公理约束的。

初等几何中有一条直线公理，“两点确定直线”，正是用这条公理来约束直线的。