以形助数以数辅形
摘要：“数形结合”既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。
教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻画与几何图形的
直观描述有机地结合起来，从而在这种结合中寻找到解题的思想与方法，而且有利于开拓学生的解
题思路，发展学生的形象思维能力。
关键词：“数形结合” 函数图像抽象“以形助数” “以数辅形”
恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
”“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。
我们要认识两者的辩证关系，要认识到矛盾双方的
相互转化。
在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形
象的联系和转化，这就是“数形结合”。
在高中数学中，“数形结合”是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中。
在解决集合问题、方程、不等式及函数问题时，如果能注意数形
结合的应用，寻找解题思路，就能使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。
在教学渗透“数形结合”时，教师应指导学生掌握以下几点：
1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。
2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。
3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。
下面从几个方面谈一谈“数形结合”在解题中的应用。
一、“数形结合”在解决集合问题中的应用
1.利用文氏图法解决抽象集合问题。
一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共
元素。
利用文氏图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
如：
例1：开校运动会时，高一（五）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类
比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一
项比赛的有多少人？
解：设a={参加游泳比赛的学生}，b={参加田径比赛的学生}，c={参加球类比赛的学生}，同时参加田径和球类比赛的学生有x人，作出符合题意的文氏图：由题意可知：card(a∩b)=3，
card(a∩c)=3，card(b∩c)=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3。
因此，同时参加田径和球类
比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人。
2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题。
例2：若非空集合a={x|2a+1≤x≤3a-5}，b={x|3≤x≤22}，求使a?哿b成立的a的集合。
先在数轴上表示出集合b的范围，要使a?哿b，由包含于的关系可知集合b应该覆盖集合a，因为a为非空集合，所以2a+1≤3a-5，a≥6。
又∵a?哿b，如图所示：可知2a+1≥33a-5＜22，∴1≤a≤9。
综上所得：6≤a≤9。
因此，运用“数形结合”解题，往往会化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关
系直观、形象地显示而有利于运算。
二、利用“数形结合”解决方程和不等式问题
1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集。
一元二次不等式与一元二次函数（方程）之间的紧密关系是众所周知的。
抛物线y=ax +bx+c （a＞0）与x轴的相关位置分为三种情况，这可以由一元二次方程ax +bx+c=0的判别式δ=b -
4ac的三种取值情况来确定。
因此，在解不等式时一定要注意最高项系数是否为正，要分两种情况
讨论。
例3：求不等式-x +2x-3＞0的解集。
分析：我们先联想对应的二次函数y=-x +2x-3的图像草图，很明显，无论x取任何值时都有
y＜0，即-x +2x-3＜0，∴-x +2x-3＞0的解集为空集，因而-x +2x-3＜0的解集为全体实数。
因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开
口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。
2.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。
例4：已知关于x的方程2kx -2x-3k-2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k
的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。
如果从函数观点出发，令
f(x)=2kx -2x-3k-2，则由根的分布，函数f(x)的图像只能如图所示。
对应的条件是k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0。
解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。
为使方程f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0，解得k＞0或k＜-4。
一般的，关于根的分布问题均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。
通过以上几道例题的分析求解，可知二次函数有丰富的内涵和外延。
作为最基本的幂函数，可
以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
3.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题，即数形对照，相互渗透。
例5：解方程3 =2-x。
分析:由方程表达式我们可以联想起函数y=3 与y=2-x，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4。
4.利用函数的图像解不等式，即由数想形，直观显现。
例6：解不等式＞x+1。
解：设y= ，即y =2(x+ )(x≥- ，y≥0)，对应的曲线是以a(- ，0)为顶点，开口向右的
抛物线的上半支。
而函数y=x+1的图像是一直线。
解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是{x|- ≤x＜2}。
“数形结合”能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中我们要注意把握善于运用这种数学思想。
三、利用函数图像比较函数值的大小
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。
例7：试判断0.3 ，log 0.3，2 三个数的大小顺序。
分析：这三个数可以看成三个函数y =x ，y =log x，y =2 在x=0.3时所对应的函数值。
在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点p ，p ，p 的位置，从而可得出结论：2 ＞0.3 ＞log 0.3。
四、利用方程的几何意义转化“数形结合”
例8：如果实数x、y满足（x-2） +y =3，则的最大值为（）。
解：设点a（x，y）在圆(x-2) +y =3上，圆心为c(2，0)，半径等于。
如图，则是点a 与原点连线的斜率。
当oa与⊙c相切，且切点a落在第一象限时，k 有最大值，即有最大值。
因为ca= ，oc=2，所以oa= =1，所以（） =tan∠aoc= 。
由此可知，“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯地从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻画问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”是一个重要数学方法，是研究数学问题的一个基本方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用“数形结合”，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合。
深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。
中学数学研究的对象可分为两大部分
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称它为数形结合，或形数结合。
数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而达到优化解题途径的目的。
3.数形结合思想在中学数学中的地位3.1从教与学的现状来看数形结合思想数形结合思想方法的教学价值及其解题功能，己被广大数学教育工作者所认识，其理论研究与实践探索也渐趋深入。
在实际教学中，数形结合的教学方法还没有完全付诸实践目前尚且存在一些不足，其主要表现为数形结合教学目标不清晰，数形结合教学过程不深入，课堂教学中数形结合思想使用不太完善，有序性、层次性、过程性则显得不足。
有的教师甚至只是把它看成是解题的一种手段，只在使用时一带而过，有名无实。
主要表现在：①讲授概念、定理的几何意义，只是照本宣科，课本上有的讲课本上没有的不讲。
②在教法上，从数到形的翻译过程过于简单，起不到以形助数的作用，有不少学生认为讲几何意义增加了学习负担。
③教师的基本功不过关，绘图了草，图形不准确，靠图形说明不了应说明的问题。
④用几何语言表达图形，性质训练不充分，不少学生不会用几何语言表达几何意义。
⑤学生缺乏数形结合意识，学生空间思维构建能力相对较为薄弱，如有问题，不能主动的使用数形结合思想解决问题。
由此可见，在数学教学中数形结合方法的运用，是一个值得研究的课题。
3.2从思维能力方面来看数形结合的思想数形结合思想能够帮助学生树立现代思维意识：第一，通过数与形的结合，把形象思维与抽象思维有机结合起来，尽可能的做到先形象后抽象，这样不但能是学生们的这两种思维同时得到发展，而且为学生形成辩证思维能力创造了条件；第二，通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点来考虑问题；第三，通过数形结合，能够有的放矢的帮助学生，从多角度、多层次出发思考问题，养成多向思维的好习惯。
高考数学数形结合数形结合思想
当a≠0时,函数y=ex+m-1(x≥0)和函数y=ax+b(x<0)都是定高义考域导航内的单调函数, 且函数y=ex+m-1(x≥0)的值域为[m,+∞),
则由题意得函数y=ax+b(x<0)的值域为(m,+∞),
b m,
ex m-1,x 0,
所以a
0,
则函数
f(x)=
ax
m,x
0,
其值域为[m,+∞), |f(x)|的大致图象如图所示,
4
4
当直线l经过点B时,有1=- 1 ×1+a,a5= .
4
4
由图可知,a∈
5 4
,时94 ,
函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y= 1 ,x>1相切时,
x
恰有两个公共点,
此时a>0.
应用一 栏目索引 高考导航
联立得
y y
1,
x得
-1 x 4
=-
a,
1x+a1,即
x4
栏目索引
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
高考导航
借助形的生动性和直观性来阐述 借助于数的精确性和规范性及严
数之间的关系，把数转化为形，即 密性来阐明形的某些属性，即以数
以形作为手段，数作为目的解决数 作为手段，形作为目的解决问题的
学问题的数学思想.
数学思想.
总纲目录 栏目索引
总纲目录
应用一 数形结合思想在解决方高程考导的航 根或函数 零点问题中的应用 应用二 数形结合思想在求解不等式或参数范 围中的应用 应用三 数形结合思想在向量中的应用 应用四 数形结合思想在解析几何中的应用
数形结合的思想
变式训练 3 已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上， 那么点 P 到点 Q(2， －1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时， 点 P 的坐标为 1 A．( ，－1) 4 C．(1,2)
解析
( A ) 1 B．( ，1) 4 D．(1，－2)
定点 Q(2，－1)在抛物线内部，由抛
物线的定义知，动点 P 到抛物线焦点的距 离等于它到准线的距离，问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时， 求点 P 的坐标，显然点 P 是直线 y＝－1 和抛 1 2 物线 y ＝4x 的交点，解得这个点的坐标是(4，－1)．
又∵α、β∈(0,2π)，且 α≠β. ∴直线 l 不过点(1,0)，即 3＋a≠0. ∴a≠－ 3，即 a∈(－2，－ 3)∪(－ 3，2)．
(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β， α－β 作 OH⊥AB，垂足为 H，则∠BOH＝ . 2 ∵OH⊥AB，∴kAB· kOH＝－1. α＋β 3 ∴tan 2 ＝ 3 . α＋β 又∵ ∈(0,2π)， 2 π 7π ∴α＋β＝3或 α＋β＝ 3 . π a 方法二(1)原方程可化为 sin (θ＋ )＝－ ，作出函数 3 2 π y＝sin (x＋3)(x∈(0,2π))的图象．
Hale Waihona Puke 3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则， 要注意由于图象不能精确刻画数量关系所 带来的负面效应． (2)双方性原则， 既要进行几何直观分析， 又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则， 不要为了“数形结合”而数形结合， 具体 运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破 口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘 隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数 图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
以形助数_以数辅形——数形结合在初中数学教学中的应用
难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这OB = 22 + 32 = 13 ， 13是一个无理数（无限不循环小 正说明了数形结合的重要作用和地位。在初中数学 数），这是一个抽象的数学概念，学生很难想象
教学过程中，引导学生利用数形结合的数学思想方 无理数可以与数轴上的点一一对应。而借助数轴
法，以形助数，以数辅形，数形互变，可以将抽象 和圆，学生可以精确地找到无理数的位置，借助
初中代数教学中的部分公式学生理解起来较为 困难，教师可以借助几何直观简化代数教学。如在 教学整式乘法中的代数恒等式的时候，教师可以通 过面积的相关内容来搭建“数”与“形”的桥梁。 北京师范大学的曹才翰、章建跃教授在《数学教育 心理学》一书中指出：“代数所讨论的是数系的结 构和各种公式，它们在本质上是逐步归纳、复合， 通过构造而获得的，其直观性当然要比几何弱得 多，这样，数量关系获得几何解释，可以使问题变 得直观易懂，使人易于洞察问题的本质。”[2] 2.3 巧用数形结合优化几何教学
总之，教师在初中数学教学中巧用数形结合思 想，不仅可以化繁为简、化难为易，还有助于学生 直观想象能力、逻辑推理能力以及数学抽象能力的 培养。上文通过具体案例对数形结合思想在初中数 学教学中的应用进行了阐述，并对其进行了反思， 希望可以帮助学生真正地掌握数形结合思想，进而 促进学生全面发展。
【参考文献】 [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022
【关键词】初中数学；数形结合；应用策略；启示 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）12-0094-03
数形结合是重要的数学思想方法，我国著名
C.3和4之间 D.4和5之间
数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。
本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。
【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。
因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。
下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
以形助数 以数辅形
第二种:（8+2) x 2 =20(厘米） x 第 三种=4 4= 1 6 厘米
在 这 样 的 探 究 过 程 中 ，不 仅 仅 是 解 决 问 题 ，更 是 让 学生在观察、分 析 、概 括 的过程中，感悟知识背后负载
师:通过线段图你发现了哪些数量关系？
X X 生 :原 价 现 价 ，原 价 (1 - 5 > 现价。
师:这两道题有什么联系和区别呢？
1 生:这两道题单位“”的量都是一样的。而且线段
图的画法也一样，都是把原价平均分成5 份 ，现价相当 于这 样 的 4 份 ，降价的部分相当于这样的1 份 。
出示第二组题：
在 整 理 与 复 习 中 ，投 影 出 示 第 一 组 题 ：
1.一件衣服原价200元 ，现价是原价的j 。现价多
少元？
2.—件 衣 服 原 价 200元 ，现 在 降 价 + 。现价多少
元？
1 要 求 学 生 先 判 断 单 位 “”的 量 ，再通过 画 线 段 图 来
分析数量关系。
现价=原 价 X ( 1 -
1.一条裤子售价200元 ，只相当于原价的j 。原价
多少元？
2 —条裤子售价200元 ，比原价降低了f 。原价多
少元？
“1 继续要求学生先判断单位ห้องสมุดไป่ตู้”的量，再通过画线段
图来分析数量关系。
64
实践摞索--------------------------
1 师 :说一说这两题的单位“”的量以及数量关系。
1 1 应 量 、求单位“”的量三类，学生只要记住:单位“”的 X 量 对 应 分 率 = 对 应 量 、对 应 量 + 对 应 分 率 = 单位 1“ 的量等数量关系，再按一定步聚、固定模式解答即
数形结合思想在初中数学教学中渗透
浅析数形结合思想在初中数学教学中的渗透摘要：数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，数形结合的思想方法贯穿初中数学教学的始终。
在教学中逐步渗透数形结合的思想，“以形助数”“以数辅形”，发展学生思维，培养学生数形结合的意识，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
关键词：数形结合；渗透；分析问题；解决问题基础教育课程标准要求教学活动应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
随着新课程改革的深入，不仅要注重学生的基础知识、基本技能，更要注重学生能力的培养。
在基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数形结合的思想和方法贯穿初中数学教学的始终。
在教学中逐步渗透数形结合的思想，是培养学生分析和解决数学问题能力的有效途径。
数形结合是“以形助数”和“以数辅形”的一种数学思想方法。
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。
”数形结合的思想方法把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象思维相结合。
初中数学数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）解决有关几何问题；（2）建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题；（3）与函数有关的代数、几何综合性问题；（4）以图像形式呈现信息的应用性问题。
教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，是提高学生数学能力的一个切入点。
一、渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识日常生活中的图形知识，如学生手中的刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，运动场上的100米跑道，教室里每个学生的坐位；初中教材中的数与数轴；有序实数对与平面直角坐标系；一元一次不等式的解集与一次函数的图像；二元一次方程组的解与一次函数图像之间的关系等都渗透了数形结合思想。
以形助数化难为易——浅谈“数形结合”思想在小学低学段教学中的应用
以形助数化难为易——浅谈“数形结合”思想在小学低学段教学中的应用发布时间：2023-05-12T03:17:42.802Z 来源：《素质教育》2023年3月总第445期作者：张晓莉[导读] 在小学生的认知结构中，数和形是两个紧密联系、互相依赖、互相促进的部分。
“数”辅助“形”，可以将“数”形象化；“形”辅助“数”，可以使“数”直观化，使抽象思维和形象思维结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化、化难为易。
济南市莱芜实验学校山东济南271100在小学生的认知结构中，数和形是两个紧密联系、互相依赖、互相促进的部分。
“数”辅助“形”，可以将“数”形象化；“形”辅助“数”，可以使“数”直观化，使抽象思维和形象思维结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化、化难为易。
儿童时代是空间知形体发展的重要阶段，有价值的数形结合的教学实践，除了能够让学生掌握基本的知识外，对于发展学生的空间想象能力、空间思维能力、观察能力、迁移能力、计算能力、创新能力等都具有深远的影响。
数形结合就是把抽象难懂的数学语言，数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，从而让知识由繁变简、由难变易。
在小学低年级的数学教学中，数形结合更能发挥其积极的作用，把抽象难懂的数学知识用生动形象的图形或情境展示出来，更能吸引学生的注意力，也符合小学低年级学生的认知特点，有助于学生理解和学习知识。
一、数形结合思想在小学低年级数学教材中的体现从一年级学生学习认数开始，教材中就以实物(形)为引，让学生看物(形)写数，体现了编者数形结合的意图。
接下来学习的看图列式，是应用题的前身，它将抽象的文字转化为实物或图形，让学生用算式表达自己对图意的理解。
100以内数的加减法计算，孩子们都是在观察图形的基础上，理解、学习和计算的。
二年级乘法的学习中，教材中出示了大量的情境、实物和图形，例如：每架小飞机上面坐了4个人，7架这样的小飞机上面一共坐了多少人？一步步地引导学生理解乘法的意义和特点。
北师大版小学数学六年级上册《数与形结合的规律》知识点讲解总结练习解析
数与形结合的规律知识精讲1.数与形结合的规律“数”：指数学中的数量和数量关系，如数字、等式等，表达的信息具有抽象性和精确性；“形”：指图形，表示量对应的图形意义等，表达的信息具有直观性和形象性。
数与形结合主要有两种方式：以数辅形、以形助数。
以数辅形：借助数的精确性说明形的特征，通过准确计算，把图形问题转化成数量问题，化难为易。
以形助数：利用图形更好地揭示实际问题中蕴含的数量关系，进而解决实际问题。
2.数与形结合的规律——以数辅形如可以借助数形结合的方法数线段、角、三角形等图形的数量。
数线段的方法：可以结合图形，按照基本线段的个数得出一共有几条线段。
注：基本线段是指一条线段被端点所分成的几条线段。
1条基本线段：线段数量＝1（条）。
2条基本线段：线段数量＝2+1=3（条）。
3条基本线段：线段数量＝3+2+1=6（条）。
4条基本线段：线段数量＝4+3+2+1=10（条）。
……n条基本线段：线段数量＝n+（n－1）＋…＋2＋1 （条）。
类似地，数角或三角形等图形的数量，也可以数形结合运用基本角和基本三角形的个数来求。
3.数与形结合的规律——以形助数如下图是公共汽车从解放路到游乐园之间行驶速度变化的情况。
从图中可以观察得出以下信息。
（1）公共汽车从解放路到游乐园共行驶了4分。
（2）在第1分内，汽车行驶速度从0提高到400米/分。
（3）从0分到1分，汽车行驶速度在增加；从3分到4分，汽车行驶速度在减少；从1分到3分，行驶速度保持不变，是400米/分。
除了可以之间观察得出的信息之外，还可以根据图像推断出一些实际情况。
如根据上图可知汽车在1分至3分之间匀速行驶，因此路程是在增加，共增加了800米。
易错易误点混淆基本图形的数量和所求图形的数量在数线段或其他图形的数量时，容易只数基本图形，即将所求图形的数量和基本图形的数量混淆，从而导致错误。
如下图中一共有多少个角？错解：4。
这里错在只数出了4个基本角，而要求的是一共有多少个角。
核心素养下小学数学数形结合思想的渗透
核心素养下小学数学数形结合思想的渗透发布时间：2021-09-30T09:03:45.062Z 来源：《教学与研究》2021年第5月15期作者：林丽梅[导读] 在新课程改革与素质教育理念结合下，小学数学课堂中更加重视学生的数学核心素养林丽梅福建省莆田市荔城区黄石七境小学邮编：351144摘要：在新课程改革与素质教育理念结合下，小学数学课堂中更加重视学生的数学核心素养。
那么如何让数学与核心素养有效结合，我认为数形结合思想可以成为它们之间的纽带，因此在小学数学课堂中，教师要根据具体情况合理的渗透数形结合思想，不仅能提高学生解决问题的能力，还能促进学生数学核心素养的不断提升。
关键词：核心素养数形结合思想数形结合思想是解决数学问题的一种十分重要的思想方法，它贯穿于小学数学整个教学过程中。
所谓数形结合就是数与形的结合，通过它们之间的相互转化，可以使抽象的、复杂难懂的数学问题变得简单易懂，从而达到解决数学问题的目的。
那么在教学中要如何有效的渗透数形结合思想。
一、以形助数以形助数是根据数学问题中数的特点，构造出与之对应的图形，并利用直观图形来观察研究解决问题，这样可以借助图形化抽象为形象，找出问题中的内在联系，同时帮助学生理解数的概念，理解量与量之间的关系以及提高学生的空间想象力，发展学生的空间观念。
(一）借助图形，帮助学生理解数的概念数的概念本身就抽象，学生在对数的概念理解过程中可以借助图形，使抽象的数概念和直观的图形建立联系。
利用图形的直观形象，帮助学生理解数的概念。
如教学《认识几分之一》时，让学生在课前准备3个大小一样的正方形纸片，在教学时让学生拿出备好的正方形纸，先让学生自己动手折一折，表示出1/4。
接着以4个人为一小组合作交流讨论，发现正方形纸折出的，每一份的形状不一样，为什么都可以用来表示1/4？最后老师收集不同折法展示出来（如下图1），组织全班学生反馈交流总结：引导学生发现因为图形大小一样，都平均分成4份，取其中的一份，都可以表示为1/4。