以形助数 以数解形
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
数形结合思想在高中数学解题中的应用
数形结合思想在高中数学解题中的应用数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。
”数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。
数形结合的重点是研究“以形助数”。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓思维视野。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：一、“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
例如：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0，（2）-4a＜b＜-2a，（3）abc＞0，（4）5a-b+2c＜0，其中正确的个数为（A）。
A．1个B．2个C．3个D．4个由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误。
又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误。
∵对称轴在1和2之间，∴1＜-＜2，又a＞0，∴在不等式左右两边都乘以-2a得：-2a＞b＞-4a，故（2）正确。
又x=-1时，对应的函数值大于0，故将x=1代入得：a-b+c＞0，又a＞0，即4a＞0，c＞0，∴5a-b+2c=（a-b+c）+4a+c＞0，故（4）错误。
小学数学教学中“数形结合”教法探析
、
一
用几何图形 ， 表现数字 之间的“ 十进 制 ” 关系 。 可 以 像 抽 象 的 概 念变得通俗易懂 ， 用 一 个方 格 表 示 １ ， １ Ｏ 个方格就是 １ ０ （ 也 就 是 个１ ０ ） ， 用 这样的方法 一直推导 下去 ， 使 用 这 种 学 生 都 感 兴 趣的方法进行教学 ， 可 以增 强 学 生 对 数 字 的 认识 。 学 生 可 以 根 据 图形 的 变 化 ， 掌 握 数 字 的计 数 单 位 “ 个、 十、 百、 千” ， 对 这 些 单位之 间的关系也有清 晰的理解 ， 这 种 直 观 教 学 法 比教 师 在 课 堂 上 一 味 地讲 解 ， 收 到 的 教学 效果 更 显 著 ， 有 利 于 学 生 掌 握 概念 ． 可 以在 学 生 头 脑 中形 成 直 观 的计 数 单 位 ， 对 后 面 学 习 数 的 比较 、 数的计算非常有利 。 （ ２ ） 利 用 图形 的 直 观 。 掌握算法 。 在 小学 数学 中 ，贯 穿 整 个 小 学 学 段 的教 学 重 点 就 是计 算 问题 ， 所 以教 师 一 定 要 重 视 培 养 小 学 生 的计 算 能 力 ， 首 先 应 该 理 解算 理 。教 师在 讲 解 时 ， 要告诉学生什 么是算理 ， 在 学 生 掌 握 算 理 以后 再 讲 解计 算 方 法 ，也 就 是 要 使 学 生 明确 计 算 的 根 本 。 利用 数 形 结 合 ， 可 以 帮 助 学 生 正确 理 解 算 理 。 如在学习“ 分数乘 以分数 ” 一课 时 ． 教 师 首 先 明 确 一 个 问 题： 在 小 区 内铺 设 一 块 绿地 ， 建 设 工 人 每 小 时铺 设 这 块 地 的 ｌ ／ ２ ，在 速 度 不 变 的 情 况 下 ， １ ／ ４ 小 时 可 以 铺 设 这 块 地 的 几 分 之 几？ 在 引 导 学 生 得 出算 式 １ ／ ２ ￣ １ ／ ４ 以后 ． 教 师 引 导 学 生 分 三 步 对 此 进行认识 ： 第一 ， 在教师 引导学生思 考问题 ， 对 问题 有 清 晰 的认 识 以后 ， 尝 试用 图形 表示 ｌ ， ２ × １ ， ４ 。第 二 ， 将 全 班 学 生 进 行 分组 。 小 组 内 同 学 可 以交 流 自己 的学 习体 会 ， 优 等 生 可 以 到 黑 板 上 画 出 自己 的理 解 ， 叙 述 自己 的看 法 。 引 导 学 困生 理 解 。 学 困生 在 理 解 意 思 后 对 自己 的 图 形 进 行 修 改 ，重 新 认 识 这 个 算 式 表 达 的意 思 。第 三 ， 教 师 对 每 个 小 组 的结 论 进 行 点评 ， 指出 各 个 小 组 的成 功 之 处 ， 开展全班交流活动 ． 对 表 现 突 出 的小 组 进行鼓励 。
以形助数,数形结合
以形助数、数形结合湖南省南县第一中学 陈敬波一．引入数与形是两个古老的概念，是数学研究的对象，数与形在一定的条件下可以互相转化，二者是有联系的，这个联系称之为数形结合，作为一种数学思想，通过两种形式的应用：以数解形，以形助数，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题实质。
纵观历年高考试题，巧妙地运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，数形结合的重点是研究“以形助数”。
要注重培养这种数学思想意识，争取“胸中有数”,“见数思图”，开拓自己的思维视野。
二．热身1、已知向量a ＝(cos750,sin750)，b =(cos150,sin150),则|a -b |=________.分析：向量坐标形式，联想平面直角坐标系中带箭头的图形，向量差的模对应两终点连线的长，绘图解决。
2、如果实数x,y 满足(x-2)2+y 2=3，则x y 的最大值为( )A. 21B. 33C. 23D. 3 由方程，联想到坐标直角坐标系中的圆，分式联想到平面直角坐标系中直线斜率公式。
赋予代数问题的几何意义，利用图形解决。
三．举例1. 若关于x 的方程x 2+2kx+3k=0的两根都在 -1与3之间，求实数k 的取值范围．解析：(代数方法)3212k -4k 2-1-2<±<k ，计算量。
（数形结合法1）()()0,322=++=x f k kx x x f 的两根都在 -1与3之间。
().011330099013,12200)3(0)1(≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤>+>+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-≥∆>>-k k k k k k k f f 或 （数形结合法2）()2-32x k x =+，()3,1-∈x t=2x+3,()9,1t ∈,k=()t 43-t -2 ()()().43349,43222'1221tt t t t y k y t t y --+=--==--= 1y 在()3,1上是增函数，在)9,3(上是减函数2y 是动直线，利用图象，得01≤<-k 。
浅析高中数学教学中“数形结合”的解题妙用
浅析高中数学教学中“数形结合”的解题妙用发布时间：2022-09-06T05:20:49.956Z 来源：《教育学》2022年3月总第280期作者：张小文[导读] 不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
陕西省汉中市南郑中学723100摘要：数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质。
近年来数学高考试卷的许多试题，都富有鲜明的几何意义，应用数形结合思想能够迅速作出正确的判断。
关键词：数形结合以形助数以数解形一、数形结合遵循的原则1.等价性原则。
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。
有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
2.双向性原则。
在数形结合时，既要进行几何直观分析，又要进行代数抽象探索，二者相辅相成。
3.简单性原则。
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法，或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求一种流行的模式。
二、用数形结合思想解决实际问题思路分析1.构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围。
已知f(x)＝则任意x∈[－1，1]，|f(x)|≥ax成立的充要条件是( ) A．a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)B．a∈[－1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[－1，0)解析：当x∈[－1，0]时，原不等式可变为|x2－2|≥ax，即2－x2≥ax，f(x)＝图象如图所示；当x∈(0，1]时，原不等式可变为|3x－2|≥ax，g(x)＝|3x－2|的图象如图所示，当|f(x)|≥ax恒成立时，由图可知a的取值范围是[－1，0]。
2.构建函数模型并结合其图象研究方程根的个数。
已知函数f(x)满足下面关系。
①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lg x解的个数是( ) A．5 B.7 C．9 D．10解析：由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数。
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化-浅谈数形结合思想在数学解题中的应用
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用【摘要】数学研究的对象可分为“数”与“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系成为数形结合。
数形结合包括两种情况：第一种情况是“以数解形”，第二种情况是“以形助数”。
数形结合思想简单来说就是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来去解决数学问题的思想。
它将抽象的数学语言与直观的图形相结合，并使抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
【关键词】数形结合思想；数学解题；应用一种好的有效的数学思想方法胜过于百道千道甚至上万道数学题目，这将会告别传统的“题海战术”，学生就能在相对良好的环境中将数学知识转化为数学能力，养成数学学习的兴趣，也能调动数学学习的积极性，提高学习的效益。
总的来说，数学思想方法比数学知识更为重要，数学知识是单一的，亘古不变的，相反的，数学的思想方法会随着社会的不断进步而进步，它是灵活的，多样的。
如果不及时的对数学知识加以记忆，很快就会被人们所遗忘，所以说，人们对思想方法的掌握是永久性的，能够受用一生的。
教材中的主要体现教材体系梗概以小学为例，小学生大多都处于具体运算阶段，这一阶段中，小学生基本已经从表象思维中脱离出来，逐渐地形成抽象性思维，也能够进行适当的逻辑推理，但是他们的抽象性思维还不够成熟，在解决问题方面的能力也不足，仍需要具体事物图像的辅佐，把抽象的事物图像直观化，然后根据直观化的图像，他们才能够更好地进行理解。
因此，在小学教科书上必然有着数形结合思想，用图片的方式来表相应的数学知识，而且必定占据很大的比重，这样便于小学生的理解。
例如，利用三角板工具来理解和认识锐角、直角、钝角；利用线段表示法来找出数学问题中变量的关系，再画出相应线段来写出方程；用分割实物月饼来认识几分之几；利用日历表来熟悉了解大月、小月等。
在《古人计数》这节课中，如何能够让学生更好地理解10个一就是1个十？教师会让学生拿出10根小棒，表示“10个一”，然后把10根小棒捆成一捆，就是“1个十”。
以形助数 以数解形
以形助数以数解形数形结合的思维方法，是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。
纵观整个小学数学教材，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
抽象思维与形象思维的结合，即数形结合，可以使学习的内容变得比较易于理解，如何更好的以形象“解”抽象，是我们一线数学教师一直思考的问题。
下面是我在教学中的一点做法：一、利用直观图有助于孩子清晰的认识数的组成低年级学生在学习数学时，学生的的逻辑思维是比较初步的，而且在很大程度上仍是具有具体形象性。
我在教学《1000以内数的认识》用摆小正方体贯穿于整个教学过程。
一开始借助小正方体数数，经历数数，感受到不同的情况下可以采取不同的数数方法。
利用课件让孩子们直观感受一十，一百，一千的表象，知道一十是1列，一百拼成1片，一千成了1个大正方体，为进一步理解1000以内数的组成打下基础。
同时认识计数单位百、千，并感悟到10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千的十进制关系。
图示如下：借助小正方体理解1000以内的数的组成。
通过小正方体组成不同的“形”表示1个一、1个十、1个百，使学生对1000以内数的组成形成表象，通过小正方体的“形”让学生自己感悟到，数和形相结合，使学生自己真正理解1000以内数的组成的。
二、利用直观图有助于孩子分析题意，避免机械应用在教学解决“小雪比小磊多几朵花“这个问题时我让孩子们拿出学具，动手摆一摆，并说说摆的过程。
师：小组讨论思考三个问题（1）谁和谁比？（2）谁的多？谁的少？（3）多的分成几部分，是哪几部分？这样，根据直观的数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。
这样学生在学习“比多比少”应用题时，就能能很好的建立起数与形的有机结合，充分理解掌握比多比少的基本数量关系。
以形解数，_以数促形——数形结合思想在高中数学解题中的应用研究
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １３以形解数以数促形以形解数，以数促形㊀㊀㊀ 数形结合思想在高中数学解题中的应用研究Һ张㊀庆㊀（江苏省徐州市侯集高级中学，江苏㊀徐州㊀２２１１２１）㊀㊀ʌ摘要ɔ数与形是数学研究的最基本对象．使学生明确数与形之间的关联，灵活应用以形解数㊁以数促形的方法解决数学难题，对于培养高中生的解题能力有着积极意义．文章阐述了数形结合思想的含义与应用意义，同时结合具体教学案例，从以形解数㊁以数促形㊁数形结合三个层面提出数形结合思想在高中数学解题中的应用策略，希望为提升高中数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ数形结合；高中数学；解题；应用策略高中数学解题教学不仅要为学生传授针对性的解题理论与解题方法，还要注意适时渗透数学思想，同时发展学生的解题能力与解题思维．数形结合思想是一种有机结合抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系的数学思想，将其应用到高中数学解题教学当中，有利于提高学生的解题质量．教师只有认识到数形结合思想的积极教学作用，并将其合理应用于解数的问题㊁形的问题及综合问题的教学当中，才能从根本上提高学生的灵活解题能力．一㊁数形结合思想概述（一）含义数形结合思想的本质是应用 形 将 数 直观地表达出来，应用 数 将 形 准确地描述出来的一种思想方法，主张研究数学问题时将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，综合看待数学问题．（二）应用意义将数形结合思想用于高中数学解题教学当中，可以弥补常规解题教学内容的不足，使学生学会从数㊁形两个角度综合看待数学问题，从而提高学生的问题分析㊁解答㊁总结能力．数形结合思想的应用意义具体表现在以下几方面：第一，有利于消除学生的负面解题情绪．高中数学题目具有复杂㊁抽象的特征．教师应用数形结合思想，从以形助数㊁以数解形的角度带领学生探究数学问题，有利于学生快速明确数形关系，确定解题的切入点，在降低解题难度的同时提高学生的解题效率，为学生树立数学解题学习的信心．第二，有利于发展学生灵活的解题思维．思维是思想㊁意识的集中体现，培养学生的解题思维，有利于学生解决形式不同㊁内容不同的数学问题．教师应用数形结合思想展开解题教学，有助于学生打破常规解题思维的禁锢，从新颖的角度思考数学问题，从而提升学生的数学思维水平，提高其解题效率．第三，有利于培养学生良好的解题习惯．习惯对学生的影响是巨大的．在高中数学解题教学中，通过为学生讲解以形解数㊁以数促形㊁数形结合等解决问题的思路㊁方法㊁步骤，可以使学生逐渐形成确切的解题思维体系，使其能够自觉地在遇到问题时灵活应用数学思想探究数学问题，从而达到快速㊁高效解决数学问题的目的．久而久之，学生就能养成良好的解题习惯，能够更加得心应手地解决不同类型的数学难题．二㊁数形结合思想在高中数学解题中的应用策略（一）以形解数，降低难度，提高解题效率１．以形解数巧解集合问题，培养解题兴趣高中数学解题教学的特征之一在于题目信息复杂．学生若欠缺良好的解题内驱力，则很容易在读题㊁解题时出现放弃的负面想法，导致解题教学无法顺利进行下去．在进行集合问题的解题教学时，教师可以巧妙地运用数形结合思想引领学生解决这类问题，通过将复杂的集合语言转化成简单㊁直观㊁易懂的文氏图㊁数轴等图形，激发学生的解题学习兴趣，使其主动参与集合问题的解题学习活动．以 交集㊁并集 一课的解题教学为例，有问题如下：设集合Ａ＝｛ｘ｜－５ɤｘ＜１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘɤ２｝，则ＡɣＢ等于（㊀㊀）．Ａ．｛ｘ｜－５ɤｘ＜１｝㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛ｘ｜－５ɤｘɤ２｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ＜１｝Ｄ．｛ｘ｜ｘɤ２｝这一问题的题目㊁选项都以数学语言呈现，并未给出过多解释．许多学生在初次接触这类题目时，容易㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １３为复杂的题目信息所影响，产生畏难的解题情绪．对此，教师可以将以形解数的思想方法传授给学生，帮助学生将复杂代数问题转化为直观的㊁可视化的图形问题： 对于求并集的数学问题，我们可以运用画数轴的方式解决．将集合Ａ，Ｂ在数轴上表示出来，观察两个图形可以发现，集合Ａ被包含在集合Ｂ中，两个集合的并集自然是ｘɤ２．如此，即可得到原题答案．通过巧妙应用数轴图绘制集合的示意图降低集合问题的难度，从而消除学生的负面解题情绪，使其主动投入解决集合问题的过程当中，提高其解题效率．２．以形解数巧解函数问题，简化解题步骤函数问题在高中数学解题教学中占据较大比重．由于函数问题具有较强的抽象性，部分学生在解读题目㊁分析题目时出现了思路混乱的问题，导致解题步骤复杂，不能很快求解出问题答案．教师可以将数形结合思想运用到函数问题的解题教学当中，利用形象㊁直观的图像解释函数问题，以此降低函数问题的难度，使学生在观察图像㊁分析图像的过程中确定解决函数问题的解题方法．以 函数的单调性 一课的解题教学为例，有问题如下：函数ｙ＝１ｘ在其定义域（－ɕ，０）上是减函数吗？这一问题给出的信息较为简单，若使用作差法解决这一问题，需要经过较多的计算步骤方能完成此题．为此，教师可以结合 函数的单调性 相关知识点，指导学生绘制函数ｙ＝１ｘ的草图，在草图上将该函数图像的上升㊁下降情况反映出来．接着，教师再为函数ｙ＝１ｘ进行赋值，如ｘ１＝－１，ｘ２＝１时，ｆ（ｘ１）＝－１，ｆ（ｘ２）＝１，让学生明确在ｘ１＜ｘ２时有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）的结果．对照函数图像，确定在区间（－ɕ，０）上函数并不是减函数的答案．将以数解形的思想方法用于高中数学函数解题教学当中，可以简化学生的函数解题思路，使其通过绘制草图㊁分析草图㊁代入数据快速完成问题探究，从而提高学生的解题效率．（二）以数促形，强化逻辑，提高解题质量１．以数促形解决解析几何问题，引发逻辑思考解析几何是高中数学教学的重点与难点之一．要使学生具备解决解析几何问题的关键能力，教师需要在常规解题教学的基础上融入数形结合思想，使学生形成以数解形的解题意识，进一步促进其逻辑思考．对此，教师可以为学生呈现解析几何的典型例题，先让学生尝试独立解题，后为学生演绎以数促形解决难题的过程，使其在学习的过程中进行逻辑思考，逐渐形成以数促形解决问题的能力．以 直线与圆的位置关系 一课的解题教学为例，有问题如下：判定直线ｌ：３ｘ＋４ｙ－１２＝０与圆Ｃ：（ｘ－３２）＋（ｙ－２）２＝４的位置关系．出示题目后，教师可以给学生５分钟左右的时间，让学生自行解题，启发其深度思考．接着，教师可以通过提问㊁引导的方式，带领学生应用以数促形的思想解决这一习题，如： 根据原题，你能想到什么？如果让你列方程组，这个方程组该怎么列？ 通过提问引导学生回顾代数法解决解析几何问题的相关知识点，使学生在教师的点拨下列出方程组．接着，教师再进行追问： 当方程组有两个不相同的解时，圆与直线是怎样的位置关系？当方程组只有一个解时，圆与直线是怎样的位置关系？当方程组没有解时，圆与直线是怎样的位置关系？ 借助具体问题引发学生的逻辑思考，使其按照具体步骤解决问题，得到直线ｌ与圆Ｃ相交的答案．在面对抽象的解析几何问题时，教师可以让学生运用以数解形的思想方法列方程组㊁消元㊁计算，使学生在练习的过程中逐渐形成逻辑思考㊁逻辑分析的数学解题能力，提高其解题质量．２．以数促形解决立体几何问题，提高辨析能力立体几何问题看似是 形 的问题，但其问题本质与 数 的知识㊁方法有着紧密的关联．教师将数形结合思想用于立体几何问题的解题教学当中，可以为学生提供新的解题学习思路，使其拥有更多的解题选择．如此，学生能够在解题学习中自觉辨析代数方法㊁几何方法解决立体几何问题的优缺点，从而选择更适合自己的解题方法，提升自身解题学习质量．㊀图１以 空间向量与立体几何 一章的解题教学为例，有典型问题如下：如图１，在四面体ＡＢＣＤ中，平面ＡＢＣʅ平面ＡＣＤ，ＡＢʅＢＣ，ＡＣ＝ＡＤ＝２，ＢＣ＝ＣＤ＝１，求四面体ＡＢＣＤ的体积．为了使学生形成运用最优解法解决立体几何问题的解题能力，教师可以为学生分别讲解用几何法㊁代数法解题的思路，通过呈现两种解题方法，为学生提供更多解题选择，使其按照自㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ １３己的解题爱好选择合适的解题方法，彻底掌握解决立体几何难题的方法，提高其对几何问题的解答能力．（三）数形结合，灵活切入活跃解题思维１．数形结合解决三角函数问题，激活解题思维三角函数是研究三角形与圆等几何形状性质，研究周期性现象的基础数学工具．高中阶段的三角函数问题具有一定的难度，学生的解题思维若过于僵化，则很容易在解题时陷入误区，无法正确解决问题．对此，教师可将数形结合思想渗透进三角函数问题的解题教学当中，通过提问引导㊁组织探究等方式使学生打破僵化的解题思维，从而提高其灵活解题的数学能力．以 解三角形 一章的解题教学为例，有例题如下：讨论函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的图像和性质．很多学生在读题之后，直接运用两角和的正弦公式计算，如：ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，得到振幅是２，周期是２π等性质．这样的解题方法过于常规，不利于学生发展灵活的解题思维．对此，教师可以提出启发性问题，引导学生从数形结合的角度思考问题： 该函数的图像是怎样的？如果利用图像，能否很快得到问题答案？ 基于此问题，教师组织学生以小组为单位进行问题讨论，使其在讨论过程中分别绘制出正弦函数㊁余弦函数的图像，并对图像进行叠加处理，使其在绘图㊁挑选特殊点叠加的过程中体会函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的图像与性质，从而得出该函数周期是２π，合成的振动周期是２π的答案．如此，学生可以进一步理解三角函数问题的本质，形成从数㊁形两个角度分析问题的解题思维．三角函数的问题形式多样，难度较高．教师将数形结合思想运用到解题教学当中，并提出有关引导性问题，引导学生思考㊁探究，使其在解题的过程中逐渐形成综合分析的解题思维，为提高学生的三角函数解题能力奠定基础．２．数形结合解决不等式问题，拓宽思维视野培养高中生举一反三的解题思维是非常重要的．在进行不等式问题的解题教学时，教师可以将数形结合思想融入教学当中，为学生呈现同一问题的不同解答方法，充分扩宽学生的解题思维视野．借助数形结合思想落实一题多解教学，之后组织学生回顾不同解法的解题思路㊁解题步骤，使学生在想㊁用㊁反思的过程中掌握用数形结合思想妙解不等式问题的方式方法，从而提升学生的解题水平．以 基本不等式 一课的解题教学为例，有问题如下：不等式ｘ＋２＞ｘ的解集是什么？在看到这一问题时，大多数学生选择使用常规的代数方法解决该问题，即：根据原题，将不等式化为ｘȡ０，ｘ＋２ȡ０，ｘ＋２＞ｘ２或ｘ＜０，ｘ＋２ȡ０两组不等式，分别解得０ɤｘ＜２与－２ɤｘ＜０，得到原不等式解集为｛－２ɤｘ＜２｝．然而，这样的解题思路过于常规，若题目内容变得更加复杂，学生很容易在大量的计算中得到错误的答案．对此，教师可以为学生演绎应用数形结合方法解决不等式问题的过程：将原不等式化为ｙ１＝ｘ＋２与ｙ２＝ｘ两个函数，并依据函数绘制出函数草图，那么不等式ｘ＋２＞ｘ的解集就对应函数ｙ１＝ｘ＋２图像在ｙ２＝ｘ图像上方的部分，很快得到不等式解集为｛ｘ｜－２ɤｘ＜２｝．在该过程中，教师通过引导学生从不同的角度思考问题，为学生演绎用不同方法解决问题，进一步开阔了学生的解题视野，培养了学生灵活解决不等式问题的能力．代数法并不是解决不等式问题的唯一方法．进行不等式问题解题教学时，教师可以将数形结合思想合理渗透进解题课程当中，通过为其说明㊁演绎使学生掌握不同解决不等式问题的方法，从而拓宽学生的数学解题思维．结束语数形结合百般好，隔裂分家万事休． 只有让学生形成从数㊁形两个方面看待问题的解题思维习惯，才能够进一步提高学生灵活思考㊁灵活解题的能力，提升其解题效率与解题质量．实际教学中，教师应明确当下高中数学解题教学的主要目标，并结合解题教学的具体需求合理地将数形结合思想融入不同类型题目的解题教学当中，以此开阔学生的解题视野，提升学生的解题水平．ʌ参考文献ɔ［１］田昆．探析高中数学解题中数形结合思想的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（３６）：１５３－１５５．［２］王晨晨．高中数学解题技巧之 数形结合 策略研究［Ｊ］．高中数理化，２０２１（２４）：１３．［３］宁邦青．高中数学解题中数形结合思想的有效应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３３）：８－９．［４］徐欣欣．浅析数形结合思想方法在高中数学教学中的应用［Ｊ］．新课程，２０２１（４１）：１３５．［５］赵文奎．高中数学教学时数形结合方法的应用［Ｊ］．当代家庭教育，２０２１（２１）：１１－１２．。
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
以形助数,以数解形——谈数形结合思想在小学数学中的应用
以形助数,以数解形——谈数形结合思想
在小学数学中的应用
数形结合思想在小学数学中的应用数形结合思想是数学教学的重要组成部分，在小学数学教学中，数形结合思想起着至关重要的作用。
一般来说，数形结合思想是指以形助数，以数解形，即把数学具体化，结合实际情况，把抽象的数学知识转化为具体的形象，从而更好地理解和运用数学知识。
在小学数学教学中，数形结合思想具有特别重要的作用。
例如，教学加法时，可以通过图形的方式来让学生们更好地理解加法的概念，理解加法的运算过程。
比如，当教学加法时，可以画出三个圆圈，我们可以让学生在每个圆圈里画几个小圆点，代表每个圆圈里有几个东西，然后让学生将三个圆圈里的小圆点加起来，就可以得到最后的结果。
这样，学生们就可以更好地理解加法的概念，知道加法的运算过程，从而更好地应用加法。
此外，数形结合思想还可以帮助学生们更好地理解减法的概念，更好地运用减法。
教学减法时，可以画出两个圆圈，在每个圆圈里画几个小圆点，代表每个圆圈里有几个东西，然后让学生从第一个圆圈里减去第二个圆圈里的小圆点，就可以得到最后的结果。
这样，学生们就可以更好地理解减法的概念，知道减法的运算过程，从而更好地应用减法。
用数形结合思想教学数学时，还可以画出图形，让学生们更好地理解乘法、除法等数学知识的概念，更好地运用这些知识。
比如，教学乘法时，可以画出一个矩形，把这个矩形分成几个小矩形，代表乘法的因数，然后让学生们计算出最后的结果，就可以更好地理解乘法的概念，知道乘法的运算过程，从而更好地应用乘法。
总之，以形助数，以数解形，是小学数学教学中重要的一种数学思想，它可以帮助学生们更好地理解和运用数学知识，起到重要的作用。
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数形结合的思维方法，是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。
纵观整个小学数学教材，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
抽象思维与形象思维的结合，即数形结合，可以使学习的内容变得比较易于理解，如何更好的以形象“解”抽象，是我们一线数学教师一直思考的问题。
下面是我在教学中的一点做法：
一、利用直观图有助于孩子清晰的认识数的组成
低年级学生在学习数学时，学生的的逻辑思维是比较初步的，而且在很大程度上仍是具有具体形象性。
我在教学《1000以内数的认识》用摆小正方体贯穿于整个教学过程。
一开始借助小正方体数数，经历数数，感受到不同的情况下可以采取不同的数数方法。
利用课件让孩子们直观感受一十，一百，一千的表象，知道一十是1列，一百拼成1片，一千成了1个大正方体，为进一步理解1000以内数的组成打下基础。
同时认识计数单位百、千，并感悟到10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千的十进制关系。
图示如下：借助小正方体理解1000以内的数的组成。
通过小正方体组成不同的“形”表示1个一、1个十、1个百，使学生对1000以内数的组成形成表象，通过小正方体的“形”让学生自己感悟到，数和形相结合，使学生自己真正理解1000以内数的组成的。
二、利用直观图有助于孩子分析题意，避免机械应用
在教学解决“小雪比小磊多几朵花“这个问题时我让孩子们拿出学具，动手摆一摆，并说说摆的过程。
师：小组讨论思考三个问题（1）谁和谁比？
（2）谁的多？谁的少？
（3）多的分成几部分，是哪几部分？
这样，根据直观的数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。
这样学生在学习“比多比少”应用题时，就能能很好的建立起数与形的有机结合，充分理解掌握比多比少的基本数量关系。
三、利用直观图有助于孩子理解概念本质
对于二年级学生来说，孩子最难理解的是“倍”的概念，如何让“倍”的数学概念深入浅出，使孩子能对“倍”有自己的理解，并内化成自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。
我在教学时，出示同样长的两根纸条：
通过比较让孩子明确它们一样长。
然后老又出示一张同样的红色纸条和第二根红色纸条拼成一条，形成下图：
通过进一步增多红色纸条的数量，明确把绿色纸条的长度看成一份，红色纸条有这样的几份，我们就说红色纸条是绿色纸条的几倍。
在这里通过以“形”的感官操作，使学生明白几个几份，就是几倍，由已知概念“份”引出“倍”的数学概念。
通过数与形的相互转化来明确两个量之间的关系，很快就触及了概念的本质。
四、利用直观图有助于孩子理解量与量之间的抽象关系
线段图能将抽象的数与数之间的关系具体形象的展现在孩子们面前，能轻松的帮助孩子理解题意。
在小学数学五年级练习题中出现过这样一道题目：甲数的小数点向左移动一位是乙数，甲乙两数的和是283.8.甲乙两数各是多少？对于此题，大多数孩子一看题目都感到无从下手。
我引导孩子发现甲乙两数存在倍数关系：甲数是乙数的10倍，并提示用线段图来表
示他们的关系。
大多数孩子立刻正确的画出图解答了问题。
五、利用直观图有助于孩子理解本质特征
大多数老师在教学利用等式的性质解方程（因为还有老师未能体会到这样做的作用，仍然热衷于利用数量间的关系教学）后发现，孩子会出现这样的求解过程：
x+3=9
=x+3―3=9―3
=x=3
究其原因一是学生没有真正理解利用等式的性质求方程解的过程，或是虽然理解了但印象不深刻；二是这是学生初次接触方程，受脱式计算的影响，认为等式具有唯一性。
我在教学时主要是让孩子明白等式不是具有唯一的方向（唯一的方向是指左边表示应做的运算，右边表示答案），等号的左边和右边相等，等号表示左、右双方的等价性。
这为利用等式的性质解方程提供了强有力的支撑。
例如在教学x+3=9时出示图片：
让学生根据图列方程。
孩子们很容易得到方程：x+3=9。
师：“怎样让天平左边只剩下x”
生：“从天平左边拿走3个方框（天平左边拿走3个方框）”
师：“为了让天平仍然保持平衡，右边怎么办？”
生：“也拿走3个方框”（天平左边拿走3个方框）
师：“用等式把这个过程表示出来”
生：x+3―3=9―3
现在天平是这样的
师：“现在天平仍然是平衡的，左边只有x，右边是3个方框，再用等式把天平的平衡状态表示出来”
生：“x=3”
这样，直观形象让孩子明白了：方程的每一步都是一个等式。
因此，我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”；，“数形结合”既是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。
所以在教学中使“以形助数”与“以数解形”有机结合在一起才能达到事半功倍的目的。