以形助数,以数辅形

摘要：“数形结合”既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。

教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，从而在这种结合中寻找到解题的思想与方法，而且有利于开拓学生的解题思路，发展学生的形象思维能力。

关键词：“数形结合” 函数图像抽象“以形助数” “以数辅形”
恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。

”“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。

我们要认识两者的辩证关系，要认识到矛盾双方的相互转化。

在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是“数形结合”。

在高中数学中，“数形结合”是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中。

在解决集合问题、方程、不等式及函数问题时，如果能注意数形结合的应用，寻找解题思路，就能使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

”在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。

在教学渗透“数形结合”时，教师应指导学生掌握以下几点：
1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。

2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。

3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。

下面从几个方面谈一谈“数形结合”在解题中的应用。

一、“数形结合”在解决集合问题中的应用
1.利用文氏图法解决抽象集合问题。

一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。

利用文氏图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。

如：
例1：开校运动会时，高一（五）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
解：设a={参加游泳比赛的学生}，b={参加田径比赛的学生}，c={参加球类比赛的学生}，同时参加田径和球类比赛的学生有x人，作出符合题意的文氏图：由题意可知：
card(a∩b)=3，card(a∩c)=3，card(b∩c)=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3。

因此，同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人。

2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题。

例2：若非空集合a={x|2a+1≤x≤3a-5}，b={x|3≤x≤22}，求使a?哿b成立的a的集合。

先在数轴上表示出集合b的范围，要使a?哿b，由包含于的关系可知集合b应该覆盖集合a，因为a为非空集合，所以2a+1≤3a-5，a≥6。

又∵a?哿b，如图所示：可知
2a+1≥33a-5＜22，∴1≤a≤9。

综上所得：6≤a≤9。

因此，运用“数形结合”解题，往往会化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关系直观、形象地显示而有利于运算。

二、利用“数形结合”解决方程和不等式问题
1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集。

一元二次不等式与一元二次函数（方程）之间的紧密关系是众所周知的。

抛物线y=ax +bx+c（a＞0）与x轴的相关位置分为三种情况，这可以由一元二次方程ax +bx+c=0的判
别式δ=b -4ac的三种取值情况来确定。

因此，在解不等式时一定要注意最高项系数是否为正，要分两种情况讨论。

例3：求不等式-x +2x-3＞0的解集。

分析：我们先联想对应的二次函数y=-x +2x-3的图像草图，很明显，无论x取任何值时都有y＜0，即-x +2x-3＜0，∴-x +2x-3＞0的解集为空集，因而-x +2x-3＜0的解集为全体实数。

因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。

2.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。

例4：已知关于x的方程2kx -2x-3k-2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。

分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。

如果从函数观点出发，令f(x)=2kx -2x-3k-2，则由根的分布，函数f(x)的图像只能如图所示。

对应的条件是k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0。

解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。

为使方程f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0，解得k＞0或k＜-4。

一般的，关于根的分布问题均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。

通过以上几道例题的分析求解，可知二次函数有丰富的内涵和外延。

作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

3.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题，即数形对照，相互渗透。

例5：解方程3 =2-x。

分析:由方程表达式我们可以联想起函数y=3 与y=2-x，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4。

4.利用函数的图像解不等式，即由数想形，直观显现。

例6：解不等式＞x+1。

解：设y= ，即y =2(x+ )(x≥- ，y≥0)，对应的曲线是以a(- ，0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。

而函数y=x+1的图像是一直线。

解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是{x|- ≤x＜2}。

“数形结合”能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中我们要注意把握善于运用这种数学思想。

三、利用函数图像比较函数值的大小
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。

例7：试判断0.3 ，log 0.3，2 三个数的大小顺序。

分析：这三个数可以看成三个函数y =x ，y =log x，y =2 在x=0.3时所对应的函数值。

在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点p ，p ，p 的位置，从而可得出结论：2 ＞0.3 ＞log 0.3。

四、利用方程的几何意义转化“数形结合”
例8：如果实数x、y满足（x-2） +y =3，则的最大值为（）。

解：设点a（x，y）在圆(x-2) +y =3上，圆心为c(2，0)，半径等于。

如图，则是点a与原点连线的斜率。

当oa与⊙c相切，且切点a落在第一象限时，k 有最大值，即有最大值。

因为ca= ，oc=2，所以oa= =1，所以（） =tan∠aoc= 。

由此可知，“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯地从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻画问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，从而起到优化解题途径的目的。

“数形结合”是一个重要数学方法，是研究数学问题的一个基本方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用“数形结合”，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合。

深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。