多边形的内角和及角的计算(人教版)(含答案)
人教版八年级数学上册七年级第十一章第五讲：多边形的内角和(教师版)
多边形的内角和人教八上初中数学试卷11-8一、学习目标能记住多边形的内角和、外角和的概念；能通过不同方法推导多边形的内角和与外角和公式，进一步体会数学化归思想；能熟练运用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算．二、知识回顾1．三角形三个内角的和等于多少度？三角形三个内角的和等于180°2．n边形从一个顶点出发的对角线有n-3条，它们将n边形分成n-2 个三角形.3．你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？其他四边形的内角和是多少？360°．三、新知讲解1．多边形的内角和公式n边形的内角和等于(n-2)·180°．2．多边形的外角和任意多边形的外角和等于360°．四、典例探究2．多边形的外角和【例2】（2015•茂名模拟）若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12总结：正n边形的每个外角都相等，所以每个外角的度数等于360°/n．【例3】（2014•无锡模拟）如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．，9总结：根据题目蕴含的等量关系，利用内角和公式和外角和的不变性，列出方程即可求出边数．练3．（2015•广东模拟）一个n边形的每一个外角都是60°，则这个n边形的内角和是______．练4．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？A．540°B．360°C．300°D．240°5．（2014秋•赣州期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）A．15或17 B．16或15 C．15 D．16或15或17二、填空题6．（2015春•荆门月考）若四边形四个内角的比是3：3：5：7，则它的最大角是度．7．（2015春•东台市月考）一个n边形，除了一个内角外，其余（n﹣1）个内角和为2770°，则这个内角是度．8．（2014秋•新洲区期中）苏敏从A点出发，每走20米就向左转15°，按此规定，她要走米，才能回到原来位置A点处．9．（2014春•丹阳市校级期中）一个多边形的每个外角都等于36°，则它是边形，它的内角和是．三、解答题10．（2013秋•随州校级月考）如图所示，请你根据图中信息求出x的值．11．（2013秋•象山区校级期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和；（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？12．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？13．（2014秋•旬阳县期中）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．典例探究答案：【例1】（2015•惠山区一模）如果一个多边形的内角和等于1260°，那么这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10分析：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：根据题意，得（n﹣2）•180°=1260°，解得n=9，故选C．点评：本题考查了多边形的内角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．练1．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是．解析：设原来多边形的边数为n，那么边数增加1倍后，多边形的边数变为2n，内角和为（2n-2）·180°．根据多边形内角和定理，可列出关于边数n的方程，即（2n-2）·180°=2160°，解得n=7．所以原多边形的边数为7．练2．（2013春•邢台期末）已知：如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中∠AED的值．分析：先根据平行线的性质求得∠B的值，再根据多边形内角和定理即可求得∠AED的值．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B=180°﹣∠C=120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴在五边形ABCDE中，∠AED=540°﹣150°﹣120°﹣60°﹣160°=50°．点评：考查了平行线的性质，多边形内角和定理，注意对基础知识的熟练掌握及综合运用．【例2】（2015•茂名模拟）若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12分析：根据正多边形的每一个外角都相等，可知多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．解答：解：这个正多边形的边数为360°÷30°=12，故选D．点评：本题考查了多边形外角和，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．【例3】（2014•无锡模拟）如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9分析：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．解答：解：设多边形的边数为n，依题意，得（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，故选：C．点评：此题根据多边形的内角和计算公式，利用内外角和的关系列出关于边数的方程，使问题得解.．练3．（2015•广东模拟）一个n边形的每一个外角都是60°，则这个n边形的内角和是．分析：根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．解答：解：多边形的边数是：360÷60=6，则多边形的内角和是：（6﹣2）×180=720°．故答案为：720°．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．练4．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？分析：依题意，多边形的内角与外角和为2160°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．解答：解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°=2160°，n﹣2=10，n=12．故答案为：十二边形．点评：考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．课后小测答案：一、选择题1．（2015春•建湖县校级月考）一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是（）A．八边形B．十边形C．十二边形D．十四边形解：∵一个多边形的每个内角都是144°，∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）=36°，∴这个多边形的边数360°÷36°=10．故选B．2．（2015春•新沂市校级月考）下列各度数不是多边形的内角和的是（）A．1800°B．540°C．1700°D．10800°解：不是180的整数倍的选项只有C中的1700°．故选C．3．（2014•义乌市三模）正n边形的一个内角比一个外角大100°，则n为（）A．7 B．8 C．9 D．10解：设内角为x°，则外角为（x﹣100）°，根据题意得：x+x﹣100=180，解得：x=140，所以外角为40°，∴360°÷40°=9，故选C．4．（2014•将乐县质检）如图，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．540°B．360°C．300°D．240°解：由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°．故选：C．5．（2014秋•赣州期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）A．15或17 B．16或15 C．15 D．16或15或17解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得（n﹣2）•180°=2520°，解得：n=16，则多边形的边数是15，16，17．故选D．二、填空题6．（2015春•荆门月考）若四边形四个内角的比是3：3：5：7，则它的最大角是度．解：设四边形四个内角分别是3x，3x，5x，7x，则3x+3x+5x+7x=360，解得x=20°．则它的最大角是7×20=140°．7．（2015春•东台市月考）一个n边形，除了一个内角外，其余（n﹣1）个内角和为2770°，则这个内角是度．解：设这个内角度数为x，边数为n，则（n﹣2）×180°﹣x=2770°，180°•n=3130°+x，∵n为正整数，∴n=18．∴这个内角度数为180°×（18﹣2）﹣2770°=110°．故答案为110°．8．（2014秋•新洲区期中）苏敏从A点出发，每走20米就向左转15°，按此规定，她要走米，才能回到原来位置A点处．解：行走路线对应的多边形的边数是：=24，则经过的总路程是：24×20=480（米）．故答案是：480．9．（2014春•丹阳市校级期中）一个多边形的每个外角都等于36°，则它是边形，它的内角和是．解：（1）360°÷36°=10．（2）（10﹣2）•180°=1440°．故答案为：10，1440°．三、解答题10．（2013秋•随州校级月考）如图所示，请你根据图中信息求出x的值．解：由题意可得：90°+（2x+25）°+（3x﹣15）°+2x°+x°=（5﹣2）×180°，解得：x=55．——————————唐玲制作仅供学习交流——————————11．（2013秋•象山区校级期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和；（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？解：（1）∵每一个内角都等于150°，∴每一个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12；（2）内角和：12×150°=1800°；（3）从一个顶点出发可做对角线的条数：12﹣3=9，．12．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°=2160°，n﹣2=10，n=12．故答案为：十二边形．13．（2014秋•旬阳县期中）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．解：设新多边形是n边形，则180（n﹣2）=2520解得：n=16．则原多边形的边数是：16﹣1=15．答：原多边形的边数是15．唐玲。
八年级上册数学11.3.2多边形内角和
提示： 1.六边形的每一个外角和相邻的 内角有什么关系？ 2.六边形的6个外角加上与它们相 邻的内角，所得总和是多少？ 3.上述总和与六边形的内角和、 外角和有什么关系？
E 5
4
D3
F
C
6
2
A1 B
1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总 和是多少？ 每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以 六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6.
解：（1）四边形的内角和为360°，
则x°+x°+140°+90°=360°，解得x=65.
（2）四边形的内角和为360°，
则∠1+75°+120°+80°=360°，解得∠1=85°，
因为∠1+x°=180°，所以x=95.
例4 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？ 经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内 角和为360°.利用对角线将四边形分成三角形来求 解.
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形 ABCD的内角和.
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一 个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的 边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？ 解：设多加的这个内角度数为α，则(n－2)·180°＝ 1 380°－α.∵1 380°＝7×180°＋120°，多边形的 内角和应是180°的倍数，∴n＝9，α＝120°. 答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角 度数是120°.
人教版八年级数学上册精品教学课件 第十一章 三角形 多边形的内角和
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°， 用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，
可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内 角是多少度？他求的是几边形的内角和？
思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
人教版初中八年级上册数学《多边形及其内角和》同步练习含答案解析
《11.3 多边形及其内角和》一、选择题：1．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．不能作为正多边形的内角的度数的是（）A．120°B．（128）°C．144°D．145°3．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（）A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：44．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角 B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角 D．互补6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形7．若一个多边形共有十四条对角线，则它是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（）A．90° B．105°C．130°D．120°二、中考题与竞赛题9．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6三、填空题：10．多边形的内角中，最多有个直角．11．从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将这个多边形分成个三角形．12．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为．13．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9：2，则这个多边形的边数为．14．每一个内角都是144°的多边形有条边．四、基础训练：15．如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层（N=20）时，需要多少根火柴？16．一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．五、提高训练17．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．六、探索发现18．从n边形的一个顶点出发，最多可以引多少条对角线？请你总结一下n边形共有多少条对角线．《11.3 多边形及其内角和》参考答案与试题解析一、选择题：1．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴外角为钝角的个数最多为3个．故选D．【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．2．不能作为正多边形的内角的度数的是（）A．120°B．（128）°C．144°D．145°【考点】多边形内角与外角．【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整数即可得到D 选项正确．【解答】解：A、（n﹣2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；B、（n﹣2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B选项错误；C、（n﹣2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；D、（n﹣2）•180°=145°•n，解得n=，不为整数，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．3．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（）A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360°，且根据多边形的各内角都相等则各个外角一定也相等，根据选项中的比例关系求出外角的度数，根据多边形的外角和定理求出边数，如果是≥3的正整数即可．【解答】解：A、外角是：180×=60°，360÷60=6，故可能；B、外角是：180×=90°，360÷90=4，故可能；C、外角是：180×=度，360÷=7，故可能；D、外角是：180×=80°．360÷80=4.5，故不能构成．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解外角与内角的关系是解题的关键．4．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．【解答】解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有3个锐角．故选A．【点评】本题考查了多边形的内角问题．由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑．5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角 B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角 D．互补【考点】多边形内角与外角．【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．【解答】解：如图：∵四边形ABCD的内角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C=90°，∴∠B+∠D=180°．∴另一组对角一定互补．故选D．【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形【考点】多边形的对角线．【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得n﹣3=10，∴n=13．故这个多边形是13边形．故选：A．【点评】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．7．若一个多边形共有十四条对角线，则它是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【考点】多边形的对角线．【分析】根据多边形对角线公式，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得=14，解得n=7，故选：B．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记公式并灵活运用是解题关键．8．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（）A．90° B．105°C．130°D．120°【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】可设这是一个n边形，这个内角的度数为x度，利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°，根据多边形内角x的范围，列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值，从而求出多边形的内角和，减去其余的角即可解决问题．【解答】解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．因为（n﹣2）180°=2570°+x，所以x=（n﹣2）180°﹣2570°=180°n﹣2930°，∵0＜x＜180°，∴0＜180°n﹣2930°＜180°，解得：16.2＜n＜17.2，又n为正整数，∴n=17，所以多边形的内角和为（17﹣2）×180°=2700°，即这个内角的度数是2700°﹣2570°=130°．故本题选C．【点评】本题需利用多边形的内角和公式来解决问题．二、中考题与竞赛题9．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则1080°=（n﹣2）•180°，解得n=8．故选：B．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．三、填空题：10．多边形的内角中，最多有 4 个直角．【考点】多边形内角与外角．【分析】由多边形的外角和为360°可求得答案．【解答】解：当内角和90°时，它相邻的外角也为90°，∵任意多边形的外角和为360°，∴360°÷90°=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确任意多边形的外角和为360°是解题的关键．11．从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2 个三角形．【考点】多边形的对角线．【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形，故答案为：n﹣3，n﹣2．【点评】本题考查了多边形的对角线，由对角线的定义，可画出具体多边形对角线，得出n边形的对角线．12．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为9 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和定理，列出不等式即可求解．【解答】解：因为n边形的外角和是360度，每一个内角都大于135°即每个外角小于45度，就得到不等式：，解得n＞8．因而这个多边形的边数最少为9．【点评】本题已知一个不等关系就可以利用不等式来解决．13．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9：2，则这个多边形的边数为11 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．【解答】解：设多边形的一个内角为9x度，则一个外角为2x度，依题意得9x+2x=180°解得x=（）°360°÷[2×（）°]=11．答：这个多边形的边数为11．【点评】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的一个内角与外角互补、及外角和的特征．14．每一个内角都是144°的多边形有10 条边．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．【解答】解：解法一：设所求n边形边数为n，则144°n=（n﹣2）•180°，解得n=10；解法二：设所求n边形边数为n，∵n边形的每个内角都等于144°，∴n边形的每个外角都等于180°﹣144°=36°．又因为多边形的外角和为360°，即36°•n=360°，∴n=10．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．四、基础训练：15．如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层（N=20）时，需要多少根火柴？【考点】规律型：图形的变化类．【分析】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，按规律求解．【解答】解：n=1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3×1；n=2时，有5个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2）；n=3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；…；n=20时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+…+20）=630．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是弄清到底有几个小三角形．16．一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形外角和为360°及多边形的每一个外角都等于24°，求出多边形的边数即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形外角和为360°，可得出：24×n=360，解得：n=15．所以这个多边形的边数为15．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形外角和为360°．五、提高训练17．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．【考点】多边形内角与外角．【分析】设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度得到m：n=180（a ﹣2）：360，从而用m、n表示出a的值．【解答】解：设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，m：n=180（a﹣2）：360a=，因为m，n 是互质的正整数，a为整数，所以n=2，故答案为：，2．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．六、探索发现18．从n边形的一个顶点出发，最多可以引多少条对角线？请你总结一下n边形共有多少条对角线．【考点】多边形的对角线．【分析】从n边形的一个顶点出发，最多可以引n﹣3条对角线，然后即可计算出结果．【解答】解：过n边形的一个顶点可引出n﹣3条对角线；n边形共有条对角线．【点评】本题主要考查的是多边形的对角线，掌握多边形的对角线公式是解题的关键．作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
初中数学 7.3.2 多边形的内角和(含答案)
7．3．2 多边形的内角和课前感悟（课前自主预习，先试试你的身手）1．一个五边形的所有内角都相等，它的每个内角等于______°，每个外角等于______°．2．一个多边形每增加一条边，内角和增加______°，外角和______．3．如果一个多边形的每个外角是30°，那么这个多边形是_____边形，它的内角和等于______°．4．如果一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ． 八边形5．下面哪一个度数是某个多边形的内角和（ ）．A ．270°B ．630°C ．1920°D ．720°6．一个多边形的内角和是三角形外角和的3倍，则这个多边形为（ ）．A ．五边形B ．六边形C ．八边形D ．九边形举一反三（典型例题引路，探求规律方法技巧）【例1】 （2003盐城）一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的41，则这个多边形是（ ）．A ． 正十二边形B ． 正十边形C ．正八边形D ．正六边形分析 不知道多边形内角和的情况下要求多边形的边数，直接运用多边形内角和公式较困难．但这是一个正多边形，每个内角相等，每个外角也相等，可以求出外角的大小，再根据多边形外角和是360°求出多边形的边数．解 设这个n 边形外角为x °，有x ＋4x ＝180°，x ＝36，1036360==n ．选C ． 点评 多边形的外角和为360°，与边数无关．正多边形的每个外角相等，所以也可以根据外角的大小确定正多边形的边数．【例2】如果一个多边形的所有内角与某一个外角的和为1350°，则这个多边形的边数为 ，这个外角的度数为 ．分析 多边形的内角一定是180°的整数倍，又因为每一个外角都小于180°，1350°＝7×180°＋90°，90°必为多出的外角．解 设此多边形为n 边形，n －2＝7，n ＝9，所求外角为90°．点评 根据多边形的内角和公式：n 边形的内角和等于（n －2）·180°，多边形的内角和必定是180°的整数倍．当告诉我们添上一个角或少了一个角一个后多边形的内角和是多少度，我们就能根据这个规律确定出这个多出的角或者缺少的角的大小．潜能开发（当堂学习巩固，训练重点、难点、考点）7．四边形ABCD 中，（1）∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∠D ＝108°，则∠A ＝______．（2）∠A ＋∠C ＝160°，则∠B ＋∠D ＝________．8．四边形的四个内角之比是1：2：3：4，那么，这四个角分别是_________________．9．n 边形内角和与外角和之比是5：2，则n ＝ ．10．四边形的四个内角中，最多有____个锐角，在四边形的四个外角中，最多有_____个锐角．11．两个多边形的边数之比为1：2，内角和度数之比为1：3，这两个多边形分别是_____边形和_____边形．12．一个多边形的内角和是1260°，多边形的内角和的边数是（ ）．A ．9B ．8C ．7D ．613．一个多边形的内角和的度数是外角和的2倍，这个多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ．八边形14．（2004天津） 若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（ ）．A ．正方形B ． 正五边形C ． 正六边形D ．正八边形15．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．A ．20°B ．160°C ．200°D ．140°16．如图，四边形ABCD 中，∠A = 50︒，∠ABC = 105︒，∠BCD = 90︒，∠1、∠2、∠3、∠4中哪个角是四边形ABCD 的外角？求出它的度数．图7－6117．已知四边形的一个外角等于它不相邻的三个内角之和的41，求这个外角的大小．18．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形有ABCD 1234A B C DE F多少条边吗？19．一个多边形除一个内角外，其余各内角和是2500 ，这个多边形有多少条边？这个内角是多少度？探究创新（拓展视野，迁移发散，开发智力、潜力、能力）20．设凸（4n +2）边形A 1 A 2 A 3… A 4n+2（n 为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A 1＝∠A 2＝∠A 3＝90°，那么n ＝__________.21．阅读材料，再画图回答问题．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图7－62（1）给出了五边形的具体分割方法，分别将五边形分割成了3个、4个、5个三角形．请你按照上述方法将图7－62（2）中的六边形进行分割，并分别写出得到的三角形的个数．说出分割的三角形的个数与多边形的内角和有什么关系．图7－62（1） 图7－62（2）22.已知，如图7－63中，∠A ＝∠C ＝90°，对角线BE 、DF 分别平分∠ABC 和∠ADC ，BE 和DF 平行吗？说明你的理由．图7－63参考答案1.108°、72°2.180°、不变3.十二、18004.B5.D6.C7. 43°8. 36°、72°、108°、144°9. 7 10.3、3 11.四、八 12.C 13.C 14.C 15.B 16. 17. 60° 18. 11或12或13 19.16、20° 20. 1 21.4、5、6、从多边形一顶点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形一边上引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去1，再乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形内一点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去2，再乘以180°正好等于多边形的内角和 22.平行。
人教版 八年级数学 多边形及其内角和讲义 (含解析)
第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。
知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。
3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。
目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
专题11.3 多边形及其内角和(讲练)(解析版)(人教版)
专题11.3 多边形及其内角和典例体系一、知识点1、n 边形的内角和=()2180-⨯n； 2、n 边形的外角和=360。
3、一个n 边形的对角线有()23-n n 条，过n 边形一个顶点能作出()3-n 条对角线，把n 边形分成了()2-n 个三角形。
4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形，边数为n 的正多边形，也叫作正n 边形.5、多边形的镶嵌（密铺）问题.二、考点点拨与训练考点1：与多边形内角有关的计算典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形ABCDE 中，280A B E EDC BCD ︒∠+∠+∠=∠∠，、的平分线DP CP 、相交于P 点，则P ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【答案】C【解析】 ∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°，∴∠BCD+∠CDE=540°一280°=260°，∵∠BCD ，∠CDE 的平分线在五边形内相交于点O ，∴∠PDC+∠PCD=12(∠CDE+∠BCD)=130°， ∴∠P=180°-130°=50°，故选：C ．方法或规律点拨本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．巩固练习1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n －2）180°=720°．解得n=6.故选C.2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形【答案】B【解析】 根据多边形内角和定理，n 边形的内角和公式为()n 2180-︒，因此，由()n 2180540︒-=︒得n=5．故选B ． 3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设多边形原有边数为x ，则(2x−2)×180=2160，2x−2=12，解得x=7，故本题选C.4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】∵一个多边形的每个内角都等于135°，∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，∵多边形的外角和为360度，∴这个多边形的边数为：360÷45=8，故选D.5．（2020·北京初三二模）如图，四边形ABCD 中，过点A 的直线l 将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为α和β，则αβ+的度数是（ ）A ．360︒B ．540︒C ．720︒D ．900︒【答案】B【解析】 直线l 将四边形ABCD 分成两部分，左边为四边形，其内角和为α=360°，右边为三角形，其内角和为β=180°，因此360180540αβ︒︒︒+=+=故选：B ．6．（2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( )A ．580°B ．1240°C ．1080°D ．2010°【答案】C【解析】解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被180°整除．580÷180=3...40，1240÷180=6...160，1080÷180=6，2010÷180=11...30，只有1080°能被180°整除．故选：C ．7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是( ) A ．四边形B ．六边形C ．八边形D ．十边形 【答案】B【解析】解：外角是180°-120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．故选：B．8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．【答案】8【解析】设该正多边形的边数为n由题意得：(2)180?nn-⨯=135°解得：n=8故答案为8.考点2：与多边形外角有关的计算典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是13：2，求这个多边形的边数．【答案】15.【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：13(2)1803602n-︒=⨯︒，解得15n=，∴这个多边形的边数为15．方法或规律点拨考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．巩固练习1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是（）A．八B．九C．十D．十一【答案】B【解析】根据题意，得：（n-2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9，则这个多边形的边数是9．故选B．2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（）A．增加180°B．不变C．增加360°D．减少180°【答案】B【解析】根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360º，与边数多少无关，故选B.3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( )A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形【答案】A【解析】这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故选A．4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】B【解析】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°，解得：n=4．故选：B．5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【答案】B【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540° B．720° C．900° D．1080°【解析】∵正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8∴这个正多边形是正八边形∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°.故答案选：D.7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为____．【答案】5【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：（n−2）180°＝32×360°，解得：n＝5．故这个多边形的边数为5．故答案为：5．8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】A【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，考点3：正多边形的角度计算典例：（2019·吉林省第二实验学校初三二模）如图，以正六边形ABCEDF 的边AB 为直角边作等腰直角三角形ABG ，使点G 在其内部，且90BAG ∠=︒，连接FG ，则EFG 的大小是__________度．【答案】45【解析】解：在正六边形ABCDEF 中， ∵∠AFE=∠BAF=(62)180120,6-⨯︒=︒ ∵∠BAG=90°， ∴∠FAG=120°-90°=30°，又∵AF=AB=AG ，∴∠AFG=1803075,2︒-︒=︒ ∴∠EFG=∠AFE -∠AFG=120°-75°=45°，故答案为：45．方法或规律点拨本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨 巩固练习1．（2019·江苏省初一期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m 的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（ ）A ．π2mB ．2π2mC ．4π2mD ．n π2m【答案】B∵六边形的内角和为：62180720()-⨯︒=︒，∴六个阴影部分所对的圆心角的和为：720°，∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和，∴阴影部分的面积为：2π×12=2π（2m ）故选B ．2．（2018·内蒙古自治区初二期末）有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为（ ）A ．144°B ．84°C ．74°D ．54°【答案】B 【解析】正五边形的内角是∠ABC =()521805-⨯=108°，∵AB =BC ，∴∠CAB =36°，正六边形的内角是∠ABE =∠E =()621806-⨯=120°，∵∠ADE +∠E +∠ABE +∠CAB =360°，∴∠ADE =360°–120°–120°–36°=84°，故选B ． 3．（2020·广东省初三其他）如图，在正六边形ABCDEF 的外侧，作正方形EFGH ，则∠DFH 的度数为____．【答案】75°【解析】观察图形可知，△EFH 是等腰直角三角形，则∠EFH=45°，△DEF 是等腰三角形，∵∠DEF=120°， ∴∠EFD=（180°﹣120°）÷2=30°， ∴∠DFH=45°+30°=75°．4．（2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考）如果一个正多边形的内角和等于1440︒，那么这个正多边形的每一个外角的度数为______．【答案】36【解析】正多边形的内角和等于1440︒∴()21801440n-⨯=解得：10n=多边形的外角和为360，且正多边形的每一个外角均相等∴这个正多边形的每一个外角的度数为3601036÷=故答案是：365．（2020·上海初三二模）我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________【答案】8【解析】设正多边形的边数为n，∵内角和为(2)180n-⨯，外角和为360°，∴一个内角度数为(2)180nn-⨯，一个外角度数为360n，∴(2)180nn-⨯=3603n⨯，解得n=8，经检验n=8是方程的解且符合题意，故答案为：8.6．（2020·山东省初三一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．【答案】140°．【解析】解：该正九边形内角和()180921260=︒⨯-=︒， 则每个内角的度数12601409︒︒==． 故答案为：140°．7．（2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中）如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ，点F 在边AB 上，∠AFE ＝45°，则∠AEF 与∠AED 的度数的比值是_______．【答案】1:4【解析】解：设∠AEF=x ，∵∠AFE ＝45°，∴∠A=180°－∠AFE －∠AEF=135°－x∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D =135°－x∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠AED=180°×（5－2）=540°∴∠AED=540°－4（135°－x ）=4x∴∠AEF ：∠AED=1:4故答案为：1:4．8．（2020·常州市第二十四中学初一期中）一机器人以0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s ．【答案】160.【解析】解：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m ，则所用时间是：48÷0.3=160s．9．（2020·江西省石城二中初三其他）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______ 度．【答案】108【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108考点4：多边形对角线问题典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的14，求：（1）这个多边形的边数；（2）这个多边形共有多少条对角线．【答案】（1）边数为10；（2）35条【解析】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：180(n-2)×14=360，解得：n=10，答：这个多边形的边数为10；（2）10×(10-3)÷2=35（条）．方法或规律点拨本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．巩固练习1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】B【解析】n边形对角线条数为(3)2n n∴A. 四边形有2条对角线，故错误；B. 五边形有5条对角线，正确；C. 六边形有9条对角线，故错误；D. 七边形有14条对角线，故错误；故选B.2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】D【解析】如图，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为8.故选：D．3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是()A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D ．4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（ ）条A ．9条B ．10条C ．11条D ．12条【答案】A【解析】解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是()1239-=条．故选：A ．5．（2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有3条，则这个多边形的内角和为（ ） A ．360°B ．540°C ．720°D ．1080° 【答案】C【解析】从一个顶点出发的对角线共有3条 ∴这个多边形是一个六边形则这个多边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒故选：C ．6．（2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A ．6B ．5C ．8D ．7【答案】B【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．故选B ．7．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（ ）A．104条B．90条C．77条D．65条【答案】C【解析】解：22100180113÷=，则正多边形的边数是11+2+1=14．∴这个多边形的对角线共有()()314143==7722n n--条．故选：C．考点5：多边形的镶嵌问题典例：40．（2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：等腰三角形的内角和是180°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；四边形的内角和是360°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；正六边形的每个内角是120°，能被360°整除，能够用一种图形镶嵌整个平面；正五边形的每个内角是108°，不能被360°整除，放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面；圆不能够用一种图形镶嵌整个平面；综上所述，能够用一种图形镶嵌整个平面的有3个．故选：C．方法或规律点拨本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙．巩固练习1．（2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（）A．正八边形和正三角形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正六边形和正五边形【答案】C【解析】A、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，n=6-9m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；4B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；C、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；D、正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．故选C．2．（2019·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A.正三角形，其单个内角为60°，360°÷60°=6，A选项满足条件；B.正方形，其单个内角为90°，360°÷90°=4，B选项满足条件；C.正六边形，其单个内角为120°，360°÷120°=3，C选项满足条件；D.正八边形，其单个内角为135°，360°÷135° 2.7≈，D选项不满足条件．故选：D．3．（2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正六边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正方形和正八边形D．正三角形和正十边形【答案】C【解析】A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满；B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满；C 、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；D 、正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满．故选C ．4．（2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ）A ．正六角形B ．正五边形C ．正四边形D ．正三边形【答案】B【解析】解：A 、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B 、正五边形每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺；C 、正四边形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；D 、正三边形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选：B ．5．（2019·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为a 的正多边形中，能与边长为a 的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（ ）①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种 【答案】C【解析】解：正三角形的一个内角度数为180360360-÷=︒，①正方形的一个内角度数为180360490-÷=︒，360290360⨯+⨯=︒，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；②正五边形的一个内角度数为1803605108-÷=︒，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；③正六边形的一个内角度数为1803606120-÷=︒，2602120360⨯+⨯=︒或460120360⨯+=︒，可作平面镶嵌；④正八边形的一个内角度数为1803608135-÷=︒，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； 能镶嵌的只有2种正多边形．故选C ．考点6：多边形的去（多）角问题典例：（2019·江苏省初一期中）小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是_______．【答案】9【解析】设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n-2）•180°=1380°-α，∵1380°=7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，∴n-2=7，n=9；故答案为：9.方法或规律点拨本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．巩固练习1．（2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.2．（2019·云南省初三二模）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个多边形应该是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】B【解析】解：设多边形的边数是n．依题意有（n﹣2）•180°≥800°，解得：n≥649，则多边形的边数n＝7；故选：B．3．（2019·浙江省初二学业考试）一个四边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和是（）A．180°B．360°或540°C．540°D．180°或360°或540°【答案】D【解析】解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和可能是180°，或(4-2) ×180°=540°，或(5-2) ×180°=540°．故选：D．4．（2018·山西省初一期末）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为()A．90°B．105°C．130°D．120°【答案】C【解析】解：∵2570°÷180°=14…50°，又130°+50°=180°∴这个内角度数为130°故选C5．（2020·偃师市实验中学初一月考）多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，这个多边形的边数是_____【答案】5【解析】解：设边数为n，一个外角为α，则（n－2）×180°＋α＝600°，∴n＝600180α-︒︒＋2，∵0°＜α＜180°，n为正整数，∴当α＝60°时，600180α-︒︒为正整数，此时n＝5，内角和为（n－2）×180º＝540°．故多边形的边数为5．6．（2019·山西省初一月考）如图，有一张正方形桌面，它的4个内角的和为360°，现在锯掉它的一个角，残余桌面所有的内角的和是_____________【答案】540°【解析】解：由题意得，残余桌面为五边形，∴残余桌面所有的内角的和为（5-3）×180°=540°故答案为：540°．。
初中数学：多边形的内角和练习(含答案)
初中数学：多边形的内角和练习（含答案）一、选择题1、一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【解析】试题分析：设多边形的边数是x,根据多边形内角和公式列方程求解.解：设多边形的边数是x,根据题意可得：(x-2)×180°=1080°,解得：x=8,答：这个多边形的边数是8.故应选B.考点：多边形的内角和2、一个多边形的边数增加2条,则它的内角和增加( )A.180°B.90°C. 360°D.540°【答案】C【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式求解.解：当多边形的边数是x时,多边形的内角和是(x-2)×180°,当多边形的边数增加2时,多边形的内角和是(x+2-2)×180°,它的内角增加的度数是(x+2-2)×180°-(x-2)×180°=360°.故应选C.考点：多边形的内角和3、在四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为2∶3∶4∶3,则∠D的外角等于() （A）60°（B）75°（C）90°（D）120°【答案】C【解析】试题分析：首先根据四边形的内角和与∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比求出∠D的度数,再根据多边形的内角与外角的关系求解.解：因为多边形的内角和是360°,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为2∶3∶4∶3,所以∠D=360°×312=90°,所以∠D的外角是90°.故应先C.考点：多边形的内角和4、在各个内角都相等的多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,那么这个多边形的边数是( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】试题分析：根据多边形的一个内角是与它相邻的外角的补角求出这个多边形的外角度数,再根据多边形的外角和求出多边形的边数.解：因为多边形一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,所以多边形的每一个外角的度数是180°×14=45°,因为多边形的外角和是360°,所以多边形的边数是360°÷45°=8.故应选C.考点：多边形的内角和5、若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形【答案】D【解析】试题分析：根据多边形的内角度数求出多边形每个外角的度数,再根据多边形的外角和求出多边形的边数.解：因为多边形的每个内角是150°,所以多边形的每个外角是30°,因为多边形的外角和是360°,所以多边形的边数是360°÷30°=12,答：这个n边形是12.故应选D考点：多边形的内角和6、随着多边形的边数n的增加,它的外角和（）A．增加B．减小C．不变D．不定【答案】C【解析】试题分析：根据多边形的外角和解答.解：多边形的外角和是360°.故应选C考点：多边形的内角和7、一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是（）A．五边形B．八边形C．十边形D．十二边形【答案】D【解析】试题分析：设这个多边形的边数是x,根据多边形的内角和公式列方程求解.解：设这个多边形的边数是x,根据题意可得：(x-2)×180°=1800°,解得：x=12,答：这个多边形是十二边形.故应选D考点：多边形的内角和8、一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1080°【答案】B【解析】试题分析：根据多边形的外角和进行解答.解：多边形的外角和与多边形的边数无关,多边形的外角和是360°.故应选B.考点：多边形的内角和9、一个多边形中,除一个内角外,其余各内角和是1200°,则这个角的度数是（）Ａ.60°Ｂ.80°Ｃ.100°Ｄ.120°【答案】A【解析】试题分析：首先设这个多边形的边数是x,根据多边形的边数每增加1,多边形的内角和增加180°列不等式组求解.解：设这个多边形的边数是x,根据题意可得：()()2180120021801380 xx-⨯︒>︒⎧⎪⎨-⨯︒<︒⎪⎩解不等式组得：22 89 33x<<,所以多边形的边数是9,则多边形的内角和是(9-2) ×180°=1260°, 所以这个内角的度数是1260°-1200°=60°.考点：多边形的内角和二、填空题10、一个多边形的每一个外角都等于36°,那么这个多边形的内角和是°. 【答案】1440°.【解析】试题分析：根据多边形的外角和与每个外角的度数求出多边形的边数,再根据多边形的内角和公式求出结果.解：因为多边形的外角和是360°,所以多边形的边数是360°÷36°=10,所以多边形的内角和是(10-2) ×180°=1440°.故答案是1440°.考点：多边形的内角和11、六边形的内角和等于_______度．【答案】720°.【解析】试题分析：根据多边形的内角和求解.解：六边形的内角和是(6-2) ×180°=720°.故答案是720°.考点：多边形内角和12、一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为________边形．【答案】8【解析】试题分析：根据多边形的内角度数求出每个多边形的外角的度数,再根据多边形的外角和求出结果.解：多边形的每个内角是135°,所以多边形的每个外角是45°,因为多边形的外角和是360°,所以多边形的边数是360°÷45°=8.考点：多边形的内角和13、内角和等于外角和的多边形是_______边形．【答案】四【解析】试题分析：设这个多边形的边数是n,根据多边形的内角和等于外角和列方程求解. 解：设这个多边形的边数是n,根据题意可得：(n-2) ×180°=360°,解方程得：n=4,所以这个多边形是四边形.故答案是四考点：多边形的内角和三、解答题14、一个多边形的外角和是内角和的15,它是几边形？【答案】12边形【解析】试题分析：设多边形的边数是x,根据多边形的内角和与外角和的关系列方程求解. 解：设多边形的边数是x,根据题意可得：(n-2) ×180°=5×360°,解得：n=12,所以这个多边形是12边形.考点：多边形的内角和15、一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】15【解析】试题分析：根据多边形的外角和是360°和多边形每个外角的度数求解.解：因为多边形的外角和是360°和多边形每个外角是24°,所以多边形的边数是360°÷24°=15,答：这个多边形的边数是15.考点：多边形的内角和16、一个多边形出一个内角外,其余个内角的和为2030°,求这个多边形的边数.【答案】12【解析】试题分析：首先设这个多边形的边数是x,根据多边形的边数每增加1,多边形的内角和增加180°列不等式组求解.解：设这个多边形的边数是x,根据题意可得：()()2180203021802210 xx-⨯︒>︒⎧⎪⎨-⨯︒<︒⎪⎩解不等式组得：55 1112 1818x<<,所以多边形的边数是12. 故答案是12考点：多边形的内角和。
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多边形的内角和及角的计算（人教版）
一、单选题(共14道，每道7分)
1.如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是( )
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
答案：C
解题思路：
∵多边形的外角和都等于360°，
∴这个多边形的内角和为720°，
∴(n-2)×180°=720°，
∴n=6，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和
2.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ）
A.正六边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十二边形
答案：C
解题思路：
∵多边形的外角和都等于360°，正多边形的每个外角都相等，
∴n=10，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和
3.若一个n边形的每一个内角为135°，则边数n的值是( )
A.6
B.7
C.8
D.10
答案：C
解题思路：
多边形每个外角都相等，均为180°-135°=45°，
由多边形外角和为360°，知n=360°÷45°=8，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和
4.某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了( )米．
A.8
B.9
C.10
D.12
答案：A
解题思路：
每走1米，左转45°，则机器人走过的轨迹为边长为1的正多边形．题目所求的是正多边形的周长，故只需求边数n即可．
∵正多边形的每个外角都相等，
∴n=360°÷45°=8，
∴机器人共走了：8×1=8（米）．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：多边形的外角和定理
5.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数( )．
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
6.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=70°，则∠1+∠3=( )
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
7.如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B=78°，∠C=60°，则∠EDC的度数为( )
A.42°
B.60°
C.78°
D.80°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
8.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=50°，∠E=55°，则∠B的度数为( )
A.65°
B.60°
C.55°
D.50°
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理
9.已知：如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理
10.已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD，CE交于点O．若∠A=50°，∠ACB=60°，则∠1的度数为( )
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理
11.如图，点C在AB的延长线上，CE⊥AF于点E，交BF于点D．若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBC的度数为( )
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理
12.如图，在△ABC中，∠C=30°，∠E=45°．若AE∥BC，则∠AFD的度数是( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.80°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理
13.已知：如图，在△ABC中，∠EFB+∠ADC=180°，∠1=∠2．求证：AB∥DG．
证明：如图，
∵∠EFB+∠ADC=180°（已知）
∠ADB+∠ADC=180°（平角的定义）
∴∠EFB=∠ADB（____________________）
∴__________（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=______（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠BAD（等量代换）
∴__________（内错角相等，两直线平行）
①同角或等角的余角相等；②同角或等角的补角相等；③等量代换；④AB∥DG；
⑤EF∥AD；
⑥∠BAD；⑦∠2．
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.②⑤⑥④
B.①⑤⑦④
C.②④⑥⑤
D.③⑤⑦④
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质与判定
14.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE于点F，过B 作BD⊥BC于点B，交CF的延长线于点D．若∠EAC=25°，求∠D的度数．
解：如图，
∵CF⊥AE（已知）
∴∠EAC+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）
∵∠ACB=90°
即∠1+∠2=90°（已知）
___________________
∴∠1=25°（等量代换）
∵BD⊥BC（已知）
∴∠DBC=90°（垂直的性质）
∴∠D+∠1=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠D=90°-∠1
=90°-25°
=65°（等式性质）
横线处应填写的过程最恰当的是( )
A.∴∠1=∠EAC（同角或等角的补角相等）∵∠EAC=25°（已知）
B.∴∠1=∠EAC（等量代换）∵∠2=65°（已知）
C.∴∠1+∠EAC=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠EAC=25°（已知）
D.∴∠1=∠EAC（同角或等角的余角相等）∵∠EAC=25°（已知）
答案：D
解题思路：
本题主要利用直角三角形两锐角互余和同角或等角的余角相等进行角的计算．故选D．
试题难度：三颗星知识点：同角或等角的余角相等。