1直接积分法
直接概率积分法
直接概率积分法概率积分法是概率论中的一种重要方法，它是通过对概率密度函数进行积分来求解概率问题的方法。
在实际应用中，概率积分法有两种常见的形式：直接概率积分法和变量代换法。
本文将重点介绍直接概率积分法。
一、直接概率积分法的基本思想直接概率积分法是指直接对概率密度函数进行积分，从而求解概率问题的方法。
其基本思想是：对于一个随机变量X，其概率密度函数为f(x)，则X在区间[a,b]内取值的概率为：P(a≤X≤b)=∫ba f(x)dx其中，f(x)是X的概率密度函数，P(a≤X≤b)表示X在区间[a,b]内取值的概率。
二、直接概率积分法的应用直接概率积分法可以应用于各种概率问题的求解，下面将分别介绍其在离散型随机变量和连续型随机变量中的应用。
1. 离散型随机变量对于一个离散型随机变量X，其概率分布列为：X x1 x2 x3 ... xnP(X=xi) p1 p2 p3 ... pn则X在区间[a,b]内取值的概率为：P(a≤X≤b)=∑i=1n P(X=xi) (ai≤xi≤bi)其中，ai和bi分别表示区间[a,b]的左右端点。
2. 连续型随机变量对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，则X在区间[a,b]内取值的概率为：P(a≤X≤b)=∫ba f(x)dx其中，f(x)是X的概率密度函数，P(a≤X≤b)表示X在区间[a,b]内取值的概率。
三、直接概率积分法的注意事项在使用直接概率积分法求解概率问题时，需要注意以下几点：1. 概率密度函数必须满足非负性和归一性。
2. 区间的左右端点必须明确。
3. 积分区间必须是连续的。
4. 积分区间的长度不能为负数。
5. 积分区间的长度不能为无穷大。
四、直接概率积分法的优缺点直接概率积分法的优点是：简单易懂，适用范围广，可以应用于各种概率问题的求解。
其缺点是：对于复杂的概率密度函数，直接概率积分法可能会比较困难，需要使用变量代换法等其他方法来求解。
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法下面是一些常用的基本积分公式：1.常数函数的积分∫kdx = kx + C其中，k为常数，C为常数项。
2.幂函数的积分∫x^nd x = (1/(n+1))x^(n+1) + C,其中，n≠-1，C为常数项。
3.正弦函数的积分∫sinxdx = -cosx + C4.余弦函数的积分∫cosxdx = sinx + C5.指数函数的积分∫e^xdx = e^x + C6.对数函数的积分∫(1/x) dx = ln，x， + C7.倒数函数的积分∫1/(x^2)dx = -(1/x) + C8.基本三角函数的积分∫sec^2xdx = tanx + C以上仅列举了一些基本的积分公式，还有其他很多常用的积分公式可以参考。
当然，还有一些特殊的积分公式，如换元积分法、分部积分法等，可以通过特定的变化方式将复杂的函数转化为易于求解的形式，从而进行积分运算。
在进行直接积分求解时，一般的思路是先根据题目给出的函数，结合各种基本的积分公式进行变形，然后利用积分公式求解，并在最后加上常数项C。
具体步骤如下：1.根据题目给出的函数进行变形，利用一些简单的代数运算将其化简。
2.判断题目给出的函数是否符合基本积分公式中的其中一种形式，如果符合，则可以直接按照相应的基本公式进行求解。
3.如果不符合基本积分公式中的形式，则可以尝试利用一些变形技巧，如换元积分法、分部积分法等，将其转化为符合基本公式的形式。
对于复杂的函数，可能需要多次变形或使用多个变换方法。
4.求解出积分后，需要记得加上常数项C，这是因为积分运算的结果是一个函数的无穷个解，加上常数项C可以表示出所有的解。
需要注意的是，在进行积分运算时，要特别留意函数的定义域，避免出现不可积分的情况。
此外，不定积分求解通常存在多种解法，有时我们可以选择适用性较强的方法，以便更快地求得结果。
总结起来，基本积分公式是求解不定积分时的重要工具，通过利用这些公式，我们可以将一个函数进行积分从而得到其原函数。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法不定积分，也叫原函数或不定积分，是微积分中的一个重要概念。
不定积分是指求函数的原函数的过程，也就是求解导数的逆运算。
在实际应用中，不定积分常用于求解曲线下的面积、确定概率密度函数等问题。
本文将介绍不定积分的基本公式和直接积分法。
不定积分的基本定义是，对函数F(x)求导得到f(x)。
式子可以写作F'(x) = f(x)，其中F(x)称为f(x)的一个原函数。
不定积分的符号为∫f(x)dx，表示对函数f(x)求不定积分。
积分号∫放在被积函数前面，并将被积函数写在后面。
积分变量x在∫的上下限之间。
1.常函数的不定积分：∫c dx = cx + C，其中c和C是常数。
2.幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，并且C是常数。
3.正弦函数和余弦函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C4.指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C5.对数函数的不定积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0这些基本公式是不定积分中常用的，掌握了这些公式可以在求解不定积分的过程中提供一定的指导。
另外，不定积分还可以通过直接积分法来求解。
直接积分法也叫换元积分法，是不定积分的常用方法之一、直接积分法的基本思想是通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
常见的直接积分法有以下几种：1. 代入法：通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(2x + 3)^4 dx通过代入u = 2x + 3来化简。
2. 分部积分法：对一个积分式或一个积产品做分部积分，将其转化为不定积分的和或差的形式。
公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 三角代换法：通过适当的三角代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(x^2 - 1)^(3/2) dx通过代换x = cosθ来化简。
求不定积分的基本方法
说明: 此技巧适用于形为 acoxsbsin xdx的积分. ccoxsdsin x
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例 解1：2因. 求 为I1aco sx isx b n sixn dIx2 及 aco cx sox bssixndx. a acco oxxss b bssiin n xxdx b acco oxxss a bssiin n xxdx
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3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) v 易求出
由 2) uvvdx;比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三”
的顺序, 排前者取为 u ,排后者取为 v .
计算格式: 列表计 算
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多次分部积分的 规 律
senc2x
(n 2 )se n 3 x c se xtc axn senc2xtaxn ( n 2 )sn e 2 x c (s 2 x e 1 )d x c
sen c2xtaxn(n2)In(n2)In2
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例8. 求
解:
设
x1, F(x)x1
x1
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时u(,n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx
基本积分公式
tan x cot x C
微积分 五②
12/12
3 2 )dx . 例7 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 1 1 解 ( )dx 3 dx 2 dx 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
dx x x C
C ( x ) x x .
微积分 五②
Back
微减同一个代数式，然后分项
x dx 例3. 求 1 x2 1 x2 1 1 解：原积分= dx dx dx 2 2 1 x 1 x x arctan x C dx 例4. 求 2 2
2
x (1 x ) 2 2 1 x x 1 dx dx 2 dx 解：原积分= 2 2 2 x (1 x ) x 1 x 1 arctan x C x
dx x 3 x 3 dx d ( )
(4) a x dx a x / ln a C
2 x dx x 2 dx e 2 x dx
dx 2 x du u 2 dx 2 x
微积分 五②
7/12
2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
2/12
一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
微积分 五②
3/12
1.1、积分法
x x 1
1
x 1 x dx C . ( 1) 1
高等数学分部积分法
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
不定积分的计算(1)
cos x ∫ x dx
= 2 ∫ cos x d x = 2 sin x + c
例10
∫
x 1− 2x
2
dx
1 1 解 原式 = − ∫ d (1 − 2 x 2 ) 4 1− 2x2 1 1 2 2 = − ⋅ 2 1 − 2x + c = − 1 − 2x + c 4 2
例11
sin 3xdx ∫
cos 3 xdx ∫
1 1 解 ∫ cos 3xdx = ∫ cos 3 xd (3 x) = sin 3x + c 3 3
● 凑微分法主要用于：
1、 当被积函数是一个复合函数时； 2、 当被积函数是两个函数相乘（其中有一个 往往是复合函数）时。
注意： 凑后要调整 ！！！
例3
cos(1 − 2 x)dx ∫
练习：求不定积分
解
∫x
2
x + 1dx
∫x
x + 1dx
x +1 = t x = t −1
4
∫ (t
2
2
− 1) ⋅ t ⋅ 2tdt
= ∫ (2t − 2t )dt
2 5 2 3 = t − t +c 5 3 2 = ( x + 1) x + 1(3 x − 2) + c 15
(t − 1) + 1 1 = 3∫ dt = 3∫ (t − 1 + )dt 1+ t 1+ t 1 2 = 3( t − t + ln | 1 + t |) + c 2 33 2 = x − 33 x + 3 ln | 1 + 3 x | + c 2
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
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1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2 1 x2
A 2
B A
0 1
A B
1 2
1 2
例 20 设
求
． f sin 2
解 由于 f sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x ，
所以
f x 1 x ,故知 f (x) 是1 x 的原函数 ，
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctgx
1 1 x2
,
1 1 x2
dx
arctgx
C
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
质不
定 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
积
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
分
的 (2) kf ( x)dx k f ( x)dx. （k 是常数，k 0)
x2)
(1 x2) x2 x2 (1 x2 )
1 x2
1
1 x
2
(2)
sin 2
1 x cos2
x
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
sec2 x csc2 x
例18.
sin 2
1
dx
xcos2 x
sin 2 x cos2 x dx sin 2 x cos2 x
与
性
质
不定积分的运算?
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定 积
定
积 原函数存
分 的
在定理
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函数.
分概
的 概 念
念
不定积分 的定义
函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数
1
1 x2
dx
arctgx C;
1
1 x
2
dx
arcctgx
C;
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1); 1
(4)
1
1 x
2dx
arctgx C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
1 sin2
dx x
csc2
xdx
ctgx
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式
(2)
xdx
x 1 C
1
( 1);
5 1
x2 C 5 1
2
7
x2
C.
7
2
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函数.
概
念
不定积分 的定义
函数 f ( x)的带有任意常数项的原函数
称为 f ( x)在区间I 内的 F( x) f ( x)
不定积分，记为 f ( x)dx F( x) C
与
性
质
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
cos xdx sin x C;
(cos x) sin x
sin xdx cos x C;
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
1
cos2
dx x
sec2
xdx
tgx C;
1 sin2
dx x
csc2
xdx
ctgx
C;
基本初等函数或常数的导数
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctgx)
1
1 x2
(arcctgx)
1
1 x
2
基本积分表
1 dx arcsin x C;
1 x2
1
dx arccos x C;
1 x2
性
质
例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
1
2
x2
)dx
3
1
1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
(4)
1
1 x
2
dx
arctgx C;
第四章 不定积分
不定积分的概念
主
要
直接积分法
内
不定积分计算
换元积分法
容
方法及类型
分部积分法
特殊类型积分法
基本要求：正确进行不定积分的计算
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
主要内容：不定积分的定义
不定积分的性质 基本积分公式 直接积分法
不 原函数 定
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
x)
1 x lna
( x ) x 1
a xdx a x C; ln a
e xdx e x C;
1 x
dx
ln
x
C;
1 x
dx
ln a loga
x
C;
xdx x1 C ( 1);
1
(sin x) cos x
解 dy sec2 x sin x, dx
y sec2 x sin xdx
tan x cos x C, y(0) 5, C 6, 所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
17. 求下列积分:
(留给读者)
提示:
(1)
1 x2 (1
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定
积 分 的
积概
在区间 I 内原函数.
分念
的
概
念 与
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数.
性 质
ln x 1 ( x 0)
x
ln x是1 在区间(0,) 内的原函数. x
不 原函数 定
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定 积
积
在区间 I 内原函数.
分 的 概
原函数存 在定理
连续函数一定有原函数.
分念
的
概
念
问题：(1) 原函数是否唯一？
与 性
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定
定 积 分
原函数存 在定理
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函
积 分 的
的 概 不定积分 念 的定义
数.
函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数
称为 f ( x)在区间I 内的
概 念 与 性
基本)
1 dx arcsin x C; 1 x2
解
1 x x2 x(1 x2 )
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
(3)
dx x
ln
x
C;
1
1 x
2
1 x
dx
1 1 x2 dx
1
(4)
1
1 x
2
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定 积
定
积 原函数存
分 的
在定理
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函数.
分概
的 概 念
念
不定积分 的定义
函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数
(3)
1 x
dx
ln
x
C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a xdx
ax ln a
C;
(6) cos xdx sin x C;