两个平面平行的判定和性质课件

与两平行线间的 距离定义相类似
两个平行平面间距离实质 上也是点到面或两点间的 距离。
〖演练反馈〗
(1)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置 关系是( D ) (A)都平行 (B) 都相交 (C)在这两个平面内 (D) 至少与其中一个平面平行 (2) a α,b β且α∥β，则直线a、b的关系为( (A)a∥b (B)a与b异面 (C) a与b平行或异面 (D) a与b相交
C′ A′ A D B F B′ C E
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？
α
a b
β
（１）
（２）
如果一个平面与两个平行平面相交，会有 什么结果出现？
三、两个平面平行的性质
（1）一个结论
根据两个平面平行及直线和平面平行的定义， 容易得出下面的结论：
// , a a //
性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等。 性质：经过平面外一点只有一个平面和已知 平面平行。
例3：求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线 段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 求证：AB=DC D A 证明： AB // DC ∴AB,DC确定平面AC 又因为AD,BC分别是平面AC B 与平面 、 的交线. ∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行．
M
a ,b , a b M // a // , b //
已知：在平面 内有两条直线 平面 平行． // 求证： 证明：(用反证法)
注：由符号语言知：判定两个平面平行时需五个 条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。
由定理可知：今后在证明两个平面平行时一般可将面面 平行的问题转化为线面平行。思路是在其中一个平面内 找出两条相交直线分别与另一个平面平行.
推论:如果一个平面内有两条相交 直线分别平行与另一个平面内的两条直
线，那么这两个平面平行。
∴ AB=DC.
C
例4：平面α//β，AC 、 BD是夹在α 、 β内的异 面直线，M、N分别是AB、CD的中点， 求证：MN// β 证明： 连接AD，取AD中点G A C α 在ΔABD中， MG//DB
∵ MG ，BD ∴MG//β 同理GN// α,因α//β ∴GN//β ∴平面MNG//β ∴MN//β β B
B
A M
N
D G
C
练习：
2、棱长为a的正方体中，E、F、G分别为中点.
求证：平面EFG//平面A1BD. D1 A1
F G
B1
C1
E
D A
C B
练习：
3、已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、 C’分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心。 求证：平面A’B’C’∥平面ABC.
P
思考：能否求出 △ A’B’C’与△ ABC 的面积之比？
b 相交且和 a、
c 假设 ．
a // , a
a // c
同理
b // c
这与题设a 和 b 是相交直线矛盾．
//
判定定理：如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行． a ,b , a b M // a // , b // 简称：线面平行，则面面平行.
AB AG AG DE , . BC GH GH EF AB DE . BC EF
G
H
l
m
转 化
Ｌ
公垂线
和两个平面同时垂直的直线
Ｏ


公垂线段
Ｏ/
公垂线夹在两个平行平面 之间的部分
公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．
两个平行平面的公垂线 段都相等，公垂线段的 长度具有唯一性．
M G N E P
D
练习: 已知三个平行平面 , , 与两条直线 l, m
分别相并于点A, B, C和点D, E, F.
AB DE 求证 : . BC EF 证明: 过A作直线AH//DF, G , H . 连结AD,GE,HF(如图).
// // ,
BG // CH , AD // GE // HF.


)C
(3)如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两 个平面( D ) (A) 平行 (B) 相交 (C) 重合 (D) 平行或相交
(4)已知平面α与β不重合，则α∥β的一个充分条件 是( D ) (A) m , n 且m∥n (B) m , n 且m∥β ，n∥α (C) m∥β ，n∥α且m∥n (D) m⊥β ，n⊥α且m∥n (5)下列命题： ①垂直于同一条直线的两个平面平行； ②平行于同一个平面的两个平面平行； ③平行于同一条直线的两个平面平行； ④与一直线成等角的两个平面平行. 其中正确的命题有( B ) (A)一个 (B) 二个 (C) 三个 (D) 四个
1）平行于同一条直线的两个平面平行 (×) 2）与同一条直线所成角相等的两个平面平行 (×) 3）垂直于同一条直线的两个平面平行 (√) 4）平行于同一个平面的两个平面平行 (√)
例１:如图已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1
求证:平面B1 AD1 // 平面BC1 D
D1 C1 B1
A1
小结：
1 两个平面的位置关系：相交
平行（及定义）
2 . 两个平面平行的定义，判定定理及推论--------作用为证明
平面平行
线面或线线平行----面面平行（转化思想） 3. 两平面平行判定的四种方法： a) 使用“两个平面互相平行”的定义 b) 两平面平行的判定定理及推论——两条相交直线都平 行于另一个平面 c) 垂直于同一条直线的两个平面平行 d) 平行于同一个平面的两个平面平行
（4）两个平面平行的画法 画两个互相平行的平面时，要注意使表 示平面的 两个平 行四边 形的对 应边平行 ， 如图1，而不应画成图2那样．
图1
图2
思考题： 1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面 平行，能否说明平面与平面平行？ 2、要求一个平面内的多少条直线与另一个平 面平行才可判定两个平面平行呢？ 通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行 转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一 个平面内的直线之间具备某种关系。
即：如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的直线平行于另一个平面．
（2）两个平面平行的性质定理 性质定理：如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
两个平面平行的其它性质：
性质：如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的所有直线一定都和另一个平面平行。
D
C
A
B
例2:已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD 和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角 线AE，BD的中点. D C 求证：PQ∥平面BCE。 Q A R P B
F
E
练习：
1、已知：PA⊥正方形ABCห้องสมุดไป่ตู้所在的平面，M、N 分别是AB，PC的中点. 求证：MN//面PAD.
P H
思路：在平面PAD内 找MN平行线。
a ,b , a b A
A
a // n, b // m, n , m .
//
m n
练习1：下列命题正确的是（ D ） 1.如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平 面平行 2.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平 面平行 3.如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个 平面平行 4.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行 练习2：有如下四个命题，判断正误
平面与平面平行的 判定与性质
一、两个平面的位置关系
第一、二层的底面α和β 无论怎样延伸都没有公共 点； 前、后两面房顶γ和δ 则有一条交线AB．
二层楼房示意图
（1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两 个平面互相平行．
（2）两个平面相交 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条 过该公共点的直线，我们说这个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种: ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．