两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
124两平面平行的判定及性质
124两平面平行的判定及性质【课时目标】1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．符号表示为：________________a∥b．3．面面平行的其他性质：α∥β(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即aα________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a、b的位置关系是__________．2．下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．235．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝3d，则直线a与α所成的角等于________．6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．a∥ca∥γa∥b；②a∥b；①b∥cb∥γ③⑤α∥cβ∥cα∥ca∥cα∥β；④α∥a;⑥α∥γβ∥γα∥β；α∥γa∥γa∥α．8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．答案知识梳理1．两条相交直线aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥βα∥βα∥β2．那么所得的两条交线平行β∩γ＝bα∩γ＝a3．(1)另一个平面a∥β(2)相等(3)平行作业设计1．平行或异面2．23．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．4．④5．60°6．4∶25解析面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，A′B′2PA′24S△A′B′C′∶S△ABC＝()＝()＝．ABPA257．②③⑤⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a可以在α内．248．24或5解析当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面24β在点P同侧时可求得BD＝．59．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连结SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M 为平行四边形，11∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，22∴N为AC的中点．12．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，BEBGCFBG∴1＝1，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴1＝1，B1AB1BC1BB1B∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．13．(1)证明(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF平面ABC．BC平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β________．(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，aα，bβ，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，nα，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中结论正确的是________(填序号)．6．ππ如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、46B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2cm、3cm、6cm，则点P到O的距离为________cm．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．知识梳理1．垂直交线a⊥β2．(1)第一个平面内aα(2)a∥α作业设计1．a⊥β2．②④3．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．4．③5．①②③6．2∶1第3课时两平面垂直的性质答案解析如图：由已知得A A′⊥面β，π∠ABA′＝，6πBB′⊥面α，∠BAB′＝，432设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，221AB2在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝．2A′B′17．①③④解析由性质定理知②错误．8．7解析P到O的距离恰好为以2cm,3cm,6cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，。
两个平面平行的判定和性质(一)
两个平面平行的判定和性质（一）●教学目标(一)教学知识点1．两个平面的位置关系．2．两个平面平行的判定方法．(二)能力训练要求1．等价转化思想在解决问题中的运用．2．通过问题解决提高空间想象能力．(三)德育渗透目标1．渗透问题相对论观点．2．通过问题的证明寻求事物的统一性．●教学重点两个平面的位置关系；两个平面平行的判定．●教学难点判定定理、例题的证明．●教学方法启发式在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程．平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题．●教具准备投影片两张第一张：(记作§9．5．1 A)第二张：(记作§9．5．1 B)●教学过程Ⅰ．复习回顾师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理．性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题．立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会．下面继续研究面面位置关系．Ⅱ．讲授新课1．两个平面的位置关系除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系．［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义．定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线．两个平面的位置关系只有两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β．下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？［生］图(1)较直观，图(2)不直观．［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？［生］画两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，图(2)不直观的理由是表示平面的平行四边形对应边不平行，其画法不恰当．［师］现在给出两个相交平面的画法(师生互动)：(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边．(2)再画出表示两个平面相交的线段．(3)过线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中线段．(4)画出表示两个平行平面的平行四边形的第四边．(被遮住部分的线，可以用虚线，也可以不画．)2．两个平面平行的判定判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何．［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了．另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？下面我们共同学习定理．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β ，b∥β ，则α∥β．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：①有两条直线平行于另一个平面；②这两条直线必须相交．定理的证明§9．5．1 A已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．求证：α∥β．［师］从平行平面的定义可知，要证α∥β，需证α、β无公共点，而要证明两面无公共点，这是困难的事．由此启发我们去寻求另外途径．联想面面位置关系，利用反证法，经学生思考试着完成证明过程，证明过程实质上就是设法否定两面相交的过程．［生］假设两面相交，设法推出矛盾，注意等价转化思想渗透．证明过程如下：证明：假设α∩β＝c，∵a∥α，a⊂β，∴a∥c(线面平行⇒线线平行)．同理b∥c．∴a∥b．这与题设a、b是相交直线相矛盾．∴α∥β．［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行⇒面面平行．［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理．(例题解析)［例1］求证：垂直于同一直线的两个平面平行．已知：α⊥AA′，β⊥AA′，求证：α∥β．(§9．5．1 B)分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键．如果这样的线能找到问题也就解决啦．诱导学生思考怎样找线．［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题，证明如下：证明：设经过AA′的两个平面r、δ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′．∵AA′⊥α，AA′⊥β．∴AA′⊥a，AA′⊥a′．又a⊂γ，a′⊂γ，∴a∥a′，于是a′∥α同理可证b′∥α又a′∩b′＝A′∴α∥β．［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有这两个平面平行．用符号语言就可以表示为：l⊥α，l⊥β⇒α∥β．此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义；2°判定定理；3°例1结论．Ⅲ．课堂练习(一)课本P32练习1．(1)、(4)．1．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例．(1)m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；(4)α内的任一直线都平行于β⇒α∥β．解：(1)这是一个假命题．如黑板的上、下两边平行于地面，但黑板所在平面与地面是相交的位置关系．(4)这是一个真命题．在平面α内任取两相交直线a、b．则由题a∥β，b∥β，那么α∥β．［前一个题是解决立体几何问题常用做法，判断一个命题为假，则需举一个反例说明即可．而判断一个命题为真，则要有理有据地证明．］(二)课本P32习题1，2．1．在立体图ABC-A′B′C′中，如果在平面AB′内∠1＋∠2＝180°，在平面BC′内∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC和A′B′C′有什么关系？为什么？［此题应实现两个转化：一是角的关系转化成线的平行；二是线的平行转化成面的平行．］解：平面ABC∥平面A′B′C′．证明如下：因在平面ABB′A′内∠1＋∠2＝180°，则有A′B′∥AB，A′B′∥面ABC．又在平面BCC′B′内，∠3＋∠4＝180°，则有B′C′∥BC，B′C′∥面ABC．又A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂面A′B′C′，B′C′⊂面A′B′C′，那么面A′B′C′∥面ABC．2．在立体图ABC-A′B′C′中，如果∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°，那么平面ABC与面A′B′C′有什么关系？为什么？［此题解决方法同上，利用等价转化解决问题．一是将角的关系转化为线线垂直，二是将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直转化为面面平行．］解：面ABC∥面A′B′C′，证明如下：因∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°则AB⊥BB′，BC⊥BB′，A′B′⊥BB′，B′C′⊥BB′那么有面ABC⊥BB′，面A′B′C′⊥BB′故面ABC∥面A′B′C′．Ⅳ．课时小结本节课主要研究如何证明两个平面平行．其途径可以选择从公共点的角度考虑．但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”、“平行”要求．例1也可作为结论直接运用．Ⅴ．课后作业(一)课本P33习题3、4、5．3．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例(画出草图)．(1)平行于同一直线的两平面平行；(2)平行于同一平面的两平面平行．解：(1)是假命题．平行于同一直线a的两面α、β可以相交．(2)是真命题．证：作l⊥α则由题l⊥β，l⊥γ，故α∥γ．4．(1)如图，A、B、C为不在同一直线上的三点，AA′BB′CC′．求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：因AA′BB′，所以有ABB′A′是平行四边形．那么A′B′∥AB．同理A′C′∥AC，又AB∩AC＝A，A′B′∩A′C′＝A′，故面ABC∥面A′B′C′．［该问题所给图实质上就是三棱柱，上、下两底面平行．］(2)如图，直线AA′、BB′、CC′交于点O，AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：因AA′与CC′相交于O，∴∠AOC＝∠A′OC′．又AO＝A′O，CO＝C′O，故△OAC≌△OA′C′．则∠C′AO＝∠CAO，即AC∥A′C′．那么AC∥面A′B′C′．同理AB∥面A′B′C′．故平面ABC∥平面A′B′C′．［此题的图形是两个棱锥拼成的，注意其结构，证明中主要渗透等价转化思想．］5．求证：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．证明：经过平面外一点P作l⊥α，经过点P作平面β，使l⊥β，则α∥β．因经点P且与α平行的平面必与α的垂线l也垂直．而过点P与l垂直的平面是唯一的，所以过点P且与α平行的平面只有一个．［这是一个唯一性命题的证明，注意证明过程每步依据．］(二)1．预习内容课本P313．两个平面平行的性质．2．预习提纲(1)两个平面平行后具有什么性质？(2)试利用转化的思想归纳小结．●板书设计●备课资料一、空间的两个平面位置关系［例1］已知平面α平行平面β，若两条直线m、n分别在平面α、β内，则m、n关系不可能是() A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：从公共点的角度分析可知，m、n所在平面平行，则两面无公共点，那么两线也应无公共点，故该两线平行或异面．答案：B［注意题中是“不可能”］［例2］平面α 内两线a、b都平行于β ，则α 与β 的关系()A．平行B．相交C．重合D．不确定解析：当两线相交时，α∥β，当两线平行时α∥β 或α 与β 相交．答案：D［例3］平面M∥平面N的充分条件是()A．直线a⊂M，且a∥NB．直线a⊂M，b⊂M，a∥N，b∥NC．平面M内有无数条直线平行于ND．平面M内任何一条都平行于N解析：两个平面平行，一个平面内要有两条相交线与另一平面平行，而满足条件的只有D．答案：D其他的可举反例一一排除．二、判定两面平行判定两个平面是否平行，可从以下角度思考．(1)面面平行定义．两个平面没有公共点．(2)面面平行的判定定理．如果一个平面内有两条相交线都平行于另一平面，那么这两个平面平行．(线面平行⇒面面平行)(3)垂直于同一直线的两面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个面平行．［(5)一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行．(线线平行⇒面面平行)］［例4］如图，在空间六边形(六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1．证明平面A1BC1∥平面ACD1．分析：空间四边形问题的解决是将其转化为一三棱锥问题而解决的，那么空间六边形可转化哪种几何体，这是解决该问题的关键所在，通过两条边边长均等于a，两线成角为90°，两个平行及垂直关系解决问题．解决问题的主要思想就是等价转化，将问题转化为一个正方体中两面平行，这就容易多了．证明：在面ABC内分别经A、C作AB及BC的平行线相交于D，在面A1D1C1内作D1C1及D1A1的平行线相交于B1，顺次相连BB1、DD1．那么由相邻两边垂直及边长均为a可知构造几何体为正方体．因AC∥A1C1，BC1∥AD1，∴面A1BC1∥面ACD1．。
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质新课讲解：1、直线与平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行⇒线面平行（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行⇒线线平行2、平面与平面平行的判定及其性质（两条相交直线即可代表一个平面）（1）两个平面平行的判定定理①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
线面平行→面面平行②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
线线平行→面面平行③垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
面面平行→线面平行②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
面面平行→线线平行题型一：直线与平面平行的判定要点：利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
例1.(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点。
求证：PB ∥平面ACM 。
变式练习1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点。
求证：BD 1∥平面AEC 。
变式练习2：如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE 。
A B CD A 1B 1C 1D 1E例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.变式练习1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.题型二：平面与平面平行的判定例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B。
直线、平面平行的判定和性质
∴PM∥BE，∴APEP＝MAMB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，
∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥α 或 b⊂α， 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案 ④
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
又 PM∥AB∥QN，∴PAMB ＝PAEE＝QBDB，QDNC＝BBQD，
∴PAMB ＝QDNC， ∴PM // QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形， ∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
直线、平面平行的判定及性质
2012·考纲
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.
课本导读
1．直线和平面平行的判定： (1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； (2)判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
（2）根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
两平面平行的判定与性质
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
； / 钢塑土工格栅
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烟筒不停地冒着青白色的烟，在微风吹拂下、袅袅地飘向远处。刘丽娟凭直觉那肯定是啤酒厂锅炉房的大烟筒，再远点几排白 色的、圆柱形的巨型大罐无疑是发酵大罐，而紧邻的一座建筑，屋顶上像沸腾的蒸笼一样不断冒着热腾腾的热气肯定是糖化间， 还有两颗又高又大的树直穿云霄，树梢仿佛可以触到天空。上学时专业老师曾说过，如果你找不到啤酒厂时，从外围看到三个 标志性的建筑物：锅炉房的大烟囱、糖化上热气腾腾的烟筒和高高矗立的发酵大罐，那八九不离十就是啤酒厂了。得到马启明 肯定的答复后，他们立即沿着马路朝大烟筒方向走去，感觉就好像找到了组织一样心里踏实多了。一路上看见一辆辆满载着空 瓶的汽车停在路边，一直排到啤酒厂门口，粗略数数竟有十几辆。此时正好是上下班的时候，一群群职工有说有笑地进进出出， 门口悬挂着厂牌：江苏花开啤酒厂。走进厂门仍旧是排得紧紧的、等待拉啤酒的汽车。马启明忍不住叫出声：“这么多的车子 在等着拉啤酒呀！”望着这么多进进出出的车辆马启明竟一时想不起上次是怎么走的了，一路问着找到厂长办公室。一进门马 明启就看到上次接待他的蒋明辉，像见到了亲人一样，立即兴奋地喊道：“蒋主任，您好！”蒋明辉一看惊喜地叫道：“唉吆 外！这不是马启明吗！”马上站起来把手伸过来，跟马启明热烈地握手，笑着说道：“欢迎！欢迎！”马启明觉得笑是两人间 最短的距离。蒋明辉是厂办公室主任，三十来岁，个子不高，约1.70，肌肉男，短短的板寸头，身体结实，眼睛里透着南方人 的精明劲儿，脸上永远挂着标志性的笑容。马启明上一次来花开啤酒厂就受到他热情的接待，是马启明在花开啤酒厂第二个认 识的人，虽然第二次相见，但是感到非常亲切。马启明一看蒋明辉也这么热情，赶紧拉着妻子高兴地说：“蒋主任，这是我爱 人刘丽娟，我们这次来是正式向您报到的。”说着从口袋中掏出海涛州人事局的介绍信。蒋明辉给马启明、刘丽娟倒了杯水， 然后接过马启明的介绍信说道：“别着急，先坐下休息休息，喝口茶。我出去看一下他们在不在？”说完脸上挂着标志性的笑 容就出去了。不一会儿，蒋明辉进来说道：“谷厂长他们马上要开会，要不然你们先到厂招待所休息一下？等会议结束后我再 叫你们。”“好好好！那就麻烦您了！”马启明急忙答道。到吃中午饭时，蒋明辉把马启明和刘丽娟带到厂内招待所食堂，等 了一会儿，看见几个人朝饭厅走来。马启明一眼就认出来人保科的张之文科长，刚想站起来准备和他打招呼，蒋明辉却急忙拉 起马启明，恭恭敬敬地指着一位白白胖胖的中年人向马启明介绍道:“马启明，这位是谷厂长。”马启明上次来就了解到厂长 叫谷仕昊，同时兼党委书记，属于党政一把抓。可惜当时谷厂长到局里开会，无
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两个平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共21题，题分合计105分)1.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是A.两条线段同时与平面垂直B.两条线段互相平行C.两条线段相交D.两条线段与平面所成的角相等2.平面α与平面β平行,它们之间的距离为d (d >0),直线a 在平面α内,则在平面β内与直线a 相距2d 的直线有A.一条B.二条C.无数条D.一条也没有3.以下四个命题:①P A ､PB 是平面α的两条相等的斜线段,则它们在平面α内的射影必相等;②平面α内的两条直线l 1､l 2,若l 1､l 2均与平面β平行,则α//β;③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α//β;④α､β为两相交平面,且α不垂直于β,α内有一定直线a ,则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知直线l ⊥平面α,直线m平面β,有下列四个命题:(1) α∥β⇒l ⊥m ;(2) α⊥β⇒l ∥m ;(3)l ∥m ⇒α⊥β;(4)l ⊥m ⇒α∥β,其中正确的两个命题是:A.(1)与(2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4)5.两个平面平行的条件是A.一个平面内一条直线平行于另一个平面B.一个平面内两条直线平行于另一个平面C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任一条直线平行于另一个平面6.两平面α与β平行,α⊂a,下列四个命题中①α与β内的所有直线平行②α与β内的无数条直线平行③α与β内的任何一条直线都不垂直④α与β无公共点其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.47.给出下列命题:①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.38.在下列条件中,可判断平面α与β平行的是A.α､β都垂直于平面r.B.α内存在不共线的三点到β的距离相等.C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β.D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.9.给出下列命题:①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.310.给出以下命题:(1)平面α∩平面β=直线l,点P∈α,点P∈β,则P∈l(2)过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个(3)如果直线a∥直线b,且a∥平面α,那么b∥平面α(4)若直线n⊂平面α,直线m⊂平面α,且n∥平面β,m∥平面β,则α∥β其中正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个11.α､β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是A.α､β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l､m是α内的直线且l∥β,m∥βD.l､m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β12.下列四个命题中,假命题是A.如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行,则α∥βB.平行于同一平面的两个平面平行C.如果平面α内有无数条直线都与平面β平行,则α∥βD.如果平面α内任意一条直线都与平面β平行,则α∥β13.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,a∥b,点P∈α,则下列命题中真命题是A.α､β间的距离等于a与β的距离也等于P到β的距离B.P到b的距离等于a､b间的距离C.a､b间的距离等于a与β间的距离D.a､b间的距离等于α､β间的距离14.下列命题中,不正确的是A.两条平行直线与同一平面所成的角相等B.一条直线与两个平行平面所成的角相等C.一条直线平行于两个平行平面中的一个平面,它也平行于另一个平面D.如果两条直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行15.命题中其中假命题的个数为①与三角形两边平行的平面平行于这三角形的第三边②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边③与三角形三顶点等距离的平面平行于这三角形所在平面A.0B.1C.2D.316.下列判断中正确的是A.平面α内有两条直线都和平面β平行则α∥βB.一条直线l与平面α和β所成的角相等,则α∥βC.直线l∥平面β,直线m⊂β,则l∥mD.平面α∥平面β,直线l⊂α,则l∥β17.不都在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交,每个平面内以交点为顶点的两个三角形是A.相似三角形B.全等三角形C.面积相等的三角形D.以上结论都不对18.在下列命题中,假命题是A.若平面α内的一条直线l垂直于平面β内的任一直线,则α⊥β;B.若平面α内的任一直线平行于平面β,则α∥β;C.若平面α⊥平面β,任取直线l∩α,则必有l⊥β;D.若平面α∥平面β,任取直线l∩α,则必有l∥β19.下列四个命题中,假命题是A.如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行,则α∥βB.平行于同一平面的两个平面平行C.如果平面α内有无数条直线都与平面β平行,则α∥βD.如果平面α内任意一条直线都与平面β平行,则α∥β20.两个平面平行的非必要条件是A.两个平面没有公共点B.一个平面内的直线平行于另一个平面C.这两个平面同时与第三个平面相交的交线平行D.一个平面平行于另一个平面的平行直线21.满足下面哪一个条件时,可以判定两个不重合的平面α与β平行A.α内有无数个点到平面β的距离相等B.α内的△ABC与β内的△A1B1C1全等,且AA1∥BB1∥CC1C.α､β都与异面直线a､b平行D.直线l分别与α､β斜交且所成的角相等二、填空题(共4题，题分合计16分)1.若命题"如果平面α内有3点到平面β的距离相等，那么α∥β为真命题，则此3点必须满足.2.已知平面α∥β，过α内两点A、B分别向β引斜线AC、BD，使AC=37,BD=125，若AC在β的射影长是12，则BD在β内的射影长为___________.3.一条直线与两个平行平面成30°角，且被两平面截得的线段长为4,那么这两个平面的距离是___________.4.平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，如果AB＋CD＝28 cm，AB、CD在β内的射影的长分别为5 cm及9 cm，则α、β间的距离是___________.三、解答题(共11题，题分合计114分)1.如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.(已知:α∥β, l∩α=A,求证: l与β必相交)2.已知a和b是异面直线,a⊥b,a⊥α,b α,求证:b∥α.3.线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、G两点，若P A=9，AB=12，BQ=12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面CB1D1;(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离.5.已知:平面α∥平面β,线段AB分别交α､β于点M､N;线段AD分别交α､β于点C､D;线段BF分别交α､β于点F､E,且AM=m,BN=n,MN=p,△FMC面积=(m+p)(n+p).求:△END的面积.6.ABCD是平行四边形，四个顶点在平面α的同一侧，四个顶点在α内的射影分别为A′、B′、C′、D′，它们不共线.求证：A′B′C′D′是平行四边形.7.a､b是两条异面直线.求证:(1)过a和b分别存在平面α和β,使α∥β;(2)a,b间的距离等于平行平面α与β间的距离8.AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥α(或MN∥β)5,且它们在β内的射影之差为2,求α和β之间的9.如图已知平面α∥平面β,线段AB､CD夹在α､β之间,AB=13,CD=5距离.10.已知平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β求证：α∥a.11.已知a和b是异面直线，且a⊥b,a⊥平面α,b 平面α，求证：b∥α两个平面平行的判定和性质答案一、选择题(共21题，合计105分)1.5372答案：D2.5375答案：B3.5386答案：B4.5445答案：B5.5447答案：D6.5454答案：B7.5546答案：A8.5562答案：D9.5797答案：A10.5802答案：B11.6068答案：D12.6127答案：C13.6128答案：A14.6129答案：C15.6130答案：B16.6131答案：D17.6144答案：B18.6406答案：C19.6452答案：C20.6464答案：D21.6132答案：C二、填空题(共4题，合计16分)1.5699答案：这3点在平面β的同侧，且这三点不共线2.6135答案：1203.6147答案：24.6134答案：12cm三、解答题(共11题，合计114分)1.5446答案：见注释2.6075答案：见注释3.6124答案：△BDE的面积为84平方单位4.6125答案：a 3 35.6137答案：△END的面积为2)(pmmn平方单位6.6138答案：见注释7.6140答案：见注释8.6142答案：见注释9.6143答案：平面α、β间的距离为510.6313答案：见注释11.6141答案：见注释。