17.方案设计专题

本期由于题目均比较长，由于篇幅限制，就不再编写错解例析了。

华师大版2011~ 2012学年度下学期初中九年级数学方案设计专题17期一点就通例1．认真观察4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征；（2）请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．分析：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积．（2）满足条件的图形有很多，这里画三个，三个都具有上述特征．点评：本题属于几何图案设计。

做轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．例2.我们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等．请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4），你能行吗？方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等．方案（2）：方案（3）：方案（4）：分析：在三角形全等的判定条件中，涉及两边一角的判定方法只有一种：SAS，而SSA之所以不正确，是因为存在锐角、钝角三角形两种情况，因此可从此方面入手进行解答．解：（答案不唯一） 方案（2）：若已知的等角是直角，则这两个三角形全等； 方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形全等； 方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形全等．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用能力，对知识的综合、灵活运用是正确解题的前提．指点迷津 方程不等式中的方案设计（2011•昭通）某校初三（5）班同学利用课余时间回收钦料瓶，用卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共共钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表：根据上述相关数据，请你设计一种节约资金的购买方案，并说明节约资金的理由． 分析：设购买大笔记本为x 本，则购买小笔记本为（5-x ）本．不等关系：①5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元；②购买的笔记本的总页数不低于340页．解答：解：设购买大笔记本为x 本，则购买小笔记本为（5-x ）本．依题意得： 6x+5(5-x)≤28100x+60(5-x)≥340解得：1≤x ≤3， 又x 为整数，∴x 的取值为1，2，3当x=1时，购买笔记本的总金额为6×1+5×4=26（元）； 当x=2时，购买笔记本的总金额为6×2+5×3=27（元）； 当x=3时，购买笔记本的总金额为6×3+5×2=28（元）． ∴应购买大笔记本l 本，小笔记本4本，花钱最少．点评：本题考查一元一次不等式的应用，注意仔细审题，正确找到题目中的不等关系是解决此题的关键，另外在得出x 的范围后，要注意讨论．典例剖析 例1：（解直角三角形中的方案设计）某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图1，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度 是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1 1.73 1.41）分析:此题将对三角函数的考查通过大量文字叙述融入到具体的求助情境中，对同学们的阅读能力提出了更高的要求.阅读后需要学生将它转变为几何问题，然后求解. 解:（1）设CD 为x 千米， 由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45° ∴AD=CD=x在Rt △BCD 中，tan30°=xBD∴AD+DB=AB=40∴ 40x = 解得 x ≈14.7∴ 牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ，在Rt △ADC 中，∠CAD=45°，∴方案I 用的时间134333AD CD AD CD CDt v v v v +=+==方案II 用的时间2ACt v==∴ 2143CD t t v -=-∵ 4＞0 ∴ 21t t -＞0∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理.点评:本题是解直角三角形方案设计问题，和实际生活联系密切.解题时要把求牧民区到公路的最短距离问题抽象成数学问题,建立解直角三角形的数学模型.本题难度适中,其题型也是每年的必考题型,应加强这方面的训练. 例2：（方程、函数中的方案设计）（ 2011重庆江津） 在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图１所示)，其中四边形ABCD 是矩形，分别以AB 、BC 、CD 、DA 边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，高矩形的边长AB=y 米，BC=x 米.(注:取π=3.14) (1)试用含x 的代数式表示；(2)现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W 元，求W 关于x 的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能还完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．分析：解答时，要正确理解周长的意义，才能给出正确的表示；其次，就是将问题转化成不等式模型，一元二次方程的模型这是解题的一个核心环节．体现了数学中的不等式的思想，方程的思想和配方的思想．解：（1） 由题意得 πy+πx=6·28∵π=3.14 ∴3.14y+3.14x=628. ∴x+y=200.则 y=200-x; (2) ①w=428xy+400π(2y )2+400π(2x )2=428x(200-x)+400×3.14×4)200(2x -+400×3.14×42x=200x 2-40000x+12560000;②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务，其理由如下： 由①知 w=200(x-100)2+1.056×107＞107, 所以不能； ③由题意得 x ≤32y, 即x ≤32(200-x) 解之得 x ≤80 ∴0≤x ≤80.又根据题意得 w=200(x-100)2+1.056×107=107+6.482×105整理得 (x-100)2=441 解之得 x 1=79, x 2=121 （不合题意舍去） ∴只能取 x=79， 则y=200-79=121所以设计的方案是： AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆·华师大版 2011~ 2012学年度下学期初中九年级数学 17期方案设计专题复习测试 （字数有点多，可自行去一题或少留点写题位置） 1.某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元．若2元的奖品购买a 件． （1）用含a 的代数式表示另外两种奖品的件数； （2）请你设计购买方案，并说明理由．2. A B C ，，三个粮仓的位置如图2所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26 ，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A B ，两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的35支援C 粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的25支援C 粮仓，这时A B ，两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44= ，cos 260.90= ，tan 260.49= ）（1）A B ，两处粮仓原有存粮各多少吨？（2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？ （3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶3小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．3．据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证。

如图（1），射线OA 、射线OB 分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y （元）与每户每月的用水量x （立方米）之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如图（2）表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1︰1.5︰2（精确到0.01元后）． （1） 写出现行的用水价是每立方米多少元？（2） 求图（1）中m 的值和射线OB 所对应的函数解析式，并写出定义域； （3） 若小明家某月的用水量是a 立方米，请分别写出三种情况下（现行的、方案一和方案二）该月的水费b （用a 的代数式表示）；（4） 小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图（3）所示，估计小明会赞同采用哪个方案？请说明理由。

4．某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500图（1）图（2） 级数 水量基数 （立方米） 调整后价格 （元/立方米）第一级0~15（含15） 2.61 第二15~25（含（注：每小组含最小值不含最大值）小明家每月用水量频数分布直方图图（3）图2北南西 东C B A 26个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个； 方案二：售价不变，但发资料做广告。

已知这种商品每月的广告费用m(千元)与销售量倍数p 关系为p = m m 24.02+- ；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！5.某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T 恤或一本影集作为纪念品．已知每件T 恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T 恤和5本影集．⑴求每件T 恤和每本影集的价格分别为多少元？ ⑵有几种购买T 恤和影集的方案？6.某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示)； （2）若(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,则A 型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示),恰好用了10万元人民币,其中甲品牌电脑为A 型号电脑,求购买的A 型号电脑有几台．7. (2011重庆綦江)为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工第6题图程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费） 方案设计专题复习测试答案2. 解:（1）设A B ，两处粮仓原有存粮x y ，吨.根据题意得：450321155x y x y+=⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得：270180x y =⎧⎨=⎩答：A B ，两处粮仓原有存粮分别是270，180吨．（2）A 粮仓支援C 粮仓的粮食是32701625⨯=（吨）B 粮仓支援C 粮仓的粮食是2180725⨯=（吨）A B ，两粮仓合计共支援C 粮仓粮食为16272234+=吨 234200>∴此次调拨能满足C 粮仓需求． （3）根据题意知：26A ∠= ，180AB =千米，90ACB ∠=在Rt ABC △中，sin BCBAC AB∠=，sin 1800.4479.2BC AB BAC ∴=∠=⨯=此车最多可行驶435140⨯=（千米）279.2<⨯ ∴小王途中须加油才能安全回到B 地． 3. 解：（1）现行的用水价为1.84元/立方米（2）因为方案一的用水价=1.84+0.96=2.8元/立方米，所以m=2.8×50=140设OB 的解析式为y=kx （x ≥0），则140=50k ，所以k=2.8所以y =2.8x （x ≥0） （3）现行的情况下：b=1.84a 方案一的情况下：b=2.8 a因为第一、二、三级的用水价格比为1︰1.5︰2， 所以n=5.22元/立方米方案二的情况下：①当0≤a ≤15时，b=2.61a②当15＜a ≤25时，b=3.92a ③当x ＞25时，b=5.22a（4）估计小明赞同方案一因为小明家的平均月用水量超过了15立方米，此时方案一的水价2.8元＜方案二的水价3.92元，所以，他可能会赞同方案一4. 解：设涨价x 元，利润为y 元，则 方案一：9000)20(10500040010)10500)(4050(22+--=++-=--+=x x x x x y ∴方案一的最大利润为9000元； 方案一：10125)25.2(2000900020001000500)4050(22+--=+-=-⨯-=x m m m p y ∴方案二的最大利润为10125元； ∴选择方案二能获得更大的利润。