专题五 方案设计问题汇总

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解决与方程和不等式有关的方案设计的题目，通常利
用方程或不等式求出符合题意的方案；而与函数有关的方 案设计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施 中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值 的问题，通常用函数的性质进行分析；与几何图形有关的
方案设计，一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种
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【解析】设购买大笔记本为x本，则购买小笔记本为(5-x)
பைடு நூலகம்
6x 5 5 x 28 本，依题意，得 , 100x 60 5 x 340 解得1≤x≤3.
∵x为整数,∴x的取值为1，2，3. 当x =1时，购买笔记本的总金额为6×1+5×4=26(元)； 当x =2时，购买笔记本的总金额为6×2+5×3=27(元)； 当x =3时，购买笔记本的总金额为6×3+5×2=28(元).
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(1)设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函
数关系式.
(2)如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方 案？并写出每种方案.
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【解析】(1)方法一：
根据题意得4x+6y+7(21-x-y)=120
化简得：y=-3x+27.
方法二：根据题意得2x+4y+2x+(21-x-y)+2y+6(21-xy)=120 化简得：y=-3x+27.
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(2)设购买x株甲种树苗，(300-x)株乙种树苗时,该小区的
空气净化指数之和不低于90.依题意,得
0.2x+0.6(300-x)≥90, 0.2x+180-0.6x≥90,-0.4x≥-90,x≤225, 此时费用y=60x+90(300-x),y=-30x+27 000. ∵y是x的一次函数，且y随x的增大而减小, ∴当x=225时，y最小=-30×225+27 000=20 250(元), 即当购买225株甲种树苗，75株乙种树苗时,该小区的空气
(2)现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共50个，将这批稻
谷和棉花运往外地.已知稻谷35 t和棉花15 t可装满一个甲 型集装箱；稻谷25 t和棉花35 t可装满一个乙型集装箱.按 此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？
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【思路点拨】
【自主解答】(1)设稻谷为x t，棉花为y t.根据题意，得
虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销
售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多 少？
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【解析】(１)设甲、乙两种商品的进货单价分别为x元和y 元，依据题意得：
x y 5 x 2 , 解得 . y 3 3 x 1 2 2y 1 19 所以甲、乙两种商品的进货单价分别为2元和3元.
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当m 0.55时，w 最大 1 705 元 ,
所以当m为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品 获取的利润最大，每天的最大利润为1 705元.
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6.(2010·凉山中考)下表是西昌市到攀枝花市两条线路的 有关数据.
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(1)若小车在高速路上行驶的平均速度为90 km/h,在108国 道上行驶的平均速度为50 km/h,则小车走高速公路比走108 国道节省多少时间? (2)若小车每千米的油耗量为x L,汽油价格为7.00元/L.问x 为何值时,走哪条线路的总费用较少?(总费用=过路费+油耗
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x 4 x 4 (2)由 y 4 , 得 3x 27 4 , 21 x y 4 21 x 3x 27 4 2 解得5 x 7 . 3 ∵x为正整数，∴x=5,6,7
故车辆安排有三种方案， 即：方案一：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆.
15a 35 160 a 4 300 意，得 , 20 15 a 45 35 160 a 1 260
解不等式组，得65＜a＜68.
∵a为非负整数，∴a取66，67. ∴160-a相应取94，93. 所以有两种购货方案.方案一：甲种商品购进66件，乙种商 品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进
要求和特点的图案.
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方程、不等式方案设计
方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相
关知识，建立相应的数学模型，利用列方程(组)和不等式 (组)，通过有关的计算，找到方程(组)的解和不等式(组) 的解集，再结合题目要求，确定未知数的具体数值.未知数 有几个值，即有几种方案.
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【例1】(2010·岳阳中考)某货运码头，有稻谷和棉花共 2 680 t，其中稻谷比棉花多380 t. (1)求稻谷和棉花各是多少？
费)
(3)公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不 同油耗的小车进行统计,得到平均每小时通过的车辆数的频 数分布直方图如图所示.请估算10 h内这五类小车走高速公 路比走108国道节省了多少升汽油.(以上结果均保留两位有
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【解析】(1) 250 185 2.9 h . 50 90 即小车走高速公路比走108国道节省约2.9 h. (2)设小车走高速公路的总费用为y1元,走108国道的总费用 为y2元,则y1=7×185·x+120,即y1=1 295x+120,y2=7×250·x,即y2=1 750x. 当y1=y2时,即1 295x+120=1 750x,解得x≈0.26;
又因为x为整数,∴x＝28、29、30, ∴共有三种方案: 方案一：安排甲型集装箱28个，乙型集装箱22个； 方案二：安排甲型集装箱29个，乙型集装箱21个；
方案三：安排甲型集装箱30个，乙型集装箱20个.
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1.(2010·宜宾中考)小明利用课余时间回收废品，将卖得 的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过 28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本 的价格和页数如下表.为了节约资金，小明应选择哪一种购 买方案?请说明理由.
方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆.
方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆.
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函数方案设计
函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，确
定函数关系式.利用函数图象的性质获得解决问题的具体方
法.解决此类问题的难点主要是正确确定函数关系式，关键
还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的 取值范围.
区的空气净化指数之和不低于90而且费用最低？
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【思路点拨】
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【自主解答】(1)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗 (300-x)株.依题意,得 60x+90(300-x)=21 000, 解得x=200,∴300-x=300-200=100(株), 答：购买甲种树苗200株，乙种树苗100株.
93件.其中获利最大的是方案一.
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3.(2011·凉山中考)我州苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为 了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆
汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.
现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车 可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息， 解答问题.
B
e
s
t
W i
s
h
F
o
r
Y o
u
信心源自于努力
1
2
3
方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，
题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图
形的设计等.方案设计题型是通过设置一个实际问题情景， 给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过 的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有 时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它 包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案 设计和与几何图形有关的方案设计.
∴应购买大笔记本1本，小笔记本4本，花钱最少.
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2.(2010·德化中考)某商店需要购进甲、乙两种商品共160 件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价) (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1 100元，问甲、
乙两种商品应分别购进多少件?
(2)若商店计划投入资金少于4 300元，且销售完这批商品 后获利多于1 260元，请问有哪几种购货方案? 并直接写出 其中获利最大的购货方案.
当y1>y2时,即1 295x+120>1 750x,解得x<0.26;
当y1<y2时,即1 295x+120<1 750x,解得x>0.26.
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∴当x≈0.26 L/km时,小车走两条路的总费用相等; 当x<0.26 L/km时,小车走108国道的总费用较少; 当x>0.26 L/km时,小车走高速公路的总费用较少. (3)10×(250-185)×(100×0.26+200×0.28+500×0.30+ 500×0.32+100×0.34)=276 900≈2.8×105(L). 即10 h内这五类小车走高速公路比走108国道大约节省了
净化指数之和不低于90，且费用最低为20 250元.
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4.(2010·泰安中考)某电视机厂要印制产品宣传材料，甲
印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1 000元制版费；
乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费. (1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数 关系式； (2)电视机厂拟拿出3 000元用于印制宣传材料，找哪家印
刷厂印制的宣传材料能多一些？
(3)印刷数量在什么范围时，在甲厂印制合算？