LES,DNS,RANS三种模拟模型计算量比较及其原因
LES,DNS,RANS三种模拟模型计算量比较及其原因
LES,DNS,RANS模型计算量比较摘要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟（Direct Numerical Simulation: DNS ），Reynolds 平均方法（Reynolds Average Navier-Stokes: RANS ）和大涡模拟（Large Eddy Simulation: LES）。
直接数值模拟目前只限于较小Re 数的湍流，其结果可以用来探索湍流的一些基本物理机理。
RANS方程通过对Navier-Stokes 方程进行系综平均得到描述湍流平均量的方程；LES 方法通过对Navier-Stokes 方程进行低通滤波得到描述湍流大尺度运动的方程，RANS和LES方法的计算量远小于DNS，目前的计算能力均可实现。
关键词：湍流；直接数值模拟；大涡模拟；雷诺平均模型1 引言湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名的难题，其复杂性主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计性1。
传统计算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes （N-S）方程，根据N-S 方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为三种：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。
雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场紊动的细节信息。
大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到较雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用2 直接数值模拟 (DNS)湍流直接数值模拟 (DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整 的三维非定常的 N - S 方程组, 计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运 动量在三维流场中的时间演变。
湍流模型
湍流模型目前处理湍流数值计算问题有三种方法：直接数值模拟(DNS)方法，大涡模拟(LES)方法和雷诺平均N-S 方程(RANS)方法。
其中RANS 方法是目前唯一能够用于工程计算的方法。
()()()DNS LES DES N S RANS ⎧⎪⎫⎨⎪⎬⎪-⎪⎭⎩直接数值模拟方法湍流模拟大涡模拟方法脱落涡模型()雷诺平均方程方法 雷诺平均N-S 方程方法的思路是，首先将满足动力学方程的湍流瞬时运动分解为平均运动和脉动运动两部分，然后把脉动运动部分对平均运动的贡献通过雷诺应力项来模化，也就是通过湍流模型来封闭雷诺平均N-S 方程使之可以求解。
所谓湍流模型理论，就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对雷诺应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均雷诺方程封闭。
从对模型处理的出发点不同，可以将湍流模型理论分成两大类：一类成为雷诺应力模型，一类称为涡粘性封闭模型。
受计算条件的约束，雷诺应力模型由于计算量很大，使其应用范围受到限制，因此，在工程湍流问题中得到广泛应用的模型是涡粘性模型。
()()()()()()()max CS Cebeci Smith BL Baldwin Lo JK Johnson King N S RANS BB Baldwin Barth SA Spalart Allmaras k k εω⎧⎪⎧⎪-⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎪⎩⎪⎪→-⎪⎪-⎨⎪-⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪-⎪⎪⎩⎪⎪⎪-⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩⎩⎩雷诺应力模型二阶矩封闭模型模型零方程模型模型半方程模型模型雷诺平均方程方法涡粘性模型模型一方程模型模型模型两方程模型模型S-A 模型是从经验和量纲分析出发，先针对简单流动然后再逐渐补充发展成适用于带有层流流动的固壁湍流流动的一方程模型，模型中选用的应变量是与涡粘性t υ相关的量υ，除在粘性次层外，t υ与υ是相等的。
一方程模型和两方程模型都可以写为如下的一般形式()()j P D jX u X S S D t x ∂∂+=++∂∂ 式中，P S 是“产生”源项；D S 是“破坏”源项；D 表示扩散项，其形式为()jj X x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦。
航空流体力学中的数值模拟方法综述
航空流体力学中的数值模拟方法综述航空工业的发展与进步离不开对空气动力学的深入研究和理解。
而数值模拟方法在航空流体力学中发挥着重要的作用，能够帮助工程师和研究人员更好地了解和预测飞行器的气动性能。
本文将对航空流体力学中常用的数值模拟方法进行综述，包括了雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）、大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）等方法。
首先，雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）是航空流体力学中最常用的数值模拟方法之一。
RANS是基于雷诺应力的平均值的方程组，通过将时间平均和空间平均结合，消除了湍流运动的瞬态性，将湍流问题简化为求解定常的雷诺平均流动。
RANS的优点在于计算量相对较小，适用于许多实际工程问题，并且已经广泛应用于飞机气动性能的研究和设计中。
然而，RANS方法也存在一些局限性，例如对一些湍流问题的模拟能力有限，无法捕捉湍流中的尺度嵌套现象。
其次，大涡模拟（LES）是一种在航空流体力学中较新的数值模拟方法。
与RANS相比，LES能够更好地捕捉湍流中的尺度嵌套现象，通过将流场分解为大尺度和小尺度来提高模拟的准确性。
大尺度由LES方法直接求解，而小尺度则通过模型来估计。
由于LES方法对湍流的精细模拟能力和计算量较大，因此在实际工程应用中还相对较少。
但随着计算机性能和算法的改进，LES方法在航空流体力学领域的应用也在逐渐增多。
最后，直接数值模拟（DNS）是一种基于Navier-Stokes方程的数值模拟方法，与RANS和LES方法相比，DNS方法在航空流体力学中应用较少。
DNS方法通过直接求解Navier-Stokes方程来模拟粘性流体，能够精确地揭示流体中的各种物理现象和细节，但计算量极大，通常只适用于简单的流动情况，如理想化的湍流或湍强迫。
综上所述，航空流体力学中的数值模拟方法主要包括雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）、大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）等方法。
四种湍流模型介绍
四种湍流模型介绍湍流是一种自然界中的非常普遍的现象，它的产生非常复杂且难以完全理解。
然而，对于一些科学领域来说，湍流是非常重要的，比如气象学、海洋学、工程学等。
湍流的模拟对于这些领域中的许多问题都是至关重要的。
本文将介绍四种湍流模型的基本概念及其应用。
1. DNS（直接数值模拟）DNS模型是把流体问题看做一组微分方程的解，对流体流动的每个细节都进行了计算。
这种模型的重要性在于它能够提供非常详细的流场信息，而且可以完全地描述流体力学问题，因此它也被称为“参考模型”。
然而，DNS模型也有一些局限性。
由于湍流的分子尺度是非常小的，因此在模型计算时需要高分辨率的计算网格，这使得计算时间和存储空间要求非常高。
此外，由于瞬时的湍流性质非常不稳定，因此DNS模型的计算过程也非常复杂。
因此，在实际应用中，DNS模型的应用受到了很大的限制。
2. LES（大涡模拟）LES模型是将湍流分解成大尺度的大涡和小尺度的小涡，并通过计算大涡的运动来获得流场的信息。
相比于DNS模型，LES模型计算的时间和存储空间要求比较低。
但是，这种模型仍然需要计算小涡的贡献，因此计算时仍然需要很高的分辨率。
在工程学中，这种模型常用于模拟湍流流动问题，比如气动噪声、汽车的气动流动、空气污染等问题，因为模型能够更好地反映流场的基本特性，提供比较准确的结果。
3. RANS（雷诺平均纳维-斯托克斯方程模型）RANS模型通过对湍流流场的平均速度和压力场进行求解，以获得平均情况下的流动情况。
该模型在计算湍流流场时，只需要考虑平均的流态，不需要计算流动中的小且不稳定的涡旋，因此计算效率比较高。
这种模型常用于一些基于大规模的工程计算，如风力发电机、涡轮机、船舶的流动等。
研究发现，在这些问题中，相比于LES模型，RANS模型所得到的结果精度略低，但是在很多领域中已经被广泛地应用。
4. VLES（小尺度大涡模拟）VLES模型是LES模型和RANS模型的结合体，通过计算流场中的大尺度涡旋和小尺度涡旋来提高计算的准确性。
大气湍流运动数值模拟仿真方法综述
大气湍流运动数值模拟仿真方法综述大气湍流是指大气中流体的无序运动，常常出现在多尺度、多层次的大气环流中。
了解和研究大气湍流运动具有重要的科学和应用价值，可以为天气预报、气候模拟以及空气污染等方面的研究提供有力支持。
数值模拟仿真成为研究大气湍流运动的重要手段之一，本文将对大气湍流运动数值模拟仿真方法进行综述。
一、拉格朗日方法：拉格朗日方法是一种经典的描述流体运动的方法，通过跟踪流体的质点运动来模拟流体的流动。
在大气湍流运动数值模拟中，拉格朗日方法常常用于描述物质的运动轨迹，例如云的形成和演变过程等。
拉格朗日方法的优点是能够准确地模拟微观尺度的湍流过程，但其计算量较大，难以用于大尺度的湍流模拟。
二、欧拉方法：欧拉方法是一种描述流体运动的方法，它通过对流体流动的宏观性质进行求解来模拟流体的流动。
在大气湍流运动数值模拟中，欧拉方法常常用于求解流体的运动方程，例如质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程等。
欧拉方法的优点是计算量相对较小，可以用于大尺度的湍流模拟，但其无法精确地模拟湍流的微观尺度特征。
三、雷诺平均方法（RANS）：雷诺平均方法是一种常用的湍流模拟方法，其基本思想是将流场分解为平均分量和脉动分量，并通过对脉动分量进行平均，来模拟湍流过程。
在大气湍流运动数值模拟中，雷诺平均方法常常用于求解雷诺平均动量方程和湍流能量方程等，以模拟湍流的宏观尺度特征。
雷诺平均方法的优点是计算效率高，适用于中尺度和大尺度的湍流模拟，但其无法准确地模拟湍流的细节特征。
四、大涡模拟方法（LES）：大涡模拟方法是一种适用于直接模拟湍流的方法，其基本思想是将湍流流场分解为大尺度涡旋和小尺度涡旋，并通过求解小尺度涡旋的方程来模拟湍流过程。
在大气湍流运动数值模拟中，大涡模拟方法常常用于模拟中尺度和小尺度的湍流，以获取湍流的细节特征。
大涡模拟方法的优点是能够较好地模拟湍流的细节特征，但其计算量较大，难以用于大尺度湍流的模拟。
五、直接数值模拟方法（DNS）：直接数值模拟方法是一种用于准确模拟湍流的方法，其基本思想是通过求解流场的基本方程，直接模拟湍流中所有的尺度下的流动特征。
在高超声速领域常用的湍流模型
高超声速领域常用的湍流模型引言高超声速（Hypersonic）是指飞行速度超过音速5倍以上的飞行状态。
在高超声速领域，流动的湍流现象对气动力、热力学和化学反应等方面都有很大影响。
为了准确地描述和预测高超声速流动中的湍流特性，科学家们开发了一系列湍流模型。
本文将介绍在高超声速领域常用的湍流模型，包括RANS模型、LES模型和DNS模型。
1. RANS模型雷诺平均纳维-斯托克斯方程（RANS）是描述湍流运动的基本方程之一。
在RANS模型中，假设平均变量和脉动变量可以分离，并通过引入雷诺应力来描述脉动变量。
在高超声速领域，常用的RANS模型有k−ε模型、k−ω模型和SST k−ω模型。
•k−ε模型：该模型基于涡粘性假设，通过求解两个传输方程来计算湍流能量k和湍流耗散率ε。
它适用于较弱的湍流，但在高超声速流动中可能存在一些问题，例如对壁面效应的建模不足。
•k−ω模型：该模型引入了湍流耗散率ω作为主要方程，通过求解k和ω的传输方程来计算湍流特性。
它相对于k−ε模型在高超声速领域有更好的适用性。
•SST k−ω模型：该模型是k−ε模型和k−ω模型的结合体，它在边界层区域使用k−ε模型，在外部区域使用k−ω模型。
这种结合可以克服各自单独使用时存在的问题。
2. LES模型大涡模拟（LES）是一种将湍流分解为大尺度和小尺度来进行数值求解的方法。
在LES模型中，大尺度湍流通过直接数值求解（DNS）或基于滤波运算来计算，而小尺度湍流则通过子网格尺度建模来描述。
在高超声速领域，LES模型可以更准确地预测细小尺度上的湍流行为。
由于高超声速流动具有很强的非线性和非平衡特性，LES模拟需要考虑湍流和化学反应之间的相互作用。
因此，在高超声速领域，常用的LES模型包括化学非平衡LES模型和化学平衡LES模型。
这些模型通过考虑气体热化学过程来更准确地描述高超声速流动中的湍流特性和化学反应。
3. DNS模型直接数值模拟（DNS）是一种通过直接求解湍流的Navier-Stokes方程来获得完整湍流信息的方法。
工程流体力学中的湍流模型比较与分析
工程流体力学中的湍流模型比较与分析引言：湍流是流体力学中一种复杂的流动现象，它广泛存在于自然界和工程应用中。
研究和模拟湍流流动是工程流体力学中的一个重要课题。
湍流模型是用来描述湍流流动的数学模型，对于工程实践中的湍流模拟有着重要的影响。
本文将比较和分析几种常用的湍流模型，包括雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）模型、大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）。
1. 雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）模型雷诺平均Navier-Stokes方程是湍流模拟中最常用的模型之一。
它基于雷诺平均的假设，将流动场分解为平均流动和湍流脉动两部分。
RANS模型通过求解平均流动方程和湍流脉动方程来描述流场的平均状态和湍流效应。
经典的RANS模型包括k-ε模型和k-ω模型，它们通过引入湍流能量和正应力来描述湍流的传输和衰减。
2. 大涡模拟（LES）大涡模拟是一种介于RANS模型和DNS模型之间的模型。
在LES模拟中，较大的湍流涡旋被直接模拟，而较小的涡旋则通过子网格模型（subgrid model）来描述。
LES模型可以较好地模拟湍流的空间变化特性，对于流动中的尺度较大的湍流结构有着较好的描述能力。
然而，由于需要模拟较小的湍流结构，LES模拟通常需要更高的计算资源和更复杂的数值算法。
3. 直接数值模拟（DNS）直接数值模拟是一种最为精确的湍流模拟方法，它通过直接求解包含所有空间和时间尺度的Navier-Stokes方程来模拟湍流流动。
DNS模拟可以精确地捕捉湍流流动中的所有涡旋和尺度结构，提供最为详细的湍流统计信息。
然而，由于湍流流动具有广泛的空间和时间尺度，DNS模拟通常需要巨大的计算资源和较长的计算时间。
4. 模型比较与选择在实际工程应用中，选择合适的湍流模型需要综合考虑计算资源、计算效率和模拟精度。
如果在工程实践中仅关注流场的整体特征和平均效应，RANS模型是一种简便且有效的选择，尤其是k-ε模型和k-ω模型在工程应用中得到了广泛的应用。
LES-DNS-RANS三种模拟模型计算量比较及其原因
LES,DNS,RANS模型计算量比较摘要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟（Direct Numerical Simulation: DNS），Reynolds平均方法（Reynolds Average Navier-Stokes: RANS）和大涡模拟(Large Eddy Simulation: LES)。
直接数值模拟目前只限于较小Re数的湍流，其结果可以用来探索湍流的一些基本物理机理。
RANS方程通过对Navier-Stokes方程进行系综平均得到描述湍流平均量的方程；LES方法通过对Navier-Stokes方程进行低通滤波得到描述湍流大尺度运动的方程，RANS和LES方法的计算量远小于DNS，目前的计算能力均可实现。
关键词：湍流；直接数值模拟；大涡模拟；雷诺平均模型1 引言湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名的难题，其性。
传统计算复杂性主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计[]1流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S 方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为三种：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。
雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场紊动的细节信息。
大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到较雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。
2 直接数值模拟(DNS)湍流直接数值模拟(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N - S 方程组,计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维流场中的时间演变。
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LES,DNS,RANS模型计算量比较摘要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟（Direct Numerical Simulation: DNS），Reynolds平均方法（Reynolds Average Navier-Stokes: RANS）和大涡模拟(Large Eddy Simulation: LES)。
直接数值模拟目前只限于较小Re数的湍流，其结果可以用来探索湍流的一些基本物理机理。
RANS方程通过对Navier-Stokes方程进行系综平均得到描述湍流平均量的方程；LES方法通过对Navier-Stokes方程进行低通滤波得到描述湍流大尺度运动的方程，RANS和LES方法的计算量远小于DNS，目前的计算能力均可实现。
关键词：湍流；直接数值模拟；大涡模拟；雷诺平均模型1 引言湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名的难题，其性。
传统计算复杂性主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计[]1流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S 方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为三种：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。
雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场紊动的细节信息。
大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到较雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。
2 直接数值模拟(DNS)湍流直接数值模拟(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N - S 方程组,计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维流场中的时间演变。
2.1控制方程用非稳态的N - S 方程对紊流进行直接计算, 控制方程以张量形式给出: 21i i i j i j i j i u u u p u f v t x x x x ρ∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂∂ （1）=0i ju x ∂∂ （2） 2.2主要数值方法由于最小尺度的涡在时间与空间上都变化很快，为能模拟湍流中的小尺度结构，具有非常高精度的数值方法是必不可少的。
2.2.1谱方法或伪谱方法所谓谱方法或伪谱方法是目前直接数值模拟用得最多的方法，简单来说，就是将所有未知函数在空间上用特征函数展开，成为以下形式：()()()()123(,)mnp m n p m n pV x t a t x x x ψϕχ=∑∑∑ （3） 其中m ψ，n ϕ与p χ，都是已知的正交完备的特征函数族。
在具有周期性或统计均匀性的空间方向一般都采用Fourier 级数展开，这是精度与效率最高的特征函数族。
在其它情形，较多选用Chebyshev 多项式展开，它实质上是在非均匀网格上的Fourier 展开。
此外，也有用Legendre, Jacobi, Hermite 或Laguerre 等函数展开，但它们无快速变换算法可用。
如将上述展开式代入N-S 方程组，就得到一组()mnp a t 所满足的常微分方程组，对时间的微分可用通常的有限差分法求解。
在用谱方法计算非线性项例如V ϖ⨯的Fourier 系数时，常用伪谱法代替直接求卷积。
伪谱法实质上是谱方法与配置法的结合,具体做法是先将两量用Fourier 反变换回到物理空间，再在物理空间离散的配置点上计算两量的乘积，最后又通过离散Fourier 变换回到谱空间。
在有了快速Fourier 变换(FFT)算法以后，伪谱法的计算速度高于直接求两Fourier 级数的卷积。
但出现的新间题是存在所谓“混淆误差”，即在做两个量的卷积计算时会将本应落在截断范围以外的高波数分量混进来，引起数值误差。
严重时可使整个计算不正确甚至不稳定，但在多数情形下并不严重，且有一些标准的办法可用来减少混淆误差，但这将使计算工作量增[]2加。
2.2.2高阶有限差分法高阶有限差分法的基本思想是利用离散点上函数值i f 的线性组合来逼近离散点上的导数值。
设i F 为函数()j f x ∂∂的差分逼近式,则j j jF f α=∑ （4） 式中系数j α 由差分逼近式的精度确定，将导数的逼近式代入控制流动的N - S 方程,就得到流动数值模拟的差分方程。
差分离散方程必须满足相容性和稳定性。
2.3 优点(1)直接数值求解N-S 方程组，不需要任何湍流模型，因此不包含任何人为假设或经验常数。
(2)由于直接对N - S 方程模拟,故不存在封闭性问题,原则上可以求解所有湍流问题。
(3)能提供每一瞬时三维流场内任何物理量（如速度和压力）的时间和空间演变过程，其中包括许多迄今还无法用实验测量的量。
(4)采用数量巨大的计算网格和高精度流体力学计算方法，完全模拟湍流流场中从最大尺度到最小尺度的流动结构，描写湍流中各种尺度的涡结构的时间演变，辅以计算机图形显示，可获得湍流结构的清晰与生动的流动显示。
2.4 缺点DNS 的主要缺点是要求用非常大的计算机内存容量与机时耗费。
据Kim ,Moin &Moser 研[]3究 ,即使模拟Re 仅为3300 的槽流,所用的网点数N 就约达到了6210⨯ ,在向量计算机上进行了250 h 。
3 雷诺平均模拟(RANS)雷诺平均模拟（RANS ）即应用湍流统计理论, 将非稳态的N - S 方程对时间作平均,求解工程中需要的时均[]4量。
所谓湍流模式理论，就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对Reynolds 应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds 方程封闭。
3. 1 控制方程对非稳态的N - S 方程作时间演算, 并采用Boussinesp 假设,得到Reynolds 方程''21i j i i i j i j j j j j u u u u u p u f v t x x x x x ρ∂∂∂∂∂+=-+-∂∂∂∂∂∂ （5）=0i i u x ∂∂ （6）式中,附加应力可记为''ij i j pu u τ=-,并称为雷诺应力。
这种方法只计算大尺度平均流动,而所有湍流脉动对平均流动的影响,体现到雷诺应力ij τ中。
正因为雷诺应力在控制方程中的出现,造成了方程不封闭，为使方程组封闭,必须建立模型。
3. 2 主要方法目前工程计算中常用的湍流模型从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封闭模型，或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq 的涡粘性假设的涡粘性封闭模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。
3.2.1雷诺应力模型雷诺应力模型(RSM)从Reynolds 应力满足的方程出发,直接建立以''i j u u 为因变量的偏微分方程, 将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来，并通过模化封闭。
封闭目标是雷诺应力输运方程:''''''''''i ji j ji k i k j k ij ij ij k k k u u u u u u u u u u u D t x x x φε∂∂∂∂+=--++-∂∂∂∂ （7） 式中ij φ 是雷诺应力再分配项, ij D 是雷诺应力扩散项, ij ε是雷诺应力耗散[]5项。
典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。
这种模式理论，由于保留了Reynolds 应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds 应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。
因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds 应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，是一个庞大的方程组，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，这就极大地限制了二阶矩模式在工程问题中的应用。
2.2.2涡粘性模型在工程湍流问题中得到广泛应用的模式是涡粘性模式。
这是由Boussinesq 仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds 应力为， ,,,22()33i j T i j j i k k ij ij u u U U U k νδδ=-+++（8） 这里12i j k u u =是湍动能，T ν称为涡粘性系数，这是最早提出的基准涡粘性模式，即假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确定后，六个雷诺应力只需要通过确定一个涡粘性系数T ν就可完全确定，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k ，耗散率ε，比耗散率w 以及其它湍流量ετ/k =，ε/2/3k l =，k q =，根据引入的湍流量的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常见的ε-k ，k-w 模式，以及后来不断得到发展的τ-k ，q-w ，k-l 等模式，涡粘性系数可以分别表示为ενμ/2k C T = ，ωνμk C T =，τνμk C T =，ωνμ2q C T =，l k C T μν=（9）3. 3 优点(1) 对计算机的要求较低，同时可以得到符合工程要求的计算结果。
(2)一旦给定合理的Reynolds 应力模型，可以很容易地从RANS 方程解出湍流的统计量，所需要的计算资源小。
(3)几乎能对所有雷诺数范围的工程问题求解，并得出一些有用的结果。
3. 3 缺点(1)对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds应力模型，甚至对于同一类型的问题，对应于不同的边界条件需要修改模型的常数。
(2) 由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不足，不能用来对流体流动的机理进行描述。
(3) 对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模型条件的限制，很难得到满意的计算结果。
(4)严重依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算很大程度上依赖于经验。
4 大涡数值模拟(LES)湍流大涡数值模拟（LES）是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值模拟手段。
利用次网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响即直接数值模拟大尺度紊流运动, 将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。