九年级数学练习题一

九年级数学练习题一1．如图，已知经过原点的抛物线x x y 422+-=与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m （0>m ）个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P .（1）求点A 的坐标，并判断∆PCA 存在时它的形状（不要求说理）； （2）在x 轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设∆PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式.2.如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.3. 如图，反比例函数y ＝ kx的图象经过点A (4,b )，过点作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数y ＝ax －3的图象经过点A ，求这个一次函数的解析式．4. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1与x 轴交于两点A (－1,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2) 下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以ACDOxy (第26题)AB (第24题) OxyxD A C O PABCED xyo题图26xy 110米/分的速度回家，中途没有再停留．问： ① 小刚到家的时间是下午几时？② 小刚回家过程中，离家的路程s (米)与时间t (分)之间的函数关系如图，请写出点B 的坐标，并求出线段CD 所在直线的函数解析式．6. A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当它 们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．7. 如图，直线6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以线段AB 为直径作⊙C ，抛物线c bx ax y ++=2过A 、C 、O 三点．(1)求点C 的坐标和抛物线的解析式； (2)过点B 作直线与x 轴交于点D ，且OB 2=OA·OD ，求证：DB 是⊙C 的切线；(3)抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形， 如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．8. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点.已知等腰梯形OABC ，OA ||BC ，点(4,0)A ，2BC =，等腰梯形OABC 的高是1，且点B 、C 都在第一象限。

（1）请画出一个平面直角坐标系，并在此坐标系中画出等腰梯形OABC ；（2）直线1655y x =-+与线段AB 交于点(,)P p q ，点(,)M m n 在直线1655y x =-+上，当n q >时，求m 的取值范围.9. 某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v （米/秒）与时间t （秒）的关系如图a ，A （10，5），B （130，5），C （135，0）.（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式；（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图b ，直线x ＝t （0≤t ≤135），与图a 的图象相交于P 、Q ，用字母S 表示图中阴影部分面积，试求S 与t 的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t 时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S 的数量关系.图a 图b10. 如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．t (分) s (米)(第23题) x/小时 y /千米 600 14 6 O F E C D （第20题）26题图26题图（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？11. 如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致xky =（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式； （2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍．12. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出．．．．2y 与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？13. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ， 使AOM △与ABC △相似.若存在，求出 点M 的坐标；若不存在，说明理由. 14. 某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。

经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：AC0.5OD AMBC0.5OxyD P QE DB Axy O C AyxB F D CO销售方式 批发 零售 冷库储藏后销售 售价（元／吨） 3000 4500 5500 成本（元／吨） 700 1000 1200若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y （元）蒜薹x （吨），且零售是批发量的1/3(1)求y 与x 之间的函数关系；(2)由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。

15. 如图12，直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan ∠OCB=21.（1） 求B 点的坐标和k 的值；（2） 若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（3） 探索：① 当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是41；② 在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ， 使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的 所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.16. 今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.(1)设甲种柴油发电机数量为x 台，乙种柴油发电机数量为y 台.①用含x 、y 的式子表示丙种柴油发电机的数量；②求出y 与x 的函数关系式；(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W 最少？17. “震再无情人有请”，玉树地震牵动了全国人民的心，武警部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A 处加满油后，以60千米/小时的速度匀速行使，前往与A 处相距360千米的灾区B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y (升)与行使时间x (小时)之间的关系：行使时间x (小时) 0 1 2 3 4 余油量y (升) 150 120 90 60 30(1)请你用学过的函数中的一种建立y 与x 之间的函数关系式，并说明选择这种函数的理由(不要求写出自变量的取值范围)；(2)如果货车的行使速度和每小时的耗油量都不变，货车行使4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B 处卸去货物后能顺利返回D 处加油？(根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升)1. 解：（1）令0422=+-x x ，得2,021==x x .∴点A 的坐标为（2，0）. ············ 2分PCA ∆是等腰三角形. ·············· 3分（2）存在.2,====CD OA m AD OC . ··········· 5分(3)当0＜m ＜2时，如图1，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P .图1∵A(2,0), C(m ,0), ∴m AC -=2. ∴222mAC CH -==. ∴2222+=-+==m m m OH x p 把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p .∵2==OA CD ,∴221)221(2212122+-=+-••=•=m m HP CD S . ··· 9分当2=m 时，PCD ∆不存在当2>m 时，如图2，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P .图2 ∵A （2，0），C （m ，0），∴2-=m AC ，∴22-=m AH .∴22222+=-+==m m OH x p 把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p .∵2==OA CD ，∴221)(221212+=-••=•=m y HP CD S p ······· 12分说明：采用p y HP CD S ••=•=22121思路求解，未排除2=m 的，扣1分.6. （1）①当0≤x ≤6时， ……………………………………………………1分x y 100=； ……………………………………………………………………2分②当6＜x ≤14时， ……………………………………………………………………1分 设b kx y +=，∵图象过（6，600），（14，0）两点，∴⎩⎨⎧=+=+.014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k∴105075+-=x y ． ∴⎩⎨⎧≤<+-≤≤=).146(105075)60(100x x x x y ……………………………………………………2分（2）当7=x 时，5251050775=+⨯-=y ， …………………………1分757525==乙v （千米/小时）． ………………………………1分 7. 解：（1）A （6，0），B （0，6） ……………………1分 连结OC ,由于∠AOB =90o ，C 为AB 的中点，则AB OC 21=，所以点O 在⊙C 上（没有说明不扣分）．过C 点作CE ⊥OA ，垂足为E ，则E 为OA 中点,故点C 的横坐标为3． 又点C 在直线y=-x+6上，故C （3，3） ……………………2分 抛物线过点O ，所以c=0, 又抛物线过点A 、C ，所以{3930366=+=+a ba b ，解得：1,23a b =-=所以抛物线解析式为x x y 2312+-= …………………3分（2）OA =OB =6代入OB 2=OA·OD ，得OD =6 ……………………4分 所以OD =OB =OA ，∠DBA =90o ． ……………………5分 又点B 在圆上，故DB 为⊙C 的切线 ……………………6分 （通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P 满足题意．因C 为AB 中点,O 在圆上,故∠OCA=90o ,要使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，则 ∠CAP =90o 或 ∠COP =90o , ……………………7分 若∠CAP =90o ,则OC ∥AP ，因OC 的方程为y =x ,设AP 方程为y =x +b ． 又AP 过点A （6，0），则b =-6, ……………………8分方程y =x -6与x x y 2312+-=联立解得：{1160x y ==，{2239x y =-=-，故点P 1坐标为（-3，-9） ……………………9分 若∠COP =90o ,则OP ∥AC ，同理可求得点P 2（9，-9） (用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P 1坐标为（-3，-9）和P 2（9，-9）满足题意．…………10分9. （1）1(010)25(10130)135(130135)v t t v t v t t ⎧=≤<⎪⎪=≤<⎨⎪=-≤≤⎪⎩ （2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）（3）221(010)4525(10130)1(130135)2S t t S t t S t t ⎧=≤<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪=-≤≤⎩ +135t-8475 (4) 相等的关系11. 10．解：（1）以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）． ……（1分）M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （32，0）设抛物线的解析式为2y ax k=+，抛物线过点M 和点B ，则5k =，54a =-．即抛物线解析式为2554y x =-+． ……（4分）当x ＝时，y ＝154；当x ＝32时，y ＝3516．即P （1，154），Q （32，3516）在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝310×5＝32．∵ 32＜154且32＜3516，∴网球不能落入桶内． ……（5分）（2）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，由题意，得，3516≤310m ≤154． ……（6分）AMBC0.5Oxy D P Q解得，7724≤m ≤1122．∵ m 为整数，∴ m 的值为8，9，10，11，12．∴ 当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．……（8分）11. （1）由图知k ＞0，a ＞0．∵ 点A （－1，2－k 2）在xky =图象上， ∴ 2－k 2 =－k ，即 k 2－k －2 = 0，解得 k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为xy 2=． 此时A （－1，－2），代人y = ax ，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x ． （2）过点B 作BF ⊥x 轴于F ．∵ A （－1，－2）与B 关于原点对称， ∴ B （1，2），即OF = 1，BF = 2，得 OB =5．由图，易知 Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴ OB : OC = OF : OD ，而OD = OB ∕2 =5∕2，∴ OC = OB · OD ∕OF = 2.5．由 Rt △COE ∽Rt △ODE 得 5)5225()(22=⨯==∆∆ODOC S S ODECOE ，所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍．12. 解：（1）x y 305002+= (2分)（2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+9021705030500x xx (4分)解得：25≤x ≤40 (6分) （3）∵5001402)30500()2170(221-+-=+--=-⋅=x x x x x y y x W∴1950)35(22+--=x W (8分) 而25<35<40, ∴当x=35时，1950=最大W即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元 （10分） 13. 解：（1）2y x =的顶点坐标为（0，0）， 2()y x h k ∴=-+的顶点坐标(14)D -，， 1h k ∴=-，=-4.3分（2）由（1）得2(1)4y x =+-. 当0y =时， 2(1)40x +-=. 1231x x =-=，.(30)10A B ∴-，，(，). ························ 4分 当0x =时，22(1)4(01)43y x =+-=+-=-，C ∴点坐标为()03，-.又顶点坐标()14D --，， ····················· 5分 作出抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E . 作DF y ⊥轴于点F . 在Rt AED △中，2222420AD =+=； 在Rt AOC △中，2223318AC =+=； 在Rt CFD △中，222112CD =+=； 222AC CD AD +=， ACD ∴△是直角三角形.······················ 7分 Ayx B E CM G O（3）存在.由（2）知，AOC △为等腰直角三角形，45BAC ∠=︒， 连接OM ，过M 点作MG AB ⊥于点G ， 1832AC ==.①若AOM ABC △∽△，则 AO AM AB AC =，即33329244432AM AM ⨯===，. MG AB ⊥，222AG MG AM ∴+=.29248192164AG MG ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴====， 93344OG AO AG =-=-=.M 点在第三象限， 3944M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，. ························· 10分②若AOM ACB △∽△，则AO AMAC AB =，即3342243232AM AM ⨯===，. ()2222222AMAG MG ∴====，321OG AO AG =-=-=. M 点在第三象限， ()12M ∴--，.综上①、②所述，存在点M 使AOM △与ABC △相似，且这样的点有两个，其坐标分别为()391244⎛⎫---- ⎪⎝⎭，，，. ······················· 12分 14. 解：（1）由题意，批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（200-4x ）吨则y=3x(3000-700)+x ·（4500-1000）+（200-4x ）·（5500-1200） =-6800x+860000，（2）由题意得 200-4x ≤80 解之得 x ≥30 ∵-6800x+860000 -6800＜0 ∴y 的值随x 的值增大而减小当x=30时，y 最大值=-6800+860000=656000元16. 解：（1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y ② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32∴y=12-2x(2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台W=130x+120(12-2x)+100(x-2) =-10x+1240依题意解不等式组1212 121≥-≥-≥x xx得：3≤x≤5.5∵x为正整数∴x=3,4,5∵W随x的增大而减少∴当x=5时，W最少为-10×5+1240=1190（元）。