第2章-流体运动的基本概念
工程流体力学 第二章
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
16
2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
流体力学第2章流体运动学基本概念
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
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流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
第二章 流体的运动
第二章流体的运动复杂的心脏流动模式可以利用速度场中假象粒子的轨迹直观地表示出来。
此图使用时间分辨三维相差磁共振成像技术通过粒子轨迹直观地表示了流入左心室的血流本章是用这些一般规律去研究适用于液体和气体流动的较为特殊的规律。
液体和气体的各部分之间可以有相对运动，因而没有固定的形状。
物体各部分之间可以有相对运动的特性，称为流动性。
具有流动性的物体，称为流体。
从具有流动性来看，液体和气体都是流体。
流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应用。
在人体生命活动中，也起着十分重要的作用。
本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空间各点的密度和速度来描述流体的运动。
实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理想流体和粘性流体。
一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层流（即稳定流动）、湍流和过渡流。
实际流体及其运动都是复杂的。
实际流体具有可压缩性和粘滞性；一般实际流体运动时，流速是空间点(位置)及时间的函数，即v = f ( x ,y, z, t )。
但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使问题简化。
因此，提出流体的理想模型——绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体，称为理想流体。
把在流体中，各点质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动(或定常流动)。
为了形象地描述流体的运动情况，引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念。
经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律——连续性方程。
可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为流体的可压缩性。
压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大。
液体的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略。
粘滞性：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流体的这种性质称为流体的粘滞性。
第章流体运动的基本概念
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) t
(2-17)
但在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和
时间的函数，质点导数的概念因此稍稍有些复杂。下面以
速度为例来分析欧拉法的质点导数。
如图2-3所示，假定在直角坐标 系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时 刻 t 和空间点P(x,y,z)处，流体质
vxv tvyv tvzv tv t x y z t
(vxvvyvvzvv)t x y z t
注意矢量运算公式
vvvxvvyvvzv，其中，
x y z
矢量算子 i jk 。于是质点的速度增量可以
x y z
表示为 v(vvv)t
(2-23)
t
于是，从式(2-16)得到速度的质点导数——加速度
ali m v v v v vx v vy v vz v v t 0 t t x y z t
其中，c1,c2,c3是积分常数，由 t t0时的 (a,b,c)决
定。于是得到
x x ( a , b , c , t ) y , y ( a , b , c , t ) z , z ( a , b , c , t )
并代入欧拉法表达式 (x,y,z,t)后就得到该物理量 的拉格郎日法表达式 (a,b,c,t) 。
r x y i z j k r (a ,b ,c ,t) (2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v yj v zk
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
化工——第二章_2(流动基本概念)
Re 9 10 5 2000 1 整理得： u 1.14( m s ) d 0.158
燃料油在管中作层流时的临界速度为1.14m· s-1。
2-7 流速分布
层流
如上图所示，流体在圆形直管内作定态层流流动。在圆管内， 以管轴为中心，取半径为r、长度为l的流体柱作为研究对象。
粘性是流体流动时产生的阻碍流体流动的内摩擦力。 粘度是衡量流体粘性大小的物理量。
u F A y
u F A y
剪应力：单位面积上的内摩擦力，以τ表示。
F u A y
适用于u与y成直线关系
du dy
式中：
——牛顿粘性定律
du 速度梯度 ： dy
比例系数，它的值随流体的不同而不同，流 ：
P (泊）
cm
SI单位制和物理单位制粘度单位的换算关系为：
1Pa s 1000 cP 10 P
5）运动粘度
v
单位： SI制：m2/s； 物理单位制：cm2/s，用St表示。
1 St 100 cSt 10 4 m 2 / s
思考：
（1）气体在一定直径的圆管中流动，如果qm不变，
第二章 流体流动与输送
闽南师范大学 化学与环境科学系 主讲：张婷
第二节
流体流动
一、流量与流速
二、定态流动与非定态流动 三、流动形态 四、牛顿黏性定律 五、边界层及边界层分离 六、流体在管内的速度分布
§2 流体流动
2-1 流体的流量和流速 • 流量
单位时间内通过导管任一截面的流体量称为流量(或流率)。
d u 流体的流动类型用雷诺数Re判断： Re
Re的量纲：
L M ( L) 3 du T L [Re] [ ] L0 M 0T 0 1 M ( L )(T )
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
由两处的高度差测得(ρ 由两处的高度差测得 ’为 管中工作液体的密度)： 管中工作液体的密度 ：
用于实际的皮托管
P − P = (ρ − ρ)gh A M
'
1 2 又因为：PA − PM = ρυ 2
所以：υ = 所以：
2( ρ ' − ρ )gh
ρ
医学物理学
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
第二章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
本章教学要求： 本章教学要求：
（1）理解理想流体和稳定流动的概念 ） （2）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 ）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 （3）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、雷诺数 ）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、 和斯托克斯公式。 和斯托克斯公式。 （4）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、血液速度及血管 ）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。
SAυA = SBυB = Q
医学物理学
第2章 流体的运动
Q 0.12 -1 υA = = −2 ms = 12m/s S A 10
Q 0.12 υB = = −2 m/s = 20m/s SB 10
又由伯努利方程得： 又由伯努利方程得：
1 1 2 2 ρυ A + PA = ρυ B + PB + ρ ghB 2 2
医学物理学
第2章 流体的运动
第一节 理想流体 稳定流动 一、理想流体
• 为了突出流动性这一基本特性，引入理想 为了突出流动性这一基本特性， 流体这一概念： 流体这一概念： • 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体。 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体 的流体。
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v v v v v v a lim v v v x v y v z
t 0 t t x y z t
(2-24)
由式(2-17)可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加速度包
括两部分，一部分是随空间的变化率 (vv) ， 另一部分是随时间的变化率 v/t 。(vv)项显示流场在空间中的
由于流体团所占的空间每一点都是研究对象，因此就
将其看成一个“场”，充满流体的空间被称为“流场”， 相应地有“速度场”、“加速度场”、“应力场”、“密 度场”等。
在流体力学研究中当然就要使用很多数学中场论的知识。 2.1.2 流动的分类 (1) 流动按其时间变化特性可分为稳态流动和非稳
态流动 如果流场内各点的流体运动参数均与时间无关,如对
v v ( x , y , z , t ) v x ( x , y , z , t ) i v y ( x , y , z , t ) j v z ( a , b , c , t ) k (x, y,z,t)
p p(x, y,z,t)
因此，按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ(可以 是矢量，也可以是标量)均可表示为
在流体力学中研究流体运动通常有两种方法：① 通过 研究流场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运 动规律，这种方法称为拉格郎日法；② 通过研究流体流 过一个空间的运动规律，进而研究流场内的流体运动规律， 这种方法被称为欧拉法。形象地说，前者是沿流体质点运 动的轨迹进行跟踪研究；而后者则是固定在某个空间位置 观察由此流过的每一个流体质点。
并代入拉格郎日法表达式 (a,b,c,t)后就得到该物理
量的欧拉法表达式 (x ,y,z,t)。
（2）从欧拉法表达式变换为拉格郎日表达式
若已知用欧拉变数（x,y,z,t）表示的物理量 (x,y,z,t)
，如果需要变换为以拉格郎日变数（a,b,c,t）表示的物理 量，则首先需要从欧拉法速度表达式求出欧拉变数
类似地，可用同样的方法得到其他物理量的质点导数，如 密度和压力的质点导数分别为
Dvxvyvz
Dt x y z t
Dpvxpvypvzpp Dt x y z t
推而广之，欧拉法中任意物理量 的质点导数可以写成
D vxvyvz (2-29)
Dt x y z t
并且将
Dvxvy
vz
Dt x y z t
(x,y,z,t)
若流场中任何一个物理量φ都不随时间变化，这个流 场就称之为稳态流场，相应的流动称为稳态流动或定常流
动。或者说，对于稳态流动有 0
t
2.2.3 质点导数
流体质点的物理量对于时间的变化率称之为该物理
量的质点导数。
在拉格郎日法中，由于直接给出了流体质点的物理量
的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。如 速度的质点导数（即加速度）为
同样，流体密度、压力和温度可表示为
(a,b, c,t)
p p(a,b, c,t) T T (a,b, c,t)
2.2.2 欧拉法 欧拉法的基本思想是在确定的空间点上来考察流体的 流动，将流体的运动和物理参数直接表示为空间坐标和时 间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪流体质点。例如，在 直角坐标系中的任意点（x,y,z）来考察流体流动，该点 处流体的速度、密度和压力表示为
流体团的运动不能简单分解为平动和转动来进行研究， 而必须分析其每个几何点上流体的运动变化。因此，在数
学上，流体的运动参数就被表示为空间和时间的函数。如
在空间中，流体运动速度矢量 的三个分量可表示如下
vx vx(x, y, z,t)
vy vy(x, y, z,t)
(2-1)
vz vz(x, y, z,t)
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
显然，经过时间间隔 t后，流体质点的速度增量为
v v p ' v p v ( x v x t , y v y t , z v z t , t t ) v ( x , y , z , t )
对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上的高阶小量得
v v ( x ,y ,z ,t) v x v t v y v t v z v t v t v ( x ,y ,z ,t) x y z t
r x y i z j r k ( a , b , c , t )(2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v y j v z k
因此，两种方法之间的关系就是拉格郎日变数和欧拉变数 之间的数学变换。
（1）从拉格郎日表达式变换为欧拉表达式 若已知用拉格郎日变数（a,b,c,t）表示的物理量
(a,b,c,t)，如果需要变换为以欧拉变数（x,y,z,t）表
示的物理量，则通过流体迹线方程(2-3)解出（a,b,c）
a a ( x , y , z , t ) b b ( , x , y , z , t ) c c ( , x , y , z , t )
d v x x (x ,y ,z ,t)d , v y y (x ,y ,z ,t)d , v z z (x ,y ,z ,t)
dt
dt
dt
对微分方程组（2-26）进行求解，其结果为
x x ( c 1 , c 2 , c 3 , t ) y y , ( c 1 , c 2 , c 3 , t ) z z , ( c 1 , c 2 , c 3 , t )
点的速度为 vpv(x,y,z,。t)经过时
间间隔 后t ，该流体质点运动到
点，p '质( x 点 移v x 动t , 的y 距 v 离y 为t ,z v z 。t ) 在p’ 点处流体质点的速度为 vt
v p ' v ( x v x t , y v y t , z v z t )
——周向坐标，
——经
D 1 1
D(tvr r vr vs in t)
2.2.4 两种方法的关系 拉格郎日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，
对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学 上是可以互换的。
在拉格郎日法中，流体的运动和物理参数被表示成 拉格郎日变数（a,b,c,t）的函数；在欧拉法中，流体的运 动和物理参数则被表示成欧拉变数（x,y,z,t) 的函数。
如图2-1所示，对于匀速飞行的飞行器，如果在固定与地 面的坐标系（x-y-z）来考察飞行器周围空气的流动，则 流动是非稳态的；但在固定于飞行器上的坐标系（x’-y’z’）来考察飞行器周围空气的流动，则流动是稳态的。
(２) 流动按其空间变化特性可分为一维流动、 二维流动 和三维流动 式(2-2)反映了一般情况下流体流动取决于三维空间坐标, 但是在具体问题中，流体的运动可能只与一个或两个空间 坐标有关。通常，流体速度只沿一个空间坐标变化的流动 称为一维流动，类似地，沿两个或三个空间坐标变化的流 动称为二维流动或三维流动。值得注意的是，流动的维数 与流体速度的分量数不是一回事。比如，对于图2-2（a） 所示的矩形截面管道，在远离进口处，流体只有沿z方向
于速度有
vx vx(x, y, z)
vy vy(x, y, z)
(2-3)
vz vz(x, y, z)
则这样的流动称为稳态流动或定常流动；反之如果流体运 动参数与时间有关，即流体速度按式(2-1)表达,则称为非 稳态流通或非定常流动。
必须说明的是，流体流动的稳态或非稳态与所选定的 参考系有关。
不均匀性，有时又被称为传输加速度或对流加速度。v/t 项表示流
场的非稳态部分，有时又被称为局部加速度。
这使得区分流场的稳态或非稳态非常直观。 通常用符号Dv/D来t 表示欧拉法中的质点导数。因此
式(2-17)可以写成
aD vv v v vx v vy v vz v v (2-28) Dt t x y z t
称之为质点导数算子（直角坐标）[在化工传递过程教材
中，以D/ Dt 表示的导数通常称为随体导数]。
为使用方便，在此给出柱坐标和球坐标的质点导数算 子表达式。
柱坐标系（ r——径向坐标， ——周向坐标，z——轴
向坐标） D (vr v1 vz)
Dt r r z t
球坐标系（
向坐标）
r——径向坐标，
2.2.1 拉格郎日法 拉格郎日法的基本思想是将流体质点表示为空间坐标 和时间的函数。流体是连续分布的，不能从一团被研究的 流体中分出一个一个的流体质点来，但是可以用一个空间 坐标来表示一个流体质点的所在位置。若任意时刻某个流
体质点位于直角坐标系（ x, y, z）处，则这个流体
质点的运动轨迹可以用下面的函数来描述
第二章
流体流动的基本概念
概述 1、流体运动的特点 2.流动的分类
描述流动的两种方法 1、拉格朗日法 2、欧拉法 3、质点导数 4、两种方法的关系
迹线和流线 1、迹线 2、流线 3、流管
流体的运动与变形 流体的流动与阻力
2 流体流动的基本概念
2.1 概 述
2.1.1 流体运动的特点 在关于固体的运动学中，研究对象或是刚体，或 是数量有限的质点。质点运动可以用曲线运动理论来描 述；而刚体的运动则可以分解为平动和转动。刚体的运 动参数，如轨迹、速度、加速度、角速度和角加速度等， 都可以只用时间函数来表达，而且不必分别考虑刚体上 各几何点的运动情况。但流体运动问题就没有这样简单。 原因在于①流体由无穷多质点构成，很难采用质点曲线 运动理论来研究；②在运动中流体要变形，考虑流体团 块运动时，除了平动和转动外，还必须考虑流体变形的 因素。因此，流体运动学有鲜明的特点。